J
OURNAL DE
T
HÉORIE DES
N
OMBRES DE
B
ORDEAUX
P
HILIPPE
C
ASSOU
-N
OGUES
M
ARTIN
J. T
AYLOR
Structures galoisiennes et courbes elliptiques
Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, tome
7, n
o1 (1995),
p. 307-331
<http://www.numdam.org/item?id=JTNB_1995__7_1_307_0>
© Université Bordeaux 1, 1995, tous droits réservés.
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Structures Galoisiennes
etCourbes
Elliptiques
par
Philippe
CASSOU-NOGUES et Martin J. TAYLORIntroduction
Soit une extension
galoisienne
de corps denombres,
de groupe deGalois G. L’anneau des entiers
ON de
Npossède
une structure naturelle de G-module. C’est unproblème
fondamentald’arithmétique
que de classifiercette structure.
Lorsque
l’extension est modérémentramifiée,
on sait parle célèbre théorème de E. Noether que
ON
est localement libre en tant queZ[G]-module.
Après
le résultatqu’il
avait obtenulorsque
le groupe G est legroupe
quaternionien
d’ordre8,
Frbhlich avaitconjecturé
le résultat suivantqui
a été démontré par le second auteur dans[Tl].
THÉORÈME
1. SoitN / K
2cne extension modérémentramifiée
et soit(ON )
(resp.
(OK[G])) la
classe deON
(resp.
OK [G])
dansKo (Z[G]),
le groupe de Grothendieck desZ[G] -modules
localement libres.Alors 2(ON)
=En outre
(G~ ) _
les constantes d’Art2n des caractères irréduc-tibles etsymplectiques
de G sontégales
à 1.Par contre,
lorsque
N/K
estsauvagement
ramifiée,
la situation est moinsclaire. Si .K
= Q
et si G estabélien,
Leopoldt
acomplètement
déterminéla structure de
ON
commeG-module,
[Le].
Dans le cas d’une extensionKummerienne
N / K,
onpeut
utiliser le théorème deStickelberger
pourdécrire la sructure
galoisienne
d’un sous-ordre naturel deGN, qu’on appelle
ordre de Kummer. Le lecteurpeut
sereporter
à[T2]
pour cette étude. Lebut de cet article est de décrire une théorie
analogue lorsqu’on remplace
le groupe
multiplicatif
de la théorie de Kummer par une courbeelliptique.
Plus
précisément,
on se propose de décrire l’anneau des entiers d’extensionsengendrées
par lespoints
de division d’unpoint
rationnel sur K d’une courbeelliptique
définie sur K.La
première
partie
de cet article est entièrementalgébrique :
nous yin-troduisons la théorie des ordres de
Hopf
et de leurs espaceshomogènes
prin-cipaux,
qu’on
désigne
pare.h.p.
Nous définissons l’invariant de classe ouin-variant de Picard d’un tel espace ; cet invariant nous
permet
d’étudier notre Manuscrit reçu le 9 Avril 1994, version corrigée le 17 Décembre 1995.problème
initial de structuregaloisienne
en termesgéométriques.
Dans la secondepartie,
nousappliquons
cette théorie aux ordres deHopf,
provenantdes schémas en groupe associés à une courbe
elliptique.
Il est alors naturel de considérerséparément
les invariants de Picard associés d’unepart
à unpoint
de torsion de E et d’autrepart
à unpoint
d’ordre infini. Pour lespoints
detorsion,
on trouve que l’invariant de Picard est engénéral
trivial.Les
parties
suivantes consistent en une étude détaillée despoints
d’ordreinfini à invariant de Picard trivial. Nous commençons par
rappeler
lesrésultats de
[A-T] :
la théorie d’Iwasawapermet
de montrer que les classes dee.h.p.,
libres sur l’ordremaximal,
proviennent
du sous-groupe deGreenberg
du groupe de Mordell-Weilcomplété.
Puis nousindiquons
lesrésultats obtenus dans un travail commun,
[CN-T],
sur la construction degénérateurs explicites
pour ces modules libres. Le résultatprincipal
est icile rôle
surprenant
joué
par la fonctionL-p-adique
de la courbeelliptique
etles unités
elliptiques
dans cette construction.1. Généralités
algébriques
1.1. Structure de
Hopf
Nous notons K une clôture
algébrique
d’un corps de nombres K etOK
=le groupe de Galois absolu de .K. Dorénavant G est un groupe
abélien fini sur
lequel
opère OK.
L’action deOK
surl’algèbre
K~G~
estdéfinie par =
AK
estl’algèbre
despoints
fixes etBK
---- est laK-algèbre
desapplications
b : G --7 Kqui
commutent avec l’action de
OK.
Enfait,
Ax
etBx
sont toutes les deux desK-algèbres
deHopf :
leshomomorphismes d’algèbres
(que
l’onappelle
comultiplications)
sont induits par les
applications g H g
g(resp.
h)
=b(g. h))
sur
K[G] (resp. Map(G, K)) ;
l’homomorphisme d’augmentation
(resp.
d’évaluation sur
1G)
induit unhomomorphisme
est non
dégénéré,
il nouspermet
donc d’identifierAx
avecBx
(Le
K-dualde
BK)
etBK
avecAD.
Avec cesidentifications,
on note queAD
(resp.
est la
multiplication
deBK
(resp.
deAK) .
Soit a un
Dx-ordre
deAx.
On dit que a est un ordre deHopf
s’il eststable par la
comultiplication ~A,
c’est-à-direAA (a)
C a00K
a.(Puisque
a estO K-projectif a
CAK
0~AK).
On définit un ordre deHopf
b de
BK
de la même mamière. Pour un tel ordre deHopf b
on définit leOK-dual
n ". 1 ., - ,
Il est facile de voir que
bD
est un ordre deHopf
de eneffet,
il eststable par
multiplication
(resp.
comultiplication),
parceque b
est stablepar
comultiplication
(resp. multiplication).
Dans la suite b sera construit
géométriquement
et,
par raison desim-plicité
nous noteronstoujours
Remarque.
Dans lelangage
des schémasSpec
(a)
etSpec
(~)
sont tous les deux des schémas en groupe finis etplats
sur ils sont duaux ausens de Cartier.
1.2. Structure de module
G
opère
par translation surMap(G,
K) .
Cette action induit unestruc-ture de
AK-module
surBK ;
en faitBK
OK K
est visiblement libre de rangun comme
AK
0K Ifmodule ;
etdonc,
par le théorème 90 deHilbert,
BK
est libre de rang un comme
AK-module.
Il découle directement de la définition de a
que b
est una-module ;
enfait,
onpeut
fairebeaucoup
mieux. On a le théorème suivant dû à Larsen.THÉORÈME
2. b est un a-module localement libre.On
peut
sereporter
à[SW]
pour la démonstration. Un desprinci-paux
avantages
des ordres deHopf
est l’existence d’un critère de Noethergénéralisé
pour reconnaître ses modulesprojectifs.
Posons E = E 9
EAK
9EGTHÉORÈME
3(CHILDS
ETHURLEY) .
Soit M un a-mod2cle detype
fini,
sans torsion surOK,
tel que M®oK
K soit libre de rang un surA K .
Soitle sous-module des
points
fixes
par a, i. e.Alors M est un a-module
projectif si
et seulement si ME =1.3.
Espaces
homogènes principaux
Soit C une
K-algèbre.
On dit que C est uneAK-algèbre
si C est unAK-module
et si pour tout a EAK,
cl, c2 E Coù
On dit
qu’une
tellealgèbre
C est un espacehomogène principal
pourB K ,
e.h.p.,
s’il existe une extension finieL/K
telle queen tant que
AKQ9K
L-algèbres.
Un telisomorphisme
estappelé
isomor-phisme
dedécomposition.
L’ensemble des classesd’isomorphismes
dee.h.p.
pour
Bx
est un groupe notéPH (BK)
qui
s’identifie avecG).
Un espace
homogène principal pour b
est uneOK-algèbre
c surlaquelle
aopère.
C’est un ordre d’une.h.p.
pourBK,
C = cK telque
l’isomorphisme
de
décomposition
pour C induise unisomorphisme
de
a© O L-algèbres.
Ceci revient à dire que lese.h.p.
pour b
sont les torseursde b dans la
catégorie
desa-algèbres.
Nous notons
.PH(6)
l’ensemble de classesd’isomorphismes d’e.h.p.
de b. C’est un groupe : eneffet,
il s’identifie avecSpec
(b)),
1.4. L’invariant de classe
Nous
gardons
les notations ethypothèses
duparagraphe
précédent.
Alors C est unAK-module
et C 0~ L ~BK
Q9K L commeAK
0K Lalgèbres ;
donc C’ est un
A~
module libre de rang un. Grâce au théorème2,
nous savonsque b
OL
est localement libre sur a, de rang[L :
K] ;
ceciimplique
que c est un a-moduleprojectif
tel que d’où nousconcluons que c est nécessairement localement libre sur a de rang un.
(Voir
[Fl]
parexemple).
Ainsi nous avons construit uneapplication
où est le groupe des classes des a-modules localement libres. On
appelle 1Pl
(c~
l’invariant de classes de c(ou
parfois
l’invariant de Picardde
c).
Il est bien connu que est unhomomorphisme :
le lecteurpeut
trouver les détails dans
[W]
ou~B-T~ .
1.5. Un
exemple
Supposons
queOK
opère
trivialement sur G. On vérifie aisément queb =
Map(G, OK)
est un ordre deHopf
et que a =OK ~G~
est son duaj.Soit
N/K
une extensiongaloisienne
non ramifiée munie d’uneinjection
i :
Gal(N/K) -
G. Posons H = I rni et ~’ = c’est-à-dire laK-algèbre
desapplications f :
G -> 1V telles queAlors c =
ON)
est l’ordre maximal de C et l’on al’isomorphis-me de a 0
ON
algèbres
Ainsi c est
e.h.p.
pour b.Réciproquement,
on vérifie quechaque
e.h.p.
de b est de cette forme. En
conclusion,
on a montré que est constitué dans ce cas des classesd’isomorphismes
des anneaux d’entiers desalgèbres
2. Courbes
elliptiques
2.1 Notations
Soit F un corps
quadratique imaginaire.
Désormais E est une courbeelliptique
définie surF,
avecmultiplication complexe
parOF.
On sait queE a
potentiellement
bonneréduction ([Se-T]) ;
nous supposons dans la suiteque K J F et que
E / K
apartout
bonne réduction.Une fois pour
toutes,
nous choisissons unendomorphisme
non nul7r E
4F
et l’on note G le groupe despoints
de ir-division de EEn outre G est muni de sa structure naturelle de
Ç2K
module.Soit le modèle de Néron de
EIK.
Par lapropriété
uni-verselle de ce
modèle,
7r induit unendomorphisme
~ 2013~E;
nous écrivons9
=Puisque
E/K
apartout
bonneréduction,
on sait que9 1 Spec( OK)
est fini etplat ;
il est donc localement libre et sa fibregénérique
~
xSpec(.K)
peut
être identifiée avecSpec(BK) ;
donc il existe ununique
ordre deHopf
dansBx
telque ~
=Dans ce
qui
suit nous allonsappliquer
la théoriedu §1
à ces ordres deHopf b
et auxe.h.p.
provenant
du groupe de Mordell-Weil. 2.2. L’invariant de classe d’unpoint
rationnelConsidérons la suite exacte Kummérienne associée à
l’endomorphisme
irde S : _
,-, ... - 7r - r",
Le foncteur de sections
globales
surpermet
de définir unesuite exacte de
cohomologie
On a
déjà
vu queAinsi nous avons construit un
homomorphisme
E(K) - PH(b).
Le butessentiel de cet article est l’étude de
l’homomorphisme e
Il est évident que le
comportement
de 0
sur estparti-culièrement intéressant pour deux raisons :
(1)
Par la théorie de lamultiplication complexe
lespoints
de torsion deE(F)
engendrent
unsystème
cofinal d’extensions abéliennes deF ;
(2)
En se servant des groupesformels,
on trouve quel’e.h.p.
associé àun
point
de torsion est souventintégralement
clos.Par
conséquent
le résultat suivant est trèsimportant
pour l’étude desanneaux d’entiers des extensions abéliennes de F :
THÉORÈME
4(SRIVASTAV-TAYLOR,
~ST~).
Soit 2vF le nombre de racinesde l’unité de F. Si
(7r,WF)
=1,
alorsE(K)torsion
C Ker
1/;.
Remarque.
Le cas où l’idéal7rOF
est unproduit
d’idéauxpremiers pairs
(i.e.
au dessus de2)
semble êtrediflicile,
voir[CN-S]
parexemple.
L’existence,
pour les extensions modérémentramifiées,
d’un lien entre lastructure
galoisienne
des anneaux d’entiers et lecomportement
de certainesfonctions L
d’Artin,
mis en évidence par le théorème1,
est le résultat central de cette théorie. Dans le caselliptique,
que nous considérons dans ceparagraphe,
le Théorème 4 nous incite àcroire,
via laconjecture
deBirch-Swinnerton-Dyer,
à l’existence d’un lien entre la structuregaloisienne
dese.h.p.
associés auxpoints
K-rationnels de E et lecomportement
de lafonction de Hasse-Weil de
E/F.
Il est donc intéressant de montrer dès maintenantqu’on
peut
construire despoints
d’ordre infini deE(K)
qui
n’appartiennent
pas à Ker1/J.
Néanmoins comme le montrel’exemple
qui
suit il est difficile d’obtenir unedescription
deKer 1j;
à "niveau fini" . Ceproblème
peut
se résoudre en"passant
à la limite" .2.3.
Exemple
On pose F =
Q( 7
et .K =F(
~63).
On considère la courbeelliptique
d’équation.
Cette courbe a
multiplication complexe
pard~
etpossède
partout
bonneréduction sur K. Soit 7r =
1+2.
C’est ungénérateur
d’un relèvement 2 *premier
de 2 dans4F
et donc un diviseur de 2 = wF. Ondésigne
par P lepoint
deE(K)
de coordonnées alfines(i, 0).
THÉORÈME 5
[CN-S].
1.
E(K)torsion C
Ker 1/J
2. .Ker
Remarques.
1. Si l’on
désigne
par m l’ordre maximal deK[G]
etpar -1)
l’homomor-phisme
obtenu encomposant ’l/J
par l’extension des scalairesct ( a)
->on montre que
P e
Ker (P.2. Si l’on
remplace K
par le corps L =K( 3u)
où u =(1 - i)(1
++
4 fi3,
etqu’on
notelbL
l’analogue
de 16 dans cette nouvellesituation,
on
peut
montrer que Pappartient
dans ce cas à .KerIF L .
C’est donc unélément d’ordre infini de
E(L)
qui
n’appartient
pas à7rE(L)
et dontl’image
par
’IL
est triviale. ,3.
Passage
à la limite3.1. Notations et
Hypothèses
Les notations sont celles du
paragraphe
2. On suppose que l’extension(K/F)
estabélienne,
de groupe de Galois.On fixe
jusqu’à
la fin de cet article un nombrepremier
p. On supposesatisfaites les
hypothèses
suivantes :a)
p n’est pas anormal. Il estdécomposé
dans F et l’on a p0 F
=pp*
oùp et
p*
sont des idéauxpremiers
distincts de F.b)
La courbeE/F
a bonne réduction au-dessusde p
etp*
etE/K
abonne réduction en toute
place
de K.Les
premiers p
etp*
sontprincipaux.
On pose p =7rOF et p*
=On peut choisir pour la valeur en p
(resp. p*)
du Grdssencharakter attaché à la courbeE/F.
Onrappelle
que p est ditanormal pour E si 7r + 1F =
1,
ou defaçon
équivalente
si la trace del’endomorphisme
de Frobenius de E modulo p estégale
à 1.Soit un
entier, n >
1. On noteEpn (resp.
le groupe despoints
depn
(resp. p*’)
division de E. Si est une extension de F on définitOn fait
l’hypothèse
que p est non ramifié dans K et mêmeque p*
esttotalement
décomposé
dans I~. On en déduit leségalités :
On
désigne
parXn
(resp.
X§§)
le groupeGal(Kn/ K) (resp. Gal(K,~/K)).
On obtient par restriction desisomorphismes
qui
permettent
d’identifier lesgroupes
On pose
G~ _
Epn
(resp.
G~
= et ondésigne
parAn
(resp. Bn)
lesK-algèbres
deHopf
introduites en(1-1),
on note an(resp. bn )
les ordres deHopf
deAn
(resp. Bn)
définis en(2-1)
pourl’endom’orphisme
7rn. On saitdonc associer à toute classe
d’isomorphisme
dee.h.p.
deban
un invariantdans
cl { an ) ,
c’est-à-dire définir unhomomorphisme
de groupeSi mn
désigne
l’ordre maximal deAn,
encomposant
’l/;n
avec l’extensiondes scalaires en : - on obtient
l’homomorphisme :
3.2.
Groupes
de SelmerSi M est un
OF-module
et a un élément non nul deOF ,
on note.llila
le sous-module des éléments de M annulés par cx etTa (M)
la limiteprojective
des
Man
où lesapplications
de transition -+Man
sont induites parla
multiplication
par a.une suite exacte de
cohomologie
On définit le groupe de Tate-Shafarevitch
LLI(K)
deE/K
comme le noyau del’homomorphisme
natureloù v
parcourt
lesplaces
finies de K.On définit le groupe de Selmer
Sn((K)
deE/K,
relatif à7r" ,
comme le noyau del’homomorphisme
naturelOn a la suite exacte
Soit c un
e.h.p.
pourban
et G’ leK-algèbre
On sait associer à une tellealgèbre,
par la théorie de la descentegaloisienne,
une classe decohomologie
de
.I~1 (.K,
On en déduit unhomomorphisme
de groupeinjectif
et l’on identifie et son
image.
Onpeut
alors vérifier l’inclusionOn va s’intéresser dorénavant aux restrictions de
0,,
et§n
au groupeLe
principal
intérêt de cela est de nouspermettre
d’utiliser desdescriptions
de données par B.
Perrin-Riou,
[P-R] .
La
multiplication
par 7r induit d’unepart
unhomomorphisme
d’autre
part,
unhomomorphisme
naturel deGn
et parconséquent,
de
An
et par restriction de mi et de an+i - tln. On enCeci nous
permet
de considérer les limitesprojectives
et les
homomorphismes
Soit v une
place
de K au-dessus dep*, Ku
le corps résiduel deKv
etE,
la réduction modulo v de la courbe On vérifie que nos
hypothèses
impliquent
que 1. On en déduit facilement que pour tout entier n le groupe~S’n (K)
estégal
à son sous-groupe~n (K)
défini commele noyau de
l’homomorphisme
’et l’on suppose dorénavant que III
(K) (p)
est un groupe fini. On en déduit que
{1}
et que parconsé-quent
1 1
3.3. Résultats à la limite
Nous pouvons maintenant énoncer les
principaux
théorèmes de(A-T~ .
Ils décrivent le noyau deshomomorphismes
THÉORÈME 6.
L ’homomorphisme 1j;
estinjectif.
Remarque.
Comme nous avonssupposé que K
n = F le résultatéquivaut
auxégalités
Il
-X
1 soit A le
groupe Hom
(0, ).
Le groupe Aopère
surE(K)
00F
OF,
et par restriction sur le groupe
Kero.
Soit R l’anneau des entiers d’uneA
extension de
Fp
qui
contient toutes les valeurs des éléments de A.A
Pour
tout X
e à ondésigne
par(E(K)
R)X
le sous-module deE(K)
R surlequel A
opère via x
et on noteOn introduit
également
~, ~x,~*
l’accouplement p-adique global
décrit dans
[P-R].
THÉORÈME 7. On suppose
l’accouplement
1, IK,p.
nondégénéré
modulo la torsion. Si1,
alorsSoit e le caractère trivial de A. On a les inclusions et les
égalités
immédiates suivantes :On pose : -.
Les
paragraphes
suivants traitent de la constructionexplicite
de cesous-module de rang 1 de
Kero.
4. Constructions de
générateurs
Si C est un anneau, on note C’ son groupe d’unités. Soit n un
entier,
n > 1. On considère
l’homomorphisme
On pose :
4.1. E.H.P. et Théorie de Kummer
On utilise la théorie de Kummer
classique
pour donner unedescription
en "terme d’unités" des groupes etAn(F).
On note N le
compositum
et on pose q =p" .
Le corps N contient le groupe pq des racinesq-ièmes
de l’unité. Le choix d’unpoint
primitif
deP*’-division
deE, qu’on
noteg~,
permet
de définir un caractèreen
posant
x(g) =
g§§) ,
où Wndésigne
l’accouplement
de Weil sur lespoints
deq-division
de E.On utilise les constructions
d’algèbres
et d’ordres du§2
avec maintenantN pour corps de base. On note
On
désigne
parôN
(resp.
aN)
l’ordre b(resp.
a)
dans ce cas. On obtient parcomposition
unisomorphisme
Le
premier
isomorphisme
est obtenu par unprocédé
de descentegaloi-sienne,
[B-T],
le second est obtenu via lecaractère X
et le troisième estl’isomorphisme classique
de la théorie de Kummer. Onpeut
donner de p N et del’isomorphisme
réciproque
lesdescriptions
explicites
suivantes.Soient
GIN
une.h.p.
pourBN
et c une base de C en tant queAN-module. On considère la résolvande de c, c’est-à-dire l’élément de
CGn
On vérifie que
rc(c)q
appartient
à et l’on pose :L’isomorphisme
est défini par :On introduit les
homomorphismes
de groupesoù in
est induit par l’extension des scalaires etjn
parl’injection
canonique
Kn" ~
N . Onpeut montrer,
[A-T],
que in
etjn
sontinjectifs
et que pNinduit par restriction à
PH ( Bn )
unhomomorphisme injectif
tel que lediagramme
suivant soit commutatif :On veut décrire
l’image
par pK des groupes,A.n (K)
et,A.n (F) .
Pour cela on introduitquelques
notations. SiL/F
est une extension finie deF,
onpose :
= {
unités deFp ,
congrues à 1 modulo les relèvementsde p}
~~ (L) _ ~
le groupe des unités deën(L)
= l’adhérence de laprojection
de dansUn (L) .
On définit de même les groupes
e§§ (L)
et駧 (L)
enremplaçant
Ln
Le groupe
Q F
opère
sur etEp...
On en déduit des caractèresp-adiques
de~2F
Par restriction de l’action de
OF
àEpn
etEp.n
on déduit de K et K,* deshomomorphismes Kn
et~n
de surAut(Epn)
et On confonddans les notations K, et
xg
et leurs restrictions àOK.
Onrappelle
que l’ on asupposé
’T’’’’ -- ..., -r-t ,
En outre nos
hypothèses impliquent
que pour touteplace v
au dessus dep*,
ne contient pas de racinep-ième
de l’unité.THÉORÈME
8[CN-T].
L’homomorphisme
pK induit par restriction groupes etAn (F)
lesisomorphismes
On note dorénavant Spn les
isomorphismes
du Théorème 8.Remarque.
Puisque
laconjecture
deLeopoldt
est démontrée pour les corpsKn
etF:;,
on a desisomorphismes
de groupepour L = F et K. On note
~pn
l’isomorphisme
CPn 0 Tn. 4.2. Construction degénérateurs
dans le casglobal
On commence par introduire
"l’opérateur
norme"([A-T],
§8).
Puisque
,K et sont linéairement
disjoints
sur F on obtient unisomorphisme
de
K-algèbre
--en
posant,
tifie ces deux
algèbres
par cetisomorphisme.
Pour toutentier
on note
(resp.
Tn~i ~
la norme(resp.
latrace)
deOn définit maintenant
l’opérateur
norme commel’homomorphisme
de groupeSoit
C/K
uneK-algèbre
commutative. le groupeÍ1K opère
sur .K ®x C via le facteur degauche.
On note encore la norme(resp.
latrace)
deK~
®K Q9 K C. On en déduit unopérateur
normeL’utilisation de cet
opérateur
joue
un rôle fondamental dans ladémonstra-tion du théorème suivant
THÉORÈME
9([CN-T]).
Soit c une.h.p.
pourbn.
’On pose C = cK. Onsuppose que c
définit
un élément de et que l’on a :Alors
1)
Il existe urtunique
élément y de.Kn
Q9 C tel queF
on note
allq
cet élément.c(a~
appart2ent à
C.2=U
5. Formules locales
5.1.
Approximation
Comme on va le constater dans le
paragraphe
suivant,
onpeut
utiliser une construction de Rubin[R]
pour obtenir un élément non trivial dugroupe / 1 ... B.1
et par
conséquent,
via unélément (c) #
(1)
deAn(K).
Nous voulonsmaintenant relier le
générateur galoisien
de c que nous avons construit etl’unité locale de
~n (I~’)
qui
permet
de le définir.Soit C un
e.h.p.
pourBn, qui
définit un élément de,A.n ~K) .
puisque
leshypothèses impliquent
l’égalité
des groupes etSn(K)
on en déduit quel’algèbre
C est totalementdécomposée
au-dessus dep*
etqu’ainsi
ilexiste un
isomorphisme
d’algèbre
Cet
isomorphisme
estunique puisque
s’identifie
avec lesKp*-points
deGn .
En lecomposant
avecl’isomorphisme
d’augmentation
de on obtient unhomomorphisme
deKp* -algèbre
et
plus généralement
dePuisque S2,K
opère
surK* *
® K~*
Cp.
via le membre degauche,
com-mute avec l’action denK.
On conserve les notations du Théorème 9. Soit
~3
EUQ(K)
tel quecx ---
3q .
On obtientPuisque
~ p*
ne contient pas de racine de l’unité d’ordre p, on en déduitque pp.
(al/q) =
~6.
On obtient ainsi àpartir
du Théorème9,
la formule suivante :.. n
.
Supposons
maintenant queOn déduit de la définition même de ~pn et
~~
l’existence de u Eé£ (K)
telque l’on ait
d’où
l’égalité
On utilise une nouvelle fois que
Kn,~*
ne contient pas de racine de l’unité pour en déduire queQ
= qu.Puisque u
est limite d’une suite de~~ (K)
npour tout entier m, m >
1,
il existe um n et uneunité locale vm, - 1 mod
pm+n,
telle queOn pose as =
(/iu.,,,,)9.
C’est un nouveaureprésentant
de On vérifiela congruence
On obtient ainsi la formule locale suivante :
THÉORÈME
10( (CN-T~ ) .
Les notations sont celles du Théorème 9. Onsuppose que
Alors pour tout entier m, m >
1,
il existe une base Cm de ctUn sur fin telle5.2. Mesures
p-adiques
On se propose d’une
part
d’indiquer
comment construire des éléments non triviaux du groupe et d’autrepart
d’interpréter
en termes demesures la somme
On conserve les notations introduites en
(3-1).
On poseet l’on introduit les groupes
et le module de Tate
T,.
= Leshomomorphismes
de transitionsont
respectivement
induits par la norme et lamultiplication
par 7r*. Tout élément x d’une limiteprojective limAn
est noté x== ([~c~]).
On vérifie le lemme suivant :LEMME 11. Soient h un élément non trivzal du
groupe
un
générateurs
deT~.
On poseAlors il existe un entier no tel que pour tout entier
n, n >
définit
un élément non trivial d eA
Soit E
(resp.
le groupe formel défini surOF,.
associé au noyau dela réduction
mod p*
de la courbe(resp.
le groupe formelmultiplicatif ) .
Ils’agit
de groupes formels de Lubin-Tate définis par des séries de Frobeniusassociées à des uniformisantes distinctes de Soit L le
complété
de l’extension abélienne maximale non ramifié deFp*.
On saitqu’il
existe unisomorphisme tî
défini sur0~
Soit 1
=([qn])
un élément deU~ (K)
et soit v =( (vnj )
ungénérateur
du module de Tate associé à On vérifie que w* =
( ~wnj ),
oùwn
=7rn(1J(vn))’
est ungénérateur
du module de TateT7r.’
On sait par la théoriede Coleman
qu’il
existe uneunique
série formelle EOFp*
[[X]]
telleque
On note
g.~
la série formelle deD~ ~~X ~~,
définie par 9’)’ 01]. On saitqu’à
unetelle série est associée une mesure
p-adique
surZp
à valeurs dans0 L qu’on
n
note
THÉORÈME
12. Pour tout entiern, r~ >
1,
on al’égalité
Remarque.
Le groupeX~
sedécompose
en unproduit
direct de groupeU x V où U ~
Zp
et V ~Gal(F(Ep.)IF).
Soitx*
la restriction de K*à V. Si M est un
Zp[X]-module,
considéré commeZp[V]-module,
il se00
décompose
en une somme directe’
où
désigne
le sous-module de M surlequel
Vopère
viaX*k.
Si y E M ondésigne
parI(k)
sacomposante
dansM~k~ .
Avec les notationsdu lemme
11,
l’élément y
deU(F)
satisfait pour tout v de V la congruenceyv =
mod~~ (F~.
On en déduit que 1 ==1(1)
mod~~ (F),
or onpeut
montrer que pour un tel élément(0)
= 1. Onpeut
donctoujours
se ramener à ce cas.Avec les notations
précédentes
et en en supposant= 1,
on énoncele corollaire suivant :
COROLLAIRE 12. S’zt exzste un élément h non triviale de
alors il existe un entier no tel que pour tout entier n > no il existe un
e. h.p.
1 )
cn n’est pasisomorphe
àbn
commean -module
mais cntnn est libre sur mn.,~)
Pour tout entier m, m >1,
il existe une base cz.,z de cnmn sur mn telleque
1 1 - A 1 -- 1
-6. Une construction de
Rubin,
[R]
On
indique
dans ce dernierparagraphe
comment construire une fonctionqui
satisfait leshypothèses
du lemme 11. 6.1. La fonctionf,
Pour tout entier
n, n > 1,
on note le groupe des unitéselliptiques
deF:;
etC$/(F)
l’adhérence de laprojection
deC~(F)
dansU* F .
Onpose
Soit
f
le conducteur du Grôssencharacter attaché à la courbeE/F.
Legroupe
S2F
opère
sur l’ensembleEf
despoints
primitifs
dey-division
de E.A
chaque
orbite B de et àchaque générateur
w* deT~r* ,
Rubin[R],
§3,
associe8 8 (w* ) =
( [0 8 (wQ )] )
deC~(F).
On choisit une fois pour toutesl’une des 2 orbites de par raison de
simplicité
on écrit0(w* )
pourSoit = Le caractère ~* induit un
homomorphisme
de
7Gp-algèbre
On pose J* = KerK* . Pour tout entier r, r >
1, ,
J*’IJ*’+’
est unZp-module libre de rang 1. On définit un
générateur
de suivant laméthode donnée dans
[R]
§6.
C’estl’image
dans d’un élémentvr
de J*’ dont on donne la construction. Onpeut
montrer que8>Q
n’a pas de
v*-torsion
etqu’ainsi
dansU~,(F)
Q9 Q
l’équation
z"1 = q
a auplus
une solution.THÉORÈME
13. Théoréme4-2
etProposition
4-4)
Alors il existe un
unique
homomorphisme
qui
satisfait
pour toutgénérateurs
w* deT7r.
2)
On supposeE(F)
infini
et1, IFp..
nondégénéré.
Soit r le rangsur Zp
vde
S(F).
Alors la relation(*)
estsatisfaite
et l’élément~r
est non trivial.On déduit des travaux de
[P-R]
unhomomorphisme injectif.
et l’on montre pour le choix de r du Théorème
13,
2),
que x,= V(gr)
1.Si l’on est sous les
hypothèses
du Théorème13,
2),
il existe un entierm, m >
1,
tel quePuisque
~S’(F)
est dansZp-torsion,
on en déduit que 1 et donc que n’est pas trivial.Soit N le
plus petit
entier,
N >1,
tel que ait lapropriété
précédente.
On obtient ainsiCOROLLAIRE 14. Sous les
hypothèses
du Théorème13,
2),
il existe unhomomorphisme
non trivialqui
satisfait
pour toutgénérateur
w* deOn
peut
doncappliquer
à cette fonction les constructions despara-graphes
précédents.
Ainsi pour n assezgrand,
les unitéselliptiques
per-mettent la construction d’un élément non trivial de "libre sur
6.2. La fonction
L-p-adique
Les notations et définitions sont celles de
Rubin,
[R],
§7.
Soit R lecomplété
de l’anneau des entiers deFp.
On posel~* (.R)
=Si l’on fixe un choix w* de
générateur
deT7r*
on définit la fonction £ -p-adique
de Katz-Manin et Vishik comme un élément dePar restriction à
Fgg
on obtient ainsi un élémentHp
de~* tR) .
Pour tout entiern, n >
1,
on définitPuisque
laconjecture
deLeopoldt
est vrai pourFn
on a pour tout entiern, n >
l,
unisomorphisme
En
outre,
on a unisomorphisme
naturelOn en déduit un
plongement
de駧(F)
~Vn(F))
et par passage à lalimite un
plongement
On note
N( f )
la norme absolue du conducteurf
du Grôssencharacterattaché à
E/F.
THÉORÈME
15([R],
THÉORÈME
7.2~.
Il e2iste unhomomorphisme
injec-tif
Remarque. Puisque
(f, p)
= 1 lamultiplication
par -N( f )
est unautomor-phisme
deT,...
On pose k* = i*
o j*.
On définitord,(2,p)
comme l’ordre du zéro ens =
0,
d’une fonctionanalytique
surZp
associée à£p,
(voir [R],
§7).
COROLLAIRE 16. Les
propriétés
suivantes sontéquivalentes
En outre
lorsque
r =ord",
(£p)
estsupérieur
à1,
il existe 2cn entier noet,
pour tout entier n, n > no, une.h.p.
c~, pourbn
satisfaisant
lespropriétés
suivantes :1 )
Cn n’est pasisomorphe
àbn
commean -module
mais cnmn est libre sur mn.2)Pour
tout entier m, m >l,il
existe une bases de cm de cnmn sur mntell e que
) et N un entier
Précisé
dans le§6.
Il est clair que dans cette
situation,
lecomportement
de la fonctionLp
domine leproblème
de structuregaloisienne.
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’
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UFR de Mathématiques et Informatique
Université Bordeaux 1 33405 TALENCE CEDEX FRANCE Martin J. TAYLOR U.M.I.S.T. Department of Mathematics P.O. Box 88 MANCHESTER
