Chapitre1

(1)

UNIVERSIT ´E SIDI MOHAMED BEN ABDELLAH FACULT ´E DES SCIENCES Dhar El Mehraz

Cours d’alg `ebre 1

Barbara Abdelkrim & Mouanis Hakima

D ´epartement de Math ´ematiques

(2)

PLAN DU COURS

1

NOMBRES COMPLEXES

2

POLYN ˆ

OMES

3

FRACTIONS RATIONNELLES

(3)

Chapitre 1

NOMBRES COMPLEXES

(4)

Chapitre 1

1 _{D éfinitions et propri ét és}

2 _{racines carr ées d’un nombre complexe} 3 _{Equations du second degr é dans I}_C 4 _{nombres complexes de module 1} 5 _{Argument d’un nombre complexe} 6 Racines ni ème de l’unit é

(5)

D éfinitions et propri ét és

L’ensemble I

C des nombres complexes

D ´efinition

On note par IC = {a + ib/ a, b ∈ IR} et i 6∈ IR muni de deux op ´erations + et . telles que

(a + ib) + (c + id ) = (a + c) + i(b + d ) (a + ib).(c + id ) = (ac − db) + i(ad + cb) En particulier, i2₌_{i.i = −1}

(6)

Partie r ´eelle et partie imaginaire

D ´efinition

Soit z = a + ib un nombre complexe.

L’ écriture a + ib est appel éla forme alg ébrique de z. a est appel éla partie r éelle de zqu’on note par Re(z). b est appel éla partie imaginaire de zqu’on note par Im(z) Un nombre complexe et ditr éelsi sa partie imaginaire est nulle. Un nombre complexe et ditimaginaire pursi sa partie r éelle est nulle.

(7)

Proposition

Soient u = a + ib ∈ IC et v = c + id ∈ IC deux nombres complexes. u = v ⇔ a + ib = c + id ⇔ a = c et b = d C’est `a dire

u = v ⇔ Re(u) = Re(v ) et Im(u) = Im(v )

(8)

Repr ´esentation graphique

D ´efinition

On menu le plan d’un rep `ere orthonorm ´e (O,−→u ,−→v ).

1 _{A tout point M de coordonn ´ees (a, b) on peut associer le nombre}

complexe z = a + ib. On dit que z estl’affixe du point M.

Inversement, `a tout nombre complexe z = a + ib on peut associer le point M de coordonn ´ees (a, b). M s’appellel’image ponctuelledu nombre complexe z.

2 _{A tout vecteur}−_{W de coordonn ´ees (a, b) on peut associer le nombre}→

complexe z = a + ib. On dit que z estl’affixe de−W→.

Inversement `a tout nombre complexe z = a + ib on peut associer le vecteur−W de coordonn ´ees (a, b). On dit que→ −W est→ l’image vectoriellede z.

(9)

Propri ´et ´es

Soient M et N deux point du plant tels que M `a pour affixe zM et N `a pour

affixe zN. Alors,

1 _{Le milieu I du segment [MN] `a pour affixe} zM+zN 2 . 2 _{Le vecteur}−−→_{MN `a pour affixe z}

N− zM.

(10)

D ´efinition

Soit z = a + ib un nombre complexe.

(11)

Propri ´et ´es

Soient z = a + ib ∈ IC et z0 =c + id ∈ IC deux nombres complexes. Alors,

1 _{z = z} 2 zz = a2₊b2≥ 0 3 _{z + z}0 ₌_{z + z}0 4 _zz0 ₌_zz0 5 ₍z z0) = z z0

(12)

Le module d’un nombre complexe

D ´efinition

Soit z = a + ib, on appellemodule de z le nombre r éel positif not é par |z| et d éfini par

|z| =√zz =pa2₊_b2 propri ´et ´es

Soit z, z0∈ IC 1 _{|z| = |z|} 2 z−1₌ 1 z = z |z|2 3 _|zz0_{| = |z||z}0_| 4 |z z0| = |z| |z0|

(13)

Les racines carr ´ees d’un nombre complexe

Les racines carr ´ees d’un nombre complexe

D ´efinition

Soient z, u ∈ IC. On dit que u est racine carr ´ee de z si u2=z

(14)

Les racines carr ´ees d’un nombre complexe

Th ´eor `eme

un nombre complexe non nul z = a + ib poss ède deux racines carr ées non nulles et oppos ées qui sont :

1 _Si_{b ≥ 0}_, u = p2(|z| + a) 2 +i p2(|z| − a) 2 et −u = −p2(|z| + a) 2 − i p2(|z| − a) 2 2 _Si_{b ≤ 0}_, u = p2(|z| + a) 2 − i p2(|z| − a) 2 et −u = −p2(|z| + a) 2 +i p2(|z| − a) 2

(15)

Les racines carr ´ees d’un nombre complexe

Exemple

Soit z = 5 + 12i.

1 |z| =

√

52₊₁₂2₌√_{169 = 13}

2 _{Puisque 12 ≥ 0 alors les racines carr ´ee de z sont :}

u = 3 + 2i et − u = −3 − 2i

(16)

Equation du second degr ´e dans IC

Equation du second degr ´e dans I

C

Th ´eor `eme

Soient a, b et c trois nombres complexes tels que a non nul. Soitδune racine carr ´ee de ∆ = b2_{− 4ac}_.

Alors l’ ´equation du second degr ´e aZ2₊_{bZ + c=0 admet deux solutions :} z1=

−b + δ

2a et z2=

−b − δ 2a

∆est appel ´e le discriminant de l’ ´equation aZ2₊_{bZ + c = 0.} Remarque 1 _z 1+z2= −b_a 2 _z 1z2= c_a 3 _{Si ∆ = 0, z} 1=z2= −_2ab 4 _{Si a, b, c ∈ IR et si}_{∆ ≥}₀_{alors z} 1,z2∈ IR 5 _{Si a, b, c ∈ IR et si}_{∆ ≤}₀_{alors z}

(17)

Equation du second degr ´e dans I

C

Exercice

Calculer les racines des ´equations :

1 _{(1 − i)z}2_{+ (1 + 2i)z − 2i = 0} 2 _3z2− 5z + 2 = 0

3 _2z2− 2z + 1 = 0 4 _z2₊_{z + 1 = 0}

(18)

Equations du second degr ´e dans I

C

Corollaire

Soient z1,z2∈ IC.

Notons s = z1+z2et p = z1z2

(19)

Equations du second degr ´e dans I

C

corollaire

Soient az2+2b0z + c = 0 une équation de 2 ème degr é et ∆0 =b02− ac appel é le discriminant r éduit de cette équation.

Si δ0 est une racine carr ´ee de ∆ alors les racines de l’ ´equation sont z1=

−b0+ δ0

a et z2=

−b0− δ0 a

(20)

Les nombres complexes de module 1

Les nombres complexes de module 1

Proposition

Soit z ∈ IC.

|z| = 1 ⇔ ∃α ∈ IR tel que z = cos α + i sin α . Dans ce cas z est not ´e z = eiα_.

Exemples

1 _{∀k ∈ ZZ; e}2ik π ₌_{cos 2k π + i sin 2k π = 1 + 0i} 2 _eiπ ₌_{cos(π) + i sin(π) = −1}

3 _eiπ2 =cos(π 2) +i sin( π 2) =i 4 _eiπ4 =cos(π 4) +i sin( π 4) = √ 2 2 +i √ 2 2 5 _eiπ3 =cos(π 3) +i sin( π 3) = 1 2+i √ 3 2 6 _eiπ6 =cos(π 6) +i sin( π 6) = √ 3 2 + i 2

(21)

Les nombres complexes de module 1

Propri ´et ´es

Soient z = eiαet z0 =eiβavec α, β ∈ IR :

1 _{z = z}0 ⇔ ∃k ∈ ZZ tel que α = β + 2k π 2 _eiα_eiβ₌_ei(α+β)

3 eiα

eiβ =ei(α−β)

(22)

Formule de Moivre

Th ´eor `eme (Formule de Moivre)

Soit α un nombre r ´eel et n ∈ IN. Alors, (eiα)n=einα

(23)

Formules d’Euler

Propri ´et ´es

∀α ∈ IR. On a

1 _{cos(α) =} eiα+e−iα 2 2 _{sin(α) =} eiα−e

−iα 2i

(24)

Argument d’un nombre complexe

Argument d’un nombre complexe

Th ´eor `eme

Soit z un nombre complexe non nul. Il existe α ∈ IR tel que z = |z|eiα_.

αest appel ´e argument de z et on le note arg(z)

|z|eiα_{est appel ´e la forme trigonom ´etrique (o `}_{u bien la forme}

(25)

Argument d’un nombre complexe

Remarque

Si α est un argument de z alors, ∀k ∈ IN, α + 2k π est aussi argument de z. On note arg(z) = α(mod 2π)

(26)

Argument d’un nombre complexe

Propri ´et ´es

Soit z ∈ IC?

1 _{arg(z) = 0(mod 2π) ⇔ z ∈ IR}?+ 2 _{arg(z) = π(mod 2π) ⇔ z ∈ IR}?−

(27)

Argument d’un nombre complexe

Propri ´et ´es

Soient z et z0 deux nombres complexes et λ un nombre r ´eel.

1 z = z0 ⇔ |z| = |z0| et arg(z) = arg(z0)(mod 2π) 2 _arg(zz0_{) =}_{arg(z) + arg(z}0_{)(mod 2π)}

3 _arg(1 z) =arg(z)(mod 2π) = −arg(z)(mod 2π) 4 _{arg(λz) =} arg(z)(mod 2π) siλ > 0 Π +arg(z)(mod 2π) siλ < 0

(28)

Racines ni `eme de l’unit ´e

racines ni `eme de l’unit ´e

D ´efinition

Soient n un entier naturel non nul et z un nombre complexe. On dit que z est une racine ni `eme de l’unit ´e si zn₌₁

Proposition

Soit n ∈ IN?_{. L’ensemble des racines ni `eme de l’unit ´e est :}

S = {e2ik πn /k = 0, ..., n − 1} = {1, e 2iπ

n , ...,e 2i(n−1)π

n }

dontles él éments sont distincts deux à deux.

Posons ω = e2iπn , alors las racines ni `eme de l’unit ´e sont les n nombre

(29)

Racines ni `eme de l’unit ´e

Corollaire

Si z est une racine ni `eme de l’unit ´e avec z 6= 1 alors 1 + z + z2+ ... +zn−1=0

(30)

Racines ni `eme de l’unit ´e

Exemples

1 _{Les racines carr ´ees de l’unit ´e sont}

1

e2iπ2 =eiπ= −1

2 Les racines cubiques de l’unit ´e sont      1 e2iπ3 =−1 2 +i √ 3 2 =j e4iπ3 =−1 2 − i √ 3 2 =j = j 2 et on a 1 + j + j2=0

3 _{Les racines 4i `eme de l’unit ´e sont}        1 i i2_{= −1} i3= −i et on a 1 + i + i2+i3=0

(31)

Racines ni `eme d’un nombre complexe

racines ni `eme d’un nombre complexe

D ´efinition

Soit z un nombre complexe et n un entier naturel non nul. On appelle racine ni `eme de z tout nombre complexe u v ´erifiant z = un_.

(32)

racines ni `eme d’un nombre complexe

Th ´eor `eme

Soit z = reiθ_{un nombre complexe non nul. L’ ´equation u}n₌_{z poss `ede, dans}

I

C, exactement n racines ni `eme de la forme uk = n √ r ei(θ n+ 2k π n ) =√n_{r e}iθ_n_e2ik π_n avec k = 0, ..., n − 1

(33)

Racines ni `eme d’un nombre complexe

corollaire

Soient z = reiθ_{∈ I}_{C et n ∈ IN}?_{. Alors les racines ni `eme de z sont}

u0,u0ω,u0ω2, ...,u0ωn−1 avec u0= n √ r eiθn et ω =ei2πn

(34)

Racines ni `eme d’un nombre complexe

Exemple

Calculer les racines ni ème du nombre complexe z = −4 dans les cas n = 2, n = 3, et n = 4 R éponce : On a z = −4 = 4eiπdonc u0= n √ 4eiπn Cas n = 2 : u0= 2 √ 4eiπ2 =2i et ω =e i2π 2 =eiπ= −1. Donc les racines carr és de −4 sont :

(35)

Racines ni `eme d’un nombre complexe

Exemple (suite) Cas n = 3 : On au0= 3 √ 4eiπ3 = 3 √ 4(1₂+i √ 3 2 )et ω =e i2π 3 =j Alors les racines sont :

3 √ 4eiπ3_, 3 √ 4eiπ3_ei2π3 _, 3 √ 4eiπ3_ei4π3 c’est `a dire 3 √ 4(1 2+i √ 3 2 ),j 3 √ 4(1 2 +i √ 3 2 ),j 2√3 4(1 2+i √ 3 2 )

(36)

Racines ni `eme d’un nombre complexe

Exemple (suite) Cas n = 4 :On au0= 4 √ 4eiπ4 = √ 2( √ 2 2 +i √ 2 2 ) =1 + i et ω =e i2π 4 =e iπ 2 =i Alors las racines 4i `eme de −4 sont :

(1 + i), (1 + i)i, (1 + i)(−1), (1 + i)(−i)

c’est `a dire