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Universit´ e Bordeaux1, 2009-2010. MA4011, Topologie des espaces m´ etriques.
Mme Strouse.
Devoir surveill´ e du 14 Mars.
Sans documents (1h20).
Questions de cours : Soit (E, d) un espace m´ etrique et A une partie de E.
1) Donner la d´ efinition de l’int´ erieur ` a A.
2) Soit R
2mini de la distance euclidienne : d
2((x
1, x
2), (y
1, y
2)) = p
(x
1− y
1)
2+ (x
2− y
2)
2. Trouver l’intrieur et l’adhrence de lnsemble
{(x, y) : x > 0 et y = 1 x }.
Fates de mme si R
2est muni de
dT GV(v, w) =
(0, si v=w;
d2(v,(0,0)) +d2((0,0), w) sinon .
3) SoitX =Rmuni de la distance usuelled(x, y) =|x−y|.Est-ce que l’espace mtrique (R, d) est compact ? La partie {1,2} de Rest-elle une partie compacte ? Justifier.
4) Soit R2 muni de la distanced2 de l’exercice 1, et Rde la distance discrte :
ddiscrete(v, w) =
(0, si v=w;
1 sinon .
Montrer que la fonctionf(x, y) n’est pas continue en 0. 4)Soit X =Ret soitd1 etd2 les distances
d1(x, y) =
(0, si v=w;
|x−1|+|1−y| sinon .
d2(x, y) =
(0, si v=w;
|x−3|+|3−y| sinon . (a) TrouverBd1(3,1) etBd2(3,1).
(b) Comparer les distances d1 etd2 et les topologies associes.
