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Chapitre 1
Des Définitions générale
1.1. Optimisation
Donnons d’abord les définitions de fonction convexe et de fonction semi- continue inférieurement. Soit un espace de Hilbert sur , est un sous ensemble convexe fermé dans . On considère une fonction définit sur à valeur dans , que l’on cherche à minimiser sur [10][13].
1.1.1. Définitions
Définition 1.1 On dit que la fonction ƒ : U→ R est convexe si pour tout et dans .Et dans [0, 1] on a :
( + (1 − ) ) ≤ ( ) + (1 − ) ( ) . On dit que est strictement convexe si :
∀ ≠ , ∀ ∈]0, 1[ :
( + (1 − ) ) < ( ) + (1 − ) ( ) .
Définition 1.2 Une fonction ƒ ∶ → est dite semi continue inférieurement (#. $. %) si et seulement si les ensembles
{ ∈ , ƒ( ) ≤ ' } sont fermés pour tout ' ∈ .
Proposition 1.1 ƒ est (#. $. %) si et seulement si pour toute suite ()*)*∈+ de telle que )* → ) ∈ , on a : ,%-
*→.% ƒ()*) ≥ ƒ()) .
