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La température électronique des cathodes à oxydes.
Interprétation des résultats expérimentaux
H. Dormont
To cite this version:
LA TEMPÉRATURE
ÉLECTRONIQUE
DES CATHODES A OXYDESINTERPRÉTATION DES
RÉSULTATS EXPÉRIMENTAUX
Par H.
DORMONT,
Ancien Élève de l’École
Polytechnique
Ingénieur
au Laboratoired’Électronique
et dePhysique appliquée.
Sommaire. 2014 La loi des courants résiduels
relative à une cathode à température thermodynamique T placée en face d’une anode portée au au potentiel 2014 V, est expérimentalement vérifiée dans le cas d’une cathode métallique; elle doit être
modifiée dans le cas d’une cathode à oxydes.
La présence d’une barrière de potentiel de forme simple à la surface de la cathode permet d’expliquer ce fait, ainsi que l’existence du coefficient numérique A dans l’équation de Richardson
en bon accord avec l’expérience.
Les résultats théoriques concordent quantitativement avec les résultats expérimentaux, pourvu que
l’on choisisse convenablement les dimensions de la barrière.
JOURNAL PHYSIQUE TOME
12,
JUILLET-AOUT-SEPTEMBRE1951,
.
I. -
Rappel
des résultatsexpérimentaux.
1. Lesexpériences
entreprises
pour mesurer latempérature
thermodynamique
T d’une cathode parapplication
de la loi des courants résiduels(où
I est l’intensité du courantrésiduel, Is
lecou-rant de
saturation,
- V la tensionplaque ( V positif),
q la
charge
en valeur absolue del’électron, k
lacons-tante de
Boltzmann),
ontpermis
de vérifier’cette
loi dans le cas des cathodes
purement
métalliques,
mais ont mis en évidence son inexactitude dans le
cas de cathodes à
oxydes.
M.
Champeix (1)
a montré que pour cesdernières,
l’expérience
fournit,
lorsque
V varie entre i et 2 V environ une relation dutype
où 0 est
supérieur
à T.Quand
V est inférieur à i Vla relation entre
log I
et V cesse d’êtrelinéaire;
on attribue cet effet à laprésence
d’unecharge
d’espace
nonnégligeable;
nous verrons quel’inter-prétation théorique
conduit à y superposer une autrecause de
divergence.
Quand
V estsupérieur
à 2V,
les mesures cessent d’être assezprécises
pour quel’on
puisse
valablement conclure sur la forme de larelation entre
log
I et V.(1) La température électronique des cathodes à oxydes.
Le Vide, 1950,26, p. Î63.
L’expérience
nepermet pas de vérifier
(2)
avec uneprécision
deplus
de 5 pour 10o et par suite nepermet pas
une mesureprécise
delm
(dont
lelog
n’est connu
qu’à
5 pour 10oprès)
et de 0.lm
estde l’ordre de
grandeur
du courant desaturation;
0peut
être mesuré avecplus
deprécision
en utilisantla relation différentielle
La mesure de I et de
di
(p
est larésis-d(-
Ptance de la
diode)
montre que leproduit p I
estconstant
lorsque
V estcompris
entre i et 2 Venviron et
permet
de connaître 0 à laprécision
(2
pour 10oenviron)
aveclaquelle
(3)
estvérifié;
l’écart
relatif 0 T
toujours positif,
a une valeurmaximum de l’ordre
de £
et diminuequand
la10
température
T s’élève dans le domaine900-12000
expérimentalement
étudié;
il estplus grand
pour lescathodes activées que pour celles
qui
ne l’ont pas été.Le
paramètre
0 estappelé
«température
élec-tronique
» de lacathode;
il est fonction de T et dans le domaine étudié est donnépar Ij = (]’ T + T où (]’
et T sont deux constantes et où a- 1.
2. Il est bien connu que le courant de saturation I,
d’une cathode
thermoionique
peut
êtreconvenable-ment
représenté
par711
(m
est la masse del’électron, Vs
lepotentiel
d’extrac-tion, h
la constante dePlanck). L’expérience
fournit pour le coefficient aqui
devrait êtreégal
à i si la loide Richardson était
valable,
une valeur de l’ordre de i o-3.Il
s’agit,
dans cetteétude,
d’expliquer
l’existenced’une
température
0 différente deT,
ainsi que celle du coefficient « et de rendrecompte
de l’ordre degrandeur
des valeurs mesurées pour0, lm
et oc.II. --
Hypothèse
de la barrière depotentiel.
1. Le fait que la
température
0 soitsupérieure
à latempérature
T montrequ’il
y a enrichissement du faisceauémergeant
de la cathode en électronsrapides.
On aproposé
d’expliquer
cetenrichisse-ment,
ainsi que l’existence du coefficient « par laprésence,
à la sortie de lacathode,
d’une barrière depotentiel
de formeplus
ou moinscompliquée
etdonnant lieu à un effet de « tunnel ». Dans une
telle
barrière,
lepotentiel
V estuniquement
fonc-tion de la coordonnée z(l’axe
des z est normal à la surface de lacathode);
V est’ nul dans lemétal;
V = - a(a
constantepositive)
hors de lacathode;
dans la zone de raccordement V = V(z).
L’effet de cepotentiel
se traduit par l’existence d’uncoeffi-cient de transmission £9 fonction
uniquement
dela
composante
Vz
parallèle
à Oz de la vitesse del’électron incident.
Cette
hypothèse
permet
de déduire des résultatsexpérimentaux
desrenseignements
sur lecoeni-cient de transmission C.
2. Les électrons libres sont
répartis
dans le métal suivant la loi de Fermi :dN est le nombre d’électrons par unité de volume
ayant
pourcomposantes
de vitesseVx,
Vy,
Vz
à d
V,x.,
dVJ
et dVz
près;
A est une constanteuni-verselle A = 3
( h
.Wm
dépend
du nombre Nd’électrons libres par unité de volume et de la
température;
enfait, W,,,
varie très peu en fonctionde T
(moins
de 10 pour i oolorsque
T passe de oà
10000)
et l’onpeut
sans inconvénients le supposerindépendant
deT;
Wm, est alors unecaractéristique
du métal dont la valeur est de l’ordre de 9 eV
(cas
dutungstène).
Le nombre d’électrons de vitesse donnée
qui
frappent
par unité detemps
l’unité de surface decathode et réussissent à franchir la barrière de
potentiel
estces électrons
perdent,
à la traversée de labarrière,
l’énergie
qa au détriment de leur vitessele long
de Oz
Le nombre d’électrons sortant avec la vitesse
Vx
V,
Vz estdonc,
par unité de temps et de surface de cathodeSi le
champ
retardateur est créé par uned.d.p.
uentre cathode et
anode,
les électronsqui
atteignent
la
plaque
sont, si l’onnéglige
l’effet de lacharge
d’espace,
ceux pourlesquels
et la densité de courant résiduel est
Posant
2qE = m V; (qE
estl’énergie
de trans-lation lelong
de Oz des électronsémergeants)
etLe courant maximum sortant en l’absence de
charge d’espace (courant
desaturation)
estgn-Wnt
est le travail d’extractionqui
est de l’ordrede i eV pour les cathodes à
oxydes;
kT
est kTdonc de l’ordre de 12 à 10000 K et
l’exponentielle
figurant
dans(12)
et(13)
est extrêmementpetite,
le
log
par lepremier
terme de sondéveloppement;
on ohtient ainsi
Ces formules seraient obtenues directement par
substitution
d’unerépartition
dutype
Boltzmann àcelle de Fermi-Dirac.
3. Les
équations (2)
et(14)
doivent êtreiden-tiques
à laprécision près
desexpériences lorsque n
varie entre i est 2V;
il doit en être de même de(3)
et de la dérivée de
(14),
cequi
nécessite que l’onait à
quelques
pour-cent
près
lorsque u
estcompris
entre o,1 1 et 0,2 environ(a
est de l’ordre de 1 o Vdans une cathode à
oxydes,
puisque qa
- Wm = oVet Wln == 9
eV) :
puisque
I, et1/11
sont du niême ordre degrandeur.
1
est,d’après
sadéfinition,
liée directement aucoefficient de transmission C,
l’équation (16) signifie
que l’on connaît non seulement l’ordre de
grandeur,
mais encore l’allure de la variation de C dans unintervalle déterminé : c’est une condition
qu’il
estnécessaire
d’imposer
à la barrière depotentiel qui
crée C.Supposons
doncqu’une
barrière depotentiel
nousfournisse un coewcient £i conduisant à une fonction
/
satisfaisant à la condition
(16)
avecpour À
et jiles ordres de
grandeur
requis;
on pourra écrired’après (14)
U est
compris
entre iet 9, V,
doncentr- a
et2a.
10 10
Dans la
première intégrale
onpeut
remplacer /
parsa valeur
(16) (exacte
àquelques
pour-cents
près),
ce
qui
donne avec la mêmeprécision :
ou encore
et en
posant
dansl’intégrale
La fonction
J, qui
est un coeflicient de transmission estcontinue,
etreprésentable
auvoisinage
de la valeur 0, ’J. par undéveloppement
en sériequi
restevalable pour x
supérieur
à 0, ’J..Remplaçons
l’inté-grale par
sa valeurasymptotique,
cequi
estpossible,
puisque
k 11
estgrand,
il vient alorsk
Tf
(0,2)
est donnée par la relation(16)
danslaquelle
on
remplace -
par o,,?,; en substituantcette valeur(24)
a
devisent
T=0
est de l’ordre de_1 ;
(25)
coïncide avec la1)
expérimentale
(5),
avec
uneprécision
de l’ordre loiexpérimentale
(5),
avec uneprécision
de l’ordrede
grandeur
de celle desexpériences,
si la deuxièmeexponentielle
est de l’ordre dequelques
dixièmesau
plus,
cequi
est vérifié saufsi u
se trouve au713
voisinage
immédiat de o,2. Cela n’est pas biengênant
puisque
la limitesupérieure,
voisine de o,2,de
l’intervalle
danslequel
sont effectuées des mesuresayant
uneprécision
suffisante, ne saurait être déter-minée d’unefaçon
rigoureuse.
Remarquons que
nous avonssupposé
quel’inté-grale figurant
dans(23)
se confondait avec lepremier
terme de son
développement
asymptotique :
il enest
pratiquement
toujours
ainsi sauf siE
diffèrea
trop
rapidement
de la forme(16)
lorsque
E
croît àa
partir
de la valeur o,?. S’il en était ainsi on seraitq (2a
,/ j za
2013 u)u)
amené ’à
imposer
àe-
-2 lo a -u)
de demeurerplus
petit
que la valeur(quelques
dixièmes)
que nous avonsenvisagée
et par suite à restreindre l’intervalledans
lequel (25)
et(5)
se confondent(la
coïncidencedevenant mauvaise
lorsque
approche
trop
près
dea
la valeur
0,2).
Ces résultats montrent que la condition
(16)
estpratiquement
suffisante pour que les faitsexpé-rimentaux relatifs à l’existence d’une
température
électronique
de cathode soientexpliqués
avec unordre de
grandeur
correct.4. Le courant de saturation est donné par
(15),
qui
s’écritLa condition
(16)
étantsupposée
vérifiée,
cequi
vient d’être dit au
paragraphe
3s’applique
à ladeuxième
intégrale
et l’onpeut
écrire,
compte
tenu de
(18) :
Puisque
I,
etlm
sont du même ordre degrandeur,
qa
Ime-10k0
est trèspetit
devantI.
et l’on doit avoirtoujours
avec uneprécision
de l’ordre dequelques
pour-cent.
La condition
(28)
doits’ajouter
à la condition(16)
imposée à i
pour quel’explication
des faits constatésexpérimentalement
etrappelés
en I soit valable.Il est
impossible
deremplacer
(28)
par uneexpres-sion
asymptotique,
car une telleexpression
dépend
de l’allure
de f
auvoisinage
de zéro et cette allureest
précisément
inconnue.5. En résumé
l’hypothèse
de l’existence d’une harrière depotentiel
nous apermis
de trouver les conditions que doivent vérifier(avec
uneapproxima-tion de l’ordre de
grandeur
de laprécision
desmesures)
le coefficient de réflexion. Il n’est paspossible
d’en déduire l’allure de la barrière depotentiel :
nous allons essayer une barrière de formesimple
et montrerqu’elle
fournit unereprésentation
approchée
de la barrière vraie en vérifiant que(16)
et
(28)
sont satisfaites avec une bonneapproxi-mation.
III. 2013 Essai d’une barrière
de forme
particulière.
1. La barrière la
plus simple
donnant lieu simul-tanément à uneperte
d’énergie
qa et à un effet de« tunnel )) est celle
qui
a la forme suivante :(les
potentiels
vraisqui s’opposent
à la sortie des électrons sont évidemmentnégatifs
et valent - aet -
b).
Le coenicient de
transparence
conduit(voir
Appendice)
à lafonction /
E
suivante :a
« tunnel » à celle de la barrière a et où 1 est la
longueur
du « tunnel ».(29)
est valablequel
que soitc’est-à-dire si
l’énergie
de l’électronémergeant
estsupérieure
à q (b
-a)
ou encore sil’énergie
de l’électron incident estsupérieure
à la hauteur(énergétique)
dutunnel,
le terme sous le sh devientimaginaire
pur et le sh2 devient le sin2 d’unequantité
réelle.La condition
(16)
montre quelorsque E
variea
de 0,1 I à
o,2 i
reste nettementpetit
devantl’unité,
et que l’on
peut
sans erreurappréciable
remplacer
dans cet intervalle la
fonction
(29)
parPour étudier
plus
commodément cettefonction,
posonsIl vient en substituant
En ne conservant que les termes du
premier
degré
dans ledéveloppement
des radicaux et encomparant
cesdéveloppements
à celui del’expo-nentielle limité
également
à son terme dupremier
degré,
on met(32)
sous la forme(33) :
(32)
et(33)
sontidentiques
àquelques
pour-cent
près
pourvuque 03BE -
1,15
ne soit pas troppetit
etque : h
l /2
mqa (03BE - i, 15)
-200( - 1 1, 15)2
soit
négli-geable
devant l’unité : Il suffit pour que nouspuissions
laisser de côté les termes du deuxième ordre dans lesdéveloppements
qui
permettent
de passer de(32)
à(33)
queRevenant à la
variable E
la relation(33)
s’écrita
Cette
équation
fournit une fonction deE
qui
a
possède
avec uneprécision
acceptable,
la forme(16).
L’identification des coefficients aet
cond uiàdeux
équations qui
déterminentOn ne
peut
les résoudrequ’approximativement
etl’on constate qu5 l’on a pour solution
Moyennant
ces valeurs les conditions(34)
sontvérifiées,
l’hypothèse
faite sur la confusion du shet de
l’exponentielle
l’estégalement
et(35)
devient(37)
est en bonne concordancc avec(18)
et(19).
Ce résultat montre que la barrière
proposée permet
de satisfaire la condition
(16), qui
est laplus
impor-tante des deux relations que nous devons vérifier.
La condition
(28)
ne soulève pas de difficultés, comme le montre un raisonnementqualitatif
simple :
si i
avait la forme(17)
munie des valeurs(18)
pour sescoefficients,
dans l’intervalle o - o, Icomme elle
l’a,
d’après
ce que nous venons devoir,
dans l’intervalle 0,120130,2,l’intégrale figurant
dans
(28)
aurait pour valeur)B k 0
et(28)
seraitq
satisfait
moyennant
lm = Is.
Laprésence
du termecn y/ "
fait
tendre laf onction f
verszéro,
lorsque -
,
V a
atend vers
zéro,
et diminue la valeur del’intégrale
(28)
03BB k 0
qui
se trouve ainsiégale
à-
multiplié
par un qfacteur r inférieur à i. Il est encore
possible
desatisfaire
(28)
ensupposant
que -
estégal
à ce Im.facteur r. Autrement dit l’indétermination de la
quantité Is Im
permet
del’ajuster
defaçon
que(28)
soit vérifiée. La seule réserve est que
lm
etIs
soient du même ordre degrandeur
(ce
que nous avonsdéjà supposé
et quel’expérience
confirme),
c’est-à-dire que r ne soit pas troppetit.
On se rendcompte
assez facilement que cette condition est vérifiée :la différence entre la valeur
de i
fournie par(17)
et la forme réelle
provient
essentiellement duterme
E
la fonction vraie tend donc vers zéroa
.avec une
tangente
verticale et se raccorde à lafonction
(17)
aupoint
o,1; l’aire sous la courbe n’est donc pasprofondément
modifiée. Un calculplus
précis
surlequel
nous n’insisterons pas confirme ce résultat et montre que r est de l’ordre de o,8.Puisque
f (E/a)
tend vers zérolorsque
E tendvers
zéro,
l’enrichissement du faisceauémergeant
de la cathode en électrons très lents est
plus
faibleque la loi
(17)
ne le laisserait supposer : il y a là715
charge
d’espace
dont nous avonsdéjà parlé
en I(§ 1)]
pour que
l’expérience
nepermette pas
de trouver,pour les très faibles valeurs
de u,
une loi des courantsrésiduels de la forme
(2).
2. Revenons aux formules
(36),
elles nousper-mettent de
préciser
l’ordre degrandeur
de la barrièrede
potentiel :
nous savonsdéjà
que a est voisinde i o V, il résulte de la valeur
de 03BE
que b est voisinde
13,5 V.
Lalongueur 1
du tunnel vautC’est une valeur
qui
est de l’ordre degrandeur
des dimensionsatomiques,
cequi
est tout à faitvraisemblable.
3. Nous avons
signalé
en 1(§ 1)
que 0 variaitavec T suivant la loi
où 03C3 i. La relation
(39)
n’est valableexpérin1en-talement que si T’ varie entre goo et
12000 K;
posons donc
où
To =
i ooooK,
defaçon
à ramenerl’origine
desaxes de coordonnées
T’,
0’ dans larégion
où se fontles
expériences.
Il vientalors,
si l’on se borne aupremier
terme dudéveloppement
du dénominateur.Comptc
tenu de(39), qui
s’écritégalement
0’ = a T’ +r’,
ilvient,
en se bornanttoujours
auxtermes du
premier
degré :
Le coefflcient de T’ ne
peut
êtrenul,
puisque
lesquantités
a-,T’,
To
sontpositives
etpuisque 7
i ;la
quantité
0 -;;,T
varie donc avec latempérature ;
elle diminuequand
celle-ci s’élève. En nousrepor-tant à
(16)
et(17)
nous constatonsque 03BC/a
varie ena
fonction de T comme
--w-; 0 - T’
; il en résulte que labarrière de
potentiel
doit être modifiée par unevariation de
température,
car laquantité
1::
a été[voir équat. (35)]
trouvéeégale
àLa valeur
de 1::
est d’ailleurs très voisinea
dans
(43)
restant
faibles devant ce dernier. Lavariation de 0 en fonction de T nous conduit donc à penser que la
quantité
diminue
lorsque
latempérature
s’élève. Les troisparamètres
a, b
et 1 varient sans doute simultané-ment et l’on nepeut
rien afl’lrmer de certain surleurs variations propres en fonction de la
tempéra-ture.
Cependant,
si l’on admet que la barrière depotentiel
est due à une couche double adsorbée àla surface de la
cathode,
il est raisonnable de penser que lalargeur
1 de la barrière diminuequand
latempérature
augmente,
puisque
la distance moyenne entre les atomes décroîtquand
l’agitation thermique
croît.Conclusion.
En
partant
des résultatsexpérimentaux
précités,
nous avons montré que :
L’existence d’une
température
électronique
des cathodes àoxydes supérieure
à leurtempéra-ture
thermodynamique,
peut
s’expliquer
par laprésence,
à la surface de lacathode,
d’une barrièrede
potentiel
dutype
« àcrête » ;
lalargeur
decette
barrière,
supposée
rectangulaire,
serait d’environ 2,7Å,
et sa hauteur au-dessus dupotentiel
dans le
métal,
de l’ordre de13,.,5
V,
soit environ4,5
V au-dessus du niveau de Fermi.APPENDICE.
Démonstration de la formule
(29).
1.’équation
deSchrôdinger
s’écrit par un électrond’énergie -S
la barrière de
potentiel
proposée
en III(§ 1)
corres-pond
à la fonction U suivante :et
l’équation
(45)
devientDans cette
équation, l’énergie 1
estl’énergie
6 = o si z o, 6
représente
l’énergie cinétique
del’électron
incident,
l’énergie
cinétique
de l’électronémergeant est alors
Nous nous intéressons à un faisceau d’électrons
tombant sur la barrière de
potentiel.
Un tel faisceaudoit être
représenté
à l’infini par des ondesplanes :
pour z infini
négatif
onpeut
avoir deux ondes sepropageant
en sensinverse,
car la réflexion sur labarrière est
possible (le
point z
= - oo est unesource, mais rien ne
l’empêche
d’êtreégalement
unpuits),
parcontre,
pour z infinipositif
on nepeut
avoir
qu’une
ondeplane (ce point
est unpuits
nécessairement);
comme les solutions élémentairesde
(47)
sontprécisément
des ondesplanes,
ce sontelles
qui
sont les solutions intéressantes. Lasolu-tion 03C8
peut
donc s’écrire :le raccord de ces solutions pour z = u et z ==- 1
impose
1 ce
qui
permet
de mettrepartout
en facteur leterme
e-iO’l’T+[J.1J)]
etLe raccord des dérivées normales
(dérivées
parrapport
àz) impose
03B5
représente
l’énergie
cinétique
totale de l’électron incident. Si l’onappelle
&1
sonénergie
cinétique
detranslation le
long
de z eti’j
l’énergie cinétique
de translation lelong
de z de l’électronémergeant,
les dernièreséquations (49) (celles
qui
sont entreparenthèses)
s’écrivent,
compte
tenu,
de(50)
Supposons
que03B5’1
soit inférieur à q(b
-a)
c’est-à-dire que
°1
soit inférieur àqb, v2
2 estnégatif
et ’.i2
estimaginaire
pur : nous poseronsi,), == )’,
cequi
donneLe
système
d’équations (51), (52)
peut
être résoluen
A,
Bl B2,
C,
il fournit lesamplitudes
des ondescorrespondantes, lorsque
l’onde incidente al’ampli-tude 1;
enparticulier
A estl’amplitude
de l’onderéfléchie,
C celle de l’onde transmise. AA* est donc le coefl’lcient de réflexion et I - AA* le coefficientde transmission. CC* n’est pas tout à fait
égal
aucoeff’lcient de transmission car l’onde transmise n’a
pas la même
longueur
d’onde que l’ondeincidente,
l’égalité
du llux entrant et du flux sortant montreque
et par suite le coefficient de transmission ’è,’ est
égal
àVI
on vérifie aisément en résolvant(51),
v1
(52)
que(56)
est effectivement vérifié et que, touscalculs faits ’S = I - AA* est donné par
en
remplaçant
les v par leurs valeurs(54)
et(55),
on obtientSi l’on
exprime
03B5’1
en électrons volts enposant
6’j
=qE
et si l’on faitsystématiquement
apparaître
le
rapport E
dans(58),
on obtient la valeur de Ca
en fonction
de E
ou
Eest,
enélectrovolts,
l’énergie
a
de translation
le
long
de z des électronsémergeants.
Si l’on sereporte
àl’équation
(11)
on constate quec’est
précisément
la définition de laf onction /.
On adonc,
enposant 2013
= 03BE :
a
la relation
