Ondes sonores dans les fluides
Lyc´ee Montesquieu, Le Mans
Plan du cours - Ondes sonores dans les fluides
I. Mise en ´equation des ondes sonores
1. L’approximation de l’acoustique
2. Les ´equations de base
3. L’´equation de propagation pour la surpression
II. Solutions aux ´equations de d’Alembert
1. Les ondes planes progressives harmoniques (OPPH)
2. L’onde sph´erique
III. Les aspects ´energ´etiques
1. L’intensit´e acoustique
2. La densit´e volumique d’´energie
Plan du cours - Ondes sonores dans les fluides
I. Mise en ´equation des ondes sonores
1. L’approximation de l’acoustique
2. Les ´equations de base
3. L’´equation de propagation pour la surpression
II. Solutions aux ´equations de d’Alembert
1. Les ondes planes progressives harmoniques (OPPH)
2. L’onde sph´erique
III. Les aspects ´energ´etiques
1. L’intensit´e acoustique
2. La densit´e volumique d’´energie
L’approximation de l’acoustique
L’acoustique
L’acoustique est une vibration des particules de mati`ere (´echelle
m´esoscopique), qui se propage.
Dans le cas du fluide, l’onde est longitudinale.
Le domaine audible correspond `a 20 Hz - 20 kHz.
-> Illustration d’une onde sonore dans un tuyau
La pression P(x, t) est alors d´ecompos´ee :
P
(x, t)
=
P
0
+
p
1
(x, t)
L’approximation de l’acoustique
L’acoustique
L’acoustique est une vibration des particules de mati`ere (´echelle
m´esoscopique), qui se propage.
Dans le cas du fluide, l’onde est longitudinale.
Le domaine audible correspond `a 20 Hz - 20 kHz.
-> Illustration d’une onde sonore dans un tuyau
La pression P(x, t) est alors d´ecompos´ee :
P
(x, t)
=
P
0
+
p
1
(x, t)
L’approximation de l’acoustique
On ´ecrit alors :
P(x, t) =
P
0
+
p
1
(x, t)
µ(x, t) =
µ
0
+
µ
1
(x, t)
v(x, t) =
✚
❩
v
✚
❩
0
+
v
1
(x, t)
L’approximation de l’acoustique
p
1
P
0
≪ 1
µ
1
µ
0
≪ 1
v
1
c
≪ 1
Pour une conversation normale (60 dB)
p
1
P
0
≈ 10
Plan du cours - Ondes sonores dans les fluides
I. Mise en ´equation des ondes sonores
1. L’approximation de l’acoustique
2. Les ´equations de base
3. L’´equation de propagation pour la surpression
II. Solutions aux ´equations de d’Alembert
1. Les ondes planes progressives harmoniques (OPPH)
2. L’onde sph´erique
III. Les aspects ´energ´etiques
1. L’intensit´e acoustique
2. La densit´e volumique d’´energie
Les ´
equations de base
Acoustique =
vibration du fluide
-> m´ecanique des fluides
+ compression-d´etente
-> thermodynamique
Hypoth`eses :
- approximation acoustique
- probl`eme 1D
- poids non pris en compte
Les ´
equations de base
Equation du mouvement (PFD) :
µ
dv
dt
= −
∂P
∂x
se simplifie en
µ
0
∂
v
1
∂t
= −
∂
p
1
∂x
Conservation de la masse :
div(µ−
→
v
) +
∂µ
∂t
se simplifie en
µ
0
∂v
1
∂x
+
∂µ
1
∂t
= 0
Relation thermodynamique (compression adiabatique
r´eversible) :
χ
s
=
1
µ
∂µ
∂P
S
se simplifie en
µ
1
= (
µ
0
χ
s
)p
1
Les ´
equations de base
Equation du mouvement (PFD) :
µ
dv
dt
= −
∂P
∂x
se simplifie en
µ
0
∂
v
1
∂t
= −
∂
p
1
∂x
Conservation de la masse :
div(µ−
→
v
) +
∂µ
∂t
se simplifie en
µ
0
∂
v
1
∂x
+
∂
µ
1
∂t
= 0
Relation thermodynamique (compression adiabatique
r´eversible) :
χ
s
=
1
µ
∂µ
∂P
S
se simplifie en
µ
1
= (
µ
0
χ
s
)p
1
Les ´
equations de base
Equation du mouvement (PFD) :
µ
dv
dt
= −
∂P
∂x
se simplifie en
µ
0
∂
v
1
∂t
= −
∂
p
1
∂x
Conservation de la masse :
div(µ−
→
v
) +
∂µ
∂t
se simplifie en
µ
0
∂
v
1
∂x
+
∂
µ
1
∂t
= 0
Relation thermodynamique (compression adiabatique
r´eversible) :
χ
s
=
1
µ
∂µ
∂P
S
se simplifie en
µ
1
= (
µ
0
χ
s
)
p
1
Plan du cours - Ondes sonores dans les fluides
I. Mise en ´equation des ondes sonores
1. L’approximation de l’acoustique
2. Les ´equations de base
3. L’´equation de propagation pour la surpression
II. Solutions aux ´equations de d’Alembert
1. Les ondes planes progressives harmoniques (OPPH)
2. L’onde sph´erique
III. Les aspects ´energ´etiques
1. L’intensit´e acoustique
2. La densit´e volumique d’´energie
Equation de d’Alembert
Le syst`eme d’´equation est :
µ
0
∂v
∂t
1= −
∂p
∂x
1µ
0
∂v
∂x
1= −
∂µ
1∂t
µ
1
= (µ
0
χ
s
)
p
1
La combinaison de ces ´equations aboutit `a l’´equation de
d’Alembert
Equation de d’Alembert 1D en acoustique
∂
2
p
1
∂x
2
−
1
c
2
∂
2
p
1
∂t
2
= 0
avec
c
=
1
õ
0
χ
s
Equation de d’Alembert
Equation de d’Alembert 3D en acoustique
A 3 dimensions spatiales (admise) :
∆
p
1
−
1
c
2
∂
2
p
1
∂t
2
= 0
avec
c
=
1
õ
0
χ
s
Cas particulier du gaz parfait : Pµ
−γ
= cte donne
C
=
s
γRT
0
M
gaz
Dans l’air, la vitesse du son ne d´epend QUE de la temp´erature ! !
Plan du cours - Ondes sonores dans les fluides
I. Mise en ´equation des ondes sonores
1. L’approximation de l’acoustique
2. Les ´equations de base
3. L’´equation de propagation pour la surpression
II. Solutions aux ´equations de d’Alembert
1. Les ondes planes progressives harmoniques (OPPH)
2. L’onde sph´erique
III. Les aspects ´energ´etiques
1. L’intensit´e acoustique
2. La densit´e volumique d’´energie
Plan du cours - Ondes sonores dans les fluides
I. Mise en ´equation des ondes sonores
1. L’approximation de l’acoustique
2. Les ´equations de base
3. L’´equation de propagation pour la surpression
II. Solutions aux ´equations de d’Alembert
1. Les ondes planes progressives harmoniques (OPPH)
2. L’onde sph´erique
III. Les aspects ´energ´etiques
1. L’intensit´e acoustique
2. La densit´e volumique d’´energie
Solutions OPPH
Solutions ondes planes progressives harmoniques
p
+
1
(x, t) = P
1M
cos(ωt − kx + ϕ)
OPPH(+)
avec ω = kc
p
−
1
(x, t) = P
1M
cos(ωt + kx + ϕ
′
)
OPPH(-)
avec ω = kc
En injectant la solution OPPH(+) dans les ´equations de base, on
en d´eduit la structure de l’onde :
l’onde est longitudinale
p
1
(x, t) = Z
c
.v
1
(x, t) avec Z
c
= µ
0
c
=
q
µ
0χ
Sl’imp´
edance
acoustique
Solutions OPPH
Solutions ondes planes progressives harmoniques
p
+
1
(x, t) = P
1M
cos(ωt − kx + ϕ)
OPPH(+)
avec ω = kc
p
−
1
(x, t) = P
1M
cos(ωt + kx + ϕ
′
)
OPPH(-)
avec ω = kc
En injectant la solution OPPH(+) dans les ´equations de base, on
en d´eduit la structure de l’onde :
l’onde est longitudinale
p
1
(x, t) = Z
c
.v
1
(x, t) avec Z
c
= µ
0
c
=
q
µ
0
