Chapitre n°6 : Loi normale

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Chapitre n°6 : Loi normale

Objectifs.

O17- Utiliser la calculatrice ou un tableur pour calculer une probabilité dans le cadre d'une loi normale [La loi normale peut être introduite à partir de l'observation, à l'aide d'un logiciel, de la loi binomiale] [Les élèves doivent connaître l'allure de la courbe de densité, ainsi que sa symétrie. L'expression de la densité de la loi normal n'est pas un attendu du programme][Des exemples issus des autres disciplines montrent que la loi normale permet de modéliser des situations concrètes]

O18-Connaître et interpréter graphiquement une valeur approchée de la probabilité de l’événement {X ∈ [µ – 2 ;µ + 2]} lorsque X suit la loi normale d'espérance µ et d'écart-type  [On fait percevoir l'information apportée par la valeur de l'écart-type. Seul l'intervalle de fluctuation « 2 » au seuil approximatif de 95 % est un attendu.

L'intervalle « 1,96 » ainsi que les exemples d'autres seuils peuvent être mentionnés]

Activité d'approche n°1

Une cible carrée de côté 30 cm, est divisée en 4 zones rectangulaires. Les points gagnés sur chaque rectangle sont respectivement de 5 (zone « 1 »), 20 (zone « 2 »), 20 (zone

« 3 »), et 50 (zone « 4 »). La zone « 1 » est un carré de 20 cm de côté. Les zones « 2 » et « 3 » sont des rectangles de

longueur 20 cm et de largeur 10 cm. La zone « 4 » est un carré de côté 10 cm.

On estime que la probabilité de toucher une zone est proportionnelle à l'aire de cette zone.

1. On nomme X4 la variable aléatoire associée à l’événement « j'atteins la zone

« 4 » (hachurée verticalement), X3 la variable aléatoire associée à l’événement

« j'atteins la zone « 3 » » (hachures quadrillage) , etc.

a. Calculez les probabilités d'atteindre chacune des bandes.

b. Calculez la probabilité d'atteindre les zones « 2 » ou « 3 ».

2. Un joueur lance une fléchette 5 fois. On s'intéresse à la probabilité qu'il touche la zone « 4 » k fois, k étant un nombre entier entre 0 et 5. On nomme Y₅ la variable aléatoire associée au nombre de fois où le joueur touche cette zone.

a. Quelle loi est suivie par Y5 ?

2

3 4

1 C

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b. Calculez P(Y5=0), P(Y5=1), P(Y5=2), P(Y5=3), P(Y5=4) et P(Y5=5) (On pourra éventuellement faire un arbre pondéré ou utiliser la calculatrice).

c. Calculez P(Y50), P(Y51), P(Y52), P(Y53), P(Y54) et P(Y55). Que signifie chacune de ces probabilités ?

d. Calculez P(Y52 et Y₅4 ).

3. On se demande comment évolue Y5 si on augmente le nombre de lancers : le joueur lance la fléchette 10 fois, puis 100 fois, puis 1000 fois... On nomme Y₁₀ la variable aléatoire « je touche le disque central en lançant 10 fois la fléchette », Y100 la variable aléatoire « je touche le disque central en lançant 100 fois la fléchette » et Y1000 la variable aléatoire « je touche le disque central en lançant 1000 fois la fléchette »,

a. En utilisant un outil numérique, calculez P(Y10=0), P(Y10=2), P(Y10=4), P(Y10=6), P(Y10=8) et P(Y10=10).

b. Calculez P(Y100=80). Pourquoi P(Y100=80) est plus petite que P(Y10=8) ? c. En utilisant un outil numérique, construisez le diagramme des probabilités de Y100. Que semble dessiner l'histogramme obtenu ?

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Cours n°1

I) Loi binomiale (rappel)

Définition n°1 : contexte d'application de la loi binomiale

Si on répète n fois la même expérience à deux issues (succès ou échec) avec une probabilité de succès de p, (et donc une probabilité d'échec de …...) , on peut définir la variable aléatoire associée au nombre k de succès parmi les n expériences aléatoires identiques et indépendantes.

Cette variable aléatoire peut prendre toutes les valeurs entières comprises entre …...

Cette variable aléatoire suit une loi binomiale de paramètres n et p.

Exemple n°1 : Utilisation de la calculatrice ou du tableur p=1

9 , n = 1000,

a. On cherche P(X100). Cela correspond à la somme de toutes les probabilités P(X=0) + P(X=1) + … + P(X=100)

TI (84+) : (on rentre dans l'ordre n, p et la limite)

2ND VARS flèche bas jusqu'à → B:binomcdf( → ENTER → 1000 , 1 ÷ 9 , 100 ) → ENTER

(on obtient 0.142331343)

Casio (Graph 35+) : (on rentre dans l'ordre la limite, n et p)

STAT → EXE → F5 (DIST) → F5 (BINM) → F2 (Bcd) flèche vers le bas → (atteindre x) → 100 → EXE → 1000 → EXE → 1 ÷ 9 → EXE → EXE

(on obtient 0.142331343)

b. On veut le tableau de valeurs et la représentation graphique de la fonction de répartition :

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TI (84+) :

( pour être en mode fonction : MODE Flèches vers le bas jusqu'à la ligne → FUNC PAR POL SEQ Sélectionner → FUNC )

On utilise les listes

1) Remplissage de la première liste avec les entiers de 1 à 500 :

STAT → ENTER se positionner sur → L1 → 2ND STAT ( LIST ) se → positionner sur OPS se positionner sur → 5:seq → ENTER → X,T,,n ,

X,T,,n , 0 , 500 , 1 ) → ENTER

2) Remplissage de la deuxième liste avec les valeurs de la distribution : se positionner sur l'en-tête de la deuxième liste (éventuellement la nommer s'il n'y a pas de nom) → 2ND VARS ( DISTR ) se positionner sur →

A:binompdf( → ENTER → 1000 , 1 ÷ 9 , → 2ND STAT ( LIST ) → ENTER

→ ) → ENTER (le calcul est alors assez long – les valeurs apparaissent dans la deuxième colonne) → 2ND Y= ( STAT PLOT ) → ENTER (pour sélectionner le premier plot) sélectionner → ON → ENTER dans Type, sélectionner le → nuage de points dans Xlist, vérifier que c'est la liste L1 dans Ylist, → → vérifier que c'est la deuxième liste → WINDOWS Dans Xmin→ : 0, dans Xmax : 500, dans Xscl : 20, dans Ymin : 0, dans Ymax : 0.05, dans Yscl : 0,005

→ GRAPH : le graphe apparaît.

Casio (Graph 35+) : On utilise les listes

1) Remplissage de la première liste avec les entiers de 1 à 500 :

MENU STAT → EXE se positionner sur List1 → → OPTN → F1 ( LIST ) → F5 ( SEQ ) → X,,T , X,,T , 0 , 500 , 1 , ) → EXE

2) Remplissage de la deuxième liste avec les valeurs de la distribution : MENU STAT → EXE se positionner sur List2 → → F5 ( DIST ) → F5 ( BINM ) → F1 ( Ppd ) se positionner sur List → → F1 ( LIST ) → 1 → EXE → se positionner sur NumTrial → 1000 → EXE → 1 ÷ 9 → F2 ( LIST ) → 2 →

EXE → EXE (attention : le temps de calcul est assez long) → EXIT (le

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tableau de valeurs apparaît ici) → F1 ( GRAPH ) → F1 ( GPH1 ) (le graphe se dessine)

c. On cherche P(X100).

P(X100).= 1 – …...

Or, P(X...) = …...

Donc P(X100) = 0,8574

d. On cherche P(X100 et X>90).

P(X100 et X>90) = P(X100) – P(X90)= …...

P(X100 et X>90) = 0,1296

Exercice n°1

En France, 33 % des personnes sont membres d'au moins une association. On interroge au hasard 400 personnes.

1. Calculez la probabilité que 130 personnes exactement, parmi les 400 interrogées, soient membres d'au moins une association.

2. Calculez la probabilité qu'au moins 130 personnes, parmi les 400 interrogées, soient membres d'au moins une association.

Exercice n°2

Dans une grande entreprise française, afin de faciliter leur travail, 30 % des salariés utilisent le site intranet de l'entreprise pour échanger des idées et des expériences avec leurs collègues dans le monde. On interroge au hasard 4 salariés de cette entreprise et on note S l'évènement « le salarié utilise le site intranet de l'entreprise » et E l'évènement contraire.

1. Construire l'arbre associé au schéma de Bernouilli correspondant à la situation.

2. Calculer la probabilité qu'aucun salarié n'utilise le site intranet.

3. Soit X la variable aléatoire associé au nombre de salariés consultant le site intranet. Calculez P(X = 1).

4. Calculer P(X = 2), P(X = 3) et P(X = 4).

5. Calculer P(X < 3).

6. Calculer P(X  3 et X > 1 ).

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Activité d'approche n°2

On reprend la cible de l'activité n°1, mais on s'intéresse maintenant à la variable aléatoire Z qui associe la distance qui sépare le point d'impact de la fléchette avec le point C.

1. Quelles sont les valeurs possibles de Z ?

2. Qu'est-ce qui différencie cette variable aléatoire de celles que l'on a rencontrées jusqu'à présent ?

3. On a vu (activité n°1) que si le nombre d'essais dans la loi binomiale tendait vers l'infini, une nouvelle loi de probabilité apparaissait : une courbe 'en cloche'. Cette loi de probabilité s'appelle la loi normale. On admettra qu'elle peut être utilisée si le nombre de paramètres influant l'évènement est grand, et si la probabilité de l'évènement n'est pas trop faible.

Sur la calculatrice ou le tableur, les manipulations sont les mêmes, le seul changement étant la sélection de la loi :

TI84 : 'normalpdf(' et 'normalcdf(', Casio graph35+ : F5 ( DIST ) → F1 ( NORM ) Tableur : LOI.NORMALE

Dans notre exemple, on suppose, pour un joueur donné, que la moyenne des lancers est à une distance de 10 cm, et que l'écart-type est de 12 cm.

a. Calculez la probabilité que la distance au centre soit supérieure à 10 cm.

b. Calculez la probabilité que la distance au centre soit supérieure à 20 cm.

c. Calculez la probabilité que la distance au centre soit inférieure à 10 cm.

d. Calculez la probabilité que la distance au centre soit inférieure à 5 cm.

Cours n°2

II) La loi normale.

Propriété n°1 : caractérisation de la loi normale La loi normale est caractérisée par deux valeurs : - son espérance µ .

- son écart-type  .

La courbe de la loi normale a une forme en 'cloche' : Exemple n°2

Une variable aléatoire Z suit la loi normale de moyenne 10 et d'écart-type 2.

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À partir de la figure, donnez : P(Z < 8) = ...

P(10 < Z < 13) = ...

P(Z > 14) = ...

P(Z  8) = ...

P(Z  14) = ...

P(8  Z  14) = ...

Exemple n°3 :

Une variable aléatoire X suit la loi normale d'espérance 320 et d'écart-type 15.

a. Calculez (au dix-millième près) P(X > 310) = ...

b. Calculez (au dix-millième près) P(X  340) = ...

Exercice n°3 : Ex.1 et 2 p.183 Exercice n°4

Ex.3 et 4 p.183 Exercice n°5*

Ex.11 p.183 Exercice n°6*

Ex.41 p.186

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Exercice n°10*

Ex.44 p.186

Exercice n°11*

Ex.78 p.193 Exercice n°13**

Ex.56 p.188 Exercice n°14**

Ex.61 p.189

Exercice n°15** (Préparation au bac) Sujet A p.196

Exercice n°16** (Préparation au bac) Sujet C p.197

Exercice n°17** (Préparation au bac) Sujet D p.197

Exercice n°18** (Préparation au bac) Sujet E p.198

Exercice n°19** (Préparation au bac) Sujet G p.199

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Indices ou résultats permettant de savoir si on a juste ou faux.

Act.1 : 1.a. P(X1)= 4

9 ;P(X2)= 2

9 ;P(X3)= 2

9 ;P(X4)= 1

9 b. P(X2ouX3)= 4

9 2. a.Loi binomiale. b. P(Y5=0)=

32768

59049 , P(Y5=1)=5×

Object 12

× 1

9 , P(Y5=2)=10× 512 729 × 1

81 , P(Y5=3)=10×

Object 14

× 1

729 , P(Y5=4)=5× 8 9

× 1

6561 , P(Y5=5)= 1

59049 . c . P(Y50)=P(Y5=0)+P(Y5=1)+P(Y5=2)+P(Y5=3)+P(Y5=4)+P(Y5=5)=1,

P(Y51)=P(Y5=1)+P(Y5=2)+P(Y5=3)+P(Y5=4)+P(Y5=5)=..., P(Y52)=P(Y5=2)+P(Y5=3)+P(Y5=4)+P(Y5=5),etc. d.

P(Y52 et Y5 4 )=P(Y5=2)+P(Y5=3)+P(Y5=4)=...3.a. P(Y10=0)≈0,307946148, P(Y10=2)≈0,216524635, P(Y10=4)≈0,015788255, P(Y10=6)≈0,000246691, P(Y10=8)≈0,000000826,

P(Y10=10)≈0,00000000002868. 3.b. P(Y100=80)≈2,3265×10^-57, il est moins probable d'atteindre la cible 80 fois sur 100 que de l'atteindre 8 fois sur 10. 3.c.

Ex.1 : 1.P(X400=130)≈0,04160235 2.P(X400130)≈0,6026 Ex.2 :

1.

2.0,7⁴ 3.P(X=1)=0,4116

4.P(X=2)=0,2646 P(X=3)=0,0756 P(X=4)=0,0081

5. P(X<3)=0,9163 6. P(X3 et X>1)=0,3402

Act.2 : 1. [0 ; Object 9 ] 2. a. 0,5 b. 0,2023 c.

0,5 d. 0,3385

Ex.3 : Ex.1 : a. P(X25) = 0,5 b. P(X>25) = 0,5 ….Ex.2 a. 0,5...

Ex.4 : Ex.3 : 1. µ = 20 et σ = 3. 2. a. Le résultat affiché est 0,6997 à 10^–4 près. b. Ce résultat correspond à P(15X22).Ex.4 1. µ = 120 et σ = 15.

2. a. Le résultat affiché est 0,1931 à 10^–4 près. b.Ce résultat correspond à P(X107).

Ex.5 : P(100 − 2 × 5X100 + 2 × 5) ≈ 0,95 à 10⁻² près.

Ex.6 : 1. P(X26) ≈ 0,7475 à 10⁻⁴ près. 2.a. À 10⁻⁴ près, l’aire sous la courbe de la partie non colorée est 0,2525. b. P(X>26) ≈ 0,2525 à 10⁻⁴ près.

Ex.7 : 1. On peut en déduire les probabilités :

P(X<140) ≈ 0,3085 à 10⁻⁴ près ;P(X>170) ≈ 0,1587 à 10⁻⁴ près.2.a. L’aire sous la courbe de la partie non colorée est 0,5328. b. P(140<X<170) ≈ 0,5328 à 10⁻⁴ près.

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Ex.8 : 1.c. P(X16) = 0,5. 2.c.P(X18) ≈ 0,8413 à 10⁻⁴ près.3.a.P(X15) ≈ 0,3085 à 10⁻⁴ près.

Ex.9 : 1.a. P(X242) ≈ 0,0912 à 10⁻⁴ près. b. Environ 91 sachets ont une masse inférieure à 242 mg.

2.a. Cette probabilité est P(239X261), soit 0,9332 à 10⁻⁴près. b. La probabilité est 0,0668 à 10⁻⁴ près.

Ex.10 : 1.a. Cette probabilité est P(T76), soit 0,0044 à 10⁻⁴ près. b. Cette probabilité est P(T124), soit 0,0146 à 10⁻⁴ près. c. Cette probabilité est 0,019 à 10⁻⁴ près. 2.

Ex.11 : 1.a.LOI.NORMALE.INVERSE(B1;11;4) b.µ = 11 et σ = 4. 2. a. Le réel k tel que P(Xk) = 0,3 est 8,9 à 0,01 près. b. On peut estimer que 30 % des candidats ont obtenu une moyenne inférieure à 8,9. 3.a. P(Xb) = 0,6. b. Le réel b tel que P(Xb) = 0,4 est 12,01, à 0,01 près. c. On peut estimer que 40 % des candidats ont obtenu une moyenne supérieure à 12,01.

Ex.12 : 1. Cette probabilité est P(Z90), soit 0,91 à 10⁻² près. 2.a. 4 × 10–6 à 10^–6près. Et 0,015 à 10^–

3 près. b. n = 5.

Ex.13 : I = [21 ; 23].

Ex.14 : 1. I = [47,4 ; 52,6]. 2. σ = 0,45.

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Rayez les lignes inutiles. Si un cours n'est pas validé, NE PAS FAIRE de travail au-delà.

Date : …...

Nom, prénom et classe :

…...

* Je veux repasser l'interrogation n°... du chap. n°...

* Je veux repasser le contrôle n°...

Travail fait en classe :