DANS LES CHAMPS ELECTRIQUE ET MAGNETIQUE

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MOUVEMENTS DE PARTICULES CHARGEES

DANS LES CHAMPS ELECTRIQUE ET MAGNETIQUE

I-

On considère une particule chargée M, de charge q et de masse m, supposée ponctuelle se déplaçant entre deux plaques aux bornes desquelles est appliqué une ddp UAB = VA – VB >

0.

On étudie le mouvement de la particule chargée dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen.

On pose v⁰ =v e0. x

le vecteur vitesse initiale de la particule, la distance entre les deux plaques et l leur largeur.

Le champ électrique uniforme E⁰

régnant entre les deux plaques est alors donné par la relation :

0 0 y

E grad V E dV.e

= − ⇔ = −dy

Soit en notant le champ E⁰ =E .e0 y

, il vient : dV = - E0.dy ⇔ VA – VB = - E0.(yA – yB)

AB 0

E U

⇔ = a

On retrouve ainsi que le champ électrostatique est dirigé suivant les potentiels décroissants.

La particule chargée est ainsi soumise : - à son poids P=m.g

; - à la force électrique F=q.E0

En prenant l’exemple d’un proton (q = e = 1,6.10^-19 C, m = 1,67.10^-27 kg) dans un champ électrique d’intensité E0 = 10⁴ V.m^-1, on déduit :

P =1,64.10⁻26 N F =1,6.10⁻15 N

On applique le principe fondamental de la dynamique à la particule :

m. ( M )γ =F⇔

P F : on peut négliger le poids devant la force électrique

⇒ <<

0 ( M ) γ

^q.E0 m 0

vx = C1

) M (

⇔v vy =^q.E0 m .t + C2

vz = C3

O v0

y

x

VA > VB

VB

E0

Trajectoire pour q > 0 Trajectoire pour q < 0

F

F

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Comme à t = 0, v0 v_0.e_x

= , il vient C1 = v0 et C2 = C3 = 0.

Comme à t = 0, OM⁰ =0

, il vient C’1 = C’2 = C’3 = 0.

On en déduit l’équation cartésienne de la trajectoire :

2 0

0

q.E x

y .

2m v

 

=  

  : parabole tournant sa concavité vers le bas pour q > 0 et vers le haut pour q

< 0.

2- Etude de la déviation électrique La déviation électrique au point P de la trajectoire est donnée par l’angle θ entre la tangente à la trajectoire en P et la direction de la vitesse initiale, ici la direction (Ox).

On utilise que la tangente en un point d’une parabole d’extremum à l’origine vient couper l’axe des abscisses en X/2. On en déduit :

tan Y X / 2 θ= = ⁰₂

0

q.E .X m.v

On constate ainsi que la déviation électrique augmente avec l’abscisse (propriété de la parabole).

De plus θ augmente avec E0 et décroît avec la masse et le carré de la vitesse v0².

3- Etude énergétique

Le système n’est ici soumis qu’à la force électrique conservative. Son énergie mécanique se conserve donc.

On peut ainsi écrire :

Em = Ec + Ep = ¹.m.v ( P )²

2 + q.V(P) + V0 = cste Ainsi entre les instants t = 0 et t, on a :

2 0

1.m.v

2 + q.V(O) = ¹.m.v ( P )²

2 + q.V(P)

or, V(P) – V(O) = - E0.y , ce qui permet de déduire : v²(P) = ²0 ⁰

2.q.E

v .y

+ m vx = v0

) M (

⇔v v_y = m

E . q ₀

.t v_z = 0

x = v_0.t + C’₁

⇔OM y = m 2

E . q ₀

.t² + C’₂ z = C’₃

x = v0.t OM

⇔

y =^q.E0 2m .t² z = 0

O v0

y

x E0

X/2 X θθ θθ

P

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4- Cas particulier : champ électrique colinéaire à la vitesse initiale Dans le cas où le champ électrique est colinéaire à la vitesse initiale (v0 =v e )0 y

, on peut rapidement déduire, en utilisant le théorème de l’énergie mécanique (ou de l’énergie cinétique):

Em(A) = Em(B)

⇔ q.VA + 0²

1.m.v

2 = 1²

1.m.v 2 + q.VB

⇔ v²₁ = v0²+^2.q

m (VA -VB) >0 pour {q>0 et VA >VB} ou {q<0 et VA <VB}

Le principe fondamental de la dynamique conduit aux équations horaires : q.E0

y m

••

= ⇒ q.E⁰

y m

•

= .t + v0⇒y =^q.E0

2m .t² + v0.t

Le mouvement de la particule chargée est alors rectiligne, uniformément accéléré (déviation électrique nulle).

5- Principales applications

D’après les calculs précédents, l’action d’un champ électrique sur une particule chargée permet :

- de dévier la particule chargée (oscilloscope cathodique…) ; - d’accélérer la particule chargée (accélérateur linéaire de particule).

O v0

y

x

VA > VB : accélération des particules q>0 VB

E0

F

O v0

y

x

VA < VB : accélération des particules q<0 VB

E0

F

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II- Mouvement d’une particule chargée dans un champ magnétique uniforme 1- Présentation du système

Dans tout ce qui suit on envisagera l’étude de la trajectoire d’une particule chargée de charge q et de masse m dans le champ magnétique uniforme et constant B B₀.e_z

= . On étudie le mouvement de la particule chargée dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen.

La particule chargée est ainsi soumise : - à son poids P=m.g

;

- à la force magnétique de Lorentz F=q.v∧B

En prenant l’exemple d’un proton (q = e = 1,6.10^-19 C, m = 1,67.10^-27 kg) dans un champ magnétique d’intensité B0 = 10^-2 T, animé d’une vitesse v = 10⁴ m.s^-1 on déduit les ordres de grandeur :

P =1,64.10⁻26 N F =1,6.10⁻17 N

2- Etude du mouvement

On se place dans le système de coordonnées cartésien dans le repère (O,e_x, , e_y

) e_z

.

A t = 0, la particule chargée est en O avec une vitesse initiale v₀ . Mouvement uniforme :

Calculons la puissance de la force de Lorentz exercée sur une particule de charge q, animée d’une vitesse v

dans un champ magnétique uniforme B₀

:

P

) = F.v =(q.v∧B ).v0 =0 car F⊥v

La force de Lorentz ne travaille donc pas et en appliquant le théorème de la puissance cinétique on en déduit :

dEc

dt =

P

) = 0 ⇔ L’énergie cinétique de la particule chargée est une constante

⇔ v

= norme de la vitesse de la particule chargée est une constante

⇔ le mouvement est uniforme.

L’action d’un champ magnétique n’est pas une modification de la norme de la vitesse mais une déviation de la trajectoire de celle-ci.

On retrouve cette action dans différentes applications telles que : Le spectromètre de masse, le cyclotron…

Principe fondamental de la dynamique :

On écrit les vecteur vitesse et accélération du point M caractérisant la position de la charge à un instant par :

v( M ) =

x x

v .e +

y y

v .e

z z

v .e +

et ( M ) ^{dv( M )} γ = dt

= ^x x

dv .e dt + y

y

dv .e dt

_z

z

dv .e +dt

Appliquant le principe fondamental de la dynamique à la particule chargée dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen, il vient :

magnétique force

la devant poids le négliger peut on : F P <<

⇒

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© JM DUCRET m. ( M )γ =F⇔

m. = q. ∧ ⇔

a) Cas où la vitesse initiale est orthogonale au champ magnétique On pose la vitesse initiale v0 =v .e0 x ⊥B0

. On en déduit :

(3) ⇔ vz = cste = vz(0) = 0, ainsi : ^dz 0

dt = ⇔z(t) = cste = z(0) = 0 Le mouvement de la particule chargée s’effectue dans le plan (O,e_x,

) e_y

.

On pose ωc = ^q.B0

m la constante positive appelée pulsation cyclotron.

On pose ε la grandeur telle que :

En dérivant l’équation (2) puis en utilisant l’équation (1), il vient :

2 y 2

d v

dt = - ω_c. ^dvx

dt = - ω_c².v_y

La composante de la vitesse sur l’axe des ordonnées est ainsi donnée par une équation différentielle du second ordre, homogène, linéaire à coefficients constants. La solution générale de cette équation différentielle s’écrit :

v_y(t) = a.cos(ω_c.t) + b.sin(ω_c.t)

Comme à t = 0, on a : vy(0) = 0, on peut en déduire : a = 0 : v_y(t) = b.sin( ω_c.t)

En reprenant l’équation (2) , on déduit l’expression générale de la composante de la vitesse sur l’axe des abscisses v_x(t) :

m.^dvy

dt = - q.B0.vx ⇔ v_x(t) =

c

1 . . ε ω

− dvy

dt =

c

1 . . ε ω

− b. ω_c.cos( ω_c.t) = - ε. b.cos(ω_c.t) Comme à t = 0, on a : v_x(0) = v₀, on peut en déduire : v₀ = − εb _⇔b =- ε.v₀ On a ainsi les composantes de la vitesse :

En intégrant chacune de ces équations, on obtient les équations horaires :

dvx

dt dvy

dt dvz

dt

v_x v_y v_z

m.^dvx

dt = q.B0.vy (1) m.^dvy

dt = - q.B0.vx (2) m.^dvz

dt = 0 (3) 0

0 B₀

ε = +1 si q > 0 ε = -1 si q < 0

v_x(t) = v₀.cos(ω_c.t) v_y(t) =- ε.v₀.sin(ω_c.t)

x(t) = ⁰

c

v

ω .sin(ωc.t) + a’

y(t) = ε . ⁰

c

v

ω .cos(ω_c.t) + b’

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Comme à t = 0, on a : x(0) = y(0) = 0, on peut en déduire : a’ = 0 et b’ = - ε ⁰

c

v ω . Finalement :

On peut également écrire l’équation cartésienne :

x² +

2 0

c

y ε.v ω

 

 + 

  =

2 0 c

v ω

 

 

 

On reconnaît alors plus facilement une trajectoire circulaire de centre C (0, ε

c

v0

ω ) et de rayon Rc = ⁰

c

v ω = ⁰

0

m.v

q .B (voir graphiques ci- contre).

Dans le cas où la vitesse initiale est orthogonale au champ magnétique uniforme (v0=v .e0 x ⊥B0

), le mouvement de la particule chargée est circulaire dans un plan orthogonal à B0

et passant par la position initiale de la particule.

b) Cas où la vitesse initiale n’est pas orthogonale au champ magnétique (hors programme)

La particule chargée est toujours en O à l’instant initial.

La vitesse initiale admet maintenant une composante suivant l’axe (z’z) du champ magnétique. On écrit par exemple : v0 =v .cos .e0 αx+v .sin .e0 αz

où α est l’angle (e ,v )x 0

. L’axe des ordonnées, dirigé par le vecteur unitaire ey

est choisi pour que la base (O,e ,x

e ,y

e )z

soit orthonormée directe.

On déduit de (3):

m.^dvz

dt = 0 ⇔ v_z = cste = v_z(0) = v₀.sin ⇔z(t) = v₀.sin .t + c.

Comme z(0) = 0, on en déduit :

z(t) = v0.sin .t

Le mouvement de la particule chargée n’est plus dans le plan (O,e_x, ey

)

Le reste du calcul est analogue à la partie précédente en remplaçant dans les expressions de la vitesse et de la position v₀ par v₀.cosα. On peut ainsi écrire :

x(t) =

c

v0

ω .sin(ω_c.t) y(t) = ε.

c

v0

ω .[cos(ω_c.t) –1]

x y

x 0

0 v.e

v

=

q > 0 q < 0

C+

C-

vx(t) = v0.cosα.cos(ω_c.t) v_y(t) =- εv₀.cosα.sin(ω_c.t)

x(t) = ⁰

c

v .cosα

ω ^{.sin( c.t)} y(t) = ε . ⁰

c

v .cosα

ω ^.[cos(ω_c.t) –1]

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Le mouvement de la particule chargée peut alors être interprété comme la conjugaison : - du mouvement de rotation sur la trajectoire circulaire établie à la partie précédente,

centre C (0, ε. ⁰

c

v .cosα

ω ) et rayon Rc = ⁰

c

v .cosα

ω = ⁰

0

m.v .cos q .B

α

- d’un mouvement de translation rectiligne uniforme suivant la direction (z’z) du champ magnétique à la vitesse v0.sinα

La trajectoire résultante est une hélice circulaire, à pas constant (voir graphique ci- dessous).

Remarque : il est possible de déterminer les équations horaires du mouvement de la particule chargée dans un champ magnétique uniforme en utilisant les nombres complexes.

On pose alors :

ζ = x + j.y et χ = vx +j.vy = ^d dt

ζ

En combinant les équations (1) et (2), il vient : (1) + j.(2) : c

d j. . . dt

χ= − ε ω χ

L’équation différentielle obtenue peut être résolue pour trouver χ puis ζ et enfin x(t)=Re(ζ) et y(t) = Im(ζ).

Charge positive (q>0) Charge négative (q<0)