Universit´e Paris Diderot MI3/MA3 – Ann´ee 2009/10
D´epartement de Sciences Exactes L2 Info et Mass
Partiel du 30 octobre 2009 :
(fonctions, s´ eries num´ eriques et s´ eries de fonctions)
Exercice 1 On rappelle que ed´esigne la base du logarithme, c’est-`a-dire le nombre tel que loge= 1. Soit la suite (un)n>1 d´efinie parun= 1 +n1
n . 1. Montrer que limun=e.
2. Montrer que la suiteunest croissante et en d´eduire la majoration 1 +n1
n
< e. [Indication : pour montrer un+1>un on pourra commencer par montrer que la fonctionf(x) = log(1+x x) est d´ecroissante pourx >0]
Exercice 2 D´eterminer lesquelles des s´eries suivantes sont convergentes, absolument convergentes ou diver- gentes.
X
n>1
cos 1
n
; X
n>0 2n
n
3n ; X
n>1
cos(n3)
n2 ; X
n>2
(−1)n n−√n
Exercice 3 On pose dans cet exercice Sn:=
n
X
k=1
1
k3 et S:=
∞
X
k=1
1 k3
En appliquant une comparaison int´egrale/s´erie, montrer que 0< S−Sn6 1
2n2.
Exercice 4 D´eterminer le rayon de convergence des s´eries
∞
X
n=0
(n!)3
(n+ 1)!(2n)!xn et
∞
X
n=0
x2n 3n
Exercice 5 On d´efinit les fonctions de [0,+∞) versR: fn(x) = x
1 +n2x2 et g(t) = 1 1 +t2. 1. Montrer que la s´erieP
n>0fn(x) converge simplement sur [0,+∞).
2. Montrer que la s´erieP
n>0fn(x) converge normalement sur [a,+∞) (pour touta >0).
3. En d´eduire que la fonction d´efinie par la s´erieS(x) :=P
n>0fn(x) est continue sur ]0,+∞).
4. Montrer les in´egalit´es
∞
X
n=1
1 1 +n2x2 6
Z +∞
0
dt
1 +t2x2 61 +
∞
X
n=1
1 1 +n2x2 5. Montrer que
Z +∞
0
dt
1 +t2x2 = 1 x
Z +∞
0
g(t)dt= π 2x. En d´eduire que, lorsquextend vers z´ero, on a
x→lim0S(x) = π 2, et en particulier queS(x) n’est pas continue en 0.
