Université Paris 13, Institut Galilée MACS 2 – Probabilités Année universitaire 2012-2013
Examen partiel du 30 octobre 2012
Durée : 3 heures
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La qualité de la présentation et de la rédaction seront prises en considération.
NB. Dans le sujet, les chaînes de Markov sont toujours supposées homogènes.
Questions de cours
1. Si(Xn)n≥0 est une chaîne de Markov, sous quelle(s) condition(s) peut-on conclure que, pour toute loi initialeµet tout état x, la suite Pµ(Xn =x)
n∈N converge ? Donner alors la limite. Donner également un exemple où cette conclusion est fausse.
2. Donner l’énoncé du théorème ergodique pour les chaînes de Markov récurrentes positives.
3. Rappeler la définition de la période et donner un exemple de chaîne de Markov possédant un état de période égale à 4 (on pourra donner cet exemple via un schéma, expliqué).
Exercices
Exercice 1 – Primes d’assurance. Une compagnie d’assurance a fait faire des statistiques sur ses assurés. Elle a ainsi constaté les faits suivants :
– Si un automobiliste a eu un accident l’année passée, il y a 20% de chance qu’il en ait un à nouveau cette année ;
– Si au contraire aucun accident n’a eu lieu l’année passée, il y a seulement 10% de chances qu’un accident se produise cette année.
(On suppose qu’une personne a au plus un accident par an)
1. Pour un assuré donné, on note Xn = 1s’il a un accident l’année n, et Xn = 0 sinon. On choisit de modéliser(Xn)n≥0 par une chaîne de Markov. À partir de l’énoncé, donner sa matrice de transition, et expliquer quelle(s) hypothèse(s) implicite(s) suppose la modélisation par une chaîne de Markov.
2. Quelle est la probabilité que l’assuré ait un accident dans deux ans, sachant qu’il n’a pas eu d’accident cette année ?
3. Justifier queYn = (Xn, Xn+1)définit aussi une chaîne de Markov (d’états(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)) et donner sa matrice de transition.
La compagnie d’assurance fait payer à ses clients une prime de risque qui dépend du nombre d’accidents enregistrés au cours desdeux dernières années (système de bonus-malus). La prime s’élève à 450e(resp.
900e, resp. 1350e) si l’assuré n’a pas eu d’accident (resp. a eu un accident, resp. a eu deux accidents) au cours des deux dernières années.
4. Quelle est la prime moyenne payée chaque année par un client à cette compagnie ? (On sera amené à calculer la probabilité invariante de la chaîne(Yn)n)
Exercice 2 –Temps d’absorption. SoitX= (Xn)n≥0une chaîne de Markov sur un espace d’étatsE, de matrice de transitionP. On noteRl’ensemble des états récurrents, et on définit le temps d’absorption
τ = inf{n≥0|Xn∈ R}.
Pour toutx∈E, on note alorst(x) =Ex[τ].
1. Que vautt(x)six∈ R? Montrer que, pour tout étatx /∈ R,
t(x) = 1 +X
y /∈R
P(x, y)t(y).
1
2. Application. On suppose queE={1,2,3,4} et
P =
1/4 1/4 1/4 1/4
0 0 1 0
0 1/2 1/2 0 1/3 0 1/2 1/6
.
Classifier les états, donner leur nature et calculer les temps moyens d’absorptiont(x)pour tout état x.
Exercice 3 –Marche aléatoire sur un triangle. On considère une chaîne de Markov sur les sommets d’un triangleABC (on disposera les lettres dans le sens trigonométrique). Cette chaîne est définie par la règle suivante : à chaque instant on se déplace vers le sommet voisin en sens trigonométrique avec probabilitép et dans le sens des aiguilles d’une montre avec probabilité1−p, oùpdésigne un réel tel que0< p <1.
1. Tracer le schéma et écrire la matrice de transition de cette chaîne. Classer ses états et donner leur nature (transient, récurrent nul, récurrent positif).
2. Existe-t-il une probabilité invarianteπ? Si oui, la calculer.
3. Quelle est la période des états de cette chaîne de Markov ?
4. Calculer les quantités suivantes (et justifier leur existence si nécessaire) :
Pπ(X2000=A), lim
n PA(Xn=B), et EA[τA], oùτA= inf{n≥1|Xn =A}.
Exercice 4 – Processus de naissance et de mort. On considère une chaîne de Markov d’espace d’étatsNet dont les transitions sont données par : pour toutx∈N,
P(X1=x+ 1|X0=x) =px, P(X1=x−1|X0=x) =qx et P(X1=x|X0=x) =rx,
où, pour toutx∈N,px+qx+rx = 1 etpx >0, et aussi q0 = 0 (de sorte que la définition ci-dessus a bien un sens en 0).
1. À quelle condition (sur lespx, qx, rx) cette chaîne de Markov est-elle irréductible ? On suppose cette condition vérifiée. Quelle est la période ? (Il peut être nécessaire de distinguer des cas)
2. Écrire les équations vérifiées par une mesure invarianteµ, en déduire en fonction deµ(0)(etpx, qx) les valeurs deµ(1),µ(2),µ(3)et finalementµ(n)pour toutn∈N.
3. En déduire une condition nécessaire et suffisante pour que la chaîne de Markov soit récurrente positive.
4. SoitN ∈N∗. On cherche à calculer, pour0≤x≤N, les probabilités fN(x) =Px(τN < τ0)
oùτz= inf{n≥0|Xn=z} pourz∈N.
4.a)Donner les valeurs de fN(0) et fN(N)et montrer que, pour 0 < x < N, fN vérifie la relation de récurrence suivante :
fN(x) =qxfN(x−1) +rxfN(x) +pxfN(x+ 1).
4.b)En déduire une relation simple entre fN(x+ 1)−fN(x) et fN(x)−fN(x−1) (on pourra noter αx= qpx
x pour alléger les écritures) ; puis une expression defN(x+ 1)−fN(x)en fonction de fN(1)(et despx, qx) ; et enfin une expression defN(x)en fonction defN(1)(et despx, qx).
4.c)Conclure : à l’aide de la valeurfN(N), calculerfN(1)puisfN(x)pour tout0≤x≤N. 5. En déduire la condition sous laquellePx(τ0=∞) = 0 pour toutx >0.
6. Conclure : donner la nature de la chaîne de Markov (transiente, récurrente positive, récurrente nulle) en fonction de conditions sur lespx, qx.
2
