DM TES1 du 5 novembre Fonction : Exponentielle.

Lycée Paul Rey Denis Augier

DM TES1 du 5 novembre Fonction : Exponentielle.

Ex 83 page 55 fpxq “ p5´2xqe^x.

1. D à pour abscisse 0 donc sont ordonnées estfp0q “5e⁰ “5. Donc Dp0,5q

L’ordonnée de E est nul donc pour trouver l’abscisse, il faut résoudre fpxq “ 0 ô p5´2xqe^x “ 0 ô 5´2x“0 ppuisque e^x ‰0q ôx“ 5

2.

2. f¹pxq “ ´2e^x` p5´2xqe<sup>x</sup>“ p´2`5´2xqe^x“ p3´2xqe^x.

3. Commee^xą0, on af¹pxq du signe dep3´2xq. On a 3´2x“0ôx“ 3

2; D’où le tableau de variation : x

f¹pxq

fpxq

´8 ³₂ `8

` 0 ´

´8

´8

2e³² 2e³²

´8

´8

En effetf`₃

2

˘“2e³²

Donc les coordonnées exactes de F sont

´3 2; 2e³²

¯

4. La droite pDGq passe par le point D donc pour être tangente à C, il suffit que son coefficient directeur soitf¹p0q (0 étant l’abscisse de D).

f¹p0q “3e⁰ “3 Et le coefficient directeur depDGqest

yD´yG

x_D´x_G “ 5´1,5

0´ p´1q “3,5 Donc la droitepDGq n’est pas tangente à C

Ex 95 page 58

Soitg la fonction définie sur Rpar :gpxq “x`ke^ax.

1. On lit graphiquement gp0q “ 6 et le coefficient directeur de la tangente en 0 est g¹p0q “ ´2 (on peut déterminer le coefficient directeur de la droitepEFqpar l’application de la formule y_F ´y_E

xF ´xE

“ ´6

3 “ ´2).

2. On obtient :

g¹pxq “1`kˆae^ax 3. Avec les résultats de la question 1., on obtient le système :

"

gp0q “k“6

g¹p0q “1`ka“ ´2 ô

$

&

% k“6 a“ ´3

k “ ´1 2 4. On étudie le signe de :

fpxq ´x“6e^{´12 x}ą0 Donc la courbe C est au dessus deD.

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Ex 97 page 58 1. On a :

fpxq “4 e^x

e^x`1 “ ´4

e^x`1 `4“ 4 1`e^´x 2. Donc pour

(a) Pour déterminer la position relative deCet de la droite d’équationy“4, on détermine le signe de : fpxq ´4“ ´4

e^x`1 `4´4“ ´4 e^x`1 ă0

‘ En effet puisquee^xą0, alors e^x`1ą0 donc ´4 e<sup>x</sup>`1 ă0.

On peut donc dire queC est en dessous de la droite horizontale d’équation y“4.

(b) On a e^´x ą0 donc 1`e^´x ą0 donc fpxq “ 4

1`e^´x ą0.

(c) On utilise encore l’expression de 4

1`e^´x “4 1

1`e^´x et pour dériver, on utilise la formulep_u¹q¹“ ^´u_u2¹

avec u“1`e^´x doncu¹ “ ´e^´x d’où le résultat : f¹pxq “4ˆ´u¹

u² “4 ´p´e^´xq

p1`e<sup>´x</sup>q<sup>2</sup> “ 4e<sup>´x</sup> p1`e^´xq²

3. Pour que les deux tangentes soient parallèles, il faut que leur coefficient directeur respectif soit égal. En 1 le coefficient directeur est :

f¹p1q “ 4e^´1

p1`e^´1q² “ 4e^´1

e^´2pe¹`1q<sup>2</sup> “ 4e pe<sup>1</sup>`1q et en ´1 le coefficient directeur est :

f¹p´1q “ 4e¹

p1`e¹q² “f¹p1q Donc effectivement les deux tangentes sont parallèles.

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Exercice ?

1. Pour obtenir le montant du coût fixe, il faut déterminer le coût avant d’avoir fabriquer le moindre cerfs- volants (c’est-à-dire nécessaire à l’entreprise avant toute production) :

C_Tp0q “2 Donc le montant des coût fixes de cette entreprise est 2000e. 2. (a)

C_T¹ pxq “ 1

3ˆ3x²´1

4 ˆ2x´1

2 `0“x²´ 1 2x´ 1

2 Orpx´1q`

x`¹₂˘

“x²“ ¹₂ ´x´¹₂ “x²´¹₂x´¹₂ DoncC_T¹ pxq “ px´1q`

x`<sup>1</sup><sub>2</sub>˘ (b) Comme sur r0,6s on a `

x`¹₂˘

ą 0, sur r0,6s la fonction CTpxq est du signe de px´1q. D’où le tableau de variation :

x C_T¹pxq

C_Tpxq

0 1 6

´ 0 `

2 2

19 12 19 12

6 6

CarC_Tp1q “ ¹⁹₁₂. On remarque ici que l’on a un coût total que commence par diminuer ce qui ne peut arriver que dans certains rares sujets de bac. Puisque c’est une chose totalement aberrante ! ! ! Dans le cas où cela vous arriverez, relisez bien votre production puisque aujourd’hui cela arrive quasiment plus.

(c)

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