M ÉMOIRES DE LA S. M. F.
J EAN -L OUIS N ICOLAS
6 nombres dont les sommes deux à deux sont des carrés
Mémoires de la S. M. F., tome 49-50 (1977), p. 141-143.
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Calculateurs en Math, ( 1 9 7 5 - LIMOGES) 141 Bull. Soc. math. France
Mémoire 49-50, 1 9 7 7 , p . 141-143
6 NOMBRES dont les SOMMES DEUX à DEUX sont des CARRES
par Jean-Louis NICOLAS
P . ERDOS a posé le problème suivant ( c f . (1) , problème 40, p . 1 1 0 ) :
Peut-on trouver n entiers distincts x . , x/, , . . . , x tels que toutes les sommes x . + x . ( 1 $ i $ j n) soient des carrés.
Le problème est facile pour n = 4 ; J . Lagrange ( c f . [ ^ ) ) a montré q u ' i l y avait une infinité de solutions pour n = 5 , e t , dans sa thèse ( c f . (4) ) q u ' i l y avait pour n = 6 une infinité de pseudo-solutions ( 1 4 sur 15 sommes x . + x . sont des carrés) et une vraie solution ;
-15 863 902; 17 798 783; 21 126 338; 49 064 546; 82 221 2 h 8 ; 447 422 978.
Nous allons expliquer ici les idées utilisées pour faire un programme calculant systématiquement toutes les pseudo solutions en 6 nombres. Il y aura trois étapes.
1 ° ) Recherche des solutions en 4 nombres - On doit résoudre le système linéaire :
x^ + x^ = a^ x^ + x^ = ^
^ + x! = a!2 ^ + \ = ^2 x ^ ' + x^ = a^ x^ + x^ = b^
Les conditions de compatibilité s'écrivent :
2 2 2 2 2 2
S = x . + x,, + x^ + x , = a . + b . = a« + b« = a« + b^ . S admet trois décompositions en somme de deux carrés. Réciproquement si S admet trois telles décompositions, on en déduit une et en général deux solutions (obtenues en échangeant a^ et b ^ ) .
Le paramètre de base sera S que l ' o n fait .varier de 1 à quelques millions par tranche de A = 10 000. On écrit les solutions correspondant à
4 S = x . + x^ + x^ + x , , de façon à avoir des x . entiers. Dans chaque tranche, par une méthode de crible, on sélectionne les S qui ont au moins trois décompo- sitions. Pour SMIN ^ S ^ SMAX, on fait varier 1 et J de façon que 0 $ 1 $ J et SMIN ^ 1 + J $ SMAX, et on met dans un tableau le nombre de fois où l ' o n atteint S. Cette méthode s'est avérée plus rapide que d'utiliser .la congruence mod 4 de facteurs premiers de S ( c f . [2), ch. 1 6 ) .
2 ° ) Adjonction d ' u n 5___nombre -
La première étape nous fournit toutes les solutions en quatre nombres. On cherche alors les nombres x- tels que x . + x - soit un carré pour 1 $ i $ 4 , avec x . < Xc (pour 1 ^ i $ 4 ) , ce qui nous donnera une fois et une seule les solutions en cinq nombres. On résoud d'abord :
142 J . L . NICOLAS
( 1 )
x, + x- = c, x, + x, = b ,2 2
1 5 1 1 4 1
^ + ^5 = '22 ^ + ^ = ^2
ce qui donne :
2 2 - 2 , 2 x,, -x. = c^ -c, = b^ -b
2 2 -
et (c,-/ -c ) est un diviseur d de ( b -b ) inférieur à ( b -b ) (pour que x > x , ) . A chaque teL-diviseur, correspond une solution x- de ( 1 ) . La recherche des diviseurs se fait à l ' a i d e d ' u n e table de diviseurs des nombres $ 10 000 incorporée au début du programme et construite par la méthode du crible.
Il reste alors à vérifier que x.. + x- et x , + x sont des carrés. Un premier test décide si ce sont des carrés module 3465 = 9 . 5 . 7 . 1 1 . On utilise ensuite la méthode de Newton.
On obtient ainsi toutes les solutions en 5 nombres.
3 ° ) Recherche des pseudo-solutions en 6 nombres -
Cette étape se traite comme la précédente. On cherche d ' a b o r d les pseudo- solutions vérifiant :
(2) J x! + ^ = d!2 x! + ^ = b!2
[ x^ + x^ = d^2 ^ + x^ = b^2
en laissant tomber la condition d < b^> - b , , car x , peut-être quelconque y z l b
compris < x . On compte alors le nombre de carrés x . + x/^ , 1 $ i $: 5 . Il en faut au moins 4.
Il reste à résoudre :
r x . + x , = d 2 r x + x , ^ d 2
l b l l b i x/, + x. ^ d et - x + x = d2 2
2 6 2 2 6 2
. 2 . 2
^ + " 6 = d3 ^ ^ + " 6 = ^ où l ' o n procède similairement.
Chaque pseudo-dolution est obtenue deux f o i s , et chaque vraie solution est obtenue 6 fois.
Une des difficultés techniques était de ne pas utiliser d'entiers qui
dépassent 2 - 1 . Les nombres x . , x^ ^ x^. , x , ont été pris entiers en machine, tandis que x,- et x. étaient pris en double précision.
Pour S ^ 40 millions, on a trouvé 15475 solutions en 5 nombres et 655 pseudo- solutions en 6 nombres. Pour chacune de ces dernières, on a calculé le p . g . c . d . des x . , pour repérer les solutions primitives ainsi que la somme ^ x . qui
1 1 $ U 6 1
est souvent un carré parfait. C ' e s t le cas de la vraie solution signalée dans l'introduction, pour laquelle ^ x . = ( 2 4 5 3 1 ) . Dans notre programme, cette sol a été obtenue pour S = 34 137 050 = — / — ( x , + x + x , + x ) .
l'introduction, pour laquelle ^ x . = ( 2 4 5 3 1 ) . Dans notre programme, cette solution
6 nombres . . . 143
REFERENCES
(1) P . ERDOS.- Quelques problèmes de la théorie des nombres.- Monographie de l'enseignement mathématique.- Genève, n° 6 , p . 8 1 - 1 3 5 .
[2) G . H . HARDY et E . M . WRIGHT.- An introduction to thé theory of numbers.- 4t
édition. Oxford at thé Clarendon Press.- ( 1 9 6 0 ) .
( ^ ) J . LAGRANGE.- Cinq nombres dont les sommes deux à deux sont des carrés.- Séminaire de Théorie des nombres Delange-Pisot Poitou.- Paris, 1 2 ° année, ( 1 9 7 0 - 7 1 ) , n° 20.
(4) J . LAGRANGE.- Thèse d ' E t a t de l'Université de Reims.- ( 1 9 7 6 ) .
J . L . NICOLAS Université de LIMOGES Département de Mathématiques
1 2 3 , rue Albert Thomas 87100 LIMOGES
