Examen du 14 Mai 2014 - Corrigé Premier Exercice

Mathématiques pour les Sciences L1-SV-S2

2013-2014

Examen du 14 Mai 2014 - Corrigé Premier Exercice

1. On aP(G) = 0,5,P(F) = 0,5,P(E|G) = 0,25etP(E|F) = 0,44

2. (a) D’après la formule des probabilités totales :P(E) =P(E|F)P(F) +P(E|G)P(G) = 0,345.

(b) D’après la formule de Bayes :P(F|E) = ^P(E|F)P(F)

P(E) = 0,637.

(c) On cherche P(F|E). D’après la formules de Bayes :¯ P(F|E¯) = ^{P( ¯E|F)}_{P( ¯E)}^P(F). On a P( ¯E|F) = 1−P(E|F) = 0,56etP( ¯E) = 1−P(E) = 0,655. D’oùP(F|E) = 0,¯ 427.

(d) P(G|E) =¯ ^{P( ¯E|G)P(G)}

P( ¯E) = 0,572.

Second Exercice

1. La loi suivie est une loi hypergéométriqueH(n, N₁, N₂)avecN₁ = 35,N₂= 15,N =N₁+ n2 = 50etn= 10. Pourk∈ {0,1,2,3,3,5,6,7,8,9,10}, on aP(X=k) = (^N_k¹)(^N−N_n−k¹)

(^N_n) . 2. On posep= ^N_N¹ = ₁₀⁷ etq = 1−p= ₁₀³ . AlorsE(X) = np = 7etV(X) = npq^N_N⁻ⁿ₋₁ =

12

7 = 1,71.

Troisième Exercice

1. Les lois marginales sont données dans le tableau :

Y\X 1 2 3 4 Loi deY

1 ₂₁₀²⁹ ₂₁₀²⁸ ₂₁₀²⁷ ₂₁₀²⁶ P(Y= 1) =¹¹⁰₂₁₀

2 ₂₁₀²⁸ ₂₁₀²⁶ ₂₁₀²⁴ ₂₁₀²² P(Y= 2) =¹⁰⁰₂₁₀

Loi deX P(X= 1) =₂₁₀⁵⁷ P(X= 2) =₂₁₀⁵⁴ P(X= 3) =₂₁₀⁵¹ P(X= 4) =₂₁₀⁴⁰ 1

2. On aP(X = 1 etY = 1) = ₂₁₀²⁹ = 0,138etP(X = 1)×P(Y = 1) = ₂₁₀⁵⁷ × ¹¹⁰₂₁₀ = 0,142.

Les variablesXetY ne sont donc pas indépendantes.

3. E(X) = 1×₂₁₀⁵⁷ + 2×₂₁₀⁵⁴ + 3× ₂₁₀⁵¹ + 4×₂₁₀⁴⁸ = ⁵¹⁰₂₁₀ = 2,428.

E(Y) = 1×¹¹⁰₂₁₀ + 2×¹⁰⁰₂₁₀ = ³¹⁰₂₁₀ = 1,476.

Pour calculer la variance, on utilise la formuleV(X) =E(X²)−(E(X))². On a :

E(X²) = 1×₂₁₀⁵⁷+4×₂₁₀⁵⁴ +9×₂₁₀⁵¹+16×₂₁₀⁴⁸ = ¹⁵⁰⁰₂₁₀ = 7,14. D’oùV(X) = 7,14−5,76 = 1,24.

E(Y²) = 1×¹¹⁰₂₁₀ + 4×¹⁰⁰₂₁₀ = ⁵¹⁰₂₁₀ = 2,43, d’oùV(Y) = 2,43−2,19 = 0,24.

1

4. Cov(X, Y) =E(X.Y)−E(X)E(Y). La variable aléatoireX.Y prend les valeurs1,2,3,4,6,8.

On va déterminer la loi de la variableX.Y. P(X.Y = 1) =P(X = 1 etY = 1) = ₂₁₀²⁹

P(X.Y = 2) =P(X = 1 etY = 2) +P(X= 2 etY = 1) = ₂₁₀⁵⁶ P(X.Y = 3) =P(X = 3 etY = 1) = ₂₁₀²⁷

P(X.Y = 4) =P(X = 2 etY = 2) +P(X= 2 etY = 1) = ₂₁₀⁵² P(X.Y = 6) =P(X = 3 etY = 2) = ₂₁₀²⁴

P(X.Y = 8) =P(X = 4 etY = 2) = ₂₁₀²²

On obtientE(X.Y) = 1×₂₁₀²⁹+2×₂₁₀⁵⁶ +3×₂₁₀²⁷+4×₂₁₀⁵²+6×₂₁₀²⁴ +8×₂₁₀²² = ⁷⁵⁰₂₁₀ = 3,5714 etCov(X, Y) = 3,5714−2,428×1,476 =−0,011.

Quatrième Exercice

1. Il y a 20 employés dans l’entreprise.

2. On reprend les données en ajoutant les effectifs cumulés :

Nombres de jours d’absence 0 1 2 3 4 5 7 10

Effectif 3 5 2 2 3 3 1 1

Effectifs cumulés 3 8 10 12 15 18 19 20

L’effectif est pair. Le 10 ième élément a pour valeur 2. Le 11 ième élément a pour valeur 3.

La médiane est donc égale à²⁺³₂ = 2,5.

3. On a ²⁰₄ = 5. Le premier quartileQ1 est la valeur du 5 ième terme, c’est-à-direQ1 = 1. On obtient ensuite3×⁵⁰₄ = 15. On en déduit que le troisième quartileQ3 est la valeur du 15 ième terme, c’est-à-direQ₃ = 4. L’écart interquartile est donné parQ₃−Q₁ = 3.

4. Pour représenter la boîte à moustaches de la série, on commence par chercher s’il y a des valeurs exceptionnelles. On a[Q1 −1,5(Q3−Q1);Q3 + 1,5(Q3−Q1)] = [−3,5; 8,5].

On a donc 1 valeurs exceptionnelles : 10. Pour représenter la boîte à moustaches, on prendra comme valeur minimale 0 et comme valeur maximale 7.

2

FIGURE1 – Boîtes à moustache

0 2 4 6 8 10 x

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