Calculs avec les nombres décimaux
I) Calculs d’expressions sans parenthèse :
a) Cas d’expression qui ne contiennent que des additions :
Vocabulaire :
Termes : ………...
Somme : ………
12 + 6 = 18
Termes Somme Exemple :
Calculer la valeur des expressions suivantes :
A = 6 + 7 + 8 + 12 B = 12 + 8 + 7 + 6 C = 8 + 6 + 12 + 7 A = 13 + 8 + 12 B = 20 + 7 + 6 C = 14 + 12 + 7 A = 21 + 12 B = 27 + 6 C = 26 + 7 A = 33 B = 33 C = 33
On constate qu’on obtient la même somme pour les trois expressions A, B et C qui ont les mêmes termes mais disposés dans un ordre différent.
Propriété :
………...
.………..
Application de cette propriété pour simplifier le calcul d’une expression ne contenant que des additions :
Exemple n°1 : Calculer le plus simplement possible la valeur de l’expression A : A = 59 + 28 + 41 + 72
A = 59 + 41 + 28 + 72 A = 100 + 100
A = 200 La valeur de l’expression A est 200.
Exemple n°2 : Calculer le plus simplement possible la valeur de l’expression B : B = 3,2 + 7,6 + 4,8 + 3,4
B = 3,2 + 4,8 + 7,6 + 3,4 B = 8 + 11
B = 19 La valeur de l’expression B est 19.
b) Cas d’expression qui ne contiennent que des multiplications :
Vocabulaire :
Facteurs : ……….
Produit : ………
16 × 3 = 48
Facteurs Produit Exemple :
Calculer la valeur des expressions suivantes :
A = 2 × 3 × 4 B = 4 × 3 × 2 C = 2 × 4 × 3 A = 6 × 4 B = 12 × 2 C = 8 × 3 A = 24 B = 24 C = 24
On constate qu’on obtient le même produit pour les trois expressions A, B et C qui ont les mêmes facteurs mais disposés dans un ordre différent.
Propriété :
……….
………....
Application de cette propriété pour simplifier le calcul d’une expression ne contenant que des multiplications :
Exemple : Calculer le plus simplement possible la valeur de l’expression A : A = 4 × 3 × 25 × 8
A = 4 × 25 × 3 × 8 A = 100 × 24
A = 2 400 La valeur de l’expression A est 2 400.
c) Cas général :
Peut-on, dans le cas général, effectuer comme on vient de le voir pour l’addition et la multiplication, les opérations dans n’importe quel ordre ?
Pour répondre à cette question, nous allons étudier l’exemple du calcul de la valeur d’une expression contenant une addition et une multiplication :
A = 4 + 2 × 3 Premier cas : On commence par l’addition :
A = 4 + 2 × 3 A = 6 × 3 A = 18
Deuxième cas : On commence par la multiplication :
A = 4 + 2 × 3 A = 4 + 6 A = 10
Contrairement aux précédents cas ( a) pour les additions, b) pour les multiplications ), en changeant l’ordre des opérations, nous n’obtenons pas les mêmes résultats. Mais alors quel est le bon résultat ?
Faut-il alors commencer par l’addition ou la multiplication ? Pour le savoir, nous allons nous intéresser à l’opération 2 × 3 qui représente en fait l’addition 3 + 3.
Ainsi, l’expression A = 4 + 2 × 3 peut être remplacée par A = 4 + 3 + 3.
Ainsi :
A = 4 + 3 + 3 A = 7 + 3 A = 10
Conclusion : On obtient le même résultat que lors du calcul de l’expression A où l’on a commencé par la multiplication. On en déduit donc qu’il faut commencer par effectuer les multiplications avant les additions : la multiplication est prioritaire sur l’addition.
On montre de même que :
1) les multiplications et les divisions sont prioritaires sur les additions et les soustractions.
2) Les multiplications et les divisions ont la même priorité.
3) Les additions et les soustractions ont la même priorité.
Propriété :
……….
……….
……….
……….
Exemple : Calculer la valeur de l’expression A = 6 + 3 × 4 – 24 ÷ 8.
A = 6 + 3 × 4 – 24 ÷ 8 on souligne les calculs prioritaires A = 6 + 12 – 3 on les effectue
A = 18 – 3 on effectue les additions et soustractions restantes A = 15
La valeur de l’expression A est 15.
Remarque :
Dans une expression qui ne contient que des multiplications et des divisions, ou que des additions et des soustractions, on effectue les calculs de la gauche vers la droite.
Exemple : Calculer la valeur de l’expression A = 8 × 7 ÷ 4.
A = 8 × 7 ÷ 4 On commence par la multiplication qui est l’opération située le plus à gauche.
A = 56 ÷ 4 On termine par la division.
A = 14
La valeur de l’expression A est 14.
I) Calculs d’expressions avec parenthèses : a) Règle :
……….
………
………
………
Remarque :
( 7 + 6 × ( 12 – 4 ) ) : par quelles parenthèses commence-t-on ?
On commence par les plus intérieures, à savoir les rouges, qui sont situées à l’intérieur des parenthèses bleues. Autrement dit, les parenthèses prioritaires sont celles qui n’en contiennent pas d’autres.
Exemple n°1 : Calculer la valeur de l’expression A = (3 + 7) × (4 + 6).
A = (3 + 7) × (4 + 6) on souligne les calculs prioritaires A = 10 × 10 on les effectue
A = 100 on termine les calculs en appliquant les règles précédentes La valeur de l’expression A est 100.
Exemple n°2 : Calculer la valeur de l’expression B = 3 × (4 + 24 ÷ ( 12 – 4 )).
B = 3 × (4 + 24 ÷ (12 – 4))
B = 3 × (4 + 24 ÷ 8) B = 3 × (4 + 3) B = 3 × 7
B = 21
La valeur de l’expression B est 21.
Exemple n°3 : Calculer la valeur de l’expression C = (4 + 5) × (4 + 3 × (15 – 12)).
C = (4 + 5) × (4 + 3 × (15 – 12)) C = 9 × (4 + 3 × 3)
C = 9 × (4 + 9) C = 9 × 13 C = 117
La valeur de l’expression C est 117.
b) Cas d’un quotient d’expressions :
Règle :
………
………..
………..
………..
Exemple : Calculer la valeur de l’expression A = ×
÷ . A = ×
÷
A =
A = A = 13
La valeur de l’expression A est 13.
Remarque :
Il est possible de passer de l’écriture fractionnaire à l’écriture en ligne : dénominateur entre parenthèses
A = ×
÷ = (3 × 7 + 5) ÷ (9 ÷ 3 – 1) numérateur entre parenthèses
c) Ecriture des expressions en français :
• Cas des quatre opérations de base :
4 + 5 : ………
9 – 6 : ………
3 × 8 : ………
7 ÷ 2 : ………
• Cas général :
Pour l’écriture en français, on commence toujours par l’opération la moins prioritaire.
2 + 4 × 5 : ……….
8 – 2 + 3 : ……….
14 – (2 + 6) : ………..
: ………
