Économétrie II

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Économétrie II

Ch. 4 Autocorrélation L3 Économétrie – L3 MASS

Prof. Philippe Polomé, U. Lyon 2 Année 2015-2016

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Ch. 4.9t,s:cov(et,es)6=0: Autocorrélation

Rappel

1. E(ei) =08i:Espérance nulle 2. Xvar(ei) =s²8i :Homoscédasticité

3. cov(et,es) =08t6=s :Pas d’autocorrélation 4. E(eixi) =08i :Exogénéité

5. XLa matrice X est de plein rang :Pas de multicolinéarité 6. Le modèle estcorrectement spécifié

7. La variable dépendanteY estcontinue

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Ch. 4.9t,s:cov(et,es)6=0: Autocorrélation

Table des matières

Ch. 4.9t,s:cov(et,es)6=0: Autocorrélation Définition & conséquences

Causes & exemples Séries temporelles

Séries temporelles : Tendances Séries temporelles : I(0)

Séries temporelles autorégressives d’ordre 1 AR(1) Test d’autocorrélation AR(1)

Application : Capital Asset Pricing Model Traitement de l’autocorrélation

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Table des matières

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Définition

I 9t,s:cov(et,es)6=0

⌃e = 0 BB B@

s² r₁₂ ··· r_1N s² r_2N ... ...

sym s²

1 CC CA

I Plusieurs formes sont possibles

I Autorégressive d’ordre 1 AR(1) :et=ret 1+µt

I avecµt“bruit blanc”

I À préciser (séries temporelles)

I ⌃_e 6=s²IN

I La matrice de var-cov des erreurs n’est pasdiagonale

I Les observations ne sontpas indépendantesentre elles

(6)

Conséquences

I En principe,bˆ_MCO estnon-biaiséetconsistant

I Ces propriétés ne dépendent pas de⌃_e

I Sauf si autocorrélation causée par un problème plus grave

I Endogénéité

I Intégration I(1) d’une série temporelle

I Gauss-Markov ne s’applique plus=)MCO n’estplus efficient

I Comme hétéroscédasticité :⌃bˆ=⇣

X⁰X⌘ ₁

X⁰⌃_eX⇣

X⁰X⌘ ₁

I Inférence basée sur⌃_b_ˆ=s²⇣

X⁰X⌘ 1

fausse : tests t, F...

I Bootstrap faux car pas indépendance

I 9estimateur pour⌃_b_ˆsemblable à l’estimateur de White en cas d’hétéroscédasticité

I Peu utilisé car l’aurocorrélation est souvent dans un contexte de séries temporelles et on veut les étudier plus en détails

I Exception parfois avec données de panel

(7)

Ch. 4.9t,s:cov(et,es)6=0: Autocorrélation Causes & exemples

Table des matières

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Autocorrélation en séries temporelles

I Forme “naturelle” : Le passé influence le présent / persistance

I Ex. demande de monnaie

I lnM1t=b0+b1lnPIBt+b2lnIPCt+et

I Cette influence peut être capturée par les régresseurs ou pas

I Terme d’erreur capture l’influence de variables ou de chocsomis

I Variables omises : tendances et cycles (ci-dessous)

I Chocs : Souvent l’effet dure plus d’une période

I Cas le plus abondant et objet d’étude des séries temporelles

I Cas AR(1) dans les sections suivantes

I On dit souvent “autocorrélation sérielle”

I Conséquences potentiellement graves (Endogénéité)

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Exemple : Omission d’un terme cyclique

I Données Verbeek, moyennes / 4 semaines, Etats-Unis, 1951-53

I Expliquée : Consommation de crème glacée per capita

I Régresseurs inclus : prix et revenus moyens

I Régresseur omis : température moyenne

(10)

Omission d’un terme cyclique (2)

I La température suit des cycles annuels (été–hiver)

I Les ventes de crème glacée aussi !

I Si la température n’est pas incluse comme régresseur, les résidus suivront les cycles été–hiver

I Ces résidus auront tendance à apparaître groupés par signe = autocorrélation

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Omission d’un terme cyclique : Correction de l’autocorrélation

I Si on a les données correspondantes au régresseur manquant, on ajoute ce régresseur manquant

I Si on a pas les données ...

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Régresseur quadratique manquant Regr manquant.ods

I Monte-Carlo :Y =b₀+b₁x+b₂x²+e avecb₁>0etb₂<0

I Mais on régresseY =b0+b1x+µ

I On “ajuste” une droite dans un nuage de points “courbe”

I Résidus pour des valeurs petites et grandes deX et pour des valeurs moyennes deX

I Il faut ordonner selonXpour le voir

I Pas facilement détecté par logiciel, sauf siXcroit avec le temps

I Conséquences potentiellement graves (Endogénéité)

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Autocorrélation en coupe transversale

I Généralement : autocorrélation si donnéesstructurées

I Coupe transversale, échantillonnage aléatoire)pas d’autocorrélation

I Corrélation spatiale

Résidus régression % County votes pour Bush contre revenu par habitant

Source Y.M. Zukhov, 2010

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Ch. 4.9t,s:cov(et,es)6=0: Autocorrélation Séries temporelles

Table des matières

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Séries temporelles

I En dehors du cas spatial, l’autocorrélation n’est considérée que pour les séries chronologiques

I Variables macro-économiques : PIB, inflation, chômage...

I Suivi mensuel d’un individu / population : emploi, salaire, consommation...

I Cotation d’une action : annuelle, mensuelle, journalière, à la minute. . .

I Taux de change

I Flux de passagers dans une compagnie aérienne

I Ventes / achats

I Rendements : plante, entreprise, titre...

I La suite de ce chapitre leur est consacrée

(16)

Séries temporelles vs. coupes transversales

I Les observations des séries chronologiques sont ordonnées

I l’ordre des observations d’une coupe transversale n’a pas d’importance

I Les observations de séries chronologiques sont issues d’un processus stochastique (aléatoire)

I pas d’un échantillon aléatoire (coupes transversales)

I Les modèles chronologiques sont généralement indexés part: yt=b₀+b₁x1t+. . .+b_kxkt+et

(17)

Modèles à retards distribués

I Le modèleyt=b₀+d₀xt+et est ditstatique

I Courbe de Phillips classiqueinflationt=b₀+b₁chomaget+et I Modèles àretards distribués(du régresseur) finis

I un ou plusieursxaffectentyavec un ou plusieurs retards (lags)

I gft=b₀+d₀tet+d₁tet 1+d₂tet 2+et

I gf “general (average) fertility”

I te“tax exemption”

I “à l’ordre 2”

I d₀= impact immédiat (= de court terme) dexsury

I L’ensembled₀,d₁, . . . ,dqdécrit la relation de long terme entrex ety

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Modèles à retards distribués

I Modèle d’ordre 2yt=b₀+d₀xt+d₁xt 1+d₂xt 2+et I Choc transitoire (1t) surx constant intervenant ent

I yt=b₀+d₀(x+ ) +d₁x+d₂x+et

I yt+1=b₀+d₀x+d₁(x+ ) +d₂x+et+1 I yt+2=b₀+d₀x+d₁x+d₂(x+ ) +et+2 I Choc permanent (à partir det) surxconstant

I yt=b₀+d₀(x+ ) +d₁x+d₂x+et

I yt+1=b₀+d₀(x+ ) +d₁(x+ ) +d₂x+et+1 I yt+2=b₀+d₀(x+ ) +d₁(x+ ) +d₂(x+ ) +et+2

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Ch. 4.9t,s:cov(et,es)6=0: Autocorrélation Séries temporelles : Tendances

Table des matières

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Modèles à tendance

I Le modèleyt=b₀+d₀t+etest unetendance

I y“suit” le temps avec un bruit stochastiquee

I Multiples spécifications de tendance

I Linéaireyt=b0+b1zt+b2t+et,t=1,2. . .T

I Exponentiellelnyt=b0+b1z_t+b2t+et

I Arrive lorsqueya le même taux de croissancetaprèst (ci-dessous)

I Quadratiqueyt =b₀+b₁zt+b₂t+b₃t²+et

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Note sur log

I log(yt) =log(yt) log(yt 1)⇡yt yt 1

yy 1

I Ledifférentielde log (ln en fait) est approximativement égal au taux de croissance

I Pour des taux plutôt faibles

I Une tendance exponentielle sans régresseur est alors lnyt=b₀+b₂t+et

I ln(yt) =b₂+ et: tx de croissance constant + une erreur à espérance nulle

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Régression spurieuse

I Différentes variables économiques chronologiques ont souvent unetendancetemporelle

I Régresser une tendance sur une tendance semble souvent bon

I R²,télevés

I Des facteursinobservéspar l’économètre peuvent causer les tendances

I ⌘problème des cigognes

I Ces facteurs inobservés peuvent êtrecontrôlésen modélisant la tendance temporelle

I p.e. introduire un régresseurt=1, . . . ,T peut ramener la significativité des autres régresseurs à leur juste niveau

I Régression fallacieuse(spurieuse/spurious)

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Exemple tableur Trend Coint RndWalk.odt

I Générer y=a+bt+µ

I =2+3*C3+10*SQRT(-2*LN(RAND()))*SIN(2*PI()*RAND())

I Générer x=ct+v :

I =-10*C3+10*SQRT(-2*LN(RAND()))*SIN(2*PI()*RAND())

I indépendant de y car RAND() génére indépendamment

I Régresser y sur t et une constante (plage L)

I =LINEST(A3 :A53 ;C3 :C53 ;1 ;1)

I Régresser y sur x et une constante (plage M)

I =LINEST(A3 :A53 ;H3 :H53 ;1 ;1)

I Calculer t-stat : x semble significatif

I Insérer tendance dans régression y sur x

I x n’est plus significatif

I Régresser detrended y sur detrended x

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Exemple : investissement immobilier et prix

I Fichier Gretl hseinv.gdt dans données Wooldridge

I Série 1947-88 “housing investment and housing price index”

ln\(invpc) = .55+1.24ln(price)

I L’élasticité de l’investissement individuel (pc) p/r prix est significativement différente de zéro, mais pas de un.

I Un changement de prix est répercuté complèment sur l’investissement

I Mais les deux séries suivent une tendance

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Exemple : investissement immobilier et prix

I En rajoutant une tendance

ln\(invpc) = .91 .38ln(price) +.0098t

I Le prix cesse d’être significatif

I Mais l’investissement (réel) croit d’environ 1% l’an

I Possiblement, cela reflète l’effet de regresseurs omis

I Le résultat antérieur était spurieux

I Siyetxont des trends opposés

I Introduire une tendance peutaccroitrela significativité dex

I La t-stat sur une tendance n’est pas nécessairement correcte (section sur I(1))

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Purger une tendance (detrending)

I Au lieu d’introduire une tendance linéaire : purger les données de la tendance (detrend)

1. Régression de chaque variable du modèle sur une tendance 2. Utilisation des résidus de chaque équation comme nouvelles

variables

I Par exempleyt=b₀+b₁zt+b₂t+et

1. Création de variables purgées de la tendance yt=g₀+g₁t+zt99Ky_t^d= ˆzt

zt=q₀+q₁t+xt99Kz_t^d= ˆxt

2. Régression sur les variables purgéesy_t^d=lz_t^d+nt

I Plus utile de mettre une constante carE y_t^d =E z_t^d =0par construction

(27)

Purger une tendance (2)

I Purger la tendance est une méthode en 2 étapes qui introduit une erreur de mesuresur la deuxième étape

I Les variables purgées de la tendance sont construites à partir de paramètres estimés

I xˆt est une mesure avec erreur dez_t^d

I L’introduction d’une tendance et l’utilisation de variables purgées de la tendance sont deux approcheséquivalentes

I Remarque sur leR²

I Les régressions en séries temporelles ont souvent unR²élevé du seul fait de la tendance

I Mais ne correspond pas au pouvoir explicatif réel du modèle estimé

I LeR²de la régression avec variables purgées de la tendance reflète de manière plus juste le pouvoir explicatif du modèle économique

(28)

Ch. 4.9t,s:cov(et,es)6=0: Autocorrélation Séries temporelles : I(0)

Table des matières

(29)

Stationnarité

I Un processus stochastique eststationnaire

I Lorsque sa distribution ne change pas dans le temps

I paramètres compris

I La stationnarité est semblable à“identiquement distribués”

I Les tendances ne sont pas stationnaires

I car leur espérance change avec le temps

I Un processus stochastique estcovariance-stationnaire

I Si son espérance et sa variance sont constantes dans le temps

I Et si la covariance entre 2 périodes ne dépend que du nombre de périodes entre elles

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Intégration

I Un processus stationnaire est

I Faiblement dépendantou

I Intégré d’ordre zéro I(0)si

I xtetxt+hsont “presque indépendant” quandh!•

I Une définition semblable existe pour un proc. non stationnaire

I Une série covariance-stationnaire est I(0) si la corrélation entre xtetxt+h!0quandh!•

I I(0) implique que la loi des grands nombres et le théorème central limite s’appliquent

I La dépendance faible est semblable à“indépendamment distribués”

I Stationnaire + I(0) remplace l’hypothèse d’échantillon aléatoire simple (iid)

I I(0) est une condition suffisante pour pouvoir utiliser une série en régression

(31)

MA(1) : Processus de moyenne mobile d’ordre 1

I MA(1)xt=et+aet 1,t=1,2, . . .

I {et:t=0,1, . . .}est une séquence i.i.d avec moyenne zéro et variances_e²

I Bruit blanc I Un MA(1) est I(0)

I Les termes adjacents dans une séquence sont corrélés

I Dès qu’il y 2 périodes ou plus entre 2 termes d’un MA(1), la corrélation est zéro caretest i.i.d.

I Commeetest i.i.d., le MA(1) est stationnaire

(32)

Ch. 4.9t,s:cov(et,es)6=0: Autocorrélation Séries temporelles autorégressives d’ordre 1 AR(1)

Table des matières

(33)

AR(1) : e

t

= re

t 1

+ µ

t

processus autorégressif d’ordre 1

I AR(1) est ditstablelorsque|r|<1

I µt⇠iid 0,s_µ² bruit blanc

I Espérance 0, variance constante et covariance 0

I On peut écrireet=µt+rµt 1+r²µt 2+. . .

I D’oùvar(et) =s_e²=s_µ²+r²s_µ²+r⁴s_µ²+. . .= s_µ² 1 r²

I Etcov(et,et 1) =cov(ret 1+µt,et 1) =rs_e²= rs_µ² 1 r²

I Par substitutions répétées dans AR(1)

et=ret 1+µt=r(ret 2+µt 1) +µt=r²et 2+rµt 1+µt=. . .=r^set s+

s 1 i=0Ârⁱµt i

Donccov(et,et s) = r^ss_µ²

1 r² =r^ss_e²

(34)

Matrice var-cov des erreurs AR(1)

⌃e =s_e²

0 BB BB B@

1 r r² ··· r^T ¹ 1 r ··· r^T ²

... ...

1 r

sym 1

1 CC CC CA

=s_e²I_T+s_e² 0 BB BB B@

0 r r² ··· r^T ¹ 0 r ··· r^T ²

... ...

0 r

sym 0

1 CC CC CA

=s_e²I_T+s_e²

AR(1) stable est I(0)

I Stationnaire car µti.i.d.

I Cov!0quand écart entre périodes!•

(35)

Matrice var-cov des coefficients MCO avec erreurs AR(1)

I y=Xb+e avecet=ret 1+µt

I

⌃bˆ =⇣

X⁰X⌘ 1

X⁰⌃eX⇣

X⁰X⌘ 1

=⇣

X⁰X⌘ 1

X⁰⇥s_e²I_T+s_e² ⇤ X⇣

X⁰X⌘ 1

=s_e²⇣

X⁰X⌘ 1

+s_e²⇣

X⁰X⌘ 1

X⁰ X⇣

X⁰X⌘ 1 I On ne peut pas dire si elle est + grande que⌃bˆ=s_e²⇣

X⁰X⌘ ₁

I On ne peut pas dire si les t-stats seront sur- ou sous-évaluées

(36)

Ch. 4.9t,s:cov(et,es)6=0: Autocorrélation Test d’autocorrélation AR(1)

Table des matières

(37)

Examen visuel des résidus

I Voir exemples antérieurs

I Autocorrélation

I Les résidus tendent à être groupés par signe

I Ils changent de signe trop peu souvent par rapport à des résidus non-autocorrélés

I Autocorrélation c’est l’inverse

I Les résidus alternent plus d’une fois sur deux

I Le plus souvent, l’analyse graphique estdélicateà interpréter

(38)

Test de Durbin-Watson

I Test d’autocorrélation de type AR(1) :et=ret 1+µt

I |r|<1

I µt⇠iid 0,s_µ²

I On veut testerH₀:r=0versusH₁:r6=0

I Stat du test :DW =

Â

T t=2

(ˆet ˆet 1)²

Â

T t=1

eˆ_t²

oùˆe=y Xbˆ

(39)

Analyse de DW

I Si on estimeê=aeˆ ₁+navecê ₁=vecteur desêt 1

I aˆ=⇣

ˆe⁰₁ˆe ₁⌘ 1

ˆe⁰₁ˆe=

Â

T t=2

ˆet 1ˆet

Â

T t=2

ˆe_t² ₁

= ˆr

I rˆest un estimateur non-biaisé der

I DW =

Â

T t=2

(ˆet ˆet 1)²

Â

T t=1

ˆe_t²

=

Â

T t=2

ˆe_t²+ ˆe_t² ₁ 2

Â

^T

t=2

ˆetˆet 1

Â

T t=1

ˆe_t²

⇡2 2rˆ

(40)

Règle de décision

I Commer2[ 1,1],DW 2[0,4]avec

I Autocorrélation :rproche de -1,DW proche de 4

I Autocorrélation :rproche de 1,DW proche de 0

I Pas d’autocorrélation :rproche de 0,DW proche de 2

I C’est la 2º “règle du 2” en économétrie (la 1º était le t-stat) I Durbin et Watson (1950) ont tabulé les valeurs critiques de DW

au seuil de 5%

I Taille de l’échantillonT

I Nombre de variables explicativesk

I La table donne 2 valeursd_Letd_U (Low et Up) FIGURE–Règle de Durbin-Watson

(41)

I SiDW <dL: Autocorrélation

I SiDW >4 dL: Autocorrélation

I SiDW 2[dU,4 dU]: pas d’autocorrélation

I EntredLetdU et entre4 dU et4 dLon ne peut conclure

FIGURE–Table de Durbin-Watson à 5%

k = nbr de régresseurs (constante exclue) n = nbr observations (au minimum 15)

(42)

Conditions d’utilisation de Durbin Watson

I DW ne permet de tester que l’autocorrélation d’ordre 1

I Mais souvent c’est la principale

I Intercept obligatoire

I Nombre d’observations 15

I Pasyt 1dans les variables explicatives

I AR(1) :et=ret 1+µt

I Siyt=b0+b1zt+b2yt 1+et

I Alors

yt=b₀+b₁zt+b₂[b₀+b₁zt 1+b₂yt 2+et 1] + [ret 1+µt]

I Donc : corrélation erreur-régresseur : Ch. endogénéité

I On cumule les problèmes (on ne traite pas)

(43)

Tests alternatifs

I DW est un vieux test

I Un de ses intérêts principaux est de minimiser les calculs

I On réutilise les résidus de MCO pour un calcul “simple”

I Test de résidus AR(1) : estimerˆe=aeˆ ₁+n

I Siaˆ est significatif, (t-test) il y a AR(1), ou selon le signe

I Mais sirproche de 1, ce test n’est plus valable

I Test de résidus AR(q) : estimerˆe=aeˆ q+n

I t-test suraˆ

I Test d’autocorrélation plus générale :ˆe=

Â

q i=1

aiˆe i+n

I F-testH0: â1= â2=. . .= âq=0

(44)

Ch. 4.9t,s:cov(et,es)6=0: Autocorrélation Application : Capital Asset Pricing Model

Table des matières

(45)

Application : Capital Asset Pricing Model

I Modèle d’évaluation des actifs financiers (MEDAF)

I Suppose que tout investisseur compose son portefeuille d’actifs en équilibre entre sa rentabilité et son risque

I Investisseur au sens large, p.e. entreprise multiproduit

I Risque = variance de la rentabilité (return)

I D’où chaque investisseur détient un portefeuille ditmean variance efficient

I qui donne le return maximum pour un niveau de risque donné : le risque maximum accepté par l’investisseur

I Si

1. Tous les investisseurs ont les mêmes croyances sur les risques et les returns

2. Il n’y a pas de coût de transaction

Alors, le portefeuille de marché (la somme de tous les

portefeuilles individuels) doitaussiêtre mean variance efficient

(46)

Formalisation

I Si le marché est mean variance efficient,

I alors lereturn espéré d’un actif individuel est une proportion du return espéré du marché:

E(rjt rf) =bjE(rmt rf)

I oùrjt est le return (risqué) sur l’actifjdans la périodet

I rmtest le return du marché ent

I rf est le return sans risque (p.e. bon d’état)

I La différence espéréerjt rf est une rémunération du risque

I bj = facteur de proportionnalité (inconnu)

I indique comment des fluctuations du marché affectent le return de l’actifj

I bj = volatilité de l’actif / celle du marché :bj=cov r_jt,rmt

var(rmt)

(47)

CAPM comme modèle économétrique

I On n’observe pas les espérancesE mais seulement les cours réalisés

I Hypothèse d’espérances rationnelles

I en moyenne les agents ne se trompent pas

Définitions

Returninespéré de l’actif jµjt=rjt E(rjt) Return inespéré dumarchéµmt=rmt E(rmt)

I Alors modèle de régression sans intercept

I rjt rf =bj(rmt rf) +ejt

I avecejt=µjt bjµmt

I Pourrait être hétéroscédastique et/ou autocorrélé

I Sous espérances rationnellesE ejt =0

I On peut montrer que(rmt rf)n’est pas corrélé àejt

(48)

Estimation

I Gretl filecapm.gdt, données Verbeek non-préchargées, disponibles en ligne sur www.econ.kuleuven.ac.be/GME/

I 1988 :1 à 1996 :2

I Returns de 3 grandes entreprises belges sur la bourse de Bruxelles

I Pétrofina, Générale de banque, CBR

I Return du marché = Belgian All Share index

I Actif sans risque : bons du trésor à 3 mois

(49)

Résultats pour Générale de Banque

I On regarde Générale de Banque : définir les rendements nets

I Volatilité Générale (coefficient estimé) :bˆgen´ =.72

I CAPM implique que d’autres régresseurs ne devraient pas être pertinents y-compris une constante

I Constante pas significative : conforme à la théorie

I Effet Janvier : il existe quelques indications que janvier serait un mois dans lequel les returns seraient plus élevés

I pas dans ces données-ci

(50)

Résultats pour Générale de Banque

I Menu modèle!MCO

I Remarque : boutton “retards” = retards distribués des régresseurs

I DW est en sortie standard : 1.80

I avec 98 données & 3 régresseurs, on voit tout de suite qu’on est dans la zone “pas d’autocorrélation”

I Peut paraitre bizarre, mais la régression porte sur des différences de séries

I post-estimation menu “tests”

I p-critique DW = 15% environ

I Autocorrélation AR(x)

I Sélectionner x = ordre d’autocorrélation

I Plusieurs tests

I Sortie MCO modifiée

I Tests (fin d’output) : rejette Hét

I R²“moyen” 47%, mais peu de variables explicatives

I significativité globale très élevée

(51)

Résultats pour CBR

I DW < valeur critique [via tools / statistical tables] : autocorrél

I C’est une erreur ?

I Voir aussi DW p-value dans postestimation

I On va voir à présent ce qu’on peut faire

(52)

Ch. 4.9t,s:cov(et,es)6=0: Autocorrélation Traitement de l’autocorrélation

Table des matières

(53)

Moindres Carrés Généralisés

I Pour autant que l’autocorrélation ne révèle pas un problème plus grave

I Régresseur manquant / endogénéité

I Série temporelle I(1)

I On a vu qu’en présence d’autocorrélation

I MCO sans biais (si exogénéité stricte, cfr ch. suivant)

I MCO ne sont plus de variance minimale

I On cherche un estimateur qui soit de variance minimale

I Proposition

I Soit le modèleY =Xb+eavec⌃_e=s² 6=s²I

I Alors l’estimateurbˆMCG=h

X⁰ ¹Xi 1

X⁰ ¹Y est efficient

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Preuve

I Toute matrice de var-cov est définie positive, doncYaussi

I Pour toute matrice définie positive, on peut définir une matrice carrée non-singulière non nécessairement uniqueP t.q.

P⁰P= ¹

I On transforme le modèle :PY =PXb+Pe99KY^⇤=X^⇤b+e^⇤

I ⌃_e⇤=E⇣ e^⇤e^⇤⁰⌘

=E⇣

Pee⁰P⁰⌘

=PE⇣ ee⁰⌘

P⁰=s²P P⁰

I P P⁰=P⇣ P⁰P⌘ 1

P⁰=PP ¹⇣ P⁰⌘ 1

P⁰ =I

I Donc⌃e^⇤=s²I

I les données transformées ne sont plus autocorrélées

I EtE(e^⇤) =0

I Donc MCO appliqué à ces données est efficient