Chapitre 14
Calculs de probabilité
Sommaire
14.1 Vocabulaire de l'aléatoire. . . 141
14.1.1 Expérience aléatoire . . . 141
14.1.2 Evénement . . . 142
14.1.3 Système complet d'événements . . . 143
14.2 Probabilité et propriétés . . . 144
14.2.1 Dénition d'une probabilité . . . 144
14.2.2 Propriétés calculatoires . . . 144
14.2.3 Cas de l'équiprobabilité . . . 145
14.3 Probabilité conditionnelle . . . 146
14.3.1 Qu'est ce qu'une probabilité conditionnelle ? . . . 146
14.3.2 Formule des probabilités totales. . . 147
14.3.3 Formule des probabilités composées . . . 148
14.3.4 Formule de Bayes. . . 148
14.4 Evénements indépendants . . . 149
14.4.1 Indépendance de deux événements . . . 149
14.4.2 Indépendance de n événements . . . 150 Dans ce chapitre, nous allons commencer à calculer des probabilités. L'aléatoire tient une place impor- tante dans le programme d'ECS. Nous allons revenir sur le vocabulaire de base pour construire la notion de probabilité, puis nous apprendrons à la calculer dans diérents cas intéressants. Ce chapitre est par- ticulièrement propice à la modélisation. Nous commencerons donc à comprendre ce qu'est un modèle, et pourquoi et comment on peut l'utiliser.
14.1 Vocabulaire de l’aléatoire
14.1.1 Expérience aléatoire
Pour calculer des probabilités, il faut se trouver dans un cadre aléatoire. Voyons ce que les mathématiciens appellent de l'aléatoire.
Une expérience aléatoireE est une expérience qui, lorsqu'on la reconduit dans des conditions identiques, peut mener à plusieurs résultats diérents et dont on ne peut pas savoir à l'avance le résultat.
On note usuellement Ω l'ensemble de tous les résultats possibles et on appelle cet ensemble l'univers des résultats possibles.
Dénition 14.1 (Expérience aléatoire)
CHAPITRE 14. CALCULS DE PROBABILITÉ
Exemple 14.1. Donner des exemples d'expériences aléatoires ainsi que l'univers des résultats possibles associés.
Exercice 14.1. On lance deux dès. Quel univers considérer si on s'intéresse à la somme des deux résultats ? Quel univers considérer si on s'intéresse à la valeurs de chacun des dès ?
Exercice 14.2. Une urne contient 1 boule blanche et 4 boules rouges. Quel univers considérer si : 1) on tire successivement deux boules avec remise ?
2) on tire successivement deux boules sans remise ? 3) on tire simultanément deux boules ?
Lorsqu'on veut choisir l'univers avec lequel travailler il faut faire attention à :
ce qu'on veut observer de l'expérience.
comment est modélisé l'expérience.
On veillera également à ne pas prendre un univers inutilement grand ou trop petit.
Méthode 14.1 (Choix de l'univers)
Dans ce chapitre, on ne considèrera que le cas où Ωest un ensemble ni.
Remarque 14.1 (Univers ni)
14.1.2 Evénement
Au sein d'une expérience aléatoire, nous allons vouloir calculer la probabilité que certaines choses se passent. On introduit alors la notion d'événement.
On appelleévénement aléatoireassocié à l'expérience aléatoireE une partie de Ω(c'est à dire un sous-ensemble) dont on peut dire, après avoir observée l'expérience, s'il est réalisé ou non.
Lorsque l'événement est un singleton, on parle d'événement élémentaire.
Dénition 14.2 (Evénement)
Exemple 14.2. Donner des exemples d'événements pour les expériences aléatoires de l'exemple 1.
Exercice 14.3. On tire successivement deux boules avec remise dans une urne contenant 4 boules blanches et 6 boules rouges. A quelle partie de Ωcorrespond l'évènement la première boule tirée est rouge ? Et l'évènement les deux boules tirées sont de couleurs diérentes ?
Maintenant que nous savons ce qu'est un événement, il semble intéressant de pouvoir construire, à partir d'événements xés, de nouveaux événements. On souhaite donc pouvoir faire des opérations avec les événements. Mais puisqu'un événement est un ensemble, nous savons déjà comment opérer. Le tableau suivant fait le lien entre les notations ensemblistes que nous connaissons et le vocabulaire aléatoire.
Vocabulaire aléatoire Notation ensembliste
EvénementA A
EvénementcontrairedeA A
Les évenementsAet B sont réalisés A∩B
L'évenementAouB est réalisé A∪B
Si l'événement Aest réalisé alors l'événementB l'est aussi A⊂B Les événements AetB sontincompatibles A∩B=∅ L'événementAestcertain(il se réalise toujours) A= Ω. L'événementAestimpossible(il ne se réalise jamais) A=∅
Exemple 14.3. On considère l'expérience aléatoire : on lance deux dés discernables. On considère l'uni- vers Ω =J1,6K×J1,6K. Ecrire les ensembles correspondant aux événementsA : "on a obtenu au moins un 6",B : " on a obtenu un double" etC : "on a obtenu un double 6".
Exercice 14.4. SoientA, B et C trois événements. Ecrire, à l'aide d'opérations sur les ensembles, les événements suivants :
1) "au moins un des trois événements s'est réalisé".
2) " un seul s'est réalisé".
3) "un au plus s'est réalisé".
4) "au moins deux ce sont réalisés".
Les lois de distributivité et de Morgan s'appliquent donc avec les événements ! Remarque 14.2 (Calculs avec les ensembles)
14.1.3 Système complet d'événements
Lorsque l'on souhaite traiter des études exhaustives, c'est à dire traiter tous les cas sans redites (on peut faire le parallèle avec la méthode de disjonction des cas), on peut utiliser ce qu'on appelle un système complet d'événements.
Soient n ∈ N∗ et (A1, . . . , An) une famille d'événements. On dit que cette famille forme un système complet d'événements si :
1. les événements sont deux à deuxincompatibles: lorsque i6=j alorsAi∩Aj=∅. 2. la réunion des événements est l'événement certain :∪ni=1Ai= Ω.
Dénition 14.3 (Système complet d'événements)
Exemple 14.4. On lance un dé et on considère Ω = J1,6K. On a alors A ={2,4,6} et B = {1,3,5}
forment un système complet d'événements.
Exercice 14.5. On tire successivement deux boules sans remise dans une urne contenant 3 boules blanches, 2 boules vertes et 1 boule noire. Donner un système complet d'événement.
CHAPITRE 14. CALCULS DE PROBABILITÉ
14.2 Probabilité et propriétés
Nous allons maintenant parler de probabilité et apprendre à en calculer. Commençons par dénir pro- prement une probabilité.
14.2.1 Dénition d'une probabilité
SoitΩun ensemble ni. On appelleprobabilitésur(Ω,P(Ω))une applicationP deP(Ω)dans [0,1]qui vérie :
1. P(Ω) = 1,
2. si(A, B)∈ P(Ω)2 sont deux événements incompatibles, alors P(A∪B) =P(A) +P(B).
Le triplet(Ω,P(Ω), P)est appelé espace probabilisé ni.
Dénition 14.4 (probabilité)
Exercice 14.6. SoitΩun ensemble non vide ni, montrer que l'on dénit une probabilité sur(Ω,P(Ω)) en posant pour toutA∈ P(Ω) :
P(A) = Card(A) Card(Ω).
Nous allons revenir plus tard sur cette probabilité que l'on appelle la probabilité uniforme.
Attention cependant, ce n'est pas une probabilité qui convient pour modéliser toutes les situa- tions.
Par exemple, si on considère l'expérience aléatoire consistant à lancer un dé et qu'on choisit Ω =J1,6Kcomme univers. Choisir dans ce cas de travailler avec la probabilité uniforme revient à considérer que le dé est équilibré.
En revanche, si l'on considère l'expérience aléatoire consistant à lancer deux dès discernables, et qu'on regarde la somme des résultats obtenus en considérant l'univers Ω =J2,12K, alors la probabilité uniforme ne modélise pas le cas où les deux dés sont équilibrés.
Remarque 14.3 (probabilité uniforme)
14.2.2 Propriétés calculatoires
Maintenant que nous savons ce qu'est une probabilité, nous allons apprendre à calculer avec. Les propriétés suivantes nous permettrons de le faire plus simplement.
Soit(Ω,P(Ω), P)un espace probabilisé ni. On a alors : 1. P(A) = 1−P(A).
2. P(∅) = 0.
3. SiA⊂B alorsP(A)≤P(B).
4. Si(Ai)i=1...nest une famille d'événementsdeux à deux incompatibles alors,
P(∪ni=1Ai) =
n
X
i=1
P(Ai).
Propriété 14.1 (Calculer avec une probabilité)
En pratique, on se sert souvent de la propriété 1. lorsqu'on nous demande de calculer des probabilités d'un événement utilisant les mots "au moins". Par exemple, si on veut savoir la probabilité de tirer "au moins une boule noire", il est plus facile de calculer la probabilité de ne tirer "aucune boule noire" et d'enlever le résultat à 1.
La propriété 1. peut également servir à démontrer qu'une probabilité est à valeurs dans [0,1]qui n'est normalement pas dans la dénition.
Remarque 14.4
Soient (Ω,P(Ω), P)un espace probabilisé ni etA,B et Ctrois événements. On a alors : 1. P(A∪B) =P(A) +P(B)−P(A∩B).
2. P(A∪B∪C) =P(A) +P(B) +P(C)−P(A∩B)−P(A∩C)−P(B∩C) +P(A∩B∩C). Propriété 14.2 (Formule du crible ou de Poincaré)
Comme dans le cas du cardinal, la formule de Poincaré peut se généraliser mais cela n'est pas au programme. On retiendra seulement que pour(Ai)i=1,...,n une famille d'événements, on a
P(∪ni=1Ai)≤
n
X
i=1
P(Ai).
Remarque 14.5
14.2.3 Cas de l'équiprobabilité
Nous allons revenir sur la notion de probabilité uniforme qui est la probabilité dans les cas d'équiproba- bilité. Commençons par dénir l'équiprobabilité.
Soit (Ω,P(Ω), P) un espace probabilisé ni. On dit qu'on est dans une situation d'équiprobabilité si tous les événements élémentaires ont la même probabilité.
Dénition 14.5 (Equiprobabilité)
CHAPITRE 14. CALCULS DE PROBABILITÉ
Exemple 14.5. Lorsqu'on lance un dé équilibré, il y a équiprobabilité. De même, si on tire une boule dans une urne contenant des boules indiscernables, il y a équiprobabilité. Avez-vous d'autres exemples ?
Soit(Ω,P(Ω), P)un espace probabilisé ni pour lequel il y aéquiprobabilité. Alors, pour tout événement A∈ P(Ω), on a
P(A) = Card(A) Card(Ω). Théorème 14.1 (Probabilité uniforme)
On paraphrase souvent la formule précédente ainsi :
P(A) =nombre de cas favorables nombre de cas possibles .
Ainsi, lorsqu'il y a équiprobabilité, calculer une probabilité revient à dénombrer des ensembles.
Remarque 14.6
Exercice 14.7. On considère une jeu de 52 cartes. On distribue toutes les cartes à 4 joueurs. On regarde la main obtenu par un joueur donné (sans prendre en compte l'ordre dans lequel il a reçu les cartes).
1. Après voir décritΩ, calculer son cardinal.
2. Quelle est la probabilité que le joueur obtienne un carré de roi ?
Exercice 14.8. On tire simultanément 3 boules dans une urne contenant 5 boules blanches et 10 boules noires. Après avoir décrit l'univers considéré, donner la probabilité de l'événement A :"le tirage ne contient aucune boule blanche".
14.3 Probabilité conditionnelle
14.3.1 Qu'est ce qu'une probabilité conditionnelle ?
Soit(Ω,P(Ω), P)un espace probabilisé ni. On considère un événementB vériantP(B)>0. Pour tout événementA, on dénit la probabilité conditionnelle de AsachantB, que l'on note P(A|B)ouPB(A), par
P(A|B) =P(A∩B) P(B) . Dénition 14.6 (Probabilité conditionnelle)
Cette probabilité mesure la proportion de chance d'obtenir la réalisation de A lorsqu'on sait queB est réalisé. On a d'ailleurs toujours
P(B|B) = 1.
Remarque 14.7 (Interprétation)
Exercice 14.9. On lancé un dé équilibré à 6 faces. Après avoir donné l'universΩ, donner la probabilité de l'événement A : "on obtient un 6" sachant l'événement B : "on obtient un chire pair".
Exercice 14.10. Ma soeur a 2 enfants. J'ai au moins une nièce. Quelle est la probabilité que j'aie un neveu ?
Soit (Ω,P(Ω), P) un espace probabilisé ni. SiB est un événement de Ωvériant P(B)>0 alors l'application PB :P(Ω)→[0,1]dénie par, pour tout événementA,
PB(A) =P(A|B) dénitune probabilité surΩ.
Théorème 14.2
Puisqu'une probabilité conditionnelle est une probabilité,on peut lui appliquer toutes les pro- priétés calculatoiresde la partie 2.2.
Corollaire 1 (Propriétés calculatoires)
Maintenant que nous connaissons les probabilités conditionnelles nous allons voir 3 formules dont l'im- portance est considérable dans le monde des probabilités.
14.3.2 Formule des probabilités totales
Soit(Ω,P(Ω), P)un espace probabilisé ni et(A1, . . . , An)un système complet d'événements de probabilités non nulles. Pour tout événementB, on a
P(B) =
n
X
i=1
PAi(B)P(Ai) =
n
X
i=1
P(Ai∩B).
Théorème 14.3 (Formule des probabilités totales)
Si Aest un événement tel que0< P(A)<1, alors pour tout événementB, on a P(B) =P(B|A)P(A) +P(B|A)P(A).
Remarque 14.8
Exercice 14.11. On lance un dé équilibré. Si le dé donne 1, on tire une carte dans un jeu de 32 cartes.
Si le dé donne 2 ou 3 on tire une carte dans un jeu de 52 cartes. Enn, si le jeu donne 4, 5 ou 6, on choisit au hasard un des quatre rois. Quelle est la probabilité d'obtenir le roi de trèe ?
On pensera à utiliser la formule des probabilités totaleslorsque deux étapes d'une expérience aléatoire s'enchaînent et que la seconde donne des résultats diérents suivant les résultats de la première.
Méthode 14.2 (Formule des probabilités totales)
CHAPITRE 14. CALCULS DE PROBABILITÉ
14.3.3 Formule des probabilités composées
La dénition de la probabilité conditionnelle est équivalente à dire, puisqueP(B)>0, que
P(A∩B) = P(A|B)P(B). Cette formule se généralise à n événements pour donner la formule des probabilités composées.
Soit(Ω,P(Ω), P)un espace probabilisé ni. Soit(A1, . . . An)une famille d'événements tels que P(A1∩ · · · ∩An)>0
alors
P(A1∩ · · · ∩An) =P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1∩A2). . . P(An|A1∩ · · · ∩An−1).
Théorème 14.4 (Formule des probabilités composées)
Exercice 14.12. Une urne contient 10 boules dont 6 sont blanches et 4 sont rouges. On tire successi- vement trois boules sans remise.
Quelle est la probabilité d'obtenir un tirage constitué de 3 boules blanches ?
Lorsque l'on cherche à calculer une probabilité de la forme P(A1∩ · · · ∩An) où chaque Ai
dépend de la ième étape de l'expérience aléatoire et où lesAidépendent les uns des autres, on pensera à utiliserla formule des probabilités composées.
Méthode 14.3
14.3.4 Formule de Bayes
Soit (Ω,P(Ω), P) un espace probabilisé ni. Soient A et B deux événements deprobabilités non nulles. On a alors
P(A|B) =P(B|A)P(A) P(B) . Théorème 14.5 (Formule de Bayes)
Cette formule se généralise à un système complet d'événements de la manière suivante.
Soit(Ω,P(Ω), P)un espace probabilisé ni. Soit(A1, . . . An)un système complet d'événements de probabilités non nulles. Alors, pour tout événementB de probabilité non nulle et pour tout indicei0∈J1, nK, on a
PB(Ai0) = PAi0(B)P(Ai0)
n
X
i=1
PAi(B)P(Ai) . Théorème 14.6 (Formule de Bayes généralisée)
Exercice 14.13. Une urne contient deux dés ; l'un est équilibré et l'autre donne systématiquement un 6. On choisit un dé dans l'urne et on le lance. On obtient 6. Quelle est la probabilité que le dé lancé soit celui qui est équilibré ?
Exercice 14.14. Il y a deux types de jumeaux : les "vrais jumeaux" (monozygotes) et les "faux jumeaux"
(dizygotes). On estime à 20%la proportion de monozygotes parmi l'ensemble des jumeaux. Par ailleurs, les grossesses gémellaires sont de deux types :
bichoriale (deux placentas) pour un tiers des jumeaux monozygotes et pour tous les jumeaux dizygotes.
monochoriale (un seul placenta) dans les autres cas.
Une femme est enceinte de jumeaux et sa grossesse est bichoriale. Calculer la probabilité qu'elle attende de "vrais jumeaux".
On pensera à utiliser laformule de Bayeslorsqu'il sera utile de renverser le conditionnement.
Autrement dit, la formule de Bayes est utile pour les raisonnements rétro-actifs. Si on sait quantier la conséquenceBd'un événementAet que l'on sait l'événementBréalisé, la formule de Bayes permet de savoir si Al'a été.
Méthode 14.4
14.4 Evénements indépendants
Pour terminer, nous allons développer la notion d'indépendance, qui simplie beaucoup les calculs et dont l'utilisation pour modéliser des situations de la vie est courante et souvent cohérente.
14.4.1 Indépendance de deux événements
Soit(Ω,P(Ω), P)un espace probabilisé ni. On dit que deux événementsAetBsontindépen- dants si
P(A∩B) =P(A)P(B).
Dénition 14.7 (Evénements indépendants)
Exemple 14.6. Deux événements ne sont pas, a priori, indépendants. Mais il est courant de faire cette hypothèse lorsqu'on modélise une situation réelle.
Par exemple, si on lance successivement deux dès, les événements "le premier donne un 4" et "le second donne un 4" sont généralement modélisés indépendants.
En revanche, si on tire successivement et sans remise deux boules dans une urne contenant 5 boules jaunes et 4 boules vertes, les événements "la première boule est blanche" et "la seconde boule est blanche" ne sont pas indépendants. Pour rendre les événements indépendants, il faut considérer des tirages avec remise.
Si P(B)>0 et siAet B sont indépendants, alors on a P(A|B) =P(A).
Cela signie en fait que lorsque deux événements sont indépendants, la connaissance de la réalisation de l'un n'apporte rien pour savoir si l'autre a été ou non réalisé.
Remarque 14.9 (Lien avec les probabilités conditionnelles)
CHAPITRE 14. CALCULS DE PROBABILITÉ
Il ne faut pas confondreindépendants etincompatibles! Deux événements in- compatibles sont d'ailleurs bien souvent non indépendants.
Si Aet B sont deux événements de probabilités non nulles, alors on a les équivalences suivantes :
Aet B sont indépendants ⇔P(A|B) =P(A)⇔P(B|A) =P(B).
Si AetB sont indépendants, alors AetB,A etB et AetB sont aussi indépendants.
Propriété 14.3 (Indépendance)
Exercice 14.15. •On lance un dé à 6 faces équilibré. Les événements A :"on obtient un tirage pair"
et B : "on obtient le tirage 3 ou 6" sont-ils indépendants ?
• Dans un jeu de 52 cartes, on prend une carte au hasard : les événements "tirer un roi" et "tirer un pique" sont-ils indépendants ? Quelle est la probabilité de "tirer un roi ou un pique " ?
•La famille Pantanella comporte 2 enfants. Les événements A : " il y a deux enfants de sexes diérents"
et B : "il y a au plus une lle" sont-ils indépendants ? Même question si la famille comporte trois enfants.
14.4.2 Indépendance de n événements
Soient (A1, . . . , An), n événements d'un espace probabilisé (Ω,P(Ω), P). Les événements Ai sont dits mutuellement indépendants ou indépendants dans leur ensemble si pour tout k ∈ J1, nK, et pour tout ensemble distincts{i1, . . . , ik} ⊂ {1, . . . , n}, on a
P(Ai1∩Ai2∩ · · · ∩Aik) =P(Ai1)P(Ai2). . . P(Aik).
Dénition 14.8 (In dépendance à n événements)
Trois événements A,B etC sont mutuellement indépendants si :
P(A∩B) =P(A)P(B), P(B∩C) =P(B)P(C), P(A∩C) =P(A)P(C), mais aussi
P(A∩B∩C) =P(A)P(B)P(C).
On comprend donc bien que des événements mutuellement indépendants sont indépendants deux à deux mais la réciproque est fausse dans le cas général.
Remarque 14.10 (Ne pas confondre indépendants et mutuellement indépendants)
Exercice 14.16. On lance deux fois de suite un dé équilibré et on considère les événements A :"le premier lancer est pair", B :"le second lancer est pair" et C :" la somme des deux lancers est impaire".
Montrer que ces événements sont indépendants deux à deux mais pas dans leur ensemble.
