Les syst` emes hydrog´ eno¨ıdes

Compl´ ement 2

Les syst` emes hydrog´ eno¨ıdes

2.1. Introduction

L’atome d’hydrog`ene constitue le syst`eme atomique le plus simple que l’on puisse imaginer. Il s’agit d’un syst`eme `a deux corps, susceptible d’un traitement rigoureux, dont les r´esultats serviront de guides pour l’´etude des syst`emes plus complexes. Dans ce chapitre, le spin des particules sera ignor´e.

On consid`ere un syst`eme compos´e d’un noyau de masse M et charge Ze et d’un ´electron de masse m. Comme l’interaction entre les deux particules ne d´epend que de leurs coordonn´ees relatives, on peut d´ecoupler le mouvement du centre de masse et consid´erer un syst`eme de masse r´eduiteµ= mM/(m+M).

Le comportement de ce syst`eme est d´ecrit par une fonction d’onde Ψ qui satisfait l’´equation de Schr¨odinger d´ependante du temps

i~

∂

∂tΨ =HΨ (2.1)

avec

H = T +V (2.2)

T = −~²

2µ∇² (2.3)

V = − Ze² 4πε0

1

r. (2.4)

Le potentielV ´etant ind´ependant du temps, l’´equation (2.1) admet des solutions de la forme Ψ(r, t) =ψE(r) exp

−i

~Et

(2.5) o`u E ne d´epend pas du temps etψE(r) satisfait l’´equation de Schr¨odinger ind´ependante du temps

HψE=EψE. (2.6)

On dit queψEest une fonction propre deH, de valeur propreE. L’objectif de ce chapitre est de d´eterminer les valeurs propres (spectre d’´energie) et les fonctions d’onde des´etats li´esdes syst`emes hydrog´eno¨ıdes.

2.2. Potentiel central. S´ eparation des variables

En m´ecanique quantique, l’application de la notion de sym´etrie conduit `a l’identification d’op´erateurs commutants dont le m´erite est de permettre de simplifier consid´erablement les probl`emes math´ematiques.

La s´eparation de l’´equation de Schr¨odinger en coordonn´ees sph´eriques d’une particule dans un potentiel purement radial en est un exemple typique.

Comme le potentiel V ne d´epend que de la distance r entre l’´electron et le proton, il est naturel de travailler en coordonn´ees sph´eriques{r, θ, φ}. L’op´erateur cin´etiqueT s’´ecrit sous la forme

T =−~² 2µ

1 r²

∂

∂r

r² ∂

∂r

+ 1

r²sinθ

∂

∂θ

sinθ ∂

∂θ

+ 1

r²sin²θ

∂²

∂φ²

. (2.7)

L’expression (2.7) peut encore s’´ecrire sous la forme simple T =−~²

2µ 1

r²

∂

∂r

r² ∂

∂r

− L²

~²r²

, (2.8)

o`u L=r×p=−i~r×∇ est l’op´erateur moment angulaire etL²=L²_x+L²_y+L²_z. Les op´erateursH,L² etL_z commutent :

[H,L²] = 0 [H, L_z] = 0.

Ils admettent donc un ensemble commun de fonctions propres (d´emonstration Messiah, V-14). Les fonctions propres des op´erateursL²et Lz sont les harmoniques sph´eriques :

Y_`m(θ, φ) = (−1)^m

(2`+ 1)(`−m)!

4π(`+m)!

¹₂

P_{`</sub><sup>m</sup>(cosθ) e<sup>imφ</sup> (m≥0) (2.9) Y<sub>`}^−m(θ, φ) = (−1)^m[Y_{`</sub><sup>m</sup>(θ, φ)]<sup>∗</sup> (2.10) L<sup>2</sup>Y<sub>`m}=−~²

1 sinθ

∂

∂θ

sinθ ∂

∂θ

+ 1

sin²θ

∂²

∂φ²

Y_{`m</sub>=`(`+ 1)~<sup>2</sup>Y<sub>`m} (2.11) LzY`m=−i~ ∂

∂φY`m=m~Y`m. (2.12)

Les fonctions propres de l’hamiltonienH sont donc de la forme

ψ_{E`m</sub>(r, θ, φ) =R<sub>E`}(r)Y<sub>`m</sub>(θ, φ) (2.13) Substituant l’expression (2.13) dans l’´equation de Schr¨odinger (2.6) avec l’expression (2.8) pour l’op´era- teur ´energie cin´etique T, nous trouvons que la fonction radialeRE`(r) doit satisfaire l’´equation

−~² 2µ

1 r²

d dr

r² d

dr

−`(`+ 1) r²

+V(r)

RE`(r) =ERE`(r). (2.14) Cette ´equation montre que la fonction radialeR_E`(r) ne d´epend pas du nombre quantiquem. L’´equation (2.14) peut se simplifier en posant

RE`(r) = 1

ruE`(r). (2.15)

En substituant (2.15) dans (2.14), on trouve en effet que la fonction d’onde r´eduiteuE`(r) doit satisfaire l’´equation

−~² 2µ

d²

dr² +`(`+ 1)~²

2µr² +V(r)

uE`(r) =EuE`(r). (2.16)

2.3. Spectre de Rydberg

Les solutions physiques ne d´ependent pas uniquement de l’´equation diff´erentielle qui les gouverne, mais

´

egalement des conditions limites ! L’interpr´etation de Born de la fonction d’onde, comme densit´e de probabilit´e de pr´esence, impose `a la fonction d’onde d’ˆetre de carr´e sommable. Cette condition conduit `a la quantification de l’´energie des ´etats li´es de l’hydrog`ene.

Dans le cas d’un syst`eme hydrog´eno¨ıde, la fonction d’onde r´eduiteuE`(r) (2.15) satisfait l’´equation d²

dr² +2µ

~²[E−Veff(r)]

uE`(r) = 0 (2.17)

avec

Veff(r) =−Ze² 4πε0

1

r+`(`+ 1)~²

2µr² . (2.18)

0 5 10 15 20 25 30 35 40

r (a ₀)

−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1 0.0 0.1 0.2 0.3

Veff (Hartrees)

l=0 l=1

l=2

l=3

Fig. 2.1 – Potentiel effectifVeff pourZ = 1

A l’originer= 0,il fautque la fonction d’onde r´eduiteuE`(r) (2.15) s’annule

uE`(0) = 0 (2.19)

afin que la fonction radialeRE`(r), et doncψE`m(r), reste finie.

Pour simplifier les notations, on introduit les quantit´es sans dimension ρ=

−8µE

~^{2 1/2}

r (2.20)

ainsi que

λ= Ze² 4πε₀~

− µ 2E

1/2

=Zα

−µc² 2E

^1/2

(2.21)

o`u α= e²/(4πε0~c)≈1/137 est la constante de structure fine. Elles nous permettent d’´ecrire l’´equation (2.17) sous la forme simple

d²

dρ² −`(`+ 1) ρ² +λ

ρ −1 4

uE`(ρ) = 0. (2.22)

Lorsque ρ → ∞, les termes en 1/ρ et 1/ρ² deviennent n´egligeables et les deux solutions possibles de (2.22) sont alors de la forme exp(±ρ/2). Puisque nous recherchons uniquement les solutions born´ees, nous retenons la solution asymptotiquement d´ecroissante

u_E`(ρ) _ρ→∞^∼ e^−ρ/2. (2.23)

La fonctionu_E`(ρ) doit donc ˆetre de la forme

u_{E`</sub>(ρ) = e<sup>−ρ/2</sup>f<sub>E`}(ρ) (2.24)

avecf_E`(ρ) satisfaisant l’´equation d²

dρ² − d

dρ−`(`+ 1) ρ² +λ

ρ

f_E`(ρ) = 0. (2.25)

D’autre part, lorsqueρ→0, c’est le terme en 1/ρ²qui devient dominant dans (2.22). La solution r´eguli`ere est de la forme

uE`(r) <sub>ρ→0</sub><sup>∼</sup> ρ<sup>`+1</sup> (2.26)

(la solution irr´eguli`ere ´etant de la formeρ<sup>−`</sup>). Supposons que fE`(ρ) puisse s’´ecrire sous la forme

fE`(ρ) =ρ<sup>`+1</sup>gE`(ρ) (2.27)

avec

gE`(ρ) =

∞

X

k=0

ckρ^k, c06= 0. (2.28) En substituant (2.27) dans (2.25), on obtient l’´equation que doit satisfaire g_E`(ρ)

ρd²

dρ² + (2`+ 2−ρ) d

dρ+ (λ−`−1)

g_E`(ρ) = 0. (2.29)

En substituant (2.28) dans (2.29), on obtient la relation de r´ecurrence que doit satisfaire les coefficients du d´eveloppement deg_E`(ρ)

ck+1= k+`+ 1−λ

(k+ 1)(k+ 2`+ 2)ck. (2.30)

Si la s´erie (2.28) ne se termine pas, ck+1/ck ∼1/k pour les grandes valeurs de k. Il est facile de v´erifier que ce rapport est le mˆeme que celui pour la s´erie deρ^pexp(ρ), o`u pa une valeur finie. Il faudrait donc en d´eduire que

uE`(ρ) <sub>ρ→∞</sub><sup>∼</sup> ρ<sup>`+1+p</sup>e^ρ/2 (2.31)

ce qui est en contradiction avec (2.23). Il faut donc que la s´erie (2.28) soit finie, c-`a-d que la fonction gE`(ρ) soit un polynˆome. Supposons que ce polynˆome soit de degr´enr(nrentier nul ou positif). Comme par d´efinitioncn_r+1= 0, on a

n_r+`+ 1−λ= 0 (2.32)

c-`a-d

λ=nr+`+ 1. (2.33)

λest donc un nombre entier positif. On l’appelle le nombre quantique principal de la solution et on le noten. La relation (2.21) fournit la valeur propreE_n de la solution

E_n=− 1 2n²

Ze² 4πε₀

² µ

~²

=−1

2µc²(Zα)²

n² . (2.34)

2.4. Nomenclature et d´ eg´ en´ erescence des ´ etats

Rappels sur les constantes du mouvement en m´ecanique quantique

Consid´erons l’´equation de Schr¨odinger et sa complexe conjugu´ee i~

∂

∂tΨ = HΨ. (2.35)

−i~

∂

∂tΨ^∗ = (HΨ)^∗. (2.36)

Le taux de variation au cours du temps de la valeur moyenne d’un op´erateurA est donc donn´ee par d

dthAi = d dt

Z

Ψ^∗AΨ dr

=

Z ∂Ψ^∗

∂t AΨ + Ψ^∗∂A

∂tΨ + Ψ^∗A∂Ψ

∂t

dr

= ∂A

∂t

+ 1 i~

Z

Ψ^∗(AH−HA)Ψ dr. (2.37)

Dans le cas particulier o`u l’op´erateurAest ind´ependant du temps, on a d

dthAi= 1 i~

h[A, H]i. (2.38)

SiAcommute avec l’hamiltonienH, sa valeur moyenne ne varie pas au cours du temps, c’est une constante du mouvement.

Le comportement d’un syst`eme quantique ´etant r´egi par sa fonction d’onde, les propri´et´es habituelles dans le monde classique, telles que la dimension d’un atome ou la vitesse d’un ´electron dans un atome, ne sont pas pr´ecis´ement d´efinies. Les grandeurs caract´eristiques de la structure atomique sont les constantes du mouvement, c-`a-d les valeurs propres des observables dont l’op´erateur commute avec l’hamiltonien.

Les ´etats propres de l’atome hydrog´eno¨ıde sont caract´eris´es par 1. un moment angulaire orbital d´efini, de norme ´egale `a p

`(`+ 1)~. Suivant que`= 0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .on parle d’´etat s, p, d, f, g, h, etc, . . .

2. un nombre quantique principalndont on fera pr´ec´eder la lettre s, p, d, . . ..

Le niveau le plus bas correspond `an= 1, ensuite 2s et 2p, 3s, 3p, 3d, et ainsi de suite. Il est important de noter que tous les niveaux d’´energie, sauf celui du fondamental 1s, sont d´eg´en´er´es, c-`a-d qu’il leur correspond plusieurs ´etats distincts, correspondant `a des fonctions d’onde ind´ependantes.

Les valeurs propres sont ind´ependantes de`. Cette d´eg´en´erescence accidentelle est une cons´equence non triviale de la forme du potentiel coulombien enr<sup>−1</sup>. Elle se d´emontre `a l’aide de la th´eorie des groupes (repr´esentation du groupe SO(4)). Classiquement, elle correspond `a la conservation du vecteur de Runge- Lenz.

Comme la puissance du polynˆomegE` vautnr=n−`−1 qui est forc´ement nul ou positif, il y an−1 valeurs possibles de ` pour chaque valeur de n : ` = 0,1, . . . , n−1. D’autre part, il y a 2`+ 1 valeurs possibles de m pour chaque valeur de ` : m = −`,−`+ 1, . . . , `−1, `. Le degr´e de d´eg´en´erescence du niveauEn vaut

n−1

X

`=0

(2`+ 1) =n². (2.39)

−0.7

−0.6

−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1 0.0 0.1 0.2

1s n=2 n=3n=4

Fig.2.2 – Spectre d’´energies de l’atome d’hydrog`ene

Ce degr´e de d´eg´en´erescence ´elev´e des niveaux atomiques aura des cons´equences capitales sur les processus physiques.En effet, l’effet d’une perturbation est beaucoup plus important sur des

´

etats d´eg´en´er´es que sur des ´etats non d´eg´en´er´es.

Il faut cependant noter que le spectre des syst`emes hydrog´eno¨ıdes est anormalement d´eg´en´er´e, suite `a la d´eg´en´erence accidentelle en `. Le degr´e de d´eg´en´erescence des autres syst`emes atomiques - c-`a-d la majorit´e - est relativement plus faible.

2.5. Etudes des fonctions d’onde radiales

Les polynˆomes gE`(ρ) sont des polynˆomes de Laguerre associ´es. Ceux-ci sont en effet d´efinis comme solutions de l’´equation diff´erentielle

x d²

dx²+ (K+ 1−x) d dx+N

L^K_N(x) = 0. (2.40)

En comparant (2.29) et (2.40), on constate que

gE`(ρ) =L<sup>2`+1</sup>_n−`−1(ρ). (2.41)

Les fonctions d’onde normalis´ees des ´etats li´es de l’atome d’hydrog`ene sont ψn`m(r, θ, φ) =−

"

2Z na_µ

³ (n−`−1)!

2n[(n+`)!]³

#1/2

e^−ρ/2ρ^{`</sup>L<sup>2`+1}<sub>n−`−1</sub>(ρ)Y`m(θ, φ) (2.42) o`u nous avons remplac´e l’indiceE parnpuisque ces deux quantit´es sont reli´ees par la relation univoque (2.34). La variable ρ est donn´ee par l’´equation (2.20). En y substituant l’expression (2.34) de la valeur propreE, elle peut ´egalement s’´ecrire sous la forme

ρ= 2Z

na_µr (2.43)

o`u on a d´efini

aµ= 4πε0~²

µe² . (2.44)

Dans l’approximation du noyau infiniment lourd (µ=m),aµ se r´eduit `a a₀= 4πε₀~²

me² (2.45)

que l’on appelle le rayon de Bohr (voir justification dans la section “Unit´es atomiques”). Les fonctions radiales pour les ´etats les plus bas du spectre sont alors de la forme :

R10(r) = 2(Z/a0)^3/2exp(−Zr/a0)

R20(r) = 2(Z/2a0)^3/2(1−Zr/2a0) exp(−Zr/2a0)

R30(r) = 2(Z/3a0)^3/2(1−2Zr/3a0+ 2Z²r²/27a²₀) exp(−Zr/3a0) R₂₁(r) = 1

√3(Z/2a₀)^3/2(Zr/a₀) exp(−Zr/2a0) (2.46) R31(r) = 4√

2

9 (Z/3a0)^3/2(1−Zr/6a0)(Zr/a0) exp(−Zr/3a0) R32(r) = 4

27√

10(Z/3a0)^3/2(Zr/a0)²exp(−Zr/3a0)

Les fonctions d’onde et fonctions de distribution radiale de quelques ´etats de l’atome d’hydrog`ene (Z= 1) sont pr´esent´ees dans les figures (2.3–2.6).

On remarque que les fonctions d’onde s ont une amplitude non nulle enr= 0, contrairement aux fonctions d’onde des ´etats`6= 0 qui se comportent enr<sup>`</sup>pr`es de l’origine. C’est le potentiel centrifuge`(`+1)~<sup>2</sup>/2µr<sup>2</sup> qui empˆeche l’´electron de p´en´etrer dans le noyau. Pour une mˆeme valeur den, les ´etats de` les plus bas ont une amplitude plus importante pr`es der= 0 (voir figure 2.5).

0 10 20 30 40 50 r (a ₀)

−0.1 0 0.1

Rnl (r)

0 10 20

0.0 1.0 2.0

Rnl (r)

0 10 20 30 40 50

r (a ₀) 0

0.2 0.4 0.6

Dnl(r)

Fig. 2.3 – Fonction d’onde radialeR_{n`</sub>(r) et fonction de distribution radialeD<sub>n`}(r) =r²|Rn`(r)|<sup>2</sup> des 4 premiers ´etats s, 1≤n≤4. Le nombre de noeuds est ´egal `an−1.

0 20 40 60 r (a ₀)

−0.05 0 0.05 0.1 0.15

Rnl (r)

0 20 40 60

r (a ₀) 0

0.05 0.1 0.15 0.2

Dnl(r)

Fig. 2.4 – Fonction d’onde radialeRn`(r) et fonction de distribution radialeDn`(r) =r²|Rn`(r)|<sup>2</sup> des 4 premiers ´etats p, 2≤n≤5. Le nombre de noeuds est ´egal `a n−2.

0 10 20 30 40 50 r (a ₀)

−0.1 0 0.1 0.2

Rnl (r)

0 10 20 30 40 50

r (a₀) 0

0.02 0.04 0.06 0.08

Dnl (r)

Fig. 2.5 – Fonction d’onde radiale Rn`(r) et fonction de distribution radialeDn`(r) =r²|Rn`(r)|² des

´

etats 4s, 4p, 4d et 4f. Le nombre de noeuds est ´egal `a 4−`−1.

La probabilit´e de trouver l’´electron dans une coque sph´erique comprise entreretr+ drest donn´ee par r²|R_n`(r)|²dr

Z

dΩ|Y_`m(θ, φ)|². (2.47)

Les harmoniques sph´eriques ´etant normalis´ees `a 1, on en d´eduit que la probabilit´e par unit´e de longueur de trouver l’´electron `a une distancerdu noyau vaut

Dn`(r) =r<sup>2</sup>|Rn`(r)|². (2.48)

Dn`(r) est la fonction de distribution radiale.

La fonction de distribution radiale de l’´etat 1s a un maximum en r =a₀ (voir figure 2.3), le rayon de l’´etat fondamental de l’hydrog`ene obtenu dans le mod`ele de Bohr. D’une mani`ere plus g´en´erale, sachant que les fonctions d’onde des ´etats de nombres quantiquesn, `=n−1 se comportent comme

R_n,`=n−1(r)∼rⁿ⁻¹exp

−Zr na_µ

, (2.49)

on d´emontre que leurs fonctions de distribution radiale ont un maximum situ´e en r= n²

Zaµ, (2.50)

qui est la valeur obtenue dans le mod`ele de Bohr.

Plus le nombre quantique nd’un ´etat est ´elev´e, plus l’´etat correspondant est excit´e. Un ´etat de grand n est appel´e ´etat de Rydberg. A ´echelle atomique, la fonction d’onde d’un tel ´etat s’´etend sur de tr`es grandes distances, comme le sugg`ere l’expression (2.50). Sur la figure (2.6), on peut voir que la fonction d’onde de l’´etat 50s s’´etend jusque 5000 a0=0.27µm.

0 50 100 150

200

−0.04

−0.02 0 0.02 0.04

200 400 600 800 1000 1000 3000 5000

Fig.2.6 – Fonction d’onde radiale r´eduite de l’´etat 50s

2.6. Parit´ e des orbitales atomiques

Consid´erons l’op´erateur d’inversion par rapport `a l’origine I ≡ r → −r. Comme I² = 1, l’op´erateur identit´e, les valeurs propres de I sont +1 et -1. Une fonction de valeur propre +1 pour l’op´erateur d’inversion est dite paire, une fonction de valeur propre -1 pour l’op´erateur d’inversion est dite impaire.

En coordonn´ees sph´eriques, l’inversion revient `a remplacer{r, θ, φ}par{r, π−θ, φ+π}. Or, nous avons d´emontr´e que

Y_`^m(θ, φ) = (−1)^m s

2`+ 1 4π

(`−m)!

(`+m)!P<sub>`</sub>^m(cosθ) e^imφ, m≥0 Y_`^m(θ, φ) =

s 2`+ 1

4π

(`− |m|)!

(`+|m|)!P<sub>`</sub>^|m|(cosθ) e^imφ, m≤0.

D’autre part, nous savons que (voir Annexe 2 du Chapitre 1)

P_n^m(−x) = (−1)^n+mP_n^m(x). (2.51)

Sous l’inversion, l’harmonique sph´erique se transforme donc en

Y`m(π−θ, φ+π) = (−1)<sup>`+m</sup>e^imπY_{`</sub><sup>m</sup>(θ, φ) = (−1)<sup>`</sup>Y`m(θ, φ). (2.52) La parit´e de l’harmonique sph´erique Y<sub>`m}(θ, φ) vaut (−1)<sup>`</sup>, elle est ´egale `a la parit´e de`.

Il est ´evident que l’hamiltonienHd’un syst`eme hydrog´eno¨ıde est invariant sousI,IH=HIet [I, H] = 0.

Par cons´equent, il est possible de d´efinir des fonctions propres deH qui sont ´egalement fonctions propres deI. Si l’on applique l’op´erateurI `a l’orbitaleψE`m(r, θ, φ) =RE`(r)Y`m(θ, φ), on obtient

I[RE`(r)Y`m(θ, φ)] =RE`(r)Y`m(π−θ, φ+π). (2.53) La parit´e d’une orbitaleψE`m est donc ´egale `a la parit´e de l’harmonique sph´eriqueY`m(θ, φ). Ceci est un r´esultat important qui est `a la base des r`egles de s´election.

2.7. Unit´ es atomiques

La pr´ecision des pr´edictions th´eoriques en physique quantique, combin´ee `a celle des exp´eriences r´ealis´ees dans ce domaine, permet de d´efinir un syst`eme d’unit´es extrˆemement fiable. Par exemple, l’unit´e de temps du syst`eme international (S.I.), la seconde, vaut 9 192 631 770 p´eriodes de la radiation correspondant `a la transition entre deux niveaux hyperfins dans la configuration du fondamental de C´esium 133.

Le syst`eme d’unit´es international (S.I.), bas´e sur le m`etre, la seconde et le kilogramme, n’est pas tr`es pratique en physique atomique, o`u les dimensions sont beaucoup plus petites que celles du monde ma- croscopique. On d´efinit ainsi un syst`eme mieux adapt´e, appel´e syst`eme d’unit´es atomiques (u.a.) et bas´e sur les d´efinitions suivantes :

e = 1 u.a. de charge = 1.602176462×10⁻¹⁹Coulomb m = 1 u.a. de masse = 9.109 381 88×10⁻³¹kg

~ = 1 u.a. de moment angulaire = 1.054 571 596×10⁻³⁴Js 1

4πε₀ = 1 u.a. = 8.987 551 79×10⁹ S.I. (2.54)

Cette derni`ere ´equation montre que le choix des unit´es pour l’interaction ´electromagn´etique correspond

`

a celle du syst`eme cgs. Dans le syst`eme d’unit´es atomiques, l’unit´e de longueur est le rayon de Bohr a₀=4πε₀~²

me² = 5.29177×10⁻¹¹m`etre = 1. (2.55) L’unit´e d’´energie correspond `a

e²

4πε₀a₀, (2.56)

elle est ´egale au double du potentiel d’ionisation de l’´etat fondamental de l’atome d’hydrog`ene, qui est l’oppos´e de (2.34) avecn= 1, e = 1,Z = 1 etµ= m = 1 :

1 2

e² 4πε0

² m

~²

. (2.57)

L’unit´e d’´energie porte le nom de Hartree, elle vaut 27.2116 eV. Puisque la constante de structure fineα α= e²

4πε₀~c (2.58)

est sans dimension, on en d´eduit que la vitesse de la lumi`ere dans le syst`eme d’unit´es atomiques vaut 1/α≈137. L’unit´e de vitesse est

v₀=αc = e² 4πε0~

= 2.18769×10⁶m`etre/sec (2.59)

qui est la vitesse de l’´electron sur la premi`ere orbite dans le mod`ele de Bohr. L’unit´e de temps est a0/v0= 2.41889×10⁻¹⁷sec, le temps requis pour un ´electron sur la premi`ere orbite de Bohr de parcourir un rayon de Bohr.

Dans l’approximation d’un noyau infiniment lourd, l’´equation de Schr¨odinger (2.1) s’´ecrit en unit´es ato- miques sous la forme simple

i∂

∂tΨ =HΨ avec H =−1

2∇²_r− Z

r². (2.60)

L’´equation pour la fonction d’onde radiale r´eduite d’un syst`eme hydrog´eno¨ıde (2.17) en unit´es atomiques

est d²

dr² −`(`+ 1) r² +2Z

r −2E

u(r) = 0. (2.61)