FILTRES
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Un quadrupôle constitué de deux dipôles (D1) et (D2), disposés comme l’indique la figure ci- contre, contient une résistanceR, un condensa- teur de capacité C et une bobine d’inductance L. Seules les bornes d’entrée et de sortie sont accessibles à l’expérimentateur.
On réalise les mesures suivantes :
. On relie l’entrée à une pile de f.e.me(t) = E0 = 15V, la sortie étant ouverte. On mesure, en régime établi, un courant d’entrée d’intensité I(t) = I0 = 15 mA.
. On remplace la pile précédente par un générateur de tension sinusoïdalee(t) = E0cosωtet on effectue une étude en fréquence du système. L’expérience montre qu’il s’agit d’un filtre passe-bande dont le gain passe par sa valeur maximale pour la fréquence f0 = 1,16 kHz et dont la bande passante à−3 dB vaut ∆f = 0,34kHz.
Déterminer la disposition et la valeur numérique des composants dans le quadripôle.
2 Entrée d’un oscilloscope
L’impédance d’entrée d’un oscilloscope est caractérisée par un groupement parallèle R0, C0. On souhaite étudier un filtre RC série (voir figure ci-dessous). La tension de sortie us du filtre est envoyée à l’entrée de l’oscilloscope. On donne R = 1,0 kΩ ou 100 kΩ, C = 10 nF, R0 = 1,0MΩ etC0 = 30 pF.
1. Déterminer la fonction de transfert H = us
ue du filtre RC seul. Quelle est sa fréquence de coupure ?
2.Donner la fonction de transfert de l’ensemble {RC + oscilloscope}. Comment est modifiée la fréquence de coupure et le gain à basse fréquence du fait de la présence de l’oscilloscope ? On comparera les cas où R = 1,0 kΩet où 100 kΩ. Commenter.
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3 Filtrage de la tension délivrée par une alimentation
“continue”
Une alimentation “continue” est basée sur le redressement de la tension sinusoïdale délivrée par un transformateur. En conséquence, elle n’est pas parfaitement continue : elle contient une composante variable de fréquence 100 Hz. Cette tension est supposée de la forme
e(t) = E0+ ∆Ecos(200πt)avecE0 = 10V et∆E = 0,1V (∆EE
0 est appelé taux d’ondulation).
Le dispositif de résistanceRu = 100 Ω auquel elle est branchée nécessite une tension continue d’au moins 9V avec un taux d’ondulation inférieur à 1/1000.
1. Quel(s) type(s) de filtre pourrait-on utiliser pour obtenir le résultat souhaité ?
2. Déterminer le couple de valeurs(R, C)du montage suivant réalisant les conditions deman- dées avec la valeur de C la plus petite possible.
R
C Ru
e(t) s(t)
3. Montrer que le montage ci-dessous permet d’éliminer théoriquement totalement l’ondula- tion.
Pourquoi n’est-ce pas vrai en pratique ?
Ru
e(t) s(t)
L
C
Sachant que L= 1 mH, calculer la valeur de C permettant d’éliminer l’ondulation.
4 Filtre RC
On étudie le filtre ci-contre.
1. En effectuant un schéma équivalent en BF (basse fréquence) et en HF (haute fréquence), déterminer sans calcul le type de ce filtre.
2. Déterminer sa fonction de transfertH(jω).
3. Déterminer sa pulsation de coupure ω0 en fonction de R etC.
4. On a tracé ci-dessous le diagramme de Bode de ce filtre. Justifier les parties rectilignes du diagramme de Bode en gain ainsi que les valeurs asymptotiques de la phase. Déterminer la valeur du produit RC.
5. En haute fréquence, pourquoi parle-t-on d’une intégration ? Comment vérifie-t-on cette propriété sur la diagramme de Bode (en gain et en phase) ?
6. Déterminer l’expression du signal de sortie si l’entrée vaut 10 cos 2π.900t+π3 .
10
110
210
310
4f(Hz)
-35 -30 -25 -20 -15 -10
G(dB)
3
10
110
210
310
4f(Hz)
-90 -80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10
ϕ (
◦)
5 Réalisation d’un filtre moyenneur
On désire réaliser un filtre moyenneur avec un circuit RC, de fonction de transfert
H = 1
1 +jRCω.
Pour cela, la composante continue du signal qui correspond à la valeur moyenne doit être trans- mise et les composantes alternatives "élimi- nées".
1. Quelle est la nature de ce filtre ?
2. On considère que la condition d’élimination est réalisée si la composante alternative est atténuée de 40 dB en sortie de filtre. Sachant en pratique, que les signaux à traiter ont des fréquences supérieures à 1 kHz, déterminer, en utilisant un gabarit, la valeur de la fréquence de coupure (on choisira la plus grande valeur possible). En déduire la valeur de R, sachant qu’on a déjà un condensateurC = 1 µF.
3. Le filtre précédent est maintenant réalisé, et fonctionne parfaitement. Pour le tester, on l’alimente avec le signal ue(t) = 2 + 1.cos 2π.1000t+π3
+ 5.cos 2π.2000t+ π3
(en unité SI).
Qu’observe-t-on en sortie ? Conclure sur la fonction attendue de ce filtre.
4. À quelle condition ce filtre se comporte-t-il comme un intégrateur ?
5. Toujours dans l’optique de vérifier le bon fonctionnement du filtre, on l’alimente avec un signal créneau évoluant entre 0et 4V à la fréquence 1 kHz. Qu’observe-t-on à la sortie ? 6. Un élève, qui manifestement n’a pas écouté les consignes, fait l’observation du signal de
sortie avec un oscilloscope réglé en mode AC. Il n’observe rien... Il essaie alors de toucher un peu à tous les boutons. Il remarque qu’en modifiant le calibre pour agrandir l’échelle ver- ticale il observe un signal triangulaire de fréquence 1 kHz : expliquer. Calculer l’amplitude crête à crête du signal triangulaire obtenu.
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6 Gabarit d’un filtre passe-bande.
On considère un filtre passe bande RLC dont la fonction de transfert peut s’écrire sous la forme :
H(jω) = 1
1 +j(LωR − RCω1 ) = 1
1 +jQ(x−x1) = jQx 1−x2+jQx où on a introduit la pulsation propre du circuit ω0 = 1/√
LC, le facteur de qualitéQ= RCω1
0
et la pulsation réduite x=ω/ω0.
Un cahier des charges impose pour ce filtre qu’il laisse passer avec une atténuation inférieure à4 dB toutes les fréquences dans une bande comprise entre 300 Hz et 800 Hz, et rejette avec une atténuation supérieure à18dB toutes les fréquences inférieures à 50Hz ou supérieures à 5 kHz.
1. Tracer le gabarit du filtre sur la figure ci-dessous
2.Vérifier que la courbe de gain dessinée sur la figure respecte le cahier des charges. Mesurer la pente des asymptotes. Est-ce compatible avec le filtre passe-bande d’ordre 2 étudié ? Quelle est la fréquence centrale de ce filtre ? On impose L= 0,10 H, en déduire la valeur de C.
3. Estimer à l’aide du graphe la valeur du facteur de qualité Q. En déduire la valeur de la résistance.
10
110
210
310
4f(Hz)
-25
-20
-15
-10
-5
0
G(dB)
7 Filtre de Colpitts
1) Déterminer la fonction de transfert du filtre ci-dessous :
Montrer qu’elle peut s’écrire sous la forme :
H(jω) =
C1
C1+C2
1 +j
C1C2R
C1+C2ω− LωR = H0 1 +jQ
ω
ω0 −ωω0
et donner les expressions de Qetω0 en fonction deR,L,C1 etC2. Quelle est la nature de ce filtre ?
2) On souhaite sélectionner la fréquence f0 = 150 kHz avec un facteur de qualité Q = 20.
Calculer R etC2. Quel est le gain pour f =f0? 3) Tracer le diagramme de Bode de ce filtre.
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