Td corrigé MECANIQUE : TD n°3 pdf

MAGNETOSTATIQUE : TD n°5

A – APPLICATIONS DU COURS

1°) Soit une spire de rayon a d’axe (Oz), parcourue par un courant d’intensité I. Quelles sont les symétries et invariances de cette distribution ?

Rép : Plan de symétrie : xOy et d’antisymétrie : xOz et zOx ; invariance par rotation autour de Oz

2°) Donnez les unités de B et 0 dans les système mksA.

Rép : [B]=MT^-2A^-1 et [0]=MLT^-2A^-2.

3°) Soit j=jx(x,y)ex+jy(x,y)ey, donnez alors la dépendance et la direction de B.

Rép : B(M)=B(x,y).ez

4°) Soit une distribution volumique de courants possédant un plan de symétrie (). Le champ magnétostatique en un point M quelconque de l’espace est obtenu à partir de la loi de Biot & Savart. Soit M’ le symétrique de M par rapport à (). Montrer que B(M’)=-symB(M)

Rép : trivial en utilisant le fait que B est axial.

B – TRAVAUX DIRIGES n°38

I – BOBINES DE HELMHOLTZ

1°) Rappeler l’expression du champ magnétique créé par une spire de rayon R parcouru par un courant I sur son axe principal (Oz). En déduire le champ créé par une bobine formé de N spires.

Calculer le champ au centre de la spire B0 et démontrer ainsi que B0=5,5.10^-4I si N=130spires et R=15cm 2°) On considère maintenant deux bobines symétriques distantes de d. Démontrer alors que le champ au voisinage du point central peut s’écrire B(M)=B0R³[2f(d/2)+z²f’’(d/2)+o(z⁴)] où :

- f(y)=1/(R²+y²)^3/2.

- z distance sur l’axe où le point central est pris comme origine.

3°) Calculer alors le champ au voisinage du centre pour d=R. Démontrer que celui-ci peut s’écrire au quatrième ordre près par B(M)=7,8.10^-4I

4°) On a représenté ci dessous le champ créé par une bobine et celui créé par les bobines, en déduire l’avantage des bobines d’Helmholtz pour par exemple la mesure de e/m.

Rép : 1°) B0=0NI/2R 2°) En effectuant des D.L… 3°) f’’(R/2)=0B(M)=B0+o(z⁴) où B(0)=2⁴/5^3/2.B0=7,8.10^-4.I

4°) Le champ est quasi-constant au voisinage de 0.

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II - LE SOLENOÏDE

1°) Rappeler l’expression du champ magnétique créé par une spire de rayon R parcouru par un courant I sur son axe principal (Oz).

2°) Un solénoïde est un assemblage cylindrique de spires, il comporte n spires par unité de longueur.

Démontrer par des raisons de symétrie que le champ sur l’axe du solénoïde peut se mettre sous la forme : B(M)=Baxe(z)ez.

3°) Démontrer que le champ sur l’axe peut se mettre sous la forme Baxe(M)=0nI/2.[coscos2] où 1 et 2

sont les angles desquels on voit les bords du solénoïde à partir du point M.

4°) En déduire le champ B pour un solénoïde infini.

Rép : 1°) B(M)=0I/2R.sin³.ez 2°) B(axe)=Baxe(z).ez car sur l’axe r=0. 3°) Soit dB=0I/2R.ndz.sin³.ez 4°) B(M)=0nI.ez

C – EXERCICES SUPPLEMENTAIRES

I – SPHERE RECOUVERTE DE SPIRES

Considérons une sphère de rayon R recouverte d’un nombre élevé de spires jointives parcourues dans le même sens par un courant d’intensité I. On choisira Oz comme axe de symétrie. (on notera n le nombre de spires par unité de longueur)

1°) Montrer que l’on peut considérer cette distribution comme une distribution de courants surfaciques avec js=nIe

2°) Montrer que le champ au centre de la sphère est : B(0)=

e

R NI 4



Rép : 1°) dI=js.dl=I.dNjs=nI… 2°) dBz(0)=0nI/2R.sin².d…

II – DISQUE DE ROWLAND

Un disque métallique de rayon R, portant une charge électrique répartie avec la densité surfacique uniforme  tourne autour de l’axe Oz (perpendiculaire au disque) à la vitesse angulaire .

1°) Découper le disque en spires de rayon r et de largeur dr et montrez que celle-ci sont responsables d’une intensité élémentaire dI=rdr.

2°) Calculer le champ sur l’axe Oz en fonction de z et R.

Rép : 1°) Le disque est une superposition de spires de rayon r et de largeur dr. Le courant d’intensité dI du à la rotation de chaque spire est donc : dI=dq/dt=d(S)/dt=dS/dt=Sspire/T (en effet la rotation est uniforme) =2rdr/(2/) rdr=dI.

2°) Il suffit pour obtenir B(M) de sommer la contribution de chaque spire élémentaire :





dB_spire  dI avec r=ztandr=zd/cos²

d’où













² sin cos 2r

zd

dB_spire  r ⁼ 







 z d

dB_spire

² cos sin 2

3

 0

 

cos 2 ]

cos 1 2 [

) cos

² ( cos

)

² cos 1 ( 2

² cos sin

2

0 0

3 0 0

0 ^{max max}







 

 

 ^ _ ^{  } _ ^{   } _ ^



 z

d z

d z

 B(M)= cos 2]

cos [ 1

2 _max ^max

0   





 z

ez où cosm=

²

² z

R z

 ^{ B(M)=} ]

²

²

)²

²

² [( 2

0

z R

z z R





 

 ez

III – CHAMP MAGNETIQUE AU VOISINAGE D’UN FIL

Un circuit électrique parcouru par le courant I possède une partie rectiligne AC, vue depuis un point M sous les angles 1 et 2.

1°) On veut déterminer B(M) en intégrant la loi de Biot et Savart. Calculer, en fonction de h, 1 et 2, la partie de l’intégrale correspondant au tronçon AC.

2°) Le circuit est une spire de côté a. Déterminer le champ B au centre du carré.

3°) Le point M est très proche du segment AC : que deviennent h, 1 et

2 ? En déduire une expression approchée de B(M) au voisinage immédiat du fil.

Rép : 1°) BAC=0I/4h.(sin2-sin1).n 2°) Bcarré=220I/a.n 3°) B=0I/2h.n

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