〉 〈 〈 〈 4 yx =+

Juillet 2002

1. Résoudre le système suivant en x et y :

4

= π + y x

0 1 sin sin

2 x y + =

Donnez les solutions entre 0 et 2π, et vérifiez leur validité.

2. Dans le triangle ABC, la hauteur AD est coupée en son milieu H par la hauteur CE.

On demande :

1.1. de démontrer que tg B tg C = 2

1.2. on donne l’angle A ; on a tg A + tg B + tg C = tg A tg B tg C, Trouver les conditions sur tg A pour qu’une solution existe.

3. Pour les affirmations suivantes, cochez vrai si l’affirmation est toujours vraie, ou faux si l’affirmation est toujours fausse, ou complétez par une condition qui rende l’affirmation vraie : 1.1. Un triangle est défini de façon unique par deux de ses cotés et un angle

toujours vrai O toujours faux O vrai si :

1.2. Un triangle a deux angles égaux si et seulement si il a deux cotés égaux toujours vrai O toujours faux O

vrai si :

1.3. pour −

π

〈

〈 π

〈

1.4. dans un triangle avec angles A, B, C : tg (B+C)

〉

toujours vrai O toujours faux O vrai si :

1.5. tg A

〉

toujours vrai O toujours faux O vrai si :

4. Un ballon atmosphérique survole la terre. Un observateur, dans ce ballon, voit d’une hauteur h (hauteur par rapport à la terre) l’horizon de la terre sous un angle

α

1.1. Calculer le diamètre de la terre en fonction des données (

α

- l’altitude h n’est précise qu’à 1 mètre - l’angle

α

Septembre 2002

1. Les angles d’un triangle ABC vérifient la relation suivante :

sin sin

cot 2 sin

B A

B

= + C

Démontrer que le triangle est rectangle.

2. Dans un triangle ABC, la médiane AM est égale au côté AB.

Démontrer les relations tg B = 3 tg C et sin A = 2 sin (B-C)

3. Pour les affirmations suivantes, cochez vrai si l'affirmation est toujours vraie, ou faux si l'affirmation est toujours fausse, ou complétez par une condition qui rende l'affirmation vraie :

3.1. Un triangle est défini par deux de ses angles et son aire.

toujours vrai O toujours faux O vrai si :

3.2. (tg A + tg B)/(tg A - tg B)= sin(A + B)/sin(A - B) toujours vrai O toujours faux O

vrai si :

3.3. pour -3π/4 < A < π/4, 2cos² A > sin 2ª toujours vrai O toujours faux O vrai si :

3.4. dans un triangle rectangle ABC on a sin² A = sin² B + sin² C toujours vrai O toujours faux O

vrai si :

4. J’installe dans mon jardin un parasol sur pied avec un toit plat en forme d’hexagone régulier inscrit dans un cercle de rayon r = 1m. L’axe du parasol est articulé et peut être incliné d’un angle

ψ

avec la verticale allant jusqu’à 30° (le coté de l’hexagone le plus proche du sol reste parallèle au sol).

Les rayons de soleil sont parallèles au plan défini par les deux axes articulés du parasol et forment un angle

ϕ

4.1. Exprimer la surface d’ombre au sol en fonction des angles

ϕ

ψ

4.2. Calculer l’angle

ψ

ϕ

ϕ