cartes pour la σ dans des cartes locales solution Nom structure de surface
forme normale de translation
un rectangle dz , z˙ = 1 z = w + C r´egulier horizontal
foyer simple de σ foyer simple
Rea < 0 un puits quotient du demi
Rea > 0 dz
az , z˙ = az z = eaw+c une source plan `a gauche du
Rea = 0 a 6= 0 un centre vecteur
−→
02πi a
cartes pour la σ dans des cartes locales solution struct. de surface
forme normale de translation
foyer d’ordre m ≥ 2 de σ Fleur −(m − 1)dz
zm z−(m−1) = w + c 2(m − 1) demi plans
de Fatou horizontals dispos´es
1
zm + λ z
dz ? ensemble
col d’ordre m de σ
2(m + 1) demi- (m + 1)zmdz zm+1 = w + c disques horizontaux
coll´es ensemble
σ|C = ξ(z)dz `a l’∞:
forme locale type ξ(∞) = ∞, ξ ∼∞ zl dz
zl+2 + t.o.s. ∞ est un (l+2)-foyer
ξ(∞) ∈ C∗ dz/z2 ∞ est un 1-foyer
ξ(∞) = 0, ξ(z) ∼∞ 1
zl zl−2dz
l = 1 l = 2 l > 2
∞ est un foyer simple
∞ est r´egulier
∞ est un (l-2)-col Si σ = −QQ′((zz))dz, avec Q un polynˆome, l’∞ est un foyer simple (une source).
Si σ = Pdz(z) avec P(z) un polynˆome de degr´e d > 2, l’∞ est un (d − 2)-col, donc poss`ede d − 1 germes critiques sortants et d − 1 rentrants.
Une trajectoire maximale
limtnրs γ(tn) = x x r´egulier x un foyer x un col
s < +∞ non-maximale impossible germe cr.
tրslim γ(t) = x
s = +∞ γ est p´eriodique lim
tրsγ(t) = x impossible
x ∈ γ (∗) (∗∗)
limtրt+ γ(t) = b
γ ap´eriodique t+ < +∞ t+ = +∞
limtցt− γ(t) = a
s´eparatrice s´eparatrice t− > −∞ homocline
(a, b) = (col,col) (a, b) = (col,foyer) s´eparatrice
t− = −∞ γ ≡ un foyer, ou
(a, b) = (foyer,col) (a, b) = (foyer,foyer)
L’ensemble de Julia et Fatou J(σ) := {z | lim
t→t+(z)γ(t, z) = un col} = {z | t+(z) < +∞} . F(σ) := C r J(σ)=Lieu o`u {γ(t, z)}t∈[0,+∞[ forme une famille normale.
4 types de composantes de Fatou:
Bassin attractif, parabolique; disque de rotation et anneau de rotation.
0
2iπ a
Figure 1: Mod`ele d’un bassin attractif (2aiπ−p´eriodique)
Figure 2: Mod`ele parabolique
α
Figure 3: α-stabilit´e.
