EXERCICES SUR LES INTEGRALES MULTIPLES

(1)

MULTIPLES

(2)

(3)

I INTEGRATION DANS R² 5

1 THEOREME DE FUBINI 7

2 CHANGEMENT DE VARIABLES 69

2.1 Coordonnées polaires . . . 69

2.2 Coordonnées elliptiques . . . 114

2.3 Isométries . . . 122

2.4 Changements de variables divers . . . 126

II INTEGRATION DANS R³ 141 3 THEOREME DE FUBINI 143 4 CHANGEMENT DE VARIABLES 161 4.1 Coordonnées cylindriques . . . 161

4.2 Coordonnées sphériques . . . 189

4.3 Changements de variables divers . . . 198

III INTEGRATION DANS R^p 205

5 THEOREME DE FUBINI 207

6 CHANGEMENT DE VARIABLES 213

3

(4)

calculer des intégrales multiples Z

· · · Z

D

f (x

1

, . . . , x

_p

) dx

₁

dx

₂

· · · dx

_p

dans le cas de 2, de 3 puis de p variables.

Tous les domaines d’intégration D considérés sont limités par des courbes simples dans R

²

, des surfaces simples dans R

³

et des hypersurfaces simples dans R

^p

. Les fonctions f intégrées sont continues sur D.

Lorsque le domaine D n’est pas fermé ou n’est pas borné, on appliquera les mé- thodes générales dès que la fonction f est positive sur D.

On ne soulèvera pas de difficultés pour les changements de variables proposés.

Les exercices sont indépendants les uns des autres.

(5)

INTEGRATION DANS R ²

5

(6)

(7)

THEOREME DE FUBINI

1)

^Calculer ^I ⁼^{Z Z}

D

f(x, y)dx dy

où Dest le rectangle de sommets O,A(π,0),B(0,1), C(π,1) et f(x, y) = 2y sinx .

✻

✲ π 1

D

· · · ·

Comme on intégre sur un rectangle une fonction dont les variables se séparent, on a immédiatement

I =



 Zπ 0

sinx dx







 Z1 0

2y dy



=h

−cosxiπ 0

h y²i1

0 = 2.

7

(8)

D

où Dest le triangle de sommets O,A(1,0),B(1,1) et f(x, y) =x−y .

✻

✲ 1 1

D

x

· · · ·

· · · · ·

· · · ·

· · ·

· ·

·

La droite OB a pour équation

y=x .

Lorsquex est compris entre0 et1, le nombre y varie de 0à x. Donc Iy(x) =

Zx 0

(x−y)dy=

−(x−y)² 2

y=x y=0

= x² 2 . On a alors

I = Z1

0

I_y(x)dx= 1 2

Z1 0

x²dx= x³

6 1

0

= 1 6.

(9)

3)

D

f(x, y)dx dy où

D={(x, y)| |x| ≤a ,|y| ≤b}. et

f(x, y) = (x+y)e^x⁻^y.

✻

✲

−a a

b

−b x

D

· · · ·

On intègre sur un rectangle. Lorsquex est compris entre−aeta, l’ordonnée y varie de−bà b. Donc

I_y(x) = Zb

−b

(x+y)e^x⁻^ydy .

En intégrant par parties

Iy(x) =h

−(x+y)e^x⁻^yiy=b y=−b+

b

Z

−b

e^x⁻^ydy =h

−(x+y+1)e^x⁻^yiy=b

y=−b =−(x+b+1)e^x⁻^b+(x−b+1)e^x+b. On a alors

I = Za

−a

I_y(x)dx= Za

−a

(x−b+ 1)e^x+b−(x+b+ 1)e^x⁻^b dx . En intégrant de nouveau par parties

I = h

(x−b+ 1)e^x+bi+a

−a− Za

−a

e^x+bdx−



 h

(x+b+ 1)e^x⁻^bi+a

−a− Za

−a

e^x⁻^bdx





= h

(x−b)e^x+bi+a

−a−h

(x+b)e^x⁻^bi+a

−a

= (a−b)eâ+b+ (a+b)e^b⁻â−(a+b)eâ⁻^b+ (b−a)e⁻^(a+b)

= (a−b)(eâ+b−e⁻^(a+b)) + (a+b)(e^b⁻â−eâ⁻^b)

= 2(a−b) sh(a+b) + 2(a+b) sh(b−a).

(10)

D

où Dest le triangle de sommets O,A(1,0),B(0,1) et f(x, y) =x²y .

✻

✲ 1 1

D

x

· · · ·

· · · · ·

· · · ·

· · ·

· ·

·

La droite AB a pour équation

y= 1−x .

Lorsquex est compris entre0 et1, le nombre y varie de 0à 1−x. Donc

I_y(x) =

1−x

Z

0

yx²dy =x²hy² 2

iy=1−x

y=0 = x²(x−1)²

2 .

On a alors

I =

1

Z

0

I_y(x)dx= 1 2

1

Z

0

(x⁴−2x³+x²)dx= 1 2

x⁵ 5 −x⁴

2 + x³ 3

1 0

= 1 2

1 5 −1

2 +1 3

= 1 60.

(11)

5)

D

f(x, y)dx dy

où Dest le triangle de sommets O,A(2,0),B(0,2) et f(x, y) =xe^x siny .

✻

✲ 2 2

D

x

· · · ·

· · · · ·

· · · ·

· · ·

· ·

·

y= 2−x .

Lorsquex est compris entre0 et2, le nombre y varie de 0à 2−x. Donc I_y(x) =

2−x

Z

0

xe^x siny dy=xe^xh

−cosyiy=2−x

y=0 =xe^x(1−cos(x−2)). Alors

I =

2

Z

0

I_y(x)dx=

2

Z

0

xe^xdx−

2

Z

0

xe^x cos(x−2)dx . En intégrant par parties, on obtient tout d’abord

2

Z

0

xe^xdx=h xe^xi2

0−

2

Z

0

e^xdx=h

(x−1)e^xi2

0 =e²+ 1. D’autre part

Z2 0

xe^xcos(x−2)dx= Re Z2 0

xe^xe^i(x⁻²⁾dx= Re



e⁻²ⁱ Z2 0

xe^(1+i)xdx



 . On intègre de nouveau par parties ce qui donne

Z2 0

xe^(1+i)xdx=

"

xe^(1+i)x 1 +i

#2 0

− Z2 0

e^(1+i)x 1 +i dx=

"

xe^(1+i)x

1 +i − e^(1+i)x (1 +i)²

#2 0

.

(12)

1 +i =

2 et

(1 +i)² =

2 =−2, d’où

Z2 0

xe^(1+i)xdx= 1 2 h

x(1−i)e^(1+i)x+ie^(1+i)xi2 0 = 1

2 h

(1−i)x+i

e^(1+i)xi2 0= 1

2 (2−i)e²⁺²ⁱ−i .

Alors

e⁻²ⁱ

2

Z

0

xe^(1+i)xdx= 1

2 (2−i)e²−ie⁻²ⁱ , et

Re



e⁻²ⁱ Z2 0

xe^(1+i)xdx



=e²− sin 2 2 . Finalement

I =e²+ 1−

e²−sin 2 2

= 1 + sin 2 2 .

(13)

6)

D

f(x, y)dx dy

où Dest le triangle de sommets A(1,0), B(0,1),C(0,−1)et f(x, y) =x+ 2y .

✻

✲ 1 1

−1

D

x

· · · ·

· · · · ·

· · · ·

· · ·

· ·

·

· · · ·

· · · · ·

· · · ·

· · ·

· ·

·

Les droites AB etAC ont pour équations respectives

y = 1−x et y=−1 +x .

Lorsquex est compris entre0 et1, le nombre y varie de x−1à 1−x. Donc

I_y(x) =

1−x

Z

x−1

(x+ 2y)dy =h

xy+y²iy=1−x

y=x−1=x(1−x) + (x−1)²− x(x−1) + (x−1)²

= 2x(1−x).

On a alors

I = Z1 0

I_y(x)dx= Z1 0

(2x−2x²)dx=

x²− 2x³ 3

1 0

= 1−2 3 = 1

3.

(14)

D

où Dest le carré de sommets O,A(π,0),B(0, π), C(π, π) et f(x, y) = (x+y) sinx siny .

✻

✲ π π

D

x

·

Lorsquex est compris entre0 etπ, le nombrey varie de0 àπ. Donc I_y(x) =

π

Z

0

(x+y) sinx siny dy .

On intègre par parties

Iy(x) = sinx



 h

(x+y) (−cosy)iy=π y=0 +

π

Z

0

cosy dy



= sinxh

(x+y)(−cosy)+sinyiy=π

y=0 = (2x+π) sinx . On a alors

I = Zπ 0

I_y(x)dx , et on intègre de nouveau par parties

I = Zπ 0

(2x+π) sinx dx=h

(2x+π)(−cosx)iπ 0 + 2

Zπ 0

cosx dx=h

(2x+π)(−cosx) + 2 sinxiπ 0 = 4π .

(15)

8)

D

f(x, y)dx dy

où Dest le triangle de sommets O,A(1,0),B(0,2) et f(x, y) = (2x+y)².

✻

✲ 1 2

D

x

· · · ·

· · · · ·

· · · ·

· · ·

· ·

·

y= 2−2x .

Lorsquex est compris entre0 et1, le nombre y varie de 0à 2−2x. Donc

I_y(x) =

2−2x

Z

0

(2x+y)²dy=

(2x+y)³ 3

y=2−2x y=0

= 8−8x³ 3 . Alors

I =

1

Z

0

Iy(x)dx= 8 3

1

Z

0

(1−x³)dx= 8 3 h

x−x⁴ 4

i1 0 = 8

3

1−1 4

= 2.

(16)

D

où Dest le triangle de sommets O,A(1,0),B(0,1) et

f(x, y) = ln(x+y+ 1).

✻

✲ 1 1

D

x

· · · ·

· · · · ·

· · · ·

· · ·

· ·

·

y= 1−x .

Lorsquex est compris entre0 et1, le nombre y varie de 0à 1−x. Donc I_y(x) =

1−x

Z

0

ln(x+y+ 1)dy .

En posantu=x+y+ 1, on obtient I_y(x) =

Z2 x+1

lnu du=h

ulnu−uiu=2

u=x+1= 2 ln 2−2−(x+ 1) ln(x+ 1) + (x+ 1). On a alors

I =

1

Z

0

Iy(x)dx=

1

Z

0

[2 ln 2−2−(x+ 1) ln(x+ 1) + (x+ 1)]dx . En posantv=x+ 1, et en intégrant par parties on obtient

I = 2 ln 2−2− Z2 1

(vlnv−v)dv = 2 ln 2−2− v²

2 lnv 2

1

+ Z2

1

3 2v dv , d’où

I = 2 ln 2−2− v²

2 lnv−3 4v²

2 1

= 1 4.

(17)

10)

^Calculer^I ⁼^{Z Z}

D

f(x, y)dx dy

oùDest le trapèze dont la base est le segment de l’axe desxdont les abscisses sont comprises entre

−1et1et dont les trois autres côtés sont situés dans le demi-plan desypositifs et de longueur 1, et f(x, y) =y .

✻

✲ 1

A

A^′

B B^′

−1 O

√3 2

D y

· · · ·

Si l’on noteA(−1,0),B(1,0) etA^′ etB^′ les autres sommets du trapèze, on aAA^′ =A^′B^′=BB^′ = 1.

Les triangles OBB^′, OB^′A^′ et OAA^′ sont équilatéraux. Alors la droite passant par A^′ et B^′ a pour équation

y= sinπ 3 =

√3 2 , la droite passant parB etB^′ a pour équation

y=−tanπ

3(x−1) =−√

3 (x−1), et celle passant par AetA^′ a pour équation

y=√

3 (x+ 1). Lorsquey est fixé entre 0 et

√3

2 , la variablex est comprise entre −1 + y

√3 et1− y

√3, et l’on a

Ix(y) =y

1−y/√ 3

Z

−1+y/√ 3

dx= 2y

1− y

√3

.

Alors

I =

√3/2

Z

0

I_x(y)dy=

√3/2

Z

0

2y

1− y

√3

dy=

y²− 2 3√

3y³ ^√3/2

0

= 1 2.

(18)

D

où Dest le trapèze limité par les droites d’équation y= 0,y= 1,y= 2−x ety= 1 + x 2, et f(x, y) =xy .

✻

✲

−2 2

1

D y

· · · ·

Lorsquey est compris entre0 et1, le nombre x varie de 2y−2 à 2−y. Donc

I_x(y) =

2−y

Z

2y−2

xy dx=h yx²

2

ix=2−y x=2y−2 = y

2

(2−y)²−(2y−2)²

= y

2(4y−3y²). On a alors

I =

1

Z

0

I_x(y)dy = 1 2

1

Z

0

(4y²−3y³)dy =h2y³ 3 −3y⁴

8 i1

0 = 2 3 −3

8 = 7 24.

(19)

12)

D

f(x, y)dx dy

où Dest l’ensemble des points du plan qui vérifient les inégalités

√x+√y≥1 et √

1−x+p

1−y ≥1, et

f(x, y) = (x−y)².

✲

✻

1 1

D

x

· · · ·

· · · · ·

Si(x, y) appartient à D, on a nécessairement 0≤x≤1 et0≤y≤1 . Alors la condition

√x+√y≥1, équivaut à

√y≥1−√ x , puis à

y≥(1−√

x)² = 1 +x−2√ x . De même, la condition

√1−x+p

1−y≥1, équivaut à

p1−y≥1−√ 1−x , puis à

1−y≥(1−√

1−x)²,

(20)

≤ − − − − − Pour xcompris entre 0 et1, on calcule

Iy(x) =

x−1+2√ 1−x

Z

1+x−2√x

(y−x)²dy

=

(y−x)³ 3

y=x−1+2√ 1−x

y=1+x−2√x

= 1 3

(2√

1−x−1)³−(1−2√ x)³

= 1 3

h8(x^3/2+ (1−x)^3/2) + 6(√ x+√

1−x)−14i . Alors

I = Z1 0

I_y(x)dx

= Z1 0

1 3 h

8(x^3/2+ (1−x)^3/2) + 6(√ x+√

1−x)−14i dx

= 1 3

h16

5 (x^5/2−(1−x)^5/2) + 4(x^3/2−(1−x)^3/2)−14xi1 0

= 1 3

16

5 + 4−14 +16 5 + 4

= 2

15.

(21)

13)

D

f(x, y)dx dy

où Dest l’ensemble des points du plan limité par les courbes d’équation y= 1

x et y =−4x+ 5, et

f(x, y) =x²y .

✲

✻

1

4 1

1 4

D

x

··

·

··

·

··

·

··

(22)

1

x =−4x+ 5, ce qui équivaut à

4x²−5x+ 1 = 0,

et a pour solutions 1 et1/4. Lorsquex est fixé entre ces deux valeurs, on intègre en y

I_y(x) =

−4x+5

Z

1/x

x²y dy

= h1

2x²y²iy=−4x+5 y=1/x

= 1

2[x²(−4x+ 5)²−1]

= 1

2 16x⁴−40x³+ 25x²−1 . Alors

I =

1

Z

1/4

Iy(x)dx= 1 2

16

5 x⁵−10x⁴+25 3 x³−x

1 1/4

= 441 1280.

(23)

14)

D

f(x, y)dx dy

où Dest l’ensemble des points du plan limité par les cercles d’équation x²+y² = 1 et (x−1)²+ (y−1)² = 1, et

f(x, y) =xy .

✻

✲ 1

1

D

x

· · · ·

· · · · ·

· ·

Si(x, y) appartient à D, on a nécessairement 0≤x≤1, et0≤y≤1. Alors La condition x²+y²≤1,

équivaut à

y≤p

1−x². De même, la condition

(x−1)²+ (y−1)² ≤1, équivaut à

|y−1| ≤p

1−(x−1)², et, comme y−1 est négatif, à

1−y≤p

1−(x−1)², et enfin à

y≥1−p

1−(x−1)². Pour xcompris entre 0 et1, on calcule

(24)

I_y(x) =

√1−x²

Z

1−√

1−(x−1)²

xy dy

= xhy² 2

iy=√ 1−x² y=1−√

1−(x−1)²

= x 2

(1−x²)−[1−2p

1−(x−1)²+ (1−(1−x)²)]

= −x²+xp

1−(x−1)². Alors

I = Z1 0

I_y(x)dx= Z1

0

(xp

1−(x−1)²−x²)dx= Z1

0

xp

1−(x−1)²dx−1 3. On calcule l’intégrale restante en posant

x= 1−sint d’où dx=−cost dt .

La variable x décrit [ 0,1 ] lorsque la variable t décrit [ 0, π/2 ]. On en déduit

I+1 3 =

π/2

Z

0

(1−sint) cos²t dt=

π/2

Z

0

cos²t dt−

π/2

Z

0

sintcos²t dt=

π/2

Z

0

1 + cos 2t 2 dt−

π/2

Z

0

sintcos²t dt .

On obtient alors

I = t

2 +sin 2t

4 +cos³t 3

π/2 0

−1 3 = π

4 −2 3.

(25)

15)

D

f(x, y)dx dy où

D={(x, y)|x≥1, y ≥1, x+y≤3}, et

f(x, y) = (x+y)⁻ⁿ (n∈Z).

✻

✲ 1

1

2 2

D

x

· · · · ·

· · · ·

· · ·

· ·

·

Lorsquex est compris entre1 et2, le nombre y varie de 1à 3−x. Donc

I_y(x) =

3−x

Z

1

(x+y)⁻ⁿdy .

Lorsquen= 1, on obtient

I_y(x) =h

ln(x+y)iy=3−x

y=1 = ln 3−ln(x+ 1). puis

I =

2

Z

1

Iy(x)dx= ln 3−h

(x+ 1) ln(x+ 1)−xi2

1 = 2 ln 2−2 ln 3 + 1. Lorsquen6= 1, on obtient cette fois

I_y(x) =

(x+y)⁻ⁿ⁺¹ 1−n

y=3−x y=1

= 1

1−n 3⁻ⁿ⁺¹−(x+ 1)⁻ⁿ⁺¹ . On a alors

(26)

I =

2

Z

1

Iy(x)dx= 1 1−n

2

Z

1

3⁻ⁿ⁺¹−(x+ 1)⁻ⁿ⁺¹

dx= 1 1−n



3⁻ⁿ⁺¹−

2

Z

1

(x+ 1)⁻ⁿ⁺¹dx



. Lorsquen= 2, on trouve

I=−



 1 3 −

Z2 1

dx x+ 1



=−1 3 +h

ln(x+ 1)i2

1 = ln 3−ln 2−1 3. Lorsquen6= 1 etn6= 2, on trouve

I = 1

1−n 3⁻ⁿ⁺¹−

(x+ 1)⁻ⁿ⁺² 2−n

2 1

!

= 3⁻ⁿ⁺¹

1−n − 3⁻ⁿ⁺²

(1−n)(2−n) + 2⁻ⁿ⁺² (1−n)(2−n).

(27)

16)

D

f(x, y)dx dy où

D=n

(x, y)|0≤x≤siny ,0≤y ≤π 2

o , et

f(x, y) =xcosy .

✲

✻

1 π/2

D

y

·

Lorsquey est compris entre0 etπ/2, le nombre x varie de0à siny. Donc

I_x(y) =

siny

Z

0

xcosy dx=

cosyx² 2

x=siny x=0

= cosysin²y

2 .

On a alors

I =

π/2

Z

0

I_x(y)dy = 1 2

π/2

Z

0

cosysin²y dy= 1 2

sin³y 3

π/2 0

=1 6.

(28)

où D

D=

(x, y)|0≤x≤1−y² 4

, et

f(x, y) =x²+y².

✲

✻

1 2

−2

D

y

·

Lorsquey est compris entre−2 et2, le nombrex varie de0 à1−y² 4 . Donc I_x(y) =

1−y²/4

Z

0

(x²+y²)dx=h

y²x+x³ 3

ix=1−y²/4 x=0 =y²

1− y²

4

+1 3

1−y²

4 3

= 1 3+3y²

4 −3y⁴ 16 − y⁶

192. On a alors

I =

2

Z

−2

I_x(y)dy =

2

Z

−2

1 3 +3y²

4 −3y⁴ 16 − y⁶

192

dy= y

3 +y³ 4 − 3y⁵

80 − y⁷ 1344

2

−2

= 96 35.

(29)

18)

D

f(x, y)dx dy

où Dest le parallélogramme limité par les droites d’équation y=x,y = 2x,y =x+ 1,y= 2x−2 et

f(x, y) = (2x−y)².

✻

✲

1 2 3

2 4

D

· ·· ···

··

·

··

·

··

·

··

·

··

·

··

· ·· ·

On découpe le domaine en deux partiesD₁ etD₂, séparées par la droite d’équationy= 2, et on intègre sur chacun de ces domaines en fixant tout d’abordy.

1) Sur D₁, lorsque y est fixé entre 0et 2, le nombrex varie de y 2 ày.

✻

✲

1 2 3

2 4

D1

D2

y

(30)

(I_x)₁(y) =

y

Z

y/2

(2x−y)²dx=

(2x−y)³ 6

x=y x=y/2

= y³ 6 , alors

Z Z

D1

(2x−y)²dx dy= Z2 0

(I_x)₁(y)dy = Z2

0

y³ 6 dy =

y⁴ 24

2 0

= 2 3 .

2) Sur D₂, lorsque y est fixé entre 2et 4, le nombrex varie de y−1à y 2 + 1.

✻

✲

1 2 3

2 4

D1

D2

y

On calcule tout d’abord (I_x)₂(y) =

y/2+1

Z

y−1

(2x−y)²dx=

(2x−y)³ 6

x=y/2+1 x=y−1

= 8−(y−2)³

6 ,

alors Z Z

D2

(2x−y)²dx dy=

4

Z

2

(I_x)₂(y)dy =

4

Z

2

8−(y−2)³

6 dy =

1 6

8y− (y−2)⁴ 4

4 2

= 2 .

Finalement

I = Z Z

D1

(2x−y)²dx dy+ Z Z

D2

(2x−y)²dx dy= 8 3.

(31)

19)

D

f(x, y)dx dy

où Dest le triangle de sommets O,A(1,1),B(2,−1) et f(x, y) = (x+ 2y)².

✻

2 ✲ 1

−1 O

B A

D 1

·

· · ·

· · · ·

· · · · ·

· · · ·

· ·

·

Les droites OA,OB etAB ont pour équations respectives y =x , y=−x

2 et y=−2x+ 3. On sépare Den deux domaines limités par la droite d’équation x= 1.

1) Si x est compris entre0et1.

✻

2 ✲ 1

−1 O

B A

D 1

1

D₂ x

(32)

(Iy)1(x) =

−x/2

(x+ 2y)²dy= 1

6(x+ 2y)³

y=−x/2

= 9x 2 , d’où

Z Z

D1

(x+ 2y)²dx dy= Z1 0

(I_y)₁(x)dx= Z1

0

9x³

2 dx= 9 8.

2) Si x est compris entre 1 et 2.

✻

2 ✲ 1

−1 O

B A

1 D1

D2

x

(I_y)₂(x) =

−2x+3

Z

−x/2

(x+ 2y)²dy = 1

6(x+ 2y)³

y=−2x+3 y=−x/2

= 9(2−x)³

2 .

D’où

Z Z

D2

(x+ 2y)²dx dy=

2

Z

1

(I_y)₂(x)dx=

2

Z

1

9(2−x)³ 2 dx=

−9(2−x)⁴ 8

2 1

= 9 8. Alors

I = Z Z

D1

(x+ 2y)²dx dy+ Z Z

D2

(x+ 2y)²dx dy= 9 4.

(33)

20)

D

f(x, y)dx dy où

D={(x, y)| |x|+|y| ≤1}. et

f(x, y) =e^x+y.

✲

✻

−1 1

1

−1 D

x

·

· · ·

· · · · ·

· · · ·

· · · · ·

· · ·

·

Lorsquex est fixé entre −1et1,y varie de|x| −1à 1− |x|. On a donc Iy(x) =

1−|x|

Z

|x|−1

e^x+ydy =h

e^x+yiy=1−|x| y=|x|−1 =e^x

e¹^−|^x^|−e^|^x^|−¹ .

On a alors

I = Z1

−1

I_y(x)dx = Z1

−1

e^x

e¹^−|^x^|−e^|^x^|−¹ dx

=

0

Z

−1

e^x e^1+x−e⁻^x⁻¹ dx+

1

Z

0

e^x e¹⁻^x−e^x⁻¹ dx

= Z0

−1

e^1+2x−e⁻¹ dx+

Z1 0

e−e^2x⁻¹ dx

= 1

2e^2x+1−xe⁻¹ 0

−1

+

ex−1 2e^2x⁻¹

1 0

= e 2−

1 2e +1

e

+

e− e 2

+ 1 2e

= e−1

e = 2 sh 1.

(34)

où D

D= [ 0, a] × [ 0, b] (a > b), et

f(x, y) =|x−y|.

✻

✲

b a

b

D1

D2

y

· · · ·

On sépare Den deux domaines limités par la droite d’équation y =x, et on intègre d’abord enx.

Sur D1, on a

f(x, y) =y−x , et lorsque y est compris entre0 etb, on obtient

(I_x)₁(y) =

y

Z

0

(y−x)dx=

−(y−x)² 2

x=y x=0

= y² 2 . Puis

Z Z

D1

|x−y|dx dy=

b

Z

0

(I_x)₁(y)dy= b³ 6 . Sur D2, on a

f(x, y) =x−y , et, lorsquey est compris entre0 etb, on obtient

(Ix)2(y) =

a

Z

y

(x−y)dx=

(x−y)² 2

x=a x=y

= (y−a)²

2 .

(35)

Puis

Z Z

D2

|x−y|dx dy= Zb 0

(I_x)₂(y)dy =

(y−a)³ 6

b 0

= (b−a)³ 6 +a³

6 . Alors

I = Z Z

D1

|x−y|dx dy+ Z Z

D2

|x−y|dx dy= (b−a)³ 6 +a³

6 +b³ 6 = b³

3 +1

2ab(a−b).

(36)

où Dest l’ensemble des points du disque de centreD O et de rayon 1, tels que x+y≥1 et f(x, y) = xy

(x²+y²)².

✻

✲ 1 1

D

x

· ··

··

·

··

·

··

·

La partie supérieure du cercle a pour équation y=√

1−x². Pourx compris entre 0et1, le nombrey est compris entre1−x et√

1−x². On calcule

I_y(x) =

√1−x²

Z

1−x

xy

(x²+y²)² dy=

−x 2(x²+y²)

y=√ 1−x²

y=1−x

= x

2(2x²−2x+ 1)−x 2. On a alors

I = Z1 0

I_y(x)dx= Z1

0

x

2(2x²−2x+ 1) −x 2

dx . En faisant apparaître au numérateur la dérivée du dénominateur, on obtient

I =

1

Z

0

1 8

4x−2

2x²−2x+ 1+1 4

1

2x²−2x+ 1−x 2

dx

= 1

8ln(2x²−2x+ 1) + 1

4arctan(2x−1)−x² 4

1 0

= 1

4(arctan 1−arctan(−1))−1 4 = π

8 −1 4.

(37)

23)

D

f(x, y)dx dy

où Dest l’ensemble des points du disque de centreO et de rayon 1 tels quex+√

3y≤1 et f(x, y) =xy .

✻

✲ 1

√3 2

D1

D2

y

· · ·

· · · ·

·

On sépare Den deux domaines limités par l’axe des x. Sur la partie inférieure qui est symétrique par rapport à Oy, on a

f(−x, y) =−f(x, y),

donc Z Z

D2

xy dx dy= 0, et

I = Z Z

D1

xy dx dy .

Cherchons les points d’intersection de la droite et du cercle. Le système x+√

3y = 1 x²+y²= 1 équivaut à

x+√ 3y = 1 (1−√

3y)²+y² = 1 La seconde équation s’écrit

4y²−2√

3y= 0,

(38)

−

x=−p

1−y². Lorsquey est compris entre0 et√

3/2, on a donc

I_x(y) =

1−√ 3y

Z

−√

1−y²

xy dx=hx²y 2

ix=1−√ 3y x=−√

1−y² = y 2

(1−√

3y)²−(1−y²)

= 2y³−√ 3y².

Donc

I =

√3/2

Z

0

I_x(y)dy =

√3/2

Z

0

(2y³−√

3y²)dy =

"

y⁴ 2 −

√3y³ 3

#^√3/2 0

= 9 32 −3

8 =− 3 32.

(39)

24)

D

f(x, y)dx dy

où Dest l’intersection des disques limités par les cercles d’équations réespectives x²+y²−2Rx= 0 et x²+y²−2Ry= 0,

et

f(x, y) =x²−y².

✻

✲ R

R

D

· · · ·

· · · · ·

· · · ·· · · ·· · · ·· · · · ·· · · ·· ·

Le domaine Dest symétrique par rapport à la première bissectrice. Sur D, on a f(y, x) =−f(x, y).

Alors nécessairement I = 0.

(40)

D

où Dest le triangle de sommets A(1,0), B(0,1),C(0,−1)et f(x, y) =x⁶y⁵.

✻

✲ 1 1

−1

D

· · · ·

· · · · ·

· · · ·

· · ·

· ·

·

· · · ·

· · · · ·

· · · ·

· · ·

· ·

·

Le domaine Dest symétrique par rapport à l’axe Ox. Sur D, on a f(x,−y) =−f(x, y). Alors nécessairement I = 0.

(41)

26)

D

f(x, y)dx dy

où Dest l’intersection des disques de centre (0,1) et(1,0) et de rayon 1, et f(x, y) =xy .

✻

✲ 1

1

D1

y

· · ·· · ·· · ·· · ·· · ·· ··

Le domaine Dest symétrique par rapport à la première bissectrice. Sur D, on a f(y, x) =f(x, y).

On a donc

I = Z Z

D

f(x, y)dx dy= 2 Z Z

D1

f(x, y)dx dy

où D₁ est la partie du domaine Dsituée sous la première bissectrice.

L’équation du cercle de centre (0,1) est

x²+ (y−1)²= 1

(42)

− La partie inférieure du cercle a donc pour équation

x=p

2y−y². Lorsquey est fixé entre 0 et1, le nombrex varie de y à p

2y−y² et donc

(I_x)₁(y) =

√2y−y²

Z

y

xy dx=

yx² 2

x=√

2y−y²

x=y

=y²−y³.

Puis

I = 2 Z1

0

(I_x)₁(y)dy = 2 Z1 0

(y²−y³)dy = 2 y³

3 −y⁴ 4

1 0

= 2 1

3 −1 4

= 1 6.

(43)

27)

D

f(x, y)dx dy où

D={(x, y)|x+y≥1, x²+y² ≤1}, et

f(x, y) =xy².

✻

✲ 1 1

D

y

· ··

··

·

··

·

Lorsquey est compris entre0 et1, le nombre x varie de 1−y àp

1−y². Donc

I_x(y) =

√1−y²

Z

1−y

xy²dx=y² x²

2 x=√

1−y²

x=1−y

= y² 2

(1−y²)−(1−y)²

=y³−y⁴.

On a alors

I =

1

Z

0

Ix(y)dy =

1

Z

0

(y³−y⁴)dy = y⁴

4 −y⁵ 5

1 0

= 1 4 −1

5 = 1 20.

(44)

où D

D={(x, y)|x+y≥0, x²+y² ≤1}, et

f(x, y) =xy².

✻

✲

√2/2

−√ 2/2

D1

D2

y

· · · · ·

· · · ·

· · · · ·

· · · ·

· ·

Lz cercle de centre O et de trayon 1 coupe la deuxième bissectrice aux points (√

2/2,−√

2/2) et (−√

2/2,√

2/2). On sépare le domaine en deux parties par le droite d’équation y=

√2 2 .

La partie supérieure D₂ est symétrique par rapport à l’axeOy et, sur D₂, f(−x, y) =−f(x, y).

Il en résulte que

Z Z

D2

f(x, y)dx dy= 0.

L’intégrale I n’est autre que l’intégrale sur la partie inférieureD1. Pour D₁, lorsque y est compris entre−

√2 2 et

√2

2 , le nombrex varie de −y à p

1−y². Donc

(I_x)₁(y) =

√1−y²

Z

−y

xy²dx=y² x²

2

√1−y²

−y

= y² 2

(1−y²)−y²

= y² 2 −y⁴.

(45)

On a alors

I =I₁ =

√2/2

Z

−√ 2/2

(I_x)₁(y)dy ,

et, en raison de la parité,

I = 2

√2/2

Z

0

y² 2 −y⁴

dy = 2 y³

6 −y⁵ 5

√2/2

0

=

√2 30 .

(46)

où Dest le domaine lmité par les paraboles d’équationD

y² = 2px et x²= 2py , et

f(x, y) =x²+y².

✲

✻

2p 2p

D1

x

· ·· · ·· · ·· · ·· · ·· · ·· · ·· · ·· ·· ·· ·· ··

Le domaine Dest symétrique par rapport à la première bissectrice. Sur D, on a f(y, x) =f(x, y).

On a donc

I = Z Z

D

f(x, y)dx dy= 2 Z Z

D1

f(x, y)dx dy

où D₁ est la partie du domaine Dsituée sous la première bissectrice.

Lorsquex est fixé entre 0et 2p, alors y varie de x²

2p à x et donc

(I_y)₁(x) = Zx x²/2p

(x²+y²)dy =

x²y+y³ 3

y=x y=x²/2p

=x³+x³ 3 −x⁴

2p− x⁶ 24p³ .

(47)

Puis

I = 2

2p

Z

0

(I_y)₁(x)dx= 2

2p

Z

0

4x³ 3 −x⁴

2p − x⁶ 24p³

dx ,

et finalement

I = 2 x⁴

3 − x⁵

10p − x⁷ 168p³

2p 0

= 2

16p⁴

3 −16p⁴

5 − 16p⁴ 21

= 96p⁴ 35 .

(48)

où D

D={(x, y)| |y| ≤chx ,|x| ≤1}, et

f(x, y) = q

ch²x−y².

✲

✻

−1 1

D1

· x

··

·

··

·

··

·

··

·

Le domaine D est symétrique par rapport aux deux axes et la fonction f est paire en chacune de variables. On a donc

I = Z Z

D

f(x, y)dx dy= 4 Z Z

D1

f(x, y)dx dy

où D₁ est la partie du domaine Dsituée dans le quart de plan des coordonnées positives, c’est-à-dire D₁={(x, y)|0≤y≤chx ,0≤x≤1}.

Lorsquex est fixé entre 0et 1, le nombrey varie de 0 àchx et donc

(Iy)1(x) =

chx

Z

0

q

ch²x−y²dy .

Pour calculer cette intégrale, cherchons une primitive dep

A²−y². En intégrant par parties

(49)

Z

pA²−y²dy = yp

A²−y²+

Z y² pA²−y²dy

= yp

A²−y²+

Z y²−A² pA²−y²dy+

Z A² pA²−y²dy

= yp

A²−y²+

Z A²

pA²−y²dy− Z

pA²−y²dy . On en déduit

Z

pA²−y²dy = 1 2 yp

A²−y²+

Z A² pA²−y² dy

!

= 1 2

yp

A²−y²+A² arcsin y A

.

Alors

(I_y)₁(x) = 1 2

y

q

ch²x−y²+ ch²x arcsin y chx

y=chx y=0

= ch²x

2 arcsin 1 = π

4 ch²x . et finalement

I =π

1

Z

0

ch²x dx=π

1

Z

0

ch 2x+ 1

2 dx= π 2

sh 2x 2 +x

1 0

= π

4 (2 + sh 2).

(50)

où D

D={(x, y)|x≥0, y≥0, x³+y³≤1}, et

f(x, y) =x²y²p

1−x³−y³.

✲

✻

1 1

D

x

·

Lorsquex est fixé entre 0et 1, le nombrey varie de 0 à(1−x³)^1/3 et donc

I_y(x) =

(1−x³)^1/3

Z

0

x²y²p

1−x³−y³dy =x²

−2

9(1−x³−y³)^3/2

y=(1−x³)¹^/³ y=0

= 2

9x²(1−x³)^3/2. Puis

I = Z1 0

I_y(x)dx= 2 9

Z1 0

x²(1−x³)^3/2dx=− 4 135

h

(1−x³)^5/2i1 0 = 4

135.

(51)

32)

D

f(x, y)dx dy où

D=

(x, y)|x≥0, y ≥0, x² a² + y²

b² ≤1

(a >0, b >0), et

f(x, y) =xy .

✲

✻

a b

D

x

·

Lorsquex est fixé entre 0et a, le nombre y varie de0à b(1−x²/a²)^1/2 et donc

I_y(x) =

b(1−x²/a²)^1/2

Z

0

xy dy =x y²

2

y=b(1−x²/a²)^1/2 y=0

= b² 2 x

1−x²

a²

.

Puis I =

a

Z

0

Iy(x)dx= b² 2a²

a

Z

0

(xa²−x³)dx= b² 2a²

a²x² 2 −x⁴

4 a

0

= b² 2a²

a⁴ 2 −a⁴

4

= a²b² 8 .

(52)

où D

D={(x, y)| |x| ≤1,0≤y≤1−x²}, et

f(x, y) =x²y .

✲

✻

−1 1

D

x

· · · ·

· · ·

Lorsquex est fixé entre −1et1, le nombre y varie de 0à 1−x² et donc

Iy(x) =

1−x²

Z

0

x²y dy=x² y²

2

y=1−x² y=0

= 1

2x²(1−x²)². Puis

I = Z1

−1

I_y(x)dx= 1 2

Z1

−1

(x⁶−2x⁴+x²)dx= 1 2

x⁷ 7 −2x⁵

5 +x³ 3

1

−1

= 1 7 −2

5 +1 3 = 8

105.

EXERCICES SUR LES INTEGRALES MULTIPLES

MULTIPLES

calculer des intégrales multiples Z

· · · Z

f (x

, . . . , x

) dx

dx

· · · dx

dans le cas de 2, de 3 puis de p variables.

Tous les domaines d’intégration D considérés sont limités par des courbes simples dans R

, des surfaces simples dans R

et des hypersurfaces simples dans R

. Les fonctions f intégrées sont continues sur D.

Lorsque le domaine D n’est pas fermé ou n’est pas borné, on appliquera les mé- thodes générales dès que la fonction f est positive sur D.

On ne soulèvera pas de difficultés pour les changements de variables proposés.

Les exercices sont indépendants les uns des autres.

INTEGRATION DANS R 2

THEOREME DE FUBINI

1)

3)

5)

6)

8)

10)

12)

13)

14)

15)

16)

18)

19)

20)

23)

24)

26)

27)

32)

INTEGRATION DANS R ²