Extraction de zones d intérêts dans une image de textures

Extraction de zones d’int´ erˆ ets dans une image de textures

Rapport de stage

Giap Nguyen (giap.nguyen@univ-lr.fr)

Encadrant :

Micka¨el Coustaty (mickael.coustaty@univ-lr.fr) Jean-Marc Ogier (jean-marc.ogier@univ-lr.fr)

Laboratoire :

Laboratoire Informatique, Image et Interaction (L3I) Universit´e de La Rochelle

30 aoˆut 2009

Remerciements

Je tiens tout d’abord `a remercier les professeurs d’informatiques et de fran¸cais de l’Institut de la Francophonie pour l’Informatique (IFI) qui nous ont dispens´es les cours pendant mes ann´ees de Master.

Je souhaite ´egalement remercier mes encadrants de stage, M. Jean-Marc Ogier et M. Micka¨el Coustaty, pour leur aide pr´ecieuse et leurs encouragements.

Enfin, je voudrais remercier les personnes du L3i pour leur sympathie et leur accueil.

R´ esum´ e

Ce travail se concentre sur l’extraction de zones d’int´erˆets dans les lettrines (images de lettre d´ecor´ees), qui se trouvent dans les documents anciens conserv´es dans des biblioth`eques, des mus´ees et des archives publiques. Notre objectif principal est de d´evelopper une m´ethode de segmentation de textures dans les lettrines. Les images que nous traitons sont obtenues par pression d’un tampon sur une feuille, et sont donc compos´ees de traits. Pour cette raison, nous proposons une m´ethode reposant sur l’extraction et l’analyse de traits. Pour cela, nous extrayons d’abord des traits et les caract´erisons. Les caract´eristiques utilis´ees sont l’orientation, l’´epaisseur et la courbure. Ensuite, une distance propre est pr´ecis´ee pour mesurer la similarit´e entre des traits. Enfin, nous utilisons une classification hi´erarchique pour classer ces traites. Les traits voisins similaires sont group´es dans un segment.

Mots-cl´es: Reconnaissance des formes, indexation d’images, segmentation, signa- tures texturelles, signatures structurelles et topologiques.

Abstract

This work focuses on the extraction of interesting zones in drop caps (images of decorated letter), which can be found in historical documents. These documents are conserved by the libraries, the museums and the public archives. Our principal objective is to develop a texture segmentation method for drop caps. Drop caps were obtained by pressure of a stamp on paper, and therefore, contains strokes. Because of that, we suggest a stroke base method for drop caps segmentation. Firstly, we extract each stroke and get its features. The features used in our method are orientation, thickness and curvature. After that, a distance is defined to measure the similarity between the strokes extracted. Finally, we use the hierarchic classification to classify the strokes. In our results, the neighbor similar strokes will be grouped in a segment.

Keywords: Pattern recognition, image indexing, segmentation, textural features, structural and topological features

Table des mati` eres

Remerciements i

R´esum´e ii

Abstract ii

Table des figures v

Liste des tableaux vii

1 Introduction 1

1.1 Probl´ematique . . . 1

1.2 Motivation . . . 2

1.3 Objective . . . 3

1.4 Contribution . . . 3

1.5 Environnement de stage . . . 4

2 Etat de l’art´ 5 2.1 Texture . . . 5

2.2 Extraction de caract´eristiques de textures . . . 6

2.2.1 Matrice de co-occurrence . . . 6

2.2.2 Fonction d’auto-corr´elation . . . 9

2.2.3 M´ethodes bas´ees mod`ele . . . 9

2.2.4 Filtrage . . . 10

2.2.5 Le diagramme de Vorono¨ı . . . 12

2.3 Segmentation et classification de textures . . . 16

2.3.1 Segmentation de textures . . . 16

2.3.2 Classification de textures . . . 17

3 Segmentation de textures de lettrines 18 3.1 Caract´eristiques de lettrines . . . 18

3.2 Proc´edure de la segmentation de textures de lettrines . . . 18

3.3 Pr´e-traitement . . . 18

3.3.1 Binarisation d’images . . . 19

3.3.2 D´ebruitage . . . 20

3.4 Extraction des traits . . . 20

3.4.1 D´etermination de couleur de traits . . . 20

3.4.2 Squelettisation . . . 22

3.4.3 Transform´ee en distance . . . 23

3.5 Caract´erisation des traits . . . 25

3.5.1 Epaisseur . . . .´ 27

3.5.2 Orientation . . . 27

3.5.3 Courbure . . . 32

3.6 Classification des traits . . . 32

3.6.1 Distance . . . 33

3.6.2 Construction d’arbre de grappes . . . 35

3.6.3 Inconsistance . . . 35

3.7 Segmentation des traits . . . 36

3.7.1 Voisinage . . . 36

3.7.2 Description de texture d’une image . . . 38

4 Exp´erimentation 39 4.1 L’environnement d’impl´ementation . . . 39

4.2 Impl´ementation . . . 39

4.3 R´esultat . . . 40

5 Conclusion 43 5.1 Conclusion . . . 43

5.2 Perspective . . . 43

Bibliographie 45

Table des figures

1.1 Lettrine . . . 1

2.1 Matrice de co-occurrence . . . 7

2.2 Fractal . . . 10

2.3 La dimension fractale . . . 11

2.4 Filtre de Gabor . . . 12

2.5 Le diagramme de Voronoi . . . 13

2.6 La triangulation de Delaunay . . . 13

2.7 Divise and conquer . . . 14

2.8 Balayage . . . 15

3.1 Otsu . . . 19

3.2 Binarisation . . . 20

3.3 Bruits . . . 21

3.4 La couleur de traits . . . 21

3.5 La couleur de traits . . . 22

3.6 Squelettisation . . . 23

3.7 La transformation en distance . . . 24

3.8 Les pixels de candidat . . . 26

3.9 La longueur . . . 27

3.10 L’´epaisseur . . . 28

3.11 L’´epaisseur approximative . . . 28

3.12 Transform´ee de Radon . . . 30

3.13 Projection d’un angle Θ dans la transforme de Radon . . . 31

3.14 Exemple d’orientation des traits . . . 31

3.15 La courbure de traits . . . 32

3.16 La vision humaine sur la longueur . . . 34

3.17 La longueur relative du trait . . . 34

3.18 La construction d’arbre . . . 35

3.19 Les distances de groupage . . . 36

3.20 La territoire de traits . . . 37

3.21 Une cat´egorie de texture dans une image . . . 38

4.1 D´ecoupage de la lettre H . . . 40

4.2 Erreur de fusion des traits . . . 41

4.3 Des points . . . 41

4.4 Des bruits . . . 42

5.1 La r´ep´etition des primitives . . . 44 5.2 La r´ep´etition des graviers . . . 44

Liste des tableaux

2.1 Indices de matrice de co-occurrence . . . 8

3.1 Proc´edure de segmentation de textures de lettrines . . . 18

3.2 La structure de donn´ees de texture d’images . . . 38

3.3 L’exemple de la description de texture . . . 38

Chapitre 1

Introduction

1.1 Probl´ ematique

Aujourd’hui, nous pouvons trouver facilement des applications de l’informatique dans la plupart des domaines de la vie. Dans les domaines qui r´e-exploitent des documents, en particulier, avec des grosses masses de document, l’informatique s’ex- prime comme un outil tr`es utilis´e. Dans ce contexte, le traitement d’image fait une grande contribution. Il r´ealise automatiquement des traitements sur les images : analyse, caract´erisation, d´etection des informations int´eressantes, segmentation des zones homog`enes, . . . Ces r´esultats nous permettent de d´evelopper des applications d’indexation ou celles de recherche bas´ees sur le contenu d’image.

Ce stage s’int`egre dans le projet NAVIDOMASS<sup>1</sup>. Le but de celui-ci est de cr´eer un outil qui permette d’indexer des images par le contenu pour faciliter le travail des historiens. Les images que nous traitons sont des lettrines (images de lettre d´e- cor´ees) (les images de la figure 1.1) sont difficiles `a traiter et `a reconnaˆıtre de part la masse d’informations qu’elles contiennent. Cette information est difficile `a isoler et `a segmenter.

(a) (b) (c)

Fig. 1.1 – Lettrine

1NAVigation Into DOcument MASSes - Navigation dans des masses de documents (http ://l3iexp.univ-lr.fr/navidomass/)

Pour indexer des images par le contenu, nous devons faire d’abord l’´etude du contenu de l’image. Cette ´etude peut correspondre simplement `a l’extraction de ca- ract´eristiques globales, comme l’histogramme des couleurs par exemple. Cependant, ce type de caract´eristique n’est pas suffisant et l’indexation d’images ne donne pas de r´esultats satisfaisant. C’est pourquoi nous avons pens´e `a extraire des caract´eris- tiques de diff´erentes zones de l’image. Cela pose encore une fois un autre probl`eme qui n’est pas toujours facile `a r´esoudre : la segmentation d’images.

Il est couramment utilis´e des crit`eres de similarit´e pour segmenter l’image en zones. Par exemple, nous pourrions utiliser le niveau gris comme crit`ere. Dans le cas d’images de documents anciens, le niveau gris de chaque zone segment´ee varie faiblement et toutes les zones semblent homog`enes, ce qui ne donne pas de r´esultats int´eressants. Pour am´eliorer la segmentation, nous avons cherch´e `a utiliser d’autres caract´eristiques d’image, et en particulier, nous avons principalement ´etudi´e la tex- ture puisqu’elle est une caract´eristique tr`es particuli`ere des diff´erentes zones.

Les textures pr´esentes sur des lettrines sont diff´erentes des textures classiques de part la nature mˆeme des images. Elles sont des images obtenues par impression d’un tampon sur une feuille, et sont donc compos´ees de traits. Il est donc n´ecessaire de r´e-explorer les m´ethodes de la litt´erature, pour les adapter ou mˆeme de trouver des nouvelles m´ethodes.

1.2 Motivation

Les m´ethodes de segmentation de textures propos´ees dans la litt´erature pr´e- sentent souvent des limitations. Parmi ces m´ethodes g´en´erales, nous pouvons citer celles bas´ees sur la matrice de co-occurrence [Haralick 73, Marc Bartels 05], ou re- posant sur des filtres de Gabor [Dunn 98, Teuner 95, Dunn 95]. D’autres m´ethodes ont ´et´e ´elabor´ees pour des textures particuli`eres, comme les textures r´ep´etitives ou naturelles. Bien que ces m´ethodes fonctionnent assez bien dans les exp´erimentations, les r´esultats obtenus en application r´eelle sur nos images ne sont pas satisfaisants.

Chaque type de texture a des caract´eristiques particuli`eres, auxquels il faut associer des m´ethodes adapt´ees.

Les lettrines sont des images compos´ees de traits (la figure 1.1). Pour les seg- menter convenablement, il conviendra d’extraire les traits qui les composent. Ce stage propose une m´ethode qui calcule des statistiques sur les traits qui composent la texture des lettrines. Cette approche diff`ere des approches classiques qui op`erent g´en´eralement au niveau des pixels. Les m´ethodes de segmentation `a base de calcul de primitives sur des textures pr´esentent deux grands avantages :

– Analyse la texture de mani`ere similaire `a la vision humaine. Les op´erations r´ealis´ees au niveau des pixels ne collent pas directement `a la vision humaine, contrairement `a notre approche qui repose sur des calculs de statistiques et des comparaisons au niveau de primitives textures.

– Diminuer le temps de calcul dans la phase de classification, puisqu’il n’est plus

1.3. Objective n´ecessaire de comparer les pixels un-`a-un mais plutˆot des traits entre eux. De plus, nous pouvons ˆetre sur que le nombre de primitives texture est beaucoup plus petit que celui des pixels. Donc le nombre de comparaison, dans la phase de classification ou de segmentation, est diminu´e.

Cette approche repose donc sur une ´etape clef, qui consiste tout d’abord `a ex- traire les primitives de texture.

1.3 Objective

Le but de ce stage est de chercher une m´ethode pour segmenter les textures dans les lettrines. Une lettrine contient plusieurs textures r´eunies en plusieurs zones, et ce stage consiste `a trouver un plus petit nombre de zones satisfaisant la condition :

”une zone contient une seule cat´egorie de texture”. Le r´esultat de la segmentation d’une image nous donnera donc un ensemble de zones homog`enes.

Pour arriver `a notre objectif, nous devons identifier des caract´eristiques propres aux textures des lettrines. La seconde ´etape consiste alors `a d´efinir une proc´edure pertinente associ´ee `a ces caract´eristiques. Enfin, ce stage doit ´egalement privil´egier l’exactitude aux temps de calculs.

D’autre part, nous voulons proposer une structure qui repr´esente l’image par des zones segment´ees, elle reprend seulement des informations int´eressantes des textures contenues dans une image. Cette structure facilite la d´emarche d’indexation et de recherche par le contenu.

Toutes les m´ethodes d´evelopp´ees ont ´et´e test´ees sur une base de 916 images contenant des lettrines.

1.4 Contribution

La contribution de ce stage porte sur l’analyse et la segmentation des textures dans les lettrines. Ce travail doit faciliter et acc´el´erer les travaux des historiens qui travaillent sur les lettrines [CESR 09]. Notre analyse des textures repose sur une nouvelle approche, bas´ee sur l’extraction de primitives textures. Dans le cas des let- trines, ces primitives sont des traits, puisque pr´esent dans toutes les lettrines. Notre m´ethode pourrait ´egalement ˆetre utilis´ee sur d’autres types d’images contenant des textures avec le d´esir d’am´eliorer les r´esultats de travaux pr´e-existants, par exemple, nous pouvons utilisons la matrice de co-occurrence ou la fonction d’auto-corr´elation pour faire la statistique sur des primitives.

1.5 Environnement de stage

Le stage est effectu´e au sein de l’´equipe Imedoc ² du laboratoire L3i ³ `a l’uni- versit´e de La Rochelle en France. Cr´e´e en 1993, le laboratoire L3i comporte 80 cher- cheurs dont 34 permanents travaillant sur les domaines de l’Informatique, l’Image et leurs interactions.

Le L3i est le laboratoire de recherche du domaine STIC ⁴ de l’Universit´e de la Rochelle associant tr`es efficacement les chercheurs de l’IUT⁵ et du Pˆole Sciences en informatique puisque la grande majorit´e des enseignants-chercheurs en Informatique et en G´enie informatique de l’universit´e de la Rochelle se retrouvent au sein du L3I.

En terme de politique scientifique, le laboratoire L3i est r´esolument tourn´e vers les r´eseaux de recherche r´egionaux (PRIDES ⁶, ERT ⁷ ”Interactivit´e num´erique”), nationaux et internationaux dans les secteurs de visibilit´e de son action scienti- fique, et notamment autour du flux vid´eo (cin´ema), de l’ing´enierie documentaire et de l’interactivit´e num´erique. Ceci est consolid´e par une politique volontariste de participation ou de pilotage de projets de recherche labellis´es (ANR⁸, PCRD⁹, . . . ).

Son action internationale est actuellement renforc´ee avec des liens privil´egi´es avec les centres de recherche tels que le CVC ¹⁰ de Barcelone, le laboratoire Regim de Sfax (Tunisie), le MSI ¹¹(Unit´e de l’IRD¹²) et le MICA¹³ (unit´e internationale du CNRS ¹⁴) d’Hano¨ı (Vietnam) et l’Universit´e de Kuala Lumpur (Malaisie).

Le laboratoire poss`ede le label d’´equipe d’accueil du Minist`ere de la Recherche (EA 2118) depuis 1997 et dispose par ailleurs du label d’ ´Equipe de Recherche Tech- nologique (ERT) avec ses partenaires, label attribu´e par le minist`ere de la recherche.

Les points d’entr´ee scientifiques de l’´equipe Imedoc portent sur l’imagerie du vi- sible `a l’invisible, les s´equences d’images (de la pellicule au flux vid´eo) et les syst`emes d’informations documentaires (du patrimoine au document num´erique).

2Image, M´edia Num´eriques et Documents

3Laboratoire Informatique, Image et Interaction - http ://l3i.univ-larochelle.fr/

4sciences et technologie de l’information et de la communication

5Institut Universitaire de Technologie de La Rochelle - http ://www.iut-larochelle.com/

6Pˆole R´egional de Recherche en Images, Donn´ees et Syst`emes

7Equipe de Recherche Technologique´

8Agence nationale de la recherche - http ://www.agence-nationale-recherche.fr/

9Programme Cadre de Recherche et D´eveloppement

10Centre de vision par ordinateur

11Mod´elisation et Simulation Informatique

12’Institut de recherche pour le d´eveloppement

13Multim´edia, information, communication et application

Chapitre 2

Etat de l’art ´

2.1 Texture

La texture est une propri´et´e de la surface, elle d´epend l’asp´erit´e ou la distribution des couleurs des surfaces. Elle est une composante riche en information d’une image, elle devient donc un param`etre tr`es important pour la compr´ehension et l’interpr´e- tation d’image. Son importance dans l’interpr´etation d’images explique l’int´erˆet que l’on lui porte dans l’analyse d’images et le nombre de m´ethodes d’analyse d’images qu’elle est prise en compte.

Si on utilise la texture comme crit`ere pour diff´erencier des r´egions, une zone avec l’homog´en´eit´e texturelle est limit´ee par le contour qui est la variation d’intensit´e texturelle. Nous pouvons reconnaˆıtre la texture par des sens tactiles ou par la vi- sion [Chen 00]. Une texture peut ˆetre fine ou grosse. Ou bien, elle est retrouv´ee par la distribution des couleurs. Elle est peut-ˆetre d´etect´ee par sa primitive - le textel (texture element), dans ce cas, la texture est une r´ep´etition des textels.

Cependant, on n’a pas pu trouver une d´efinition formelle de ce qu’est la texture et c’est la raison pour l’abondance des m´ethodes pour d´eterminer ou diff´erencier des textures. On se contente donc de trouver un mod`ele ad´equat pour l’´etude `a mener.

En cons´equence, les d´efinitions de texture propos´ees varient selon les domaines de recherche et les conceptions des auteurs. Les caract´eristiques utilis´ees souvent pour la conception des mod`eles sont :

– Une texture peut ˆetre p´eriodique ou elle est une r´ep´etition d’un motif de base – Mais, une texture peut quand-mˆeme ˆetre non p´eriodique, elle est d´esordonn´ee.

Dans le premier cas, on essaie de trouver le motif de base de la texture. Ensuite, on cherche `a extraire des caract´eristiques du motif et la fr´equence des motifs. Ces caract´eristiques vont repr´esenter la texture. C’est un bon mod`ele pour les textures artificielles r´ep´etitives mais il est difficile d’appliquer ce mod`ele pour les autres types de texture. Par exemple, des textures naturelles sont par hasard form´ees, c’est diffi- cile `a d´efinir le motif et la fr´equence.

Le deuxi`eme cas est juste pour la plupart des textures, pourtant, il ne sugg`ere pas de d´eterminer l’orientation de la texture. Pour cela, on peut essayer de trouver la

distribution, la corr´elation des couleurs. De fa¸con plus avanc´ee, on essai d’appliquer le premier mod`ele `a ces textures en g´en´eralisant le concept de motif.

L’analyse de texture est tr`es utile dans la vision par ordinateur, elle a plusieurs application dans la vie r´eelle, par exemple, l’analyse d’image m´edicale, l’analyse de document, l’analyse d’empreinte digitale, . . . Les textures diff´erentes nous aident

`

a distinguer diff´erentes surfaces, en cons´equence, elles facilitent la distinction des objets dans les images.

Pour reconnaˆıtre la texture, nous avons deux types op´erations principaux : la classification de texture et la segmentation de texture. La classification de texture s´electionne une classe de texture (pr´e-d´efinie) pertinente `a chaque r´egion de tex- ture dans une image. La segmentation de texture cherche des contours des r´egions de texture. Pour r´esoudre ces probl`emes, nous pouvons diviser ces probl`emes en sous-probl`emes comme l’extraction de caract´eristiques de texture, l’extraction de primitives et le partitionnement de donn´ees. Pour ces deux op´erations, nous devons r´ealiser la phase commune : extraction de caract´eristiques de texture.

2.2 Extraction de caract´ eristiques de textures

Bien que les textures soient des informations difficiles `a extraire, on a trouv´e quelques m´ethodes pour extraire des caract´eristiques de textures. Pourtant, ces m´e- thodes n’ont pas donn´e des r´esultats parfaits.

L’extraction de caract´eristiques de texture est la phase ´el´ementaire de la classi- fication et la segmentation de texture. De bon r´esultat `a cette ´etape facilitent les

´

etapes suivantes.

Dans cette section, nous supposons que nous travaillons avec des images homo- g`enes d’un point de vue texturelle, les caract´eristiques extraites vont proprement repr´esent´ees la texture. Nous consid´erons aussi que les images de textures sont d´efi- nies par une fonction qui se r´efl´echit sur le niveau de gris des pixels.

Les m´ethodes repr´esent´ees dans ce qui suit sont des m´ethodes connues pour la texture et elles peuvent ˆetre profitables ou ´evoquent des id´ees int´eressantes pour les textures des lettrines.

2.2.1 Matrice de co-occurrence

La matrice de co-occurrence est largement utilis´ee dans l’analyse de texture. Elle est tr`es facile `a mettre en œuvre et donne de bons r´esultats sur plusieurs types de texture. Dans la plupart des applications, les images utilis´ees sont repr´esent´ee en niveaux de gris et la matrice de co-occurrence est connue sous le nom GLCM (Gray Level Co-occurrence Matrix).

2.2. Extraction de caract´eristiques de textures La matrice de co-occurrence C d’un vecteur de d´eplacement (∆x,∆y) d’une imageI de la taille (m∗n) est d´efinie par la formule 2.1

C_∆x,∆y(x, y) =

n

X

p=1 m

X

q=1

1, ifI(p, q) =iand I(p+ ∆x, q+ ∆y) =j

0, otherwise (2.1)

Pour am´eliorer la performance de la m´ethode, nous pouvons r´eduire la taille de la matrice. Pour le faire, nous pouvons grouper des niveaux gris de l’image par les techniques de partitionnement de donn´ees (clustering).

L’image 2.1 montre la fa¸con dont est calcul´ee la matrice de co-occurrence du vecteur de d´eplacement (1,0)

Fig.2.1 – Calcul de la matrice de co-occurrence d’une image

Le choix du vecteur de d´eplacement est toujours tr`es important pour la r´eussite de la m´ethode. Normalement, nous voulons obtenir des matrices de co-occurrence de plusieurs vecteurs de d´eplacement sur des directions et des distances diff´erentes.

Le probl`eme est la combinaison des indices des matrices pour que nous pussions utiliser cette m´ethode avec des orientations et des ´echelles diff´erentes. `A cˆot´e de ce probl`eme, nous voulons r´eduire le nombre de matrice de co-occurrence matrice cal- cul´e. Pour faire cela, nous devons ´evaluer l’importance des vecteurs de d´eplacement par rapport des types de textures. Plusieurs ´etudes ont ´et´e men´ees pour d´eterminer une distance ou une orientation optimale. En pratique, une distance courte donne g´en´eralement de bons r´esultats [Karathanassi 00, Iftene 04].

La masse d’informations sur cette matrice est trop grande et nous ne pouvons pas retirer directement des remarques utiles pour l’analyse de texture. Quatorze in- dices interm´ediaire (Table 2.1) sont propos´e par Haralick en 1973 [Haralick 73]. Ces indices r´eduisent l’information contenue dans la matrice de co-occurrence et per- mettent une meilleure discrimination entre les diff´erents types de textures.

En outre, nous pouvons r´eduire le nombre d’indice utilis´e dans 14 caract´eristiques de Haralick. Pour l’ind´ependance de la taille d’image et pour l’expression en termes de probabilit´e, nous utilisons la matrice de co-occurrence normalis´ee pour calculer

Tab.2.1 – Quatorze indices de matrice de co-occurrence propos´e par Haralick

2.2. Extraction de caract´eristiques de textures

des indices.

2.2.2 Fonction d’auto-corr´elation

Du fait que la grossi`eret´e (ou la finesse) soit une propri´et´e facilement reconnais- sable de la texture, cette mesure est utile pour l’analyse de texture. Dans des images de texture, des pixels voisins sont connexes ou d´ependants, toutefois, des distances du voisinage sont diff´erentes, elles d´ependent de la grossi`eret´e de la texture. Bas´e sur cette propri´et´e, nous pouvons utiliser la fonction d’auto-corr´elation pour analy- ser des textures. Le r´esultat de la fonction d’auto-corr´elation d’une image I(x, y) de taille (m, n) est une matrice A donn´ee par la formule 2.2.

A(u, v) = Pm

x=0

Pn

y=0I(x, y)∗I(x+u, y+v) Pm

x=0

Pn

y=0I(x, y)² (2.2)

Plus la texture est grossi`ere, plus sa matrice d’auto-corr´elation diminue douce- ment.

Pour calculer enti`erement l’auto-corr´elation, nous devons d’abord r´eduire pro- prement la taille de l’image car la taille de la matrice est ´egale celle de l’image.

Sinon, nous calculons seulement des ´el´ements importants de la matrice.

2.2.3 M´ethodes bas´ees mod`ele

Les m´ethodes bas´ees mod`ele supposent que la texture est form´ee par un mod`ele et on consid`ere que les param`etres de ce mod`ele sont des caract´eristiques de la tex- ture.

Par exemple, si on utilise un champ al´eatoire de Markov ¹⁵ comme mod`ele, en consid´erant que l’image est un champ al´eatoire de Markov. La probabilit´e qu’un pixel re¸coive une intensit´e doit ˆetre positive et markovienne. La caract´eristique mar- kovienne ´emet l’hypoth`ese que la distribution d’intensit´e des pixels d´epende uni- quement de ses voisins, elle est ind´ependante du reste de l’image. Ce mod`ele vise

`

a capturer des statistiques de ces voisinages et de les repr´esenter comme des para- m`etres du mod`ele. Dans quelques mod`eles bas´es sur le champ al´eatoire de Markov, on utilise l’´equivalent entre le champ al´eatoire de Markov et celui de Gibbs pour extraire des param`etres avec la formule (2.3) de probabilit´e de Gibbs [Cross 83, Besag 74, Derin 87].

P(X=x) = 1

Ze^−U(x) (2.3)

O`uU(x) est une fonction d’´energie etZ une constante de normalisation appel´ee la fonction de partition. La fonction d’´energie est g´en´eralement calcul´ee sur la clique form´ee par des pixels voisins. La fonction d’´energie est ensuite exprim´ee en terme

15Markov Random Field - MRF

de fonction potentielle Vc(x) dans l’ensemble des cliques Q:U(x) =P

c∈QVc(x).

Un autre exemple de mod`ele repose sur le mod`ele fractal. Un objet fractal (2.2) est une forme g´eom´etrique complexe qui pr´esente une auto-similarit´e `a diff´erentes

´

echelles, il s’inscrit donc dans une hi´erarchie de structures g´eom´etriques.

Fig.2.2 – Fractal

En analyse de texture, la dimension fractale, qui est une mesure du degr´e d’ir- r´egularit´e d’un objet, d´ecrit une certaine propri´et´e de la texture. Le mod`ele fractal de texture est bas´e essentiellement sur l’estimation par des m´ethodes spatiales de la dimension fractale de la surface repr´esentant les niveaux de gris de l’image. La dimension fractale d’un ensemble A est d´efinie par la formule 2.4

D= logN

log (1/r) (2.4)

Telle que N soit le nombre total de copies distinctes similaires `a A et 1/r cor- respond au facteur d’´echelle avec lequel Aest divis´e.

Plusieurs m´ethodes ont ´et´e d´evelopp´ees pour calculer la dimension fractale dans le cas auto-similaires. La plus utilis´ee est la m´ethode des ”boˆıtes”, qui est consid´er´ee comme la plus simple pour le calcul de la dimension fractale. Les mesures consistent dans le nombre de ”boˆıtes” n´ecessaires pour couvrir l’objet fractal ; les dimensions des boˆıtes correspondent au pas de mesure.

Par exemple, dans l’illustration 2.3, la rectangle est divis´ee par 8∗14 = 112 boites (r = 1/112), et il y a 26 boites qui contiennent une partie de la courbe (en gris) (N = 26). Donc,

D= log 26

log 112 (2.5)

2.2.4 Filtrage

Les filtres sont tr`es utilis´es pour extraire des caract´eristiques de texture. Nous pouvons trouver des exemples qui utilisent des filtres simples comme le filtre de Ro- berts, le filtre laplacien ou les filtres plus compliqu´es comme le filtre de Fourier ou celui de Gabor.

2.2. Extraction de caract´eristiques de textures

Fig.2.3 – La dimension fractale

Avec le filtre de Roberts ou le filtre laplacien, nous pouvons faire la convolution et extraire des contours de l’image de texture. En suite, nous faisons directement la segmentation bas´ee sur ces contours ou en calculant la densit´e de contours, qui peuvent ˆetre utiles pour l’analyse de textures.

La transformation de Fourier permet de passer d’une repr´esentation de l’image dans le domaine spatial `a une repr´esentation dans le domaine fr´equentiel. On peut ainsi analyser le contenu fr´equentiel de ce signal, et ensuite le travailler o`u l’analyser en profondeur.

L’extraction de param`etres de texture `a partir de la transform´ee de Fourier per- met d’´etablir un mod`ele compact pour les textures p´eriodiques. Normalement, nous choisissons quatre directions (0^o,45^o,90^o,135^o) et certaines fr´equences. Le nombre de fr´equences d´epend de la taille de l’image. Typiquement, avec une image de taille M∗N(M <=N), les fr´equences choisies sont 2⁰,2¹, ...,2^t avec t= logM−1.

Un filtre de Gabor est une sinuso¨ıde modul´ee par une gaussienne (la figure 2.4).

Dans le domaine fr´equentiel, il s’exprime comme ´etant une gaussienne centr´ee sur une fr´equence d´etermin´ee. En 2D, un banc de filtres de Gabor va s’exprimer comme

´

etant un ensemble de filtres, chacun s´electionnant une fr´equence particuli`ere dans une dimension particuli`ere.

L’utilisation d’un banc de filtres de Gabor permet d’extraire de l’image consi- d´er´ee des informations pertinentes, `a la fois en espace et en fr´equence, relatives `a la texture. Avec les filtres de Gabor, nous pouvons analyser la texture `a diff´erentes

´

echelles et diff´erentes orientations.

Fig. 2.4 – Filtre de Gabor [AlainBoucher 08]

2.2.5 Le diagramme de Vorono¨ı

Le diagramme de Vorono¨ı et la relation avec la triangulation de Delaunay Le diagramme de Vorono¨ı (la partition de Voronoi ou la pavage de Vorono¨ı) a

´

et´e largement ´etudi´e dans le domaine de la g´eom´etrie et appliqu´e dans diff´erentes disciplines. En ce qui concerne l’analyse de texture, elle r´ealise la division de mani`ere dynamique par rapport `a l’information image. Cette segmentation est tr`es utile si tant est que la texture est al´eatoire. Ensuite de la phase de construction du dia- gramme de Vorono¨ı, nous pouvons extraire des param`etres par des statistiques des caract´eristiques g´eom´etriques des diagonales dans le diagramme de Vorono¨ı.

Le diagramme de Vorono¨ı (la figure 2.5)consiste `a g´en´erer un partitionnement du plan en polygones, ces polygones s’appellent des sites du diagramme. Pour faire la g´en´eration, nous devons pr´eciser des germes, pour chaque germe, il y un site ´equi- valent. Ces sites doivent satisfaire la condition suivante : les germes de deux sites voisins sont ´equidistants `a la fronti`ere (l’arˆete commune).

Nous pr´esentons ici aussi la triangulation de Delaunay, le graphe dual du dia- gramme de Voronoi, qui est utile pour la construction du diagramme de Voronoi. La triangulation de Delaunay d’un ensembleP de points du plan est une triangulation DT(P) telle qu’aucun point de P n’est `a l’int´erieur du cercle circonscrit d’un des triangles deDT(P) (la figure 2.6 (a)).

La triangulation de Delaunay d’un ensemble discret P de points est le graphe dual du diagramme de Voronoi associ´e `a P, c’est `a dire les points de P sont des germes pour construire le diagramme de Voronoi. Ces points sont reli´es entre eux par une arˆete si les sites sont voisins. On remarquera que les arˆetes du diagramme de Vorono¨ı sont sur les m´ediatrices des arˆetes de la triangulation de Delaunay (la figure 2.6 (b)), alors nous pouvons construisons facilement le diagramme de Voronoi si la triangulation de Delaunay ´equivalente a ´et´e construite.

Pour construire le diagramme de Voronoi, nous pouvons donc g´en´erer directe- ment le diagramme de Voronoi ou r´ealiser d’abord la construction de la triangulation de Delaunay. Plusieurs algorithmes ont ´et´e propos´es pour les faire, ces algorithmes peut-ˆetre group´es dans trois classes principales : m´ethodes incr´ementales, m´ethodes

2.2. Extraction de caract´eristiques de textures

Fig. 2.5 – Le diagramme de Voronoi

(a) (b)

Fig. 2.6 – La triangulation de Delaunay

”divide and conquer”, et m´ethodes de balayage.

Algorithmes du type ”divide and conquer”

Les algorithmes du type ”divide and conquer” consistent `a diviser le probl`eme g´en´eral en sous-probl`emes de plus petites tailles. La division se fait de fa¸con r´ecursive jusqu’`a obtenir des probl`emes simples `a r´esoudre (lorsqu’il ne reste plus que trois points par exemple). Chaque sous-probl`eme est trait´e de fa¸con ind´ependante, et une

´

etape de fusion est n´ecessaire pour unifier les sous-probl`emes. L’image 2.7 est une illustration pour la construction d’une triangulation de Delaunay du type ”divide and conquer”.

Fig. 2.7 – Divise and conquer

Algorithmes de balayage

Les algorithmes de balayage construisent les structures g´eom´etriques en balayant le plan par une droite suivant un axe privil´egi´e, et mettent `a jour la structure chaque fois qu’un point est rencontr´e. Fortune a propos´e son algorithme de ce type. L’algo- rithme de balayage de Fortune est connu comme l’algorithme le plus efficace pour construire le diagramme de Voronoi d’un ensemble fini S de points du plan. Cet algo- rithme consiste `a balayer le plan avec une ligne horizontale (ou verticale, au choix) en tenant `a jour un certain nombre d’informations n´ecessaires `a la d´etermination des sommets du diagramme de Voronoi. Remarquons d’abord que le lieu des points

´

equidistants entre un site et la droite de balayage est une parabole.

En cons´equence, si i et j sont deux sites, D la droite de balayage, et d la fonction distance, le point d’intersection p des deux paraboles est tel que d(i, p) = d(p,D) = d(j, p). Donc l’intersection des deux paraboles est `a ´egale distance des deux sites, et, lors du d´eplacement de la droite de balayage, cette intersection d´ecrira la m´e- diatrice des deux sites, c’est-`a-dire pr´ecis´ement la fronti`ere que l’on recherche entre les zones associ´ees aux sites. Toutefois, toutes les m´ediatrices ne font pas partie du diagramme de Voronoi. Il faut donc g´erer, pendant le balayage, les ´ev´enements de cr´eation et de destruction des arcs de paraboles, dont on sait qu’ils g´en´ereront des segments de m´ediatrice faisant partie du diagramme de Voronoi. L’enveloppe des arcs de paraboles utiles `a la mise `a jour du diagramme de Voronoi peut ˆetre vue

2.2. Extraction de caract´eristiques de textures

(a) (b)

Fig. 2.8 – Balayage

diagramme de Voronoi, lorsque la ligne de balayage se d´eplace.

Un arc de parabole sera cr´e´e `a chaque fois que la ligne de balayage rencontre un site et un arc de parabole disparaˆıtra lorsqu’il sera r´eduit `a un point. Dans ce cas, les deux arcs de paraboles voisins de celui qui disparaˆıt s’intersectent au point auquel se r´eduit ce dernier.

Algorithmes incr´ementaux

Les algorithmes incr´ementaux consistent ins´erer les germes, les uns apr`es les autres, et modifier la structure chaque it´eration. La modification ne se fait que de fa¸con locale. Pour la triangulation de Delaunay incr´ementale, lors de l’insertion d’un point p, seuls les triangles dit ”en conflit” avec p sont modifi´es.

Pour appliquer le diagramme de Voronoi, nous devons d´efinir une distance appro- pri´ee entre points de l’image et choisir un ensemble de sites. La distance est d´efinie en consid´erant les attributs de bas niveau de l’image et, en particulier, l’information fournie par le niveau gris. Une fois la distance d´efinie, le probl`eme suivant qui se pose est la s´election d’un ensemble de sites ad´equats pour cette tˆache. D’une part, les sites doivent ˆetre repr´esentatifs du contenu de l’image ; D’autre part, chaque struc- ture significative doit en contenir au moins un. Dans le cas des images en niveaux de gris, les maxima de niveaux gris s’av`erent ˆetre des candidats naturels pour les sites.

Extraction de caract´eristiques des sites

Apr`es construction du digramme de Vorono¨ı, les caract´eristiques des sites de Vorono¨ı vont ˆetre extraites pour les autres applications. Par exemple, dans la seg-

mentation de textures, les sites avec des caract´eristiques similaires sont regroup´es pour construire des r´egions de texture uniforme. Les moments calcul´es sur les sites de Vorono¨ı sont des caract´eristiques utiles, qui refl`etent `a la fois la distribution spa- tiale et la forme des sites dans l’image.

Les moments d’ordres (p+q)i`eme d’une r´egion R avec les coordonn´ees (x₀, y₀) sont d´efinis par la formule 2.6.

m_pq= Z Z

R

(x−x₀)^p(y−y₀)^qdxdy (2.6)

2.3 Segmentation et classification de textures

Avec ces m´ethodes d’extraction des caract´eristiques de textures ou de mod´elisa- tion de textures, nous pouvons trouver plusieurs travaux connexes `a la texture. `A cot´e des travaux de cr´eation de textures comme la synth`ese de texture ou la cr´ea- tion de formes `a partir des textures, nous avons la segmentation de textures et la classification de textures. Ces applications servent `a la compr´ehension du contenu des images.

2.3.1 Segmentation de textures

La segmentation de textures est un probl`eme difficile parce que g´en´eralement l’on n’a pas de connaissances `a priori sur les types et le nombre de textures dans l’image. En fait, aucune connaissance sur les textures existantes dans l’image n’est n´ecessaire afin de faire la segmentation de texture. La seule chose n´ecessaire est une mani`ere pour dire que deux textures sont diff´erentes.

Les deux approches g´en´erales de l’ex´ecution texture segmentation sont ´equiva- lentes aux m´ethodes de la segmentation d’images : l’approche de r´egion ou l’approche de contour. Dans l’approche de r´egion, on essaie d’identifier les r´egions de l’image qui ont une texture uniforme. Les pixels ou de petites r´egions sont fusionn´es en raison de la similitude de certaines propri´et´es de texture. Les r´egions ayant diff´e- rentes textures sont alors consid´er´ees comme des r´egions segment´ees. Cette m´ethode a l’avantage que les fronti`eres des r´egions sont toujours ferm´ees et, par cons´equent, les r´egions contenant diff´erentes textures sont toujours bien s´epar´ees. Cependant, il faut pr´eciser le nombre de textures diff´erentes pr´esentes dans l’image `a l’avance. En outre, les seuils de similitude des valeurs sont n´ecessaires.

L’approche par contour cherche les diff´erentes textures dans les r´egions adja- centes. Ainsi, les fronti`eres (contour) sont d´etect´ees o`u il existe des diff´erences dans la texture. Dans cette m´ethode, nous n’avons pas besoin de connaˆıtre le nombre de r´egions dans la texture de l’image `a l’avance. Toutefois, les trous qui apparaissent sur les fronti`eres posent un probl`eme, les r´egions ne sont plus ferm´ees et ne sont plus clairement s´epar´ees.

2.3. Segmentation et classification de textures Ces deux approches reposent sur la recherche de diff´erences ou de similarit´e de textures. Cependant, la comparaison entre les pixels ne peut pas mener `a un bon r´esultat parce que l’intensit´e des pixels individuels ne repr´esente pas la nature de la texture. Pour segmenter correctement, nous devons faire la comparaison sur des autres objets, qui repr´esente mieux la nature de la texture. Par exemple, nous pouvons extraire pour comparer des sous-fenˆetres en divisant l’image en plusieurs fenˆetres. Cela cause un probl`eme, quelle taille de fenˆetres va ˆetre utilis´ee ? Cette taille doit ˆetre assez petite pour d´etecter correctement la position des changements de textures et elle doit aussi ˆetre assez grande pour que les caract´eristiques extraites repr´esentent bien des textures.

Le diagramme de Vorono¨ı pr´esent´e pr´ec´edemment est aussi une solution, nous pouvons faire la comparaison des textures dans les sites de Vorono¨ı. En outre, nous pouvons faire une extraction des primitives ou des ´el´ements de textures. Pourtant, cette solution n’est pas toujours facile `a r´ealiser.

2.3.2 Classification de textures

La classification de textures a pour but de d´eterminer la classe de chaque tex- ture. Nous avons plusieurs techniques pour la faire, elles sont divis´ees en deux types principaux, la classification supervis´ee et non supervis´ee. Cependant, appliquer la classification supervis´ee sur les textures n’est pas pratique, parce que nous ne savons par `a l’avance le nombre de classes de textures de l’image.

Dans les m´ethodes de classification non supervis´ee, k-means est une m´ethode tr`es connue. K-means est une m´ethode de partitionnement de donn´ees, qui vise `a au partitionnement de n observations en k grappes (cluster) dans lesquels chaque observation appartient `a la grappe avec la moyenne la plus proche. Il y a aussi des variations de cette m´ethode, qui supprime des grappes vides ou ajoute de fa¸con rai- sonnable des grappes. Dans ce cas, le nombre de grappes n’est pas toujours ´egal `a k.

Pour appliquer cette m´ethode, il faut connaitre `a priori le nombre de classes ce qui n’est pas pratique pour les textures. Nous devons donc estimer le nombre de classes de textures en fonction des autres caract´eristiques d’images.

En outre, nous pouvons utiliser les m´ethodes hi´erarchiques pour la classifica- tion non supervis´ee. Dans ces m´ethodes, on construit d’abord un arbre de donn´ees, puis on d´efinit des crit`eres pour couper cet arbre, les sous-arbres coup´es sont les grappes de r´esultat. Plusieurs fa¸cons existent pour construire l’arbre de donn´ees.

Par exemple, on consid`ere au d´ebut que chaque observation est une grappe. Tant que le nombre de grappes est sup´erieur `a 1, on groupe les deux grappes les plus proches. En r´eit`ere cette ´etape afin d’arriver `a un nombre de grappes ´egal `a un.

Le crit`ere pour couper l’arbre de donn´ees peut ˆetre la hauteur de sous-arbres, la distance minimale entres les grappes ou l’inconsistance maximales d’un sous-arbre.

Segmentation de textures de lettrines

3.1 Caract´ eristiques de lettrines

Les lettrines sont des images de lettres d´ecor´ees. Elles sont caract´eris´ees par leur lettre et par leur arri`ere plan. Dans la plupart des lettrines, leur arri`ere plan est compos´e de traits (voir figure 1.1). Nous nous concentrons sur cette caract´eristique pour faire l’extraction des caract´eristiques de textures de lettrines.

A cot´` e des traits, nous trouvons aussi des points et des lettres. Cependant, nous pouvons consid´erer que les points sont les courts traits et les lettres sont des gros traits. Alors, avec une fa¸con de mod´eliser des traits, nous pouvons repr´esenter la texture de lettrines par ses ´el´ements, qui peuvent ˆetre des traits, des points ou des lettres.

3.2 Proc´ edure de la segmentation de textures de let- trines

Nous utilisons la proc´edure 3.1 pour r´ealiser la segmentation de textures de let- trines. Cette proc´edure va ˆetre expliqu´ee dans les sections suivantes.

Pr´e-traitement → Extraction des traits → Caract´erisation des traits

→ Classification des traits → Segmentation des traits.

Tab.3.1 – Proc´edure de segmentation de textures de lettrines

3.3 Pr´ e-traitement

Dans cette ´etape, nous faisons des op´erations auxiliaires, qui facilitent des ´etapes suivantes et augmentent la performance de la proc´edure. Nous faisons d’abord la bi-

3.3. Pr´e-traitement

narisation de l’image, en suite, nous la d´ebruitons.

3.3.1 Binarisation d’images

Les images de lettrines sont des images obtenues par impression d’un tampon sur une feuille, en cons´equence, leurs origines sont des images binaires. D´esormais, la binarisation de ces images ne perd pas ses caract´eristiques principales.

Les images fournies sont des images en niveaux de gris, pour les binariser, nous devons trouver des seuils pertinents pour d´ecider quelles intensit´es vont correspondre au blanc et le reste au noir. Nous pouvons utiliser un seuil fixe, par exemple, seuil

´

egal 128 pour les 256 intensit´es grises. C’est un seuil g´en´eral pour toutes les images.

M´ethode d’Otsu

Un seuil comme celui en haut produit des r´esultats agr´eables. Cependant, nous pouvons utiliser des m´ethodes de partitionnement de donn´ees pour trouver un seuil qui est plus adapt´e `a l’image concr`ete. Par exemple, avec la m´ethodek-means avec k = 2, nous pouvons grouper des intensit´es grises en deux groupes : noir et blanc.

Dans cette proc´edure, nous utilisons la m´ethode d’Otsu pour chercher le seuil, cette m´ethode produit rapidement le bon seuil pour une image d’entr´ee.

En fait, la m´ethode d’Otsu est une m´ethode de partitionnement de donn´ees et on a appliqu´e cette m´ethode pour r´eduire le nombre d’intensit´e de gris dans les images, il choisit des seuils pour minimiser les variances intraclasses. Dans le cas de la bina- risation, il choisit le seuil pour minimiser la variance intraclasse de noir et blanc (la figure 3.1).

Fig.3.1 – M´ethode d’Otsu

La figure 3.2 d´emontre le r´esultat (la figure 3.2 (b)) de la binarisation avec le seuil d’Otsu de l’image d’entr´ee 3.2 (a).

(a) (b) Fig. 3.2 – Binarisation

3.3.2 D´ebruitage

Nous connaissons plusieurs m´ethodes pour d´ebruiter des images, par exemple, nous pouvons appliquer le filtre gaussien ou le filtre m´edian. Ces filtres sont difficile- ment applicables dans le cas d’images binaires, puisque seules deux valeurs de pixels (noir et blanc) sont pr´esentes.

Nous consid´erons que les bruits d’une image sont des composantes connexes tr`es petites, qui n’attirent pas notre attention. Pour d´ebruiter ces images, nous d´efinissons un seuil pour dire que les composantes connexes avec le nombre de pixels inf´erieur

`

a un seuil sont du bruit, et nous les nettoyons. Il y a `a la fois les bruits de couleur blanc (la figure 4.4 (a)) et ceux de couleur noire (la figure 4.4 (b)).

3.4 Extraction des traits

Pour extraire des traits, nous devons d´eterminer quelle est leur couleur parmi les deux (blanc et noir). Ensuite, nous extrayons des traits par squelettisation bas´ee sur la transformation en distance, qui nous permet de bien s´eparer des traits et de retenir quelques caract´eristiques importantes des traits.

3.4.1 D´etermination de couleur de traits

La pr´ecision de la couleur de trait a une importance sur l’extraction des traits et en cons´equence, elle influence le r´esultat de la proc´edure de segmentation. Cepen- dant, quand nous regardons certaines images de lettrine, ce n’est pas toujours facile

`

a dire quelle couleur est celle des traits (la figure 3.4 (b)).

Nous voulons une couleur de traits qui est la meilleur pour la segmentation de

3.4. Extraction des traits

(a) (b)

Fig.3.3 – Bruits

(a) (b)

Fig.3.4 – La d´elicatesse `a d´etermination de la couleur de traits

textures `a la fin et nous pensons qu’un d´ecoupage plus fin d’une image en morceaux va nous aider `a bien caract´eriser des traits. Cela nous permet de bien segmenter la texture. D´esormais, nous cherchons la couleur qui ont le nombre de composantes connexes plus grand. Une comparaison du nombre de composantes connexes de chaque couleur (la caract´eristique d’Euler [Pratt 07]) va nous permettre de faire cela.

NE = 315 NE = -7

CC = blanc CC = noir

(a) (b)

Fig.3.5 – La d´elicatesse `a d´etermination de la couleur de traits

Les figures 3.5 d´emontre de cas diff´erent de la s´election de couleur de traits.

Le N E est le nombre d’Euler, il est la soustraction du nombre des composantes connexes blances `a celui des composantes connexes noires. Dans la figure 3.5 (a), le nombre d’Euler N E = 315, ¸ca veut dire que le nombre des composantes connexes blances est plus grand que lequel des composantes connexes noires, par cons´equent, la couleur choisie (CC) pour des traits est le blanc. Par contre, dans la figure 3.5 (b), la couleur choisie est le noir.

3.4.2 Squelettisation

Apr`es de faire la d´etermination de couleur de traits, nous cherchons une m´ethode

`

a extraire des traits.

Nous consid´erons que l’image de lettrine contient seulement des traits, elle est une disposition spatiale des traits. Le r´esultat d’une exacte m´ethode va ˆetre un ensemble qui satisfait que chaque trait soit ´equivalent `a un de ses ´el´ements et vice versa. Pour notre but de la segmentation de textures de lettrine, une bonne m´ethode d’extraction de traits doit repr´esenter bien les traits avec les deux propri´et´es suivantes :

– La position, – La forme.

La position va ˆetre utile dans la phase de segmentation parce qu’elle est la base

3.4. Extraction des traits pour dire quels traits sont voisins, cela est n´ecessaire pour l’´etape ´el´ementaire de la segmentation. Dans cette ´etape, nous d´ecidons seulement l’homog´en´eit´e des traits voisins, nous ne pouvons pas travailler directement sur des traits lointains. La forme est n´ecessaire pour la classification, nous disons que deux traits sont semblables si leurs formes sont identiques. Dans ce cas, les traits semblables vont ˆetre group´es dans une mˆeme classe.

La squelettisation permet la conservation de ces propri´et´es de traits. Le squelette (la figure 3.6 (b)) d’une forme est une version mince de cette forme, qui est `a ´equi- distance de ses fronti`eres. D’une m´ethode classique de squelettisation, nous pouvons utiliser l’´erosion successives pour squelettiser une forme. L’´erosion s’arrˆete si elle va rompre la forme actuelle (la figure 3.6).

origine squelette

(a) (b)

Fig. 3.6 – La squelettisation

La squelette d’un trait est une courbe mince en son cœur, elle peut donc retenir la position du trait. Cependant, avec la m´ethode classique, nous ne conservons que la longueur et la courbure du trait. Cette m´ethode ne conserve pas l’´epaisseur, d’une propri´et´e importante du trait.

3.4.3 Transform´ee en distance

Pour retenir l’´epaisseur, nous pouvons utiliser la carte de distance (la figure 3.7), qui peut `a la fois g´en´erer la squelette et fournir l’information sur l’´epaisseur.

Une carte de distance est le r´esultat d’une transform´ee en distance d’une image binaire. C’est une nouvelle repr´esentation de cette image, de mˆeme taille que l’image d’origine. Dans cette repr´esentation, la valeur de chaque pixel est sa distance au pixel de contour le plus proche.

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 2 2 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 2 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 2 2 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 3 2 2 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 3 3 2 2 2 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 3 3 3 3 2 2 2 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 3 3 3 2 2 2 2 2 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 2 3 3 2 2 1 1 1 2 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 2 2 2 2 2 1 1 0 1 2 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 2 2 1 1 1 1 0 0 1 2 1 0 0 1 1 0 0 0 1 2 2 2 1 0 0 0 0 1 1 2 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

origine carte de distance

(a) (b)

Fig. 3.7 – La transformation en distance

3.5. Caract´erisation des traits

Plusieurs m´etriques existent pour r´ealiser la transformation. La distance utilis´ee entre deux points (x₁, y₁) et (x₂, y₂) est d´efinie par :

– La distance euclidienne : p

(x₁−x₂)²+ (y₁−y₂)², – La distance de Manhattan : |x₁−x₂|+|y₁−y₂|, – La distance d’´echiquier : max(|x₁−x2|,|y₁−y2|).

Dans ce stage, nous utilisons la distance d’´echiquier, la distance entre deux pixels voisins est ´egale `a 1 (pour le syst`eme de voisinage8-voisin).

Apr`es avoir calcul´e la transform´ee en distance, nous faisons en suite la squelet- tisation. Nous la r´ealisons par deux ´etapes :

– D´etermination des pixels de candidat du squelette, – Erosion.´

Rappelons que le squelette d’une forme est ´equidistante de ses fronti`eres. Sur la carte de distance, les maximas sont les pixels ´equidistants des fronti`eres de la forme, nous retenons d’abord les maximas de la carte de distance. La figure 3.8 (a) montre les maximas retenus, les * sont les pixels qui ne sont pas choisis et les 0 sont les pixels du fond.

De plus, pour chaque forme, le squelette est unique parce que sa transforma- tion en distance est unique, ainsi, nous ajoutons proprement des pixels qui lient des groupes d´etach´ees de maximas d’une forme (les * dans la figure 3.8 (b)). Reconnais- sons que deux groupes adjacents peuvent ˆetre reli´ees par un seul pixel.

Apr`es la d´etermination des pixels de candidat du squelette, nous avons une ver- sion amincie de la forme, cependant, cette version peut ˆetre ´epaisse. Nous r´ealisons en suite l’´erosion pour amincir au maximum le squelette, cette ´erosion est la sque- lettisation classique de la forme des pixels candidats.

3.5 Caract´ erisation des traits

Apr`es d’extraire des traits, nous allons les ´etiqueter pour les diff´erencier et les caract´eriser. Les caract´eristiques extraites vont ˆetre n´ecessaires pour les ´etapes sui- vantes.

Un trait contient une infinit´e de caract´eristiques, cependant, il n’est pas n´eces- saire d’extraire beaucoup de caract´eristiques pour diff´erencier des traits. Nous choi- sissons l’´epaisseur, l’orientation et la courbure comme les caract´eristiques de traits.

La diff´erenciation des traits par ces caract´eristiques est proche de la fa¸con que la vision humaine le fait. Nous n’utilisons pas la longueur du trait parce qu’elle ne ca- ract´erise pas bien le trait, c’est `a dire que deux traits avec une longueur diff´erentes peuvent ˆetre group´es dans une mˆeme classe (la figure 3.9).

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 * * * * 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 * 2 2 * 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 * * * * 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 * * * 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 * * 2 * * 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 * * * * * * 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 * * 3 * * * * * 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 * * 3 3 * * * * * * 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 * * 3 3 3 3 * 2 2 * * 0 0 0 0 0 0 0 0 0 * * 3 3 3 * * 2 2 2 * 0 0 1 1 0 0 0 0 * * * 3 3 * * * * * 2 * 0 0 1 1 0 0 0 0 * 2 * * * * * * 0 * 2 * 0 0 1 1 0 0 0 * * 2 2 * * * * 0 0 * 2 * 0 0 1 1 0 0 0 * 2 2 2 * 0 0 0 0 1 * 2 * 0 0 1 1 0 0 1 * * * * * 1 0 0 1 1 * * * 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 * 2 2 * 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 * 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 * 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 3 3 3 * 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 3 3 0 0 2 2 2 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 3 3 0 0 0 0 0 2 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 2 * 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 2 2 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 1 1 0 0 0 * 2 2 2 0 0 0 0 0 1 * 2 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

maximas liaison

(a) (b)

Fig. 3.8 – Les pixels de candidat

3.5. Caract´erisation des traits

Fig. 3.9 – La longueur

3.5.1 Epaisseur´

Avec le squelette que nous prenons depuis la carte de distance, c’est facile `a retirer les informations sur l’´epaisseur d’un trait. Chaque pixel du squelette est ´equi- distant aux fronti`eres et la valeur de ce pixel est sa distance `a la fronti`ere (c’est `a dire la distance au pixel le plus proche sur la fronti`ere), alors, l’´epaisseur du squelette de chaque pixel du squelette est approximativement ´egale au double de sa valeur (dans le cas de l’´epaisseur paire (la figure 3.10 (a)) ou le double de valeur - 1, dans le cas de l’´epaisseur paire(la figure 3.10 (b))). Ainsi, nous pouvons utiliser les valeurs du squelette pour caract´eriser l’´epaisseur.

En fait, cette ´evaluation n’est pas formelle, elle n’est qu’une approximation de la mesure r´eelle.

3.5.2 Orientation

Nous consid´erons que l’orientation est aussi une caract´eristique pour classifier des traits dans les lettrines, elle peut ˆetre inutile dans des autres cas de la r´ealit´e.

Les traits ne sont pas toujours des lignes droites, la fa¸con `a mesurer l’orientation de trait n’est donc pas simple. De plus, une forme compliqu´ee peut avoir raisonna- blement plusieurs orientations.

Nous proposons une m´ethode pour mesurer l’orientation principale qui est bas´ee sur la transformation de Radon.

´epaisseur = 3∗2 = 6 ´epaisseur= 3∗2−1 = 5

(a) (b)

Fig. 3.10 – L’´epaisseur

Fig. 3.11 – L’´epaisseur approximative

3.5. Caract´erisation des traits

Transformation de Radon

La transformation de Radon d’une image est la projection de cette image avec des angles diff´erents. Le nombre d’angle est pr´ecis´e avant la transformation, par exemple, nous pouvons utiliser la transformation de Radon avec 180 angles diff´erents (de 0 `a 179 degr´es). Le centre de l’image est choisi comme le pivot de la rotation pour avoir des projections d’angles diff´erentes. Le r´esultat de la transformation est une matrice RT de la taillem∗n, avecm est le nombre d’angles etnest le nombre de pixels du diam`etre de l’image.

Les valeurs de la matrice RT est pr´ecises par (la figure 3.12) :

RT(i(θ), x⁰) =R_θ(x⁰) = Z ∞

−∞

f(x⁰cosθ−y⁰sinθ, x⁰sinθ+y⁰cosθ)dy⁰ (3.1) Avec

– θsoit l’angle de projection,

– f(a, b) soit l’intensit´e du pixel `a la position (a, b) de l’image, –

i(θ) = θ∗m

π (3.2)

–

x⁰ y⁰

=

cosθ sinθ

−sinθ cosθ

∗ x

y

(3.3)

D´etermination de l’orientation de traits

Chaque ligne de la matriceRT_m∗nest ´equivalente `a la projection de l’image d’un angle pr´ecis, la lignetrepr´esente la projection de l’angleθ= ^π∗t_m. L’´energie (formule 3.4) de chaque ligne repr´esente la force d’une orientation de l’image, la ligne t est

´

equivalente `a l’orientation θ+^π₂ = ^π∗t_m +^π₂ (la figure 3.13).

e(t) =

n

X

i=1

RT²(t, i) (3.4)

Maintenant, nous pouvons comparer les forces des diff´erentes orientations de l’image pour pr´eciser son orientation principale P O (formule 3.5), qui a la plus grande force :

P O(s) =arcmax

t=1..ne(t) (3.5)

Les figures 3.14 (a) et (b) montrent deux r´esultats de cette m´ethodes avec deux images d’entr´ee diff´erentes.

Cette approche fonctionne aussi bien sur des images avec plusieurs traits, son r´esultat est l’orientation dominante de l’image entr´ee (la figure 3.14 (c)).

Fig.3.12 – Transform´ee de Radon

3.5. Caract´erisation des traits

Fig. 3.13 – Projection d’un angle Θ dans la transforme de Radon

80^o 173^o 230^o

(a) (b) (c)

Fig.3.14 – Exemple d’orientation des traits

3.5.3 Courbure

Nous d´efinissons la courbure d’un trait comme la valeur maximale du rapport entre l’orientation d’un trait par rapport `a l’orientation orthogonale. Si l’orientation d’un trait estα, son orientation orthogonale estα+^π₂, sa courburec(s) est calcul´ee par la formule 3.6.

c(s) = e(t_s)

e(to_s) (3.6)

Avec t_s soit la ligne ´equivalent `a l’orientationα du trait s(l’angle de projection θ=α−<sup>π</sup><sub>2</sub>) ettos soit la ligne ´equivalent `a l’orientation orthogonaleα+ ^π₂ du trait s(l’angle de projection θ=α).

Cette d´efinition de courbure exprime assez bien la courbure r´eelle, c’est `a dire qu’un trait courbe a sa courbure plus grande que la courbure d’un trait droit (la figure 3.15 (a) et (b)), la valeur de courbure est dans (0,1). De plus, sur deux traits droits, le trait le plus mince aura une courbure plus petite (la figure 3.15 (b) et (c)).

Courbure 0.2214 0.1583 0.1112

(a) (b) (c)

Fig.3.15 – La courbure de traits

3.6 Classification des traits

Maintenant que nous avons extrait des caract´eristiques des traits, chaque trait est repr´esent´e par un vecteur de trois caract´eristiques : l’´epaisseur, l’orientation et la courbure. Nous pouvons r´e-exploiter des m´ethodes de classification pour classer ces traits. Par exemple, nous pouvons utiliser la m´ethode k-means (voir 2.3.2). Cepen- dant, cette m´ethode ne segmente pas bien les traits, parce que nous devons pr´eciser le nombre de classes de traits par avance et ce n’est pas convenable pour notre cas.

Pour bien segmenter des traits, il faut que nous am´eliorons des m´ethodes de ce type ou chercher d’autres m´ethodes qui peuvent s’adapter convenablement pour la seg- mentation de traits.

Pour ce sujet de stage, nous utilisons la m´ethode classification hi´erarchique pour

3.6. Classification des traits

sans connaˆıtre le nombre de classe pr´ealablement.

3.6.1 Distance

Pour classifier des traits, nous devons d´efinir d’abord une distance entre deux vecteurs de caract´eristiques de trait, qui exprime la similarit´e ou la diff´erence entre deux traits. Une bonne distance doit bien repr´esenter ces notions, c’est `a dire que la distance entre deux traits diff´erents est plus grande que celle entre deux traits similaires.

Nous avons trois caract´eristiques pour chaque vecteur, l’´epaisseur est toujours importance pour la diff´erenciation tandis que l’importance de deux autres caract´e- ristiques est vari´ee. L’orientation et la courbure deviennent moins importantes si les traits `a comparer sont trop court.

Nous essayons d’utiliser la distance connue euclidienne pour les traits, avec deux traits et leurs caract´eristiques (l’´epaisseur, l’orientation et la courbure, tour `a tour) : t₁ = (e₁, o₁, c₁), t₂ = (e₂, o₂, c₂), cette distance est d´efinie par la formule 3.7.

d=p

(e₁−e₂)²+ (o₁−o₂)²+ (c₁−c₂)² (3.7) Cependant, cette distance accorde la mˆeme importance aux trois caract´eristiques.

En raison de cela, nous utilisons des poids diff´erents pour exprimer l’importance des caract´eristiques dans la distance, une caract´eristique est un ´el´ement important de la distance si le poids ´equivalent est grand. Dans ce cas, nous assignons un grand poids `a l’´epaisseur et des petits poids pour les deux autres caract´eristiques. Ici, nous fixons le poids de l’´epaisseur `a 1 (p_e = 1), les autres poids varient en fonction des segments (0,1) (po, pc∈(0,1)) :

d=p

(e₁−e₂)²+p_o(o₁−o₂)²+p_c(c₁−c₂)² (3.8) De plus, l’importance de ces caract´eristiques varie en fonction de la longueur du trait. Il faut donc que nous d´efinissions les poids en fonction de la longueur du trait. En fait, pour la vision humaine, les caract´eristiques ”long” et ”court” d’un trait d´ependent `a la fois de la longueur et de l’´epaisseur. Nous pensons que deux traits de mˆeme longueur paraitront diff´erents si leurs ´epaisseurs sont diff´erentes (la figure 3.16). C’est pour cela que nous avons d´efini une longueur relative du trait (la formule 3.9).

l_relative = l

2∗e (3.9)

Avec l soit la longueur r´eelle (par pixel) du squelette du trait et e la moiti´e de l’´epaisseur r´eelle du trait (e est la l’´epaisseur extraite du squelette, voir la figure 3.17).

Maintenant, nous pr´ecisons une r`egle pour les poids en fonction de cette longueur relative :

1. po =pc= 1 silrelative ≥2,

2. po =pc=lrelative−1 si 1≤lrelative<2

(a) (b)

Fig. 3.16 – La vision humaine sur la longueur

Fig. 3.17 – La longueur relative du trait

3.6. Classification des traits

3.6.2 Construction d’arbre de grappes

Pour classifier des traits par la m´ethode hi´erarchique, nous devons d’abord construire l’arbre de grappes des traits, c’est l’´etape principale de la classification.

Dans cette construction, quand nous avons plus d’une grappe, nous groupons les deux grappes les plus proches au sein d’une mˆeme grappe (la figure 3.18). Pour reconnaˆıtre deux grappes plus proches, nous appliquons la distance d´efinie pr´ec´edem- ment. La distance entre deux grappes (la distance de fusion) est la distance entre deux traits plus proches qui appartiennent `a deux grappes diff´erentes. Au d´ebut, nous consid´erons que chaque trait est une grappe.

Fig.3.18 – La construction d’arbre

A la fin de cette construction, nous avons un arbre binaire qui nous permet` de classifier facilement les traits avec le nombre de classe pr´ecis´e ou l’inconsistance maximum d’un sous-arbre (la section 3.6.3).

3.6.3 Inconsistance

L’inconsistance d’un sous-arbre est un crit`ere pour d´ecider de la conservation ou de la fusion de deux sous-arbres. Avec un seuil d’inconsistance pr´ecis´e par avant, nous conservons un sous-arbre si son inconsistance est inf´erieure `a ce seuil, par contre, nous le coupons sinon.

Le calcul de l’inconsistance nous demande de tracer tout le sous-arbre, cepen- dant, pour simplifier la m´ethode et am´eliorer la performance de l’algorithme, nous utilisons seulement trois distances de fusion, un de ce sous-arbre (d1), deux autres de deux de ses sous-arbres imm´ediats (d₂ etd₃) (la figure 3.19). L’inconsistance est calcul´ee par la formule 3.10.

I = d₁−d¯

σ (3.10)