Cours de Mathematique 1

ةيبعشلا ةيطارقميدلا ةيرئازجلا ةيروهمجلا

يملعلا ثحبلاو يلاعلا ميلعتلا ةرازو

ةعماج

ةنيطنسق يروتنم ةوخلإا

سورد

ضاير

ـــــــــــ

ـــــــــــــ

ــــــــ

يـــ

تا

1



يضايرلا ناهربلا قرطو قطنملا ئدابم



تاقيبطتلاو تاعومجملا ةيرظن



يقيقح ريغتمل ةيقيقحلا لاودلا



رشنلا

دودحملا



ةيربجلا ىنبلا و يلخادلا ليكشتلا نيناوق



ةيطخلا تاقيبطتلاو يعاعشلا ءاضفلا

ةيروص باكر

ب

ةدوعسم فوقشو

ةيرون راعرع

ةيعماجلا ةنسلا : 6102 -6102

هفلا

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

سر

...ةمدقم

...

.

...

0

لولأا لصفلا

:

و قطنملا

يضايرلا ناهربلا قرط

...

...

...

3

0

-0

ةماع ميهافم

...

..

...

3

0

-6

ةيقطنملا طبرلا تاودأ

...

.

...

..

...

3

0

-3

ناهربلا قرط

..يضايرلا

.

...

.

...

.

...

2

0

-3

-0

...رشابملا ناهربلا

...

2

0

-3

-6

...ضقانتلاب ناهربلا

2

0

-3

-3

...ضيقنلا سكع لامعتساب ناهربلا

2

0

-3

-4

...عجارتلاب ناهربلا

...

2

0

-3

-5

ربلا

...داضم لاثمب ناه

.

...

.

...

8

يناثلا لصفلا

:

تاقيبطتلا و تاقلاعلا ،تاعومجملا

.

...

.

...

9

6

-0

مجملا ةيرظن

تاعو

...

9

6

-6

ةيئانثلا تاقلاعلا

...

02

6

-6

-0

...ؤفاكتلا ةقلاع

.

...

...

08

6

-6

-6

...بيترتلا ةقلاع

09

6

-3

تاقيبطتلا

...

....

...

60

6

-3

-0

...ةرشابملا ةروصلا

.

....

...

60

6

-3

-6

...ةيسكعلا ةروصلا

66

6

-3

-3

تايلمعلاو تاقلاعلا

...

63

6

-3

-4

...نيابتملا قيبطتلا

...

65

6

-3

-5

...رماغلا قيبطتلا

62

6

-3

-2

...يلباقتلا قيبطتلا

62

6

-3

-2

ا

...يسكعلا قيبطتل

62

6

-4

ةيثلثملا تاقيبطتلل ةيسكعلا تاقيبطتلا

...

68

ثلاثلا لصفلا

:

يقيقح ريغتمل ةيقيقحلا لاودلا

...

...

...

...

34

3

-0

تاياهنلا

...

35

3

-6

رارمتسلاا

...

46

3

-3

قاقتشلاا

...

...

.

...

48

3

-4

لضافتلا

...

.

...

52

عبارلا لصفلا

:

دودحملا رشنلا

...

.

...

...

...

52

4

-0

روليات غيص

...

52

4

-6

نارول كام ةغيص

...

59

4

-3

رفصلا راوج دودحملا رشنلا

...

.

...

...

21

4

-4

ةطقن راوج دودحملا رشنلا

0

x

...

.

...

2

2

4

-5

ةياهنلا ام راوج دودحملا رشنلا

...

.

...

28

4

-2

تاياهنلا باسح ىلع قيبطت

...

..

...

...

29

سماخلا لصفلا

:

...ةيربجلا ىنبلا

...

...

...

21

5

-0

...صاوخو ميهافم

...

...

.

...

21

5

-6

ةرمزلا

...

...

..

..

...

...

...

.

...

23

5

-3

ةقلحلا

...

.

...

.

...

..

.

...

...

.

...

25

5

-4

لقحلا

...

.

...

...

.

..

...

22

5

-5

قح

ةبكرملا دادعلأا ل

...

.

...

...

...

22

لصفلا

: سداسلا

ءاضفلا

ةيطخلا تاقيبطتلاو يعاعشلا

...

...

...

86

2

-0

يعاعشلا ءاضفلا

...

...

86

2

-0

-0

...ةيلوأ صاوخو ميهافم

86

2

-0

-6

...ساسلأا

82

2

-0

-3

...دعبلا

...

82

2

-6

ةيطخلا تاقيبطتلا

...

88

2

-6

-0

...يطخ قيبطت ةروص

89

2

-6

-6

...يطخ قيبطت ةاون

...

.

...

89

2

-6

-3

...ةبترلا

.

...

90

...عجارملا

...

93

قم

ـــــــ

ـــــــــ

ــــــــــــ

ةمد

جاتحن

ينابملا دييشت ىلإ رصعلا اذه يف

و

دم

تاقرطلا

و

يف مكحتلا ىنعمب...تابكرملا كيرحت

ايجولونكتلاو مولعلا ناديم

.تايضايرلا ئدابم ملعت نود كلذ ليحتسيو ،

ثيح

ت

رصحن

هم

ا

: ةيسيئر رواحم ةثلاث يف تايضايرلا م



تاودأ ءانب

ةيضاير

،

ةيئايميكلا و ةيئايزيفلا رهاوظلا فلتخم ليثمت يف ابلاغ لمعتست

... ةيجولويبلا و

،

، ...،لااود وأ ةيسدنه لااكشأ وأ ادادعأ نوكت نأ نكمي



نم اهصلاختسا نكمي يتلا تاجاتنتسلاا يه : ةقباسلا تاودلأا صئاصخ نع ثحبلا

ساب وأ تاموسرلا ةظحلامب كلذو ةصاخلا تلااحلا

.ةيتامولعملا لامعت



ةيرظن امإ اهتنهرب متت يتلا ةيصاخلا ىمست و اقباس ةروكذملا صئاصخلا ضعب ةنهرب

خلا ...ةئطوت وأ ةيضرف وأ ةيضق وأ ةنهربم وأ

نإف نذإ

رهاوظ عم فيكتت ،قطنملا نم ةطبنتسم ةدرجم فراعم ةعومجم يه تايضايرلا

و ةقيقد ةيباسحلا تايلمعلا لعجتل ةدقعم

،ةيقيقح

نم ققحتلل ليبسلا وهف يضايرلا ناهربلا امأ

.نيرخلآل كلذ حرشو ةيضق أطخ وأ ةحص

اسورد يوحت يتلا ةعوبطملا هذه نم لولأا لصفلا نوكي نأ يهيدبلا نم لب ،قلطنملا اذه نم

تايضاير سايقمل ةلصفم

0

ميلعتلا ةرازو فرط نم ررقملا جاهنملا ىلع كلذ يف نيدمتعم(

يملعلا ثحبلاو يلاعلا

ملعتل اصصخم )

و قطنملا ئدابم

كلذو يضايرلا ناهربلا قرط ضعب

يناثلا لصفلا يف اهلهتسن يتلاو ،تايضايرلا تاودأ فلتخم ىلع فرعتلا يف عورشلا لبق

ىلع ةمئاق وأ زيح يف رثكأ وأ ةفص يف كرتشت يتلا ءايشلأا ميظنت يأ( ةعومجملا موهفمب

ح

هد

)

يتلا تايلمعلاو تاقلاعلا ةفرعم اذكو

يئانثلا تاقلاعلا مث نيتفلتخم نيتعومجم طبرت نأ نكمي

ة

دجوت نأ نكمي يتلا تاقلاعلا يأ(

عاونأ يأ( تاقيبطتلاف ،)ةعومجملا سفن رصانع نيب

نيتعومجم رصانع نيب طبرت يتلا تاقلاعلا

لتخم

ف ثلاثلا لصفلا امأ .)نيتف

عتي

ب قل

ةلادلا ةسارد

نيأ )اهنم ةصاخ ةلاح قيبطتلا ربتعي يتلا(

فرعتن

مث قاقتشلااو رارمتسلااو تاياهنلا ىلع

ثيح ،لضافتلا

ت

ك

نو

رم لك يف ةقفرم ةساردلا

( ةيلولأا لاودلا ىلع تاقيبطتب ة

ا ةلاد

،ىوقل

سفن يف اذهو )بولقملا ةلادو ةيثلثملا لاودلا ،ةيدئازلا لاودلا ،ةيسلأا ةلادلا ،ةيمتيراغوللا ةلادلا

صيصخت ضوع )ثلاثلا لصفلا يأ( لصفلا

.ةرازولا فرط نم جمربم وه امك اهل عبار لصف

امأ

يف

صفلا

ف عبارلا ل

س

متهن فو

ب

بيرقت يأ( دودحملا رشنلا موهفم ةسارد

ثكب ةلادلا

.)دودح ري

امبو ىرخأ ةهج نم

إ اننكمي لا هنأ

ءاطع

يعاعشلا ءاضفلا موهفم

لاخدا لبق

فم

يها

لقحلا م

ةرمزلاو

ةيلخادلا بيكرتلا ةيلمع ةصاخو

تعي هنلأ(

ميهافملا كلت لك ىلع هفيرعت يف دم

)ةريخلأا

،

س اذهل

صصخن

ةساردل سماخلا لصفلا

لا نيناوق

يلخادلا بيكرت

ة

بجلا ىنبلا و

،ةير

يتأتل

دعب اميف

ضفلا ةسارد

و ةيطخلا تاقيبطتلاو يعاعشلا ءا

ذا

كل

يف

لصفلا

.سداسلا

يتأتو

ه

ةعوبطملا هذ

ةليصحك

تايضايرلا مسق نم ةذتاسأ ةثلاث ةربخل

:

قشوب ةذاتسلأا

فو

ةيروص باكر ةذاتسلأاو ةيرون راعرع ةذاتسلأاو ةدوعسم

،

هف

نمق نم ن

ب

فارشلإاو سيردتلا

ىلع

تايضاير سايقم

0

ذنم

لا

ةنس

ةيعماجلا

6112

-6112

ىلإ

ةعوبطملا هذه رودص ةياغ

(

6102

-6102

)

دقو .

طملا تدمتعا

ةعوب

لا فرط نم

ةنجل

يملعلا

ة

اذكو تايضايرلا مسقل

ل يملعلا سلجملا

ةقيقدلا مولعلا ةيلك

يروتنم ةوخلإا ةعماجل

ب

،ةنيطنسق

دعب

ل اهعاضخا

ل

عجارم

ة

فرط نم

:نيريبخلا

تسلأا

ا

و ةديمح يلع ذ

ذاتسلأا

قدقد دوعسم

ثيح ،

انعسي لا

لاإ

ا ءادسا

ركشل

ريظن امهل ليزجلا

حئاصنلا

ةميقلا

صتلاو

.ةحرتقملا تاحيح

،اريخأو

ذه مدقن ذإو

ةعوبطملا ه

نإف

ن

لإاو تاظحلاملاو دقنلا لبقن ا

كلذلو ،ةقداصلا تاداشر

دق نوكن أطخ يأ يفلات لابقتسم اننكمي ىتح انيلإ تاداشرلاا هذه تلسرأ ول نيركاش نوكن

.هيف انعقو

:ةذاتسلأا

.ص

باكر

:لولأا لصفلا

و قطنملا

ضايرلا ناهربلا قرط

:لولأا لصفلا

ناهربلا قرط و قطنملا

يضايرلا

Logique et méthodes de raisonnement mathématiques

1 -1 ةماع ميهافم  تايضايرلا نم ةطبنتسم ةدرجم فراعم ةعومجم يه ا قطنمل لعجتل ةدقعم رهاوظ عم فيكتت ، و ةقيقد ةيباسحلا تايلمعلا .ةيقيقح  قطنملا La logique رطل ليلحت وه .ريكفتلا ق .  ا ةيضقل L’assertion امإ ةيضقلا و اهاوتحم نم اهئطخ وأ اهتحص ىلع مكحن ةحيرص ةلمج يه .تقولا سفن يف ةئطاخ و ةحيحص نوكت نأ زوجي لا و ةئطاخ وأ ةحيحص نوكت نأ لاثم "يبرع دلب رئازجلا" ةحيحص ةيضق . -" 8 = 2 + 3 ةئطاخ ةيضق " . زمرلاب ةيضقلا ىلإ زمرن p q r s, , , ...., ددعلاب " ةحيحص" ةملكل زمرن و 0 ددعلاب " ةئطاخ" ةملكل زمرن و 1 .  ةيضق يفن p Négation d’une assertion ةيضقلا تناك اذا ةحيحص نوكت ةيضق يه p ةيضقلا تناك اذا ةئطاخو ةئطاخ p ا يفنل زمرنو ةحيحص ةيضقل p ـب p وأ p  . نيتيفيك نيتيضق للاخ نم نكمي p و q .ةيقطنملا طبرلا تاودأ لامعتساب اذهو ىرخأ اياضق فيرعت 1 -2 ةيقطنملا طبرلا تاودأ Connecteurs logiques :  ةادأ لصولا Conjonction " اهل زمرن



"و" أرقت و " . ةيضقلا q p تناك اذإ ةحيحص نوكت p و q وه امك تلااحلا ةيقب يف ةئطاخو اعم ناتحيحص :يلاتلا ةقيقحلا لودج يف حضوم q p q p 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1

 ةادأ لصفلا Disjonction " اهل زمرن



."وأ " أرقت و " ةيضقلا q p تناك اذإ ةئطاخ نوكت p و q تئطاخ وه امك تلااحلا ةيقب يف ةحيحص و اعم نا :يلاتلا ةقيقحلا لودج يف حضوم q p q p 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1  مازلتسلاا Implication : ةيضقلا نأ لوقن p مزلتست ةيضقلا q ةيضقلا تناك اذإ q p  زمرن و ةحيحص q p  . ةيضقلا q p ةلاح يف لاإ ةحيحص امئاد نوكت p و ةحيحص q لودج يف حضوم وه امك ةئطاخ :يلاتلا ةقيقحلا q p q p 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 :لاثم -( 5 25 0x  x  )يعيبرتلا رذجلا لامعتسا يفكي( ةحيحص ةيضق ) -( 1 1 2 _{  } x x ـل رظنلا يفكي ( ةئطاخ ةيضق ) 1   x ) -( 2 2 5 2 2    ) تناك اذإف لاعف ،ةحيحص ةيضق p مازلتسلاا نوكي ةئطاخ q p .امود حيحص  ؤفاكتلا Equivalence : نأ لوقن ةيضقلا

P

ئفاكت ةيضقلا

Q

ناك اذإ Q P و P Q زمرن و Q P  . )يئزجلا( يدوجولا ممكملا و يلكلا ممكملا Quantificateurs : ىلإ زمرن يلكلا ممكملا " زمرلاب



."لك لجأ نم" وأ "نكي امهم" أرقي و " ىلإ زمرن يئزجلا ممكملا " زمرلاب  ."لقلأا ىلع دجوي" أرقي و " " زمرلاب اضيأ زمرن و !  أرقي و " ."ديحو وهو دجوي"

لاثم

- 



xA,P x



نكت امهم" أرقت

x

ىلإ يمتنت

A

ةيضقلا

 

x P "ةققحم -( x x e IR x IR e     ! , ; نأ ظحلان( ةحيحص ةيضق ) 0  e ) -( 2 ,   x IR x .ةحيحص ةيضق ) يدوجولا و يلكلا ممكملا يفن La négation des quantificateurs :

 







 



 



x A P x





x A P

 

x



x P A x x P A x , , , ,           لاثم نكتل

 

2,5,7  A ( ناف y x A y A x ,  , 3  ةئطاخ ) و ( اهيفن y x A y A x ,  , 3  ) .ةحيحص ةيضق لام ةظح ناتيضقلا لاثم .ادج مهم تاممكملا بيترت (

0

;

,













x

IR

y

IR

x

y

( و ) 0 ; ,     y IR x IR x y ) .ةئطاخ ةيناثلا و ةحيحص ىلولأا .ناتفلتخم يقيقح ددع لك لجأ نم" أرقت ىلولأا ةيضقلا لاعف

x

يقيقح ددع دجوي ، y ـب قلعتي دق(

x

ثيح )

0





y

x

رايتخا نكمي لاثم( "

1







x

y

.ةحيحص ةيضق نذا يه .) يقيقح ددع دجوي" أرقت ةيناثلا ةيضقلا ىرخأ ةهج نم y يقيقح ددع لك لجأ نم ،

x

ثيح ،

0





y

x

ه " ددعلا سفن داجيا اننكمي لا .ةئطاخ ةيضقلا هذ y لك بساني يذلا

x

. قلعتي فتاهلا مقر لعفلاب "فتاه مقر دجوي صخش لك لجأ نم" ةيلاتلا ةيوغللا لمجلا يف قرفلا سفن دجن وكيس "صخش لكل فتاه مقر دجوي" ةئطاخ ةلمجلا هذه نكل .صخش لكب عيمجلل مقرلا سفن ن ! ةبسنب ةدايز له" : لأسن لاثملا ليبس ىلعف ،أطخلا نم حيحصلا زييمت تايضايرلا لواحت 61 % مث 31 % أ لضف ةبسنب ةدايز نم 51 % ةيلمع عابتا بجي دكأتلل نكلو "لا" وأ "معن" ـب ةباجلاا يف ريكفتلا كنكمي "؟ نأ بجي جهنلا اذه .جاتنتسلاا ىلإ دوقت ةيقطنم نع انه ثدحتن نحنف .نيرخلآل اضيأ و كل اعنقم نوكي يضايرلا ناهربلا .

يضايرلا ناهربلا Le raisonnement mathématique ةيضق أطخ وأ ةحص نم ققحتلل ليبسلا وه .نيرخلآل كلذ حرشو 1 -3 يضايرلا ناهربلا قرط 1 -3 -1 لا ناهرب :رشابملا Raisonnement direct ةيضقلا نأ نهربن يكل q p  ،ةحيحص ةيضقلا نأ نم قلطنن p ىتح يقطنم لكشب شقانن و ةحيحص ةيضقلا ةحص ىلإ لصن q . لاثم نأ نهرب :





2 1 2r nr n n r r    لحلا عضن



n

 

r n



r nr r r S  2  2  1  رييغت اننكمي ةيعيمجتو ةيليدبت ةيلمع عمجلا نأ امبو يلاتلاك دودحلا بيترت



n

 

r n



r r r r n S   1  2 2  ةغيصلا ىلع لصحن ،ادح ادح نيترابعلا عمجب هنمو



n



r n S 1 2   يأ





2 1 r n n S   . 1 -3 -2 ضقانتلاب ناهربلا Raisonnement par l’absurde :

ةحص نيبن يكل

P

نأ ضرفن P ( ةيضقلا يفن يأ

P

ىدحإ عم ضقانت ىلإ لصن مث ةحيحصلا يه ) .ماع ضقانت ىلإ لصن وأ ناهربلا ءانثأ اهلمعتسن مل يتلا تايضرفلا لاثم :نأ نهرب



1



3 1 , ₂ *     n n n IN n

لحلا دجوي هنأ يأ ةئطاخ اهضرفن 0 n ىلا يمتني * IN ثيح



1



3 1 0 0 2 0   n n n هنمو 2 1 1 2 2 3 ₀2 ₀2 _{0 0 0} 0 2 0 n  n  n n  n  n  n ضرفلا عم ضقانتي اذهو 0 n ىلا يمتني * IN . .ةحيحص ةاطعملا ةيضقلا نذا 1 -3 -3 ضيقنلا سكع لامعتساب ناهربلا : Raisonnement par contraposition

ةيضقلا نأ ملعن



P Q



و



Q  P



ةحص نهربن يكل نذإ ،ناتئفاكتم



P Q



نهربن نأ يفكي ةحص



Q P



. لاثم نكيل IN n . ناك اذإ هنأ نهرب 2 n ناف يجوز ددع

n

.يجوز ددع لحلا ضرفن نأ

n

نأ نهربنو يدرف ددع 2 n .يدرف ددع

n

ددع دجوي هنأ ينعي يدرف ددع IN k ثيح 1 2   k n هنمو



2 1



2 4 2 4 1 2 1 2        l k k k n عم IN k k l2 22  يأ 2 n .يدرف ددع 1 -3 -4 عجارتلاب ناهربلا :

Raisonnement par récurrence

ةيضقلا تناك اذإ

 

P

ـب ةقلعتم

n

يلاتلاك عجارتلاب ناهربلا لمعتسن اننإف ، 0 -ةيئادتبلاا ةميقلا لجأ نم ةيضقلا ةحص نم دكأتن 0 n . 6 نم اهتحص ضرفن لجأ

n

لجأ نم ةحيحص ىقبت اهنأ تبثن و



n 1



.

لاثم يعيبط ددع لك لجأ نم هنأ نهرب

n

ناف n n  2 . لحلا 0 لجأ نم 0 0  n انيدل 0 1 20   . 6 تبثن 0  n نأ ضرفن مث n n _ 2 نأ نهربن و 1 2n1 n انيدل .

1

2

2

2

2

.

2

2

n1



n



n



n



n



n



n



يعيبط ددع لك لجأ نم هنمو

n

ناف n n _ 2 . 1 -3 -5 داضم لاثمب ناهربلا Raisonnement par contre-exemple :

ةيضقلا أطخ ىلع نهربن يكل

 



xX P x



ارصنع دجن نأ يفكي X x ثيحب

 

x

P



.ةحيحص لاثم ( نأ نهرب 0 1 , 2    x IR x .ةئطاخ ةيضق ) لحلا رايتخا يفكي 1 0  x ققحي هنأ ظحلانو 0 1 2 0   x .

فلا

ص

:يناثلا ل

جملا

تاعوم

و تاقلاعلا

تاقيبطتلا

:يناثلا لصفلا

تاعومجملا

،

تاقيبطتلاو تاقلاعلا

Ensembles, Relations et Applications

2 -1 تاعومجملا ةيرظن تاعومجملا ةيرظن ةدرجم ةيضاير تانئاك نم ةفلؤملا ةيضايرلا تاعومجملا فصت يتلا ةيرظنلا يه كر مهأ ىدحإ لكشتو اهيلع ةقبطملا تايلمعلاو .ةثيدحلا تايضايرلا زئا ةماع ميهافم  يمسن ةعومجم Ensemble اهل زمرن و رثكأ وأ ةيصاخ يف كرتشت ءايشلأ دشح وأ ةمئاق لك ةريبك ةينيتلا فورحب  , , ..., X .  يمسن ارصنع Elément ةينيتلا فورحب هل زمرن و ةعومجملا )ىلإ يمتني ( يف دجوي ءيش يأ ةريغص .

a

b

x

y

,

,

,

...,

 بتكن   x و أرقن

x

يمتني t appartien ىلإ



و . هفلاخب





x

و أرقن

x

ىلإ يمتني لا



. تاظحلام  .اهرصانع ةمئاق ركذب امإ ةعومجملا نيعت لثم



0,1,2,3,4



  .  .اهرصانع زيمت يتلا ةيصاخلا ءاطعإب وأ لثم



/0 4



  x x .  امك ىعدي ططخمب اينايب لثمت نيف ططخم Venn Diagramme de هلخادب قلغم زيح وهو .ةروكذملا ةعومجملل يمتنت يتلا رصانعلا

.

1

.

0



2

.

3

.

4

.

 .ةيهتنم ريغ نوكت دق و ةيهتنم رصانع تاذ ةعومجملا نوكت دق

ةلثمأ

-



,



,









.ةيهتنم ةعومجم يه و رصانع ثلاث نم ةنوكتم -جم يوتسملا طاقن ةعوم-جم ةعوم تنم ريغ .ةيه ةيعيبطلا دادعلأا ةعومجم  ثيح



0,1,2,3,....



  . ةحيحصلا دادعلأا ةعومجم

Z

ةينامللأا ةملكلا نم فرح لوأ ىلا ةبسن Zalen ،ماقرأ يأ ثيح



...,2,1,0,1,2,...



  . ةقطانلا دادعلأا ةعومجم

Q

ةيلاطيلاا ةملكلا نم فرح لوأ ىلا ةبسن Quoziente لصاح يأ ،ةمسقلا ثيح            * , / p q q p Q . ةيقيقحلا دادعلأا ةعومجم

IR

ثيح



 



 , IR .  يمسن ةيلاخ ةعومجم Ensemble vide يأ ىلع يوتحت لا ةعومجم لك ـب اهل زمرن و رصنع ة



وأ   . لثم



  



   x IR/x2 1 0 و



 







 x / x 0 B . 2 -1 -1 تاعومجملا نيب تاقلاعلا : ءاوتحلاا Inclusion ةعومجملا نأ لوقن ةاوتحم ةعومجملا يف



وأ



ءزج نم ىلإ يمتني رصنع لك ناك اذإ ،



ىلإ يمتني . بتكن و    وأ يأ





 

 x :xx







بتكن ةفلاخب    يأ





 

 x:xB xA















لاثم

-

 



   : 0 * z z Z .

-



   0,2,4,6,... . صاوخ نكتل



نإف ةيفيك ةعومجم    







لا ةاواسم Egalité : نأ لوقن



يواست ةعومجملا



ناك اذإ







و







بتكن و .







يأ





 

  





  



 x :x x لاثم نكتل



1,1,2



  و











/ 2 1 2  0



  x x x نأ ظحلان







. ةعومجم ءازجأ ةعومجم Ensemble des parties :

نم ةيئزجلا تاعومجملا عيمج نم ةفلؤملا ةعومجملا يمسن



مجملا ءازجأ ةعومجمب ةعو



زمرن و ـب اهل

 

  يأ

  

     



 / تاظحلام نإ  و



نم نارصنع

 





. نيب زيمن نأ بجي

a

نم رصنعك



و

 

a

نم ةيئزج ةعومجمك



نم رصنع يأ

 





كلذك و ـل ةبسنلاب  و

 



. - تناك اذإ



ىلع يوتحت ةيهتنم ةعومجم

n

نإف رصانعلا نم

 

  ىلع يوتحت n 2 .رصانعلا نم

ةلثمأ -كيل ن

 

   1, ناف

 

 



  

 



 , 1, , . -نكيل







ناف

   

    . -نكيل

 

a   ناف

 

 





,

 

a



 . 2 -1 -2 تاعومجملا ىلع تايلمعلا عطاقتلا : Intersection عطاقت نيتعومجملا



و



ه و ـب اهل زمرن و امهنيب ةكرتشملا رصانعلا نم ةفلؤم ةعومجم   يأ



 



   x /x x











داحتلإا Réunion : داحتإ نيتعومجملا



و



رصانع نم ةفلؤم ةعومجم وه ـب اهل زمرن و اعم نيتعومجملا   يأ



 



   x /x x







لاثم 1 نكتل



a,b,c



  ،



c,d,e



  ناف



a,b,c,d,e



   . . d .

a

B

.

e

.

c

. b

A

لاثم 2 نكتل

 

2,4   ،

 

0,2,6   ناف



0,2,4,6



   و

 

2    تاظحلام 0

-

 











 

 





 x x x  6

-

 

 







 

 





 x x x  صاوخ نكتل



و



نيتيفيك نيتعومجم نم نيتيئزج



نإف

 





 







 1



 



 



 



    ) 2



, ;; 3        ,  ) 4

 



 

 C 

 

 C







C



 5



C

 



 

 C



       ) 6



C

 



 

 C



       ) 7 قرفلا Différence : قرفلا ةعومجملا نيب



ةعومجملا و



ىلإ يمتنت يتلا رصانعلا نم ةفلؤم ةعومجم وه



يمتنت لا و ةعومجملا ىلإ



ـب اهل زمرن و   \ وأ







يأ



 



    x /x x











صاوخ نكتل



و



نإف نيتيفيك نيتعومجم

 





 1 2







, 



,







ةممتملا : Complément نكتل



و ةنيعم ةسارد يف ةيلك ةعومجم



اهيف ةاوتحم ةعومجم ) ( . ةعومجملا ةممتم



ىلإ



يمتنت يتلا رصانعلا ةعومجم يه ىلإ



ىلإ يمتنت لا و



ـب اهل زمرن و .



وأ   C يأ



 



   x x x C /



صاوخ نكتل



و



ةيلك ةعومجم نم نيتيئزج نيتعومجم



نإف



  _  



C C , 1



   C C 2



       C C  C 3





   



            C C C C C     , 5 4    











C

C

)

6

 

C



يرظانتلا قرفلا Différence symétrique : يرظانتلا قرفلا يتعومجملا نيب ن



و



ىلإ يمتنت امإ يتلا رصانعلا نم ةفلؤم ةعومجم وه



لا و ىلإ يمتنت



ىلإ يمتنت وأ



ىلإ يمتنت لا و



ـب اهل زمرنو .    يأ



 





 



 







      



    x / x x x x



\B

 

  \A









لاثم . 

 

1,2,3 ناف 



3,5,7,2



و 

 

1,5,7 نكتل صاوخ نكتل



و



و C ةيلك ةعومجم نم ةيئزج تاعومجم



نإف











 



                                           C C C C ) 6 ) 5 ) 4 ) 3 ) 2 ) 1   يتراكيدلا ءادجلا : Produit cartésien ءادج ةعومجملا



ةعومجملاب



ةبترملا تايئانثلا وأ جاوزلأا نم ةفلؤم ةعومجم وه

 

x,

y

ثيح

x

ىلإ يمتني



و y ىلإ يمتني



ـب اهل زمرن و







يأ

 



 



    x,y /x y

لاثم 1 نكتل



a,b,c



  و



c,d,e



  ناف

           



a c a d a e b c b d b e



B , , , , , , , , , , ,  

B

A





a

b

B

e

d

c

ناتعومجملا



و

B

يهو يتراكيدلا ءادجلا رصانع لثمت يهف ءارمحلا طاقنلا امأ نيميقتسمب ناتلثمم .يتراكيدلا ءادجلا ةعومجم لثمي يذلا ليطتسمب ةطاحم لاثم 2 نكتل

 

1,2   و



a ,,b c



  ناف

           



a,1, a,2 , b,1, b,2, c,1, c,2



   

           



1,a , 1,b ,1,c, 2,a , 2,b, 2,c



    تاظحلام 0 تناك اذإ )



اهرصانع ددع ةيهتنم ةعومجم 1 n تناك اذإ و .



اهرصانع ددع ةيهتنم ىرخأ ةعومجم 2 n ناف







تنم ةعومجم اهرصانع ددع ةيه 2 1 n n  . 2 )



x₁,y₁

 

 x₂,y₂







x₁  x₂  y₁  y₂







a a a_n



a_{i i} i n



n n , ,..., / , 1,2,..., ... ... _{1 2} 2 1      _{}  )3 4 ) n n n n                     ... ... ... _{1 2} 2 1

صاوخ نكتل  و  نإف نيتيفيك نيتعومجم











           , ) 2 1

2

-2

: ةيئانثلا تاقلاعلا

Relations binaires

فيرعت نكتل



نكتل و ةيلاخ ريغ ةعومجم G نم ةيئزج ةعومجم







جوزلل ةزيمملا ةيصاخلا يمسن . بترملا

 

x,y ىلإ يمتني يذلا G ةقلاعلاب ةيئانثلا . اهل زمرن و ـب



,

,

,

T

S



ناك اذإ

 

x,y G نأ لوقن

x

عم ةقلاع ىلع y ةطساوب  بتكنو

y

x



. يمسن نايب Graphe ةقلاعلا  ةعومجملا G ـب ةفرعملا

 



x y x y



G , /  . لاثم نكتل         3 2 , 3 1 , 2 1 ةقلاعلا اهيلع فرعن  :يلي امك

IN

y

x

y

x

y

x















,

:

ناف                          3 1 , 3 2 , 3 2 , 3 1 , 2 1 , 2 1 G يلاتلاك مهسأ ةطساوب اينايب ةقلاعلا لثمت 2 1 .

3

1

. .

3

2



تاقلاعلا عاونأ

ةيئانثلا

نكتل  ةعومجم ىلع ةفرعم ةقلاع



ةيلاخ ريغ  يمسن  ةيساكعنا réflexive : ناك اذإ طقفو اذإ

x

x

x









:

 يمسن  ةيرظانت symétrique : ناك اذإ طقفو اذإ

x

y

y

x

y

x













,

:

 يمسن  ةيرظانت دض وأ هيفلاخت symétrique -anti : ناك اذإ طقفو اذإ y x x y y x A y x        , :  يمسن  ةيدعتم transitive : ناك اذإ طقفو اذإ

z

x

z

y

y

x

z

y

x

















,

,

:

2 -2 -1 ؤفاكتلا ةقلاع : Relation d’équivalence ةقلاع ىمسن  ةيلاخ ريغ ةعومجم ىلع ةفرعم



ةقلاع ؤفاكت ةيساكعنا تناك اذإ طقفو اذإ و ةيرظانت .ةيدعتم و ةلثمأ 0 -ىلع ةفرعملا " =" ةاواسملا ةقلاع

IR

.ؤفاكت ةقلاع يه 6 -" يواسي وأ لقأ ةقلاع



ىلع ةفرعملا "

IR

نلأ ؤفاكت ةقلاع تسيل يه لاعف .ةيرظانت تسيل اه لاثم دجوي

1



x

و 2  y نم

IR

ثيحب

2

1



نكل

1

2



. 3 -" لقأ ةقلاع



ىلع ةفرعملا "

IR

نلأ ؤفاكت ةقلاع تسيل لاعف .ةيساكعنا تسيل اه لاثم لجأ نم 1  x ناف

1

1



. 4 -.ؤفاكت ةقلاع يه يوتسملا تاميقتسم ةعومجم ىلع ةفرعملا "//" يزاوتلا ةقلاع

5 -" دماعي ةقلاع



لأ ؤفاكت ةقلاع تسيل يوتسملا تاميقتسم ةعومجم ىلع ةفرعملا " تسيل اهن .ةيساكعنا 2 -" ءاوتحلاا ةقلاع



ىلع ةفرعملا "

 

  ةعومجملا ءازجأ ةعومجم



1,2,3



  اهنلأ ؤفاكت تسيل لاعف .ةيرظانت تسيل لاثم لجأ نم

 

1 1   و

 

1,2 2   نم

 

  ناف 2 1  نكل 1 2   . لاثم ةقلاعلا

T

ىلع ةفرعملا

IR

: لكشلاب

y

x

y

x

xTy



2



2





لاعف .ؤفاكت ةقلاع يه １ )

T

ةيساكعنا



xIR: xTx



 نكيل

x

نم يفيك رصنع

IR

ناف . 0 2 2     x x x x هنمو xTx . ２ )

T

ةيرظانت



x, yIR: xTy yTx



 نكيل

x

و y نم نييفيك نيرصنع

IR

نأ ضرفن .

xTy

يأ y x y x2  2   ةاواسملا يفرط برضب ددعلا يف 1  دجن y x y x     2 2 هنمو

yTx

. ３ )

T

ةيدعتم



x,y,z:xyyzxz



 نكيل

x

و y و

z

نم ةيفيك رصانع ثلاث

IR

نأ ضرفن . xTy و yTz يأ

y

x

y

x

2



2





و

z

y

z

y

2



2





دجن فرطل افرط نيتلداعملا عمجب

z

x

z

x

2



2





هنمو xTz . 2 -2 -2 بيترتلا ةقلاع : Relation d’ordre ةقلاع ىمسن  ةيلاخ ريغ ةعومجم ىلع ةفرعم



ةقلاع بيترت دض و ةيساكعنا تناك اذإ طقفو اذإ .ةيدعتم و ةيرظانت ةلثمأ 0 -ىلع ةفرعملا ةاواسملا ةقلاع

IR

.بيترت ةقلاع يه

2 ةقلاع



ىلع ةفرعملا

IR

.بيترت ةقلاع يه 3 - ةقلاع



ىلع ةفرعملا

IR

.ةيساكعنا تسيل اهنلأ بيترت ةقلاع تسيل 4 -تسملا تاميقتسم ةعومجم ىلع ةفرعملا دماعتلا ةقلاع .ةيساكعنا تسيل اهنلأ بيترت ةقلاع تسيل يو 5 -ةقلاع " ءاوتحلاا



ىلع ةفرعملا "

 

  ةعومجملا ءازجأ ةعومجم



1,2,3



  ةقلاع يه .بيترت لاثم ةقلاعلا S ىلع ةفرعملا * IN شلاب :لك km n IN k m S n   * /  لاعف .بيترت ةقلاع يه １ ) S ةيساكعنا



nIN* :nSn



 نكيل

n

نم ايفيك ارصنع * IN دجوي هناف . k نم * IN ثيحب kn n ذخأ يفكي

1



k

هنمو n S n . ２ ) S ةيرظانت دض







n,mIN*: nSmmSn nm



 نكيل

n

و

m

نم نييفيك نيرصنع * IN نأ ضرفن .

m

S

n

و

n

S

m

دجوي يأ k و ' k نم * IN ثيحب km n و n k m ' هنمو n kk n ' ىلع نيفرطلا ةمسقب

n

( 0  n ) دجن 1 ' kk ديحولا لحلاو وه 1 ' k k هنمو

m

n



. ３ ) S ةيدعتم







n,m,lIN*: nSmmSl nSl



 نكيل

n

و

m

و l نم ةيفيك رصانع ثلاث * IN . نأ ضرفن m S n و l S m دجوي يأ k و ' k نم * IN ثيحب km n و l k m ' هنمو l kk n ' نأ امب ' kk ا يمتنت ىل * IN ناف l S n . ةظحلام دض تاقلاع دوجو وه كلذ دكؤي يذلاو ةيرظانت تسيل اهنأ ينعي لا ةيرظانت دض يه ام ةقلاع نأ لوقلا يف ةيرظانتو ةيرظانت آ ىلع ةفرعملا ةاواسملا ةقلاع لاثم دحاو ن

IR

.

2

-3

قيبطتلا

تا

:

Applications

فيراعت  يمسن قيبطت ةعومجم نم



ةعومجم وحن



رصنع لكب قفرت ةقلاع لك

x

نم



ارصنع اديحو

y

نم



. ـب امومع قيبطتلل زمرن f g h ,, ..., ناك اذإ y f x بتكن  x f y يأ

 

x f y x f      :

 

x y f y x f  ,! /  قيبطت وأ

 

   

                 2 1 2 1 2 1, : / , x f x f x x x x y x f y x f قيبطت  يمسن y ةروص image

x

قيبطتلا قفو

f

.  يمسن

x

ةقباس antécédent y .  يمسن



ةعومجم ءدبلا قلاطنلاا وأ départ .  يمسن



ةعومجم لوصولا رقتسملا وأ arrivé .  يمسن نايب graphe قيبطتلا

f

ةعومجملا G ثيح

 

 



x y y f x



G , /  . تاظحلام 0 يمسن قباطملا قيبطتلا Application identique ـب هل زمرن و E Id قيبطتلا E E f :  ثيح

 

x x f  . 6 -قيبطتلا نيب قرفن نأ بجي

f

و

 

x

f

ةروص

x

قيبطتلا ةطساوب

f

. 2 -3 -1 ةرشابملا ةروصلا : Image directe نكيل F E f :  نكتل و اقيبطت

E

A



ةعومجملا رصانع روص ةعومجم يمسن .

A

ةروصلا ةرشابملا ةعومجملل

A

قيبطتلا قفو

f

ـب اهل زمرن .

 

A f يأ

 

A



f

 

x x A



F f  /  

ةظحلام

 

A x A f

 

x y f y   :  لاثم قيبطتلا نكيل IR IR f :  ثيح

 

x x f  انيدل

 

IR IR f و

 

ZI IN f  . 2 -3 -2 ةيسكعلا ةروصلا : Image réciproque نكيل

F

E

f

:



و اقيبطت

F

B



ةعومجملا رصانع قباوس ةعومجم ىمسن .

B

ةيسكعلا ةروصلا قيبطتلا قفو f ـب اهل زمرن .

 

B f 1 يأ

 

B



x E f

 

x B



E f 1   /   لاثم 1 قيبطتلا نكيل IR IR f :  ثيح

 

x x f  نأ ظحلان

 

IN ZI f 1  . لاثم 2 نكتل



1,2,3,4



, 

 

1,2,3  A B و قيبطتلا نكيل

B

A

f

:



ثيح

   

1  f 2 1, f

 

3 4 f

1

. .

1

2

. .

2

3 . . 3

4

.

B

A





f ناف



   

f

 

B A f 1 1  1,2 , 1  و

 

 

2

,

     

 

3

4

,

  

1

,

2

1

1









f

f

f



صاوخ قيبطتلا نكيل

F

E

f

:



نيتعومجملا نكتل و

A

و

B

نم نيتيئزجلا

E

نيتعومجملاو C و

D

نم نيتيئزجلا

F

:ناف

   

A f B f B A   ) 1



A B



f

 

A f

 

B f    ) 2



A B

  

f A f

 

B f    ) 3



C D



f

 

C f

 

D f 1 1 1 ) 4      



C D



f

 

C f

 

D f 1 1 1 ) 5       2 -3 -3 تايلمعلاو تاقلاعلا نيقيبطت نيب ةاواسملا ةقلاع نيقيبطتلا نكيل    : f و D C g:  نأ لوقن

f

و g نايواستم égaux وأ ناقباطتم identiques و بتكن

g

f



وأ

g

f



ناطرشلا ققحت اذإ طقفو اذإ

 

x g

 

x f x D C          : ) 2 ) 1 لاثم نكيل

 

x

x

f

x

IR

IR

f

cos

:







و

 

1 2 cos 2 : 2 _   x x g x IR IR g  انيدل

g

f



. تاقيبطتلا ىلع تايلمعلا عمجلا Addition : ناقيبطتلا نكيل F E f :  و F E g:  نيقيبطتلا فرعن .

g

f



لكشلاب



f

g

     

x

f

x

g

x

x

F

E

g

f













:

برضلا Produit : ناقيبطتلا نكيل

F

E

f

:



و

F

E

g

:



قيبطتلا فرعن .

g

f .

لكشلاب

      

f

g

x

f

x

g

x

x

F

E

g

f

.

.

:

.







بيكرتلا Composition : نكيل

F

E

f

:



،

G

F

g

:



يمسن تلا بيكرت نيقيبط

f

و g نم قيبطتلا

E

وحن G زمرن يذلا ـب هل

f

o

g

ثيح



g

o

f

 

x

g



f

 

x



x

G

E

f

o

g







:

G

F

E





f





g f g لاثم 1 نكيل

f

نم فرعم قيبطت *

IR

وحن



1



IR

و g قيبطت فرعم نم



1



IR

وحن *

IR

، ثيح

 

x

x

g





1

1

و

 

x

x

f



1



نإف



g f

 

x x IR IR f g





 * * : 



 



 

 



_

_

x

x

x

g

x

f

g

x

f

g

1

1

1

1

1























f

g

 

x

x

IR

IR

g

f







1

1

:









 



 



1

1

1

1

1

1

1

1

1





































x

x

x

x

x

x

f

x

g

f

x

g

f





 

2 1 2  f g و



 

2 1 2 2 2    g f

لاثم 2

x

x

IR

IR

f

sin

:





،

x

x

IR

IR

g

2

:











f g

 

x x IR IR g f





  :



f



g

 

x  f



g

 

x

  

 f 2x sin2x





sin 0 2 2 sin 2               _ g f

 

x f g x IR IR f g





  :



g f

 

x g



f

 

x

 

g sinx



2sinx





2 2 sin 2 2     







f g هنمو f g g f







تاقيبطتلا عاونأ 2 -3 -4 نيابتملا قيبطتلا : Application injective قيبطتلا نأ لوقن

B

A

f

:



انيابتم رصنع لك ناك اذإ y نم

B

رثكلأا ىلع ةقباس كلمي

x

نم

A

يأ

 

₁

 

_{2 1 2} 2 1,x A: f x f x x x x      وأ

 

₁

 

₂ 2 1 2 1,x A:x x f x f x x      لاثم قيبطتلا

f

نم فرعملا

IR

وحن

IR

ـب

 

x 2x1 f لاعف .نيابتم نكيل 2 1, x x نم

IR

ثيح

 

x₁ f

 

x₂ f  يأ 1 2 1 2x₁  x₂  هنمو 2 1 x x  . ةظحلام

f

انيابتم سيل

   



x, yA:x y f x  f y





لاثم قيبطتلا

f

نم فرعملا

IR

وحن

IR

ـب

 

x x f  لاعف .انيابتم سيل لاثم دجوي 2 1  x و 2 2   x ثيح

   

x₁  f x₂ 4 f و 2 1 x x  . 2 -3 -5 :رماغلا قيبطتلا Application surjective قيبطتلا نأ لوقن

B

A

f

:



ارماغ رصنع لك ناك اذإ y نم

B

كلمي يأ لقلأا ىلع ةقباس

 

x f y A x B y     , : لاثم قيبطتلا  IR IR f : ثيح

 

2 x x f  لاعف .رماغ نكيل  IR y نع ثحبن

x

ثيح

 

x f y  يأ 2 x y  هنمو y x  نذإ y x  وأ y x   . ةظحلام

f

ارماغ سيل

 



yB,xA:y f x



 لاثم قيبطتلا IR IR f : *  ثيح

 

x

x

f



1

سيل دجوي لاعف .ارماغ

0



y

ثيحب

0

1

_

x

لك لجأ نم

x

يف *

IR

. 2 -3 -6 يلباقتلا قيبطتلا : Application bijective قيبطتلا نأ لوقن

B

A

f

:



يلباقت ذإ رصنع لك ناك ا y نم

B

يأ ةديحو ةقباس كلمي

 

x f y A x B y     , ! : ةظحلام 0 )

f

ناك اذا طقفو اذا يلباقت

f

.انيابتم و ارماغ 6 )

f

عملا تناك اذا طقف و اذا رماغ ةلدا

 

x y f  .لقلأا ىلع لاح لبقت

3 )

f

ةلداعملا تناك اذا طقف و اذا نيابتم

 

x y f  .رثكلأا ىلع لاح لبقت 4 )

f

ةلداعملا تناك اذا طقف و اذا يلباقت

 

x y f  .اديحو لاح لبقت لاثم طتلا قيب

IR

IR

f

:



ثيح

 

x 8x3 1 f لاعف .يلباقت يأ نيابتم و رماغ وه نكيل

IR

y



نع ثحبن

x

ثيح

 

x

f

y



يأ

1

8

3





x

y

هنم و

2

1

3





y

x

نذإ f .ارماغ نكيل 2 1, x x نم

IR

ثيح

 

x₁ f

 

x₂ f  يأ 1 8 1 8x₁3   x₂3  نذا 2 1 x x  . هنمو

f

يأ انيابتم

f

.يلباقت 2 -3 -7 يسكعلا قيبطتلا Application réciproque : نكيل B A f :  نم ةقلاعلا .لاباقتم اقيبطت

B

وحن

A

رصنع لكب قفرت يتلا y ةقباس

x

ثيح

 

x f y  هيمسن قيبطت يه يسكعلا قيبطتلا ـل

f

و ـب هل زمرن 1  f

 

y x f y A B f     1 1 :  ققحي و يلباقت هرودب وه و : A Id f f 1  و B Id f f 1  ةلثمأ 0 IR IR f :  ثيح

 

x 8x31 f ايسكع اقيبطت لبقي هنإف يلباقت IR IR f 1:  ثيح

 

2 1 3 1 _   x x f . 6   IR IR g : ثيح

 

2 x x g  ايسكع اقيبطت لبقي هنإف يلباقت    _ IR IR g 1: ثيح

 

x x g1  .