Simulation de l'opto-hydrodynamique des interfaces liquides

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Simulation de l’opto-hydrodynamique des interfaces

liquides

Hamza Chraibi

To cite this version:

Hamza Chraibi. Simulation de l’opto-hydrodynamique des interfaces liquides. Mécanique des fluides

[physics.class-ph]. Université Bordeaux 1, 2007. Français. �tel-00812478v2�

N

◦

_{d’ordre : 3423}

TH`

ESE

pr´

esent´

ee `

a

L’UNIVERSIT´

E BORDEAUX I

´

ECOLE DOCTORALE DE SCIENCES PHYSIQUES ET DE L’INGNIEUR

par

Hamza CHRA¨

IBI

POUR OBTENIR LE GRADE DE

DOCTEUR

SP´

ECIALIT´

E : M´

ecanique

*********************

SIMULATION DE L’OPTO-HYDRODYNAMIQUE DES INTERFACES LIQUIDES

*********************

Soutenue le :

20 Septembre 2007

Apr`

es avis de :

MM.

L. LIMAT, Directeur de Recherche au CNRS, MSC, Paris

Rapporteur

R. SAUREL, Professeur, IUSTI, Marseille

Rapporteur

Devant la commission d’examen form´

ee de :

MM.

J.P. DELVILLE, Directeur de Recherche au CNRS, CPMOH, Bordeaux

Pr´

esident

L. LIMAT, Directeur de Recherche au CNRS, MSC, Paris

Rapporteurs

R. SAUREL, Professeur, IUSTI, Marseille

C. CLANET, Charg´

e de Recherche au CNRS, LadHyX, Paris

D. LASSEUX, Charg´

e de Recherche au CNRS, TREFLE, Bordeaux

Examinateurs

E. ARQUIS, Professeur, TREFLE, Bordeaux

Avant mathèse jesavaisexa tement e queje ne voulais pas fairede ma

vie... Maintenant je sais e queje voudrais en faire.

Cette thèse a été ee tuée au sein de Laboratoire TREFLE à l'E ole

Na-tionale de Chimie et de Physique de Bordeaux en ollaboration ave le

La-boratoireCPMOH.

J'ai don une longueliste de gens à remer ier du Campus de Bordeaux I ou

d'ailleurs,je m'ex use par avan e pour eux quej'aurais oublié.

Je ommen erai tout d'abord par mon premier onta t Bordelais, Eri

AR-QUIS pour m'avoir re ruté sur e sujet, de m'avoirdonné la han e de

tra-vailler dans les meilleurs onditions possibles et de m'avoir en ouragé en

toutes ir onstan es.

Ensuite je remer ie de tout oeur Didier LASSEUX qui a été mon mentor

durant estroisannéesde thèse.Ave luij'aiapprisapeu prèstout e queje

sais sur la démar he s ientique, la rigueur dans le travail,le doute, la

mé-thodologie numérique. Je sais que je suis très têtu, que je n'en fait souvent

qu'à ma tête mais au nal je suis bien heureux d'avoir pu béné ier de tes

onseils etde ton soutiendans lesmomentslesplus di iles, eux oùon est

tout seul fa eà l'éle trostri tion par exemple ...

Avantderevenir àmes amaradeset ompagnonsde fortuneduTREFLE,je

voudrais remer ier Jean-Pierre DELVILLE et Régis WUNENBURGER du

CPMOH pourleslonguesréunionspassionnantesdu vendrediaprès-midiqui

me donnaientenvie de rentrer hez moiréé hir à e qui pouvait provoquer

des tétines alors que mes amis me har elaient pour sortir proter de la vie

no turne bordelaise. J'ai pu dé ouvrir grâ e à eux un sujet passionnant qui

nous transformeende grandsenfantsfas inés parlesmystères de laS ien e.

J'espère pouvoir ontinuer àtravaillerave euxet ave Didierpour quelques

temps en ore.

Je voudrais également remer ier mes rapporteurs Laurent LIMAT, Ri hard

SAURELetChristopheCLANET pour avoira epté de fairepartiedu jury,

Jetiens égalementàremer iertrès haleureusementtous lesthésardset

per-manentsdu LaboratoireTREFLE :tout d'abord mon amarade de promo

Etienne pour nos longues dis ussions sur le re rutement et les résultats de

l'OMetdesGirondins,unsujettoutaussipassionnantmaisbienplusdi ile

à omprendreque le ouplage éle tromagnétisme/hydrodynamique. J'espère

beau oupde réussitedanslasuitede ton travail.Jeremer ieégalementmon

amarade de bureau Pierre pour avoir un peu été mon grand frère tout au

long de es troisannées. Mer ien vra pourm'avoirsupporté, pour ton

sou-tien, tes onseils, avoir imprimé ma thèse, m'avoir fait répéter, et sûrement

bien d'autres hoses ... Mer i aussi à Cedri pour sa gentillesse, pour avoir

égalementimprimémathèse,j'imprimeraistaHDR, unjour,situveuxpour

qu'on soitquitte. Je remer ie GuillaumeG.pour de longues dis ussions très

intéressantes sur la physique des interfa es, lespressions négatives, et ...

Enn, je remer ie dans le désordre : Mejdi pour les quadratures de Gauss,

JeanpourlesprogssurMatlab,Delphinepoursagentillesseetses

en ourage-ments, Stephane G. pour ses onseils et dépannages sur Linux, Mohammed

pour être toujours de bonne humeur, Marie-Paul pour s'être tra assée

ad-ministrativement àma pla e,Muriel etSylviane pour leur gentillesse, Azita

bien sûr pour avoir été si gentille toutes les fois oùj'ai appelé et pour avoir

supporté mes déboulementsdans le bureauà l'ENSAM,Henri B. également

pour les onseils sur mon avenir, Wahbi J. et Mr. Mesnard pour m'avoir

aidé àorganisermes enseignementsàBordeaux I(j'enproted'ailleurs pour

remer ier mesélèvesquine meverront sansdoutepas de sittmais ave

les-quels j'ai eu beau oup de satisfa tion). Mer i aussi aux personnels de CPB,

etde l'université, en pensant parti ulièrementà Alain,Chantal,Mr.

Dabad-die etJean-Pierre du CRMI.

Pour on lure je souhaite beau oup de réussite à tous eux que j'ai roisé

auLaboratoire,entreautresauxan iensounouveaux thésards (Nirina,

Gré-goire, Zoubir, les deux Aurélie, Mathilde, Houssen, Mathieu L., Guillaume

B.,Jérme,Sylvain,Eri G.,Ni olas,Arthur,Erwann,MathieuB.,Stéphanie

D.) ou aux permanents qui font l'âme du laboratoire (Jean-Paul, Stephane

V., David,et tous eux que j'aurais oublié....).

Un lin d'oeil enn à tous mes amis et frères de l'aventure bordelaise qui

m'ont soutenu lors de es trois années ave qui j'ai pu relâ her la pression

quand il fallait.

Jenisbiensûrparremer ierde tout oeurmesparents,mapetiteetgrande

1 Introdu tion 7

2 Contexte de l'étude 9

2.1 Opto-hydrodynamique des interfa esliquides . . . 9

2.1.1 L'expérien e fondatri ed'Ashkin . . . 10

2.1.2 Manipulationd'objets biologiques . . . 11

2.1.3 Mesures des propriétés physiques des liquides . . . 13

2.1.4 Génération de mi ro-gouttes : appli ation en mi ro-uidique . . . 15

2.1.5 Modèles théoriques et numériques . . . 19

2.2 Analogie ave l'éle tro-hydrodynamique etl'a oustique . . . . 21

2.2.1 Ele tro-hydrodynamique et nes de Taylor . . . 21

2.2.2 Analogieave l'a oustique . . . 23

2.3 Bilan . . . 25

3 Modèle physique 27 3.1 Equations générales de l'hydrodynamiqueet de l'optique . . . 28

3.1.1 Equations de onservation . . . 28

3.1.2 For e et tenseur des ontraintes éle tromagnétiques . . 29

3.1.3 Saut de ontraintes sur l'interfa e . . . 30

3.2 Pression de radiationoptique . . . 32

3.2.1 Expressions de la pressionde radiation . . . 32

3.2.2 Coe ients de transmission en énergie etpolarisation . 34 3.3 Problèmeaux limites . . . 35

3.3.1 Choix des grandeurs ara téristiques . . . 35

3.3.2 Equations adimensionnelles . . . 36

4 Résolution par méthode intégrale et éléments de frontière 39 4.1 Etudes pré édentes utilisantlaméthode BIEM . . . 39

4.2 Avantages de laBIEM . . . 40

4.3.2 Le problème fondamental de Stokes et son noyau de

Green . . . 42

4.3.3 Formulationintégraledu problème de Stokes . . . 43

4.3.4 Champs de vitesse interne . . . 44

4.3.5 For es volumiques non onservatives . . . 45

4.3.6 Dis rétisation de l'équationintégrale . . . 45

4.3.7 Forme matri ielledu problème . . . 48

4.4 Algorithmede résolution . . . 48

4.4.1 Initialisationde l'interfa e etdis rétisation du domaine 48 4.4.2 Cal ul de la ourbure . . . 49

4.4.3 Résolutiondu système linéaire . . . 49

4.4.4 Déformation etlissage de l'interfa e . . . 50

4.4.5 Pré ision des al uls . . . 50

5 Résultats 51 5.1 Congurationexpérimentaleet ara térisationdesmi ro-émulsions 52 5.1.1 Montage expérimental . . . 52

5.1.2 Estimationthéoriquedespropriétésphysiquesdes mi ro-émulsions . . . 54

5.2 Validation du modèle par omparaison aux résultats expéri-mentaux . . . 58

5.2.1 Equilibredel'interfa e: asdepropagationàpartirdu milieu lemoins réfringent . . . 58

5.2.2 Comparaisons entre les deux as de propagation du fais eau laser . . . 67

5.2.3 Analyse des prols expérimentaux -Formes en tétines . 74 5.2.4 Prise en omptede la for ediusive - Système pro he du point ritique . . . 76

5.2.5 Visualisationdes é oulements . . . 81

5.2.6 Dynamique de l'interfa e . . . 85

5.3 Etude des eets de paroi : as du tube apillaire . . . 93

5.4 Bilan . . . 96

6 Etudedes eets de volume ni:appli ation à la déformation d'une goutte 99 6.1 Contexte . . . 100

6.1.1 Géométrie de l'étude . . . 101

6.1.2 Equations du problème . . . 101

6.2 Etirement de la goutte . . . 102

6.3 Compression de la goutte. . . 110

6.4 Bilan . . . 112

7 Con lusions et perspe tives 115 A Nomen lature 119 B E riture de la ondition à l'interfa e entre les deux uides 121 C Expression de la pression de radiation optique 127 C.1 Expressiondes hampséle triquelorsde lapropagationd'une onde éle tromagnétique entre deux uides . . . 127

C.2 Cas où

E

0

est

⊥

auplan d'in iden e : polarisationTE . . . . 129

C.3 Cas où

E

0

est

//

auplan d'in iden e :polarisation TM . . . . 132

C.4 Hypothèsedes petites déformations . . . 136

D Expression du noyau de Green pour le problème de Stokes 137 D.1 Noyau de Green . . . 137

D.2 Intégraleselliptiques omplètes :K etE . . . 139

D.2.1 Intégraleselliptiques du premierordre K . . . 140

Introdu tion

L'étude de la déformation d'interfa es liquides par la pression de

radia-tion optique d'un fais eau laser, dis ipline nouvelle que l'on appelle

opto-hydrodynamique a fait l'objet d'une grande attention durant les dernières

années. Bien qu'elle présente des appli ationspotentielles très prometteuses

en biologie et en physique de la matière molle, elleest toutefois en ore mal

omprise.

Dans e travail, nous proposons de développer une première étape dans la

ompréhension des intera tions entre lumière et interfa es liquides grâ e à

un modèle physique général. Dans le hapitre 2, nous présentons une étude

bibliographique en détaillant les travaux expérimentaux et théoriques

réali-sés en opto-hydrodynamique et en montrant qu'une analogiepeut être faite

entre ette dis ipline etl'éle tro-hydrodynamique ouen ore l'a oustique.

Dans le hapitre 3, nous présentons le modèle physique hoisi pour dé rire

l'opto-hydrodynamique. Après avoir supposé une symétrie ylindrique du

problème ompte tenu de la nature de l'ex itation optique, un é oulement

de Stokes est onsidéré dans les phases, asso ié à une ondition de saut de

ontraintessurl'interfa e.Leséquationsduproblèmesontalorsdonnéessous

leur forme adimensionnelle an de leur donner un ara tère universel.

Dans le hapitre 4, laméthode des élémentsde frontière, privilégiée pour la

résolution numérique, est présentée sous sa forme intégrale en détaillant les

équations sous leur forme ontinue puis dis rète. L'algorithmede résolution

utiliséest ensuitepré isé.

Dans le hapitre5,la validationdu ode de al ul numériqueest ee tuéeà

l'aide de omparaisons dire tes ave des résultats théoriques et

expérimen-taux de Casner & Delville[Casner 02℄. Des simulationsà ara tère prédi tif

sont également réaliséespermettantlamise en éviden ede phénomènes

par-ti uliers propresà l'opto-hydrodynamique.

parons prols et hauteurs d'interfa es issus des résultats numériques,

théo-riques et expérimentaux pour les deux régimes de déformation. Les eets

de la gravité sont alors étudiés notamment en e qui on erne la transition

entre régimelinéaireetnon-linéaire.Ensuite,l'inuen edu sens de

propaga-tion du fais eau est étudiée. Nous modélisons alors les eets de la diusion

de lalumièresurlesu tuationsde densitéauseindel'é oulementlorsquele

systèmediphasiqueestpro he dupoint ritique.Desvisualisationsde

l'é ou-lement sont montrées an de omprendre le ouplage entre é oulement et

forme de l'interfa e.

Enn, nous étudions la dynamique de l'interfa e dans les deux régimes de

déformationenmontrantl'eetdurapportdesvis ositéssurl'étattransitoire

de la ourbure avant de on lure sur une étude des eets des parois sur la

déformationde l'interfa e.

Finalement, dans le hapitre 6, notre modèle est utilisé pour simuler des

déformations de gouttes mi rométriques par pression de radiation optique.

Un parallèleest proposé ave une expérien e intéressantede déformation de

gouttespar fais eaulaser.Les on lusionsetlesperspe tivessontnalement

Contexte de l'étude

2.1 Opto-hydrodynamique des interf a es li quides

La for e éle tromagnétique induite par une onde lumineuse à l'interfa e

séparant deux milieux diéle triques d'indi es de réfra tions diérents a fait

l'objet de plusieurs études depuis le développement des lasers. Cette for e

surfa ique, que l'on appelle pression de radiationoptique, fût d'abord

utili-sée dansdes expérien esdelévitationdemi ro-parti ulesavantd'êtredirigée

vers ladéformationd'interfa es liquides.

D'un point de vue théorique, l'analyse des eets de ette for e sur les

in-terfa es liquides, a été limitée au as où l'amplitude des déformations reste

faible.Aussi, dufaitdela omplexitédesphénomènesmisen jeulorsdu

ou-plage de l'hydrodynamique ave l'éle tromagnétisme, une étude numérique

detouslesrégimesdedéformationparaîtindispensableande omprendreet

de ontrler lesnouveaux pro édés dé oulantde e quel'on appellera

désor-mais l'opto-hydrodynamique. En eet, ette dis ipline en ore nouvelle dans

le hamp de la physique étudie les eets optiques des fais eaux lasers sur

l'hydrodynamiquedes interfa es uides.

Dans e hapitrenousdétaillonsle ontexte générald'étude de

l'opto-hydro-dynamique, en présentant la première expérien e ee tuée dans ette

dis i-pline par Ashkin & Dziedzi [Ashkin 73℄ an d'observer expérimentalement

le sens de déformationd'uneinterfa eeau/air.Les travauxmenés depuis les

années70dans ettedis iplineserontalorsprésentés selontroisaxes

d'appli- ations diérents, à savoir la manipulationsans onta t et non-intrusive de

ellulesbiologiques, lamesurerapide depropriétés physiquesdes liquides,et

enn la génération de jets de gouttes mi rométriques pour des appli ations

en mi rouidique. Enn, nous rappellerons lesrésultatsthéoriques et

ave ladéformationd'interfa es liquides par ondes a oustiques.

2.1.1 L'expérien e fondatri e d'Ashkin

L'expérien e fondatri e de déformation d'interfa es liquides par laser a

été ee tuée parAshkin etal.[Ashkin 73℄quiontutiliséun laser pulsé pour

déformer des interfa es eau-air.L'obje tif de ette expérien e visaità

obser-ver le sens de déformation d'une interfa e eau-air et à déterminer si le sens

de ette déformation dépendait du sens de propagation du fais eau laser.

Enfait,plusieursthéori ienssesontintéressés auproblèmedeladéformation

d'interfa es à l'aide d'un laser et don au ouplage entre éle tromagnétisme

et hydrodynamique des interfa es. Entre autres, deux expressions

ontra-di toires de l'impulsion de la lumière dans des milieux diéle triques ont été

proposées. La première, donnée par Minkowski [Minkowski 10℄ indique que

la quantité de mouvement des photons est donnée par :

q

m

= U N/c

,

U

étant l'énergie du fais eau,

N

l'indi e du milieu et

c

la élérité de la lu-mière. L'autre expression de la quantité de mouvement, proposée par

Abra-ham [Abraham09℄,est donnée par :

q

a

= U/(N c)

.Selon l'uneoul'autre des expressions, lapressionderadiationqu'exer elalumièresur l'interfa e

pour-rait soitla déformer vers le milieu le plus réfringent(Abraham), soitvers le

moinsréfringent(Minkowski)(voirgure2.1).Lapressionderadiationentre

deuxmilieuxpeuteneetêtreinterprétée ommelesautdequantitéde

mou-vement des photons lors de leur passage à l'interfa e entre les deux milieux.

Ainsil'expérien ed'Ashkinavaitpourbutde tran herentre lesdeux

expres-sions qui avaient faitl'objetd'une ontroverse datantde plusieurs dé ennies

[Brevik 70; Skobel'tsyn 73; Gordon73℄ etde fournir ainsi une avan ée

théo-rique importanteen éle tromagnétisme.

L'interfa e eau-airétantpeu déformabledu fait de sa grandetension

su-per ielle(

∼ 70mN/m

),ladéformationn'étaitpas dire tementvisualisable. Cependant,Kats etal.[Kats 69℄ ontmontréque l'autofo alisationd'un

fais- eaulaserdansunmilieuhomogèneestpossiblesil'interfa equ'iltraverseest

ourbée. Cette ourbure modie letrajet du fais eau etrétroagitsur sa

pro-pagationpar eetdelentille.AshkinetDziedzi ontainsi déduitde laforme

du fais eau observé,lesigne de la ourburede l'interfa e etdon son sens de

déformation.Ils ont alors onstaté que l'interfa e sedéformait toujours vers

le milieu le moins réfringent quelque soit le sens de propagationdu fais eau

donnantainsiraisonàlaformulationproposéeparMinkowski.Ilfautpré iser

Milieu 2 : N

₂

Milieu 1 : N

₁

q

₂

=N

₂

U/c

q

₁

=N

₁

U/c

q

₁

−q

₂

Fig. 2.1  Déformationd'une interfa e liquide par fais eau laser (

N

1

< N

2

). Lesquantités de mouvementdes photons sontexpriméesselon leformalisme

théorique de Minkowski.

Minkowski n'étant valable que pour des ondes éle tromagnétiques à hautes

fréquen e s (

10

15

_Hz

), equi est toujoursle as pour lesfais eauxlasers. Plus

de pré isionssur lesdeux appro hes peuventêtre trouvéesdansune synthèse

faite ré emment par Bowyer [Bowyer05℄.

2.1.2 Manipulation d'objets biologiques

L'unedes premières appli ationsde lapression de radiationfut imaginée

par Ashkin &Dzedzi eta onsistéà mettreaupoint e que l'on appelle les

pin ettes optiques [Ashkin 87℄.

Cela onsiste à piéger une bille solide grâ e au hamp éle tromagnétique

généré par le fais eau pour ensuite utiliser ette bille pour manipuler des

ellules ou membranes biologiques. L'in onvénient de ette méthode est la

manipulation indire te des objets biologiques par le biais d'une bille solide

alors que leprin ipal intérêt de lapression de radiationoptique est de

pou-voirmanipulerdes objets sans- onta t pour éviter toute ontamination.

Cependant, ave les nouveaux développements sur la matière molle et les

te hnologies laser, la pression de radiation fût dire tement utilisée an de

manipulerdesmi ro-objets[Gu k 00℄sans onta t,nidommagesthermiques.

Ainsi,l'utilisationde deux fais eaux alignés sur une même ellule biologique

et de sens de propagation opposé a permis d'exer er une déformation

symé-trique sur les deux hémisphères de la ellule et déduire ainsi ses propriétés

vis oélastiques (voir gure 2.2). Cet outil appelé opti al stret her

(littérale-ment étireur optique) présente l'intérêt d'éviter le dépla ement d'ensemble

de la ellule et de pouvoir umuler les eets de pression de radiation des

pi-issue des deux bres optiques induit le piégeage transverse et l'étirement

d'un globule rouge montré en (b) pour diérentes puissan es. ( ) Grande

déformationobservée àforte puissan e (200mW).Sour e: [Gu k 00℄

onewtonaunanonewton,soitjusqu'à100foisplusimportantesquepourdes

pin ettes optiques lassiqueset e sans dommages radiatifspour les ellules.

En eet, les fais eaux lasers ne sont pas fo alisés et l'absorption thermique

reste faible àla longueur d'onde utilisée.

Durantlamêmepériode,desprogrèsimportantsontétéfaitssurlasensibilité

plus pré ise ave une possible appli ation de ette te hnique à la

dis rimi-nation entre ellules vivantes saines ou an éreuses à partir de leur réponse

élastique. Ils'agit làd'une perspe tived'avan ée majeure en biologieorant

un hamp d'appli ationd'une grandeimportan e auxétireurs optiques .

2.1.3 Mesures des propriétés physiques des liqui d es

Ré emment, d'autres appli ations très prometteuses de la déformation

optique des interfa es ontpu être envisagées, parmilesquelles nous pouvons

iter lamesure de propriétés physiques des liquides omme la tension

inter-fa iale,la vis osité ouen ore lavis oélasti ité.

Une équipe japonaise [Sakai01℄ a ré emment mis au point une te hnique

onsistant à déformerune interfa e liquide par un fais eau laser ontinu

ap-peléondepompe etàmesurerla ourburedel'interfa eenutilisantunse ond

fais eau de faiblepuissan e appelé onde sonde. Leprol d'intensité de ette

dernière est mesuré grâ e à l'eet de lentille induit par la ourbure de

l'in-terfa e qui la fo alise et modie alors son intensité (gure 2.3). Le prol

Milieu 2 : N

₂

Milieu 1 : N

₁

Focale

Onde sonde

Intensite

Courbure

Fig. 2.3  S héma de prin ipe montrant la fo alisation de l'onde sonde sur

une interfa e déformée.L'onde pompen'est pas représenté e.

d'intensité de l'onde sonde pouvant être relié analytiquement à la ourbure

de l'interfa e, le temps ara téristique asso ié à la variation temporelle de

ette ourbure peut alors être mesuré et nous pouvons en déduire les

pro-priétés physiques des liquides omme la tension interfa iale ou la vis osité

[Mitani 02; Sakai 03; Yoshitake05℄.

Cette te hnique est parti ulièrement e a e pour la mesure de très faibles

tensions interfa iales (quelques

µN/m

) (voir gure 2.5(b)) là où les te h-niques de mesures habituellesdonnent peu de résultats. Desmesures de très

très grandepré ision surdes huilesjusqu'à

10

6

foisplusvisqueuse squel'eau.

L'avantage de la mesure de vis osité par laser est sans onteste la rapidité

à laquelle es mesures peuvent être faites (quelques se ondes) par rapport

aux pro édés lassiques, le temps ara téristique du mouvement de

l'inter-fa e étant proportionnel à la longueur ara téristique des déformations qui

est de quelques nanomètresdans e as là.Onpeutégalementajouter à ela

le fait que le fais eau laser onstitue un instrument de mesure sans onta t

mé anique etdon sans ontamination himiquepotentielle desliquides

étu-diés.

Fig. 2.4  S héma du dispositif expérimental utilisépour lamesure de

pro-priétés physiques des liquides. Sour e: [Yoshitake 05℄

Parmi les ré ents développements de ette te hnique, on peut également

iter l'ex itation d'ondes apillaires à la surfa e d'une interfa e liquide par

modulationdu fais eaupompe[Sakai 03℄.Eneet,endéterminantles

ampli-tudes etlesfréquen e s de es ondes de surfa e, ilest possiblede ara tériser

tiques (ligne pleine) de vis osités (a) et tensions de surfa es (b). Sour e :

[Yoshitake05; Mitani 02℄

2.1.4 Générationde mi ro-gouttes:appli ation en

mi ro-uidique

Une troisième appli ation intéressante des déformations d'interfa es par

laser est lagénération de gouttesmono-disperses de taillemi rométrique.

La première observation de la génération de gouttes à partir d'une

inter-fa e liquide déformée par un fais eau laser a été faite par Zhang & Chang

[Zhang 88℄. Ainsi,uneimpulsiond'énergie allantde

100

à

200mJ

aété utili-sée an de déformerune goutteletted'eau de 50mi rons.Cette déformation

aété lméegrâ e àune amerarapideàla aden e de 1000images/se onde.

Pour les faibles impulsions (100mJ), une série de li hés (gure 2.6(a)) a

montré l'os illation de l'interfa e de la goutte due à la propagation d'ondes

apillaires. La déformation de l'interfa e est dirigée vers le milieu le moins

réfringent, omme observé dans les expérien es d'Ashkin, et est maximale

en aval de la goutte du fait de la fo alisation du fais eau. Pour les hautes

impulsions(200mJ)(gure2.6(b)),alors quela déformationamontest

simi-laireà elle obtenue à

100mJ

, quoique de plus grandeamplitude, la surfa e aval de la goutte se déforme de manière beau oup plus importante formant

un long lament ylindriqueinstableauboutduquel onobserve l'éje tionde

mi ro-gouttelettes.

Le mé anisme induisant la formation de es mi ro-gouttes n'a jamais été

étudiéthéoriquementounumériquement, ependantl'hypothèsedela

d'énergie

100mJ

de rayon au ol de 4,2 mi rons et d'une durée de

400ns

. Le fais eau se propage de gau he à droite omme indiqué par la è he. La

première image en haut à gau he orrespond à l'instant t=0, la dernière

en bas à droite à

t = 22µs

après le passage de l'impulsion. (b) Déformation observéepouruneimpulsiond'énergie

200mJ

.Lapremièreimage orrespond à

t = 1µs

, la dernière à

t = 15µs

. Un long lament ave éje tion de mi ro-gouttes est formé en aval de la goutte.Sour e : [Zhang88℄

sur lafa e aval.En eet, de ré entes expérien es menées par Casner

&

Del-ville[Casner 02℄,ont onsistéàutiliserunfais eaulaser ontinude puissan e

allant de

1

à

2W

(

ω

0

= 3

à

15µm

) an de déformer des interfa es liquides séparant des mi ro-émulsionseau/huilepro he du point ritique(voirgure

2.7). Au delà d'une ertaine température ritique

T

C

= 35



C

, es liquides se séparent en deux phases immis iblesdontlatension interfa ialeest

typique-ment

10

5

ontinu(

ω

0

= 5.3µm T − T

c

= 3.5K

).(a) Lefais eau sepropage du bas vers lehaut ommeindiquépar laè he. Lesimagesde hauten basmontrentdes

interfa es àl'état d'équilibre pour des puissan es roissantes (

120

,

240

,

360

,

390

et

720mW

). (b) Le fais eau se propage du haut vers le bas (

124

,

248

et

372mW

). L'image du bas (

405mW

) montre une déformation au seuil d'in-stabilité de l'interfa e onduisantà un jet. Des mi ro-gouttelettessont alors

éje téesaubout dujet ommemontrédansl'image( ) .Sour e:[Casner 03℄

d'utiliser des fais eaux ontinus de puissan e raisonnable pour induire des

déformations allant jusqu'à la entaine de mi rons alors que les pré édentes

expérien es dedéformationd'interfa esparlaser[Ashkin 73;Sakai 01℄

indui-saient des déformationsd'ordrenanométrique.

Lesexpérien esee tuées parCasneràfaiblepuissan elaserontmontré des

observationssemblablesà ellesd'Ashkin, àsavoirl'invarian edu sens, dela

forme et de l'amplitude de la déformation selon que le fais eau se propage

du uidelemoins réfringentauplus réfringentouinversement.Enrevan he,

mouillage. L'onde laser se propage de bas en haut omme indiqué par la

è he. Sour e : J. P. Delville

être observées dans le as de propagation à partir du uide le moins

réfrin-gent. Dansle as inverse, à partird'un ertain seuil de puissan e, l'interfa e

devientinstableetseprolongeenun longlamentéje tantdes mi ro-gouttes

de manièretout àfait semblableauphénomèneobservédans lesexpérien es

de Zhang& Chang.

Bien qu'il soiten ore peu ompris,le mé anisme responsable de la

déstabi-lisation de l'interfa e dans le as de propagation à partir du uide le plus

réfringent, semble être la réexion totale du fais eau sur l'interfa e liquide.

En eet, à partir du moment où elle- i atteint une forme telle que l'angle

de réexiontotalxépar lerapport entre lesindi esde réfra tionsdumilieu

est atteint,lalumière ne setransmet plus dans ertaines zones àfortepente

de l'interfa e, mais se refo alise vers l'axe de elle- i, apportant un surplus

d'énergie qui induiraitsa déstabilisation.

Très ré emment, d'autres expérien es ont été menées par l'équipe de J. P.

Delvillesur la formationde e que l'on appelleles nes de Taylor . Les

pre-miers résultats se sont avérés très intéressants (voir gure 2.8). Ainsi, on

observe tout d'abord la formationd'un ne àpartir d'un lmde mouillage

d'unephaseliquidedansune autremoinsréfringente.Lorsqu'onaugmentela

puissan e du fais eau, onobserve une déstabilisationde l'interfa einduisant

un jet ausommetdu ne.

fa espar hampséle triques. On détaillerapar lasuitelesétudesqui ontété

menées sur la formation de nes de Taylor en éle tro-hydrodynamique en

soulignant l'analogieobservée ave l'opto-hydrodynamique.

De nombreuses appli ations peuvent dé ouler de la formation de

mi ro-gouttes par déstabilisationd'interfa esliquides et e notamment dansle

do-maine de la mi rouidique. L'obje tif serait de développer des omposants

mi rouidiques tels que des vannes,mélangeurs, pompes oumi ro-réa teurs

himique pilotéesoptiquement et qui trouveraient leur appli ation en

biolo-gie ouen himie notamment pour des problématiques de dosages.

2.1.5 Modèles théoriques et numériques

Bienquedenombreuses expérien es aientétéréaliséespour déformerdes

interfa esliquides par fais eau laser, peu d'études théoriques ounumériques

ontété menéesan demodéliserleproblèmedanssaglobalitéetde onduire

à des outils prédi tifs pré is

Ainsi,du faitdes faiblesamplitudesdes déformationsobservées lorsdes

pre-mièresexpérien es[Ashkin 73;Zhang88℄,lamajoritédesmodèlesthéoriques

ontsupposéun régimelinéairedes déformations.Dans e régime,onsuppose

quelapentedeladéformationesttoujourstrèsfaibledevantl'unitéet

l'hypo-thèse est don faitequel'in iden edu fais eau laserest normaleàl'interfa e

en tout point.

Une première étude faite par Lai et al.[Lai 76℄ avaitpour but de modéliser

grâ e à la théorie des ondes linéaires l'évolution temporelle de la ourbure

de l'interfa e pour un as d'in iden e normale du fais eau, dans la même

onguration que l'expérien e d'Ashkin. Bien qu'ils aient onsidéré des

ré-gimes non visqueux, leursprédi tions ont montré un a ordquantitatifave

les résultatsexpérimentaux.

Ce i a onstitué le premier modèle théorique des déformations d'interfa es

par laser. Plus tard, Lai et al.[Lai 89℄ puis Brevik et al. [Brevik 99℄ se sont

intéressés à la modélisation des os illationsde gouttes observées par Zhang

& Chang[Zhang 88℄ en appliquantégalement lathéorie des ondes linéaires.

Alors que lapremière étude repose sur l'hypothèse d'une polarisation

ir u-laire du laser [Lai89℄ (2.9), la se onde [Brevik 99℄ suppose une polarisation

linéaire(ladire tiondu hampéle triqueest onstantedansletemps),l'étude

expérimentale[Zhang 88℄ne pré isantpasl'étatde polarisationutilisé.Dans

lesdeux as, des omparaisonsqualitativesontpu être faitessurlavariation

de la forme de la goutte en temps et la propagation des ondes apillaires à

in idents sur la fa e aval de la goutte. Ce phénomène n'a pu être appro hé

théoriquementdu fait du ouplage entre propagation de la lumière et forme

de l'interfa e.L'apport de l'étude de Brevik etal.[Brevik 99℄fut

essentielle-ment lavariationazimutale de la déformationdue à lapolarisation linéaire.

En eet, ompte tenu de ette polarisation, des variationsazimutales sur la

forme de l'interfa e étaient prévisibles. Cependant l'amplitude de es

varia-tions se sont révélées être inférieures à

10%

pour les intensités du fais eau mises en jeu. Il faut noter que dans es deux études, les é oulements sont

supposés irrotationnels, éliminanten onséquen e leseets visqueux.

Pour e qui est de laprise en ompte des eets visqueux, les travaux

d'Os-Fig. 2.9 Modélisationdes os illationsd'une goutted'eauinduites par

fais- eau laser. Le fais eau se propage de la gau he vers la droite. Les hires

indiquentle temps en

µs

. Sour e: [Lai89℄

trovskayaetal.[Ostrovskaya 87℄furentlespremiersdans lesquelsl'évolution

temporelledelapositiondel'interfa edanslerégimelinéaireaété abordéeà

l'aided'unmodèledynamiquevisqueuxà1-uide(l'autreuideest onsidéré

àpression onstante).Leursprédi tionsontmontréunbona ordave les

ré-sultats expérimentauxet ré emment Wunenburgeretal.[Wunenburger 06b℄

ont généralisé etteappro he pour 2uides dans lerégimelinéaire de

défor-mation.

Pour e qui est des omportement dans le régime non-linéaire, seules deux

études ont été réalisées sur les déformations d'interfa es par laser. Toutes

deux se limitent à l'analyse de la forme de l'interfa e à l'équilibre. Ainsi,

Hallangeretal.[Hallanger05℄ontétudiéqualitativementlaformeetla

[Wunenburger 06a℄ontutiliséun modèleanalytiqued'équilibrede l'interfa e

dans le régime non-linéaire en négligeant la gravité. Ce modèle donne des

résultats satisfaisants dans le as où la gravité a une faible inuen e sur la

forme de l'interfa e.

Fig. 2.10 Modélisationde ladéformationd'interfa epar un fais eau laser.

L'in iden eestsupposéevariablelelongde l'interfa e.Lefais eausepropage

verti alement du milieu le moins réfringent (bas) au plus réfringent (haut).

(

ω

0

= 4.8µm

et

T − T

C

= 2.5K

). Sour e: [Hallanger05℄

2.2 Analogie ave l'éle tro-hydrodynamique et

l'a oustique

2.2.1 Ele tro-hydrody n amiqu e et nes de Taylor

Comme évoqué pré édemment, le phénomène de déstabilisation

d'inter-fa esliquides onduisantàlagénérationdemi ro-gouttelettesfûttoutd'abord

observé en éle tro-hydrodynamique,dis ipline qui présente plusieurs

simila-rités ave l'opto-hydrodynamique.

fa esedéforme,etsa ourbures'adapte au hampéle triquede manièreà e

que les for es apillaires et gravitationnelles ompensent la for e éle trique.

Dans ette onguration, la goutteatteintun état d'équilibre.

Quandle hampéle triqueatteintune ertaine valeur ritique,l'interfa e de

la gouttese déformejusqu'à tendrevers une forme onique. Sil'intensité du

hamp est supérieure, l'interfa e onique de la goutte est déstabilisée puis

émet, par son sommet,un jetde mi ro-gouttelettes mono-disperses. Ce

phé-nomène peut être observé naturellement quand la foudre atteint la surfa e

des la s.

Lespremièresimagesde e phénomènefurentpriseslorsd'expérien e s faites

Fig.2.11Déstabilisationd'uneinterfa eliquidepar hampséle triqueave

formationd'un ne .Sour e : [Oddershede 00℄

parZeleny[Zeleny 17℄quifutl'undespré urseursdel'éle tro-hydrodynamique.

G. I. Taylor a ensuite longuement étudié la formation de nes par hamps

éle triques dans les années 60 [Taylor64℄, d'où le nom donné ensuite à es

nes qui sont désormais onnus omme étant les nes de Taylor . Ainsi,

une étude expérimentale reproduisant le phénomène en utilisant des

inter-fa es eau-huileet eau-air a été onduite au ours de laquelle il a été

remar-qué qu'en négligeant les ontraintes visqueuse s, l'état d'équilibre du ne

était tel que le demi-angle au sommet devait avoir une valeur de

49, 3

. La stabilité de es interfa es en présen e d'un fort hamp éle trique ainsi

quelaformationdu jetémisausommetdu neaensuiteété étudiée.

ont ensuiteété faitessur lastabilitédes nes de Taylor.Cependant, ilreste

en ore beau oup d'aspe ts in ompris notamment sur les onditions

expéri-mentales de formationde nes stablesetsur lavaleur exa tedu demi-angle

au sommet du ne qu'une ré ente étude faite par Fernandez de la Mora

[Fernandez-De-La-Mora 92℄aremis en ause en donnantun intervallede

va-leurs omprises entre

32

et

46

.

D'unpointdevueappli atif,ladéstabilisationd'interfa esliquidespar hamps

éle triques a donné lieu à une te hnique que l'on appelle éle tro-spray qui

onsiste à former des jets de gouttelettesmi rométriques dont le débit etla

taillepeuvent être ontrlés.

Aussi, plusieurs appli ationsindustriellesde ette te hnique ont déjàété

dé-veloppées notamment dans les inje tions de arburant pour la ombustion

[Chen 92℄ , la réation de sprays pour des appli ations à la peinture

indus-trielle,oulaprodu tionde rayons ioniséspour laspé trométrie de masse de

biomolé ules [Fenn 89℄.

On peutenn iterlesré entstravauxde Zengetal.[Zeng04℄surdes

mi ro-mé anismes d'éle tro-sprays qui présentent un fortapport en mi rouidique

et sur les systèmes miniaturisés.

Finalement,nousavons vu qu'uneanalogieentre éle tro-hydrodynamiqueet

opto-hydrodynamique était observable, on ernant notamment la formation

de nes de Taylor ainsi que la déstabilisation d'interfa es liquides

ondui-sant à lagénération de jets de mi ro-gouttes mono-disperses.

2.2.2 Analogie ave l'a oustique

Uneautre thématique qui présente de nombreuses analogies ave

l'opto-hydrodynamique, est la déformation d'interfa es liquides par ondes

a ous-tiques.

Dans ses travaux de re her he , Cinbis[Cinbis92a℄aprésentédes te hniques

novatri es an d'appliquer la pression de radiation a oustique à la mesure

de tensions interfa iales sur des surfa es libres. En eet, dans es études

[Cinbis92b; Cinbis93℄, des ondes a oustiques sont émises par un

transdu -teur ultra-sonore an d'ex iter des ondes apillaires à la surfa e libre d'un

liquide.Ensuite,unfais eau laserestutiliséande déte terl'amplitudeetla

fréquen e de passage des ondes etd'en déduire la tension interfa iale. Nous

voyons ainsil'analogieévidenteave lestravauxde Sakaietal.[Sakai 03℄sur

la mesurede tensioninterfa ialepar ex itation optique.

D'autres expérien es de déformationsd'interfa es par ondes a oustiques

uniformes de l'ordredu mi ronont été générées àpartir de liquides très

vis-queux et leur dynamique aété étudiéemontrant un ara tère périodique de

la génération des gouttes très similaire à elui observé dans les expérien es

de Casneret al[Casner 02℄.

Fig. 2.12  Formation d'un jet de gouttes périodiques par une onde

a ous-tique ultrasonores.Sour e : [Makuta 06b℄

Cesgénérationsde gouttelettesparondes a oustiquesmontrentainsi une

forte analogie ave la génération optique de mi ro-gouttes ou les

éle tro-sprays. Aussi, plusieurs appli ations très prometteuses dans les te hniques

de dosages et de dispersion de liquides en himie et en biologie sont en

dé-veloppements et l'on peut notamment iter les travaux d'Ellson [Ellson 03℄

où l'auteur réussit à mettreen mouvement grâ e à l'énergiea oustique, des

volumes de liquide de l'ordre du nanolitre et du pi olitresans- onta t et de

manière non intrusive e qui donne des perspe tives très intéressantes dans

le domainedes biote hnologies.

D'autres expérien es très ré entes ee tuées par R. Wunenburger (gure

2.13) ont également montré une étonnante similarité ave les phénomènes

observéslorsdes déformationsd'interfa espar pressionde radiationoptique.

En eet, des jets de gouttes etdes formes en tétines stables ont pu être

ob-servées montrant une généralisation possible des mé anismes induit par la

pression de radiation d'une onde (optique ou a oustique) sur des interfa es

liquides.

Unetrèsré enteétudenumériqueutilisantlaméthodeIntégraledesElements

tion a oustique. Formation d'une tétine dans le as ou le transdu teur est

pla é du té de l'eau, et formation d'un jet dans l'autre as. Sour e : R.

Wunenburger.

ainsi ses résultats expérimentaux ave eux prédits numériquement. Il ont

obtenus des résultats très en ourageants notamment sur la reprodu tibilité

de lapériodi itéde lagénérationdes gouttesmontrantl'intérêtd'étudier es

phénomènes numériquement.

2.3 Bil an

Au vu de l'enjeu que représente la ompréhension des mé anismes

in-tervenant en opto-hydrodynamique, un modèle général modélisant la

dyna-miqueetl'équilibredel'interfa edanslerégimenon-linéairedesdéformations

quelque soitlesens de propagationdu fais eau laser apparaîtindispensable.

La méthode Intégrale des Elements de frontières (Boundary Integral

Ele-ments Method, BIEM) a été hoisie pour simuler numériquement les

pro-blèmes d'opto-hydrodynamique, du fait de sa grande pré ision dans lesuivi

des interfa es et pour son gain en ressour es et en temps de al uls. En

défor-[Makuta 06a℄ ont montré des a ords très satisfaisants lors de la

onfronta-tion à des résultats d'expérien e s.

Dans le hapitre suivant, le modèle d'opto-hydrodynamique hoisi pour

dé- rire le problème physique sera détaillé; les hypothèses faites sur

l'é oule-ment, ainsi que les équations régissant les aspe ts hydrodynamique et

op-tiqueduproblème.Les onditionsauxlimitessur ledomainede al ulseront

également présentées onduisant ausystème d'équations adimensionnellesà

Modèle physique

Dans e hapitre,nousdétaillonslemodèled'opto-hydrodynamiqueadopté

pour dé rireleseets du fais eaulaser sur une interfa euide-uide dansle

as généralde uidesimmis ibleset in ompressibles.

Tout d'abord, nous analysons le bilan des for es qui s'appliquent sur les

uides etsur l'interfa e.Nous présentons alorsles équationsde onservation

de laquantité de mouvement etde lamasse dans les phases.

Ensuite, l'expression de la for e éle tromagnétique agissant dans les phases

etletenseur des ontraintes asso iéserontexpli itées.Nousdonnons alorsla

ondition du saut de ontraintes à l'interfa e, faisant intervenir la pression

de radiationoptiquedontnous détaillonsl'expression. Enn,en nous basant

sur les onditionsexpérimentales, nous hoisissonslesgrandeurs deréféren e

adaptées ànotreproblème pour aboutirausystème d'équations

et de l'optique

3.1.1 Equations de onservation

Le domaine de al ul représenté sur la gure (3.1) est assimilé à un

y-lindre de rayon

R

etde hauteur

H

ontenant deux liquides immis ibles (no-tés 1et 2)de vis osités

µ

j

,de densités

ρ

j

etd'indi es optiques

N

j

diérents

(j = 1, 2)

ave

N

1

< N

2

. Un repère ylindrique d'origine

O

a été adopté pour ette étude(

O, e

r

, e

z

, e

α

)

,

O

étantlepointd'interse tion entre l'axedu fais eau laser etl'interfa e initialementhorizontale. Ainsi,tout pointx sera

repéré par les oordonnées

(r, z, α)

.

Lesystèmeétudiéest omposé de deux phasesetd'uneinterfa e sans

épais-−75

−60

−45

−30

−15

0

15

30

45

60

75

r

−25

−15

−5

5

15

25

z

S

_I

S

_C1

ρ

₁

,

µ

₁

,Ν

₁

ρ

₂

,µ

₂

,Ν

₂

S

C2

Fig. 3.1  Conguration du domaine utilisé pour simuler la déformation

d'une interfa e liquide par pressionde radiation optique(

N

1

< N

2

).

seur obéissant àun modèle de Gibbs.

Les for es qui s'appliquent àl'interieur des phases sont:

- La for ehydrostatique.

- Les for es visqueuse s.

- La for egravitationnelle.

- La for eéle tromagnétique.

En onsidérant les liquides omme in ompressibles, la onservation de la

∇.u

j

= 0 , j = 1, 2.

(3.1) On peut alors é rire le bilan des for es dans ha une des deux phases en

onsidérant la onservation de la quantité de mouvement (dite équation de

Navier-Stokes) :

ρ

j

(

∂u

j

∂t

+ u

j

.∇u

j

) = −∇p

j

+ µ

j

∇

2

_u

j

+ ρ

j

g

+ f

emj

, j = 1, 2.

(3.2)

Dans ette équation,

u

j

est le hamp de vitesse dans haque phase,

t

est la variable temporelle,

g

est le ve teur gravité et

f

emi

est la for e éle troma-gnétique induitepar lefais eau laser dans haque phasetandis que

p

j

est la pression ausein de laphase

j

(

j = 1, 2)

.

3.1.2 For eettenseurdes ontraintes éle tromagnétiques

Lafor eéle tromagnétiquetotaleexer éepar l'ondelaser ontinues'é rit

dans haquephaseuideselonLandau&Lifshitz[Landau 60℄ ommeétant:

f

_emj

_{= −}

1

2

ǫ

0

E

j

2

∇ǫ

j

+

1

2

ǫ

0

∇[E

j

2

_ρ

j

∂ǫ

j

∂ρ

j

] , j = 1, 2

(3.3) Dans ette expression,

E

j

est le hamp éle trique induit par l'onde laser dans la phase

j

,

ǫ

j

(respe tivement

ǫ

0

)est lapermittivitééle trique relative de haque phase liquide (respe tivement du vide) ave :

ǫ

j

= N

j

2

, j = 1, 2

(3.4)

La quantité

∂ǫ

j

∂ρ

j

=

∂ǫ

j

∂ρ

(ρ

j

)

est onstante pour les uides in ompressibles et dépend de ladensité de la phase liquide oùelleest al ulée.

Le premier terme de l'équation (3.3) dont le saut à l'interfa e induit e que

l'on appelle usuellement la pression de radiation optique est due au saut

de quantité de mouvement des photons lors de leur passage d'une phase à

l'autre.

Le saut de quantité de mouvementdes photons est due àladis ontinuité de

lapermittivitééle triqueàl'interfa eentrelesdeuxphases.Lorsquelesdeux

uidessonthomogènes,letermederadiationoptiqueestnulàl'intérieurdes

phases et agituniquementsur l'interfa e.

Le se ond terme que l'on appelle la for e éle trostri tive, subit également

un saut à l'interfa e due à la fois à la dis ontinuité des propriétés optiques,

de la densité des phases et du hamp éle trique E . Cependant, ette for e

Nous démontrerons, en adéquation ave de pré édentes études théoriques

[Lai 89℄ [Brevik 99℄, que l'éle trostri tion ne ontribue pas au dépla ement

et àla formede l'interfa e.

Notons, qu'usuelement onajouteà la for eéle tromagnétique un terme que

l'on appelleterme d'Abraham, dont l'expression est :

f

_abj

=

ǫ

j

− 1

c

2

∂

∂t

(E

j

× H

j

) , j = 1, 2

(3.5) où

c

est la eleritéde la lumière dans levideet

H

j

est le hamp magnétique induit par l'onde laser dans la phase

j

.

Le terme d'Abraham représente la variation temporelle du produit entre

hamp éle trique et magnétique. Etant donné que la période de variation

de

E

j

et

H

j

est très ourte omparé aux temps ara téristiques mis en jeu en hydrodynamique, e terme est nul aux fréquen e s optiques du fait de la

dérivée temporelle [Lai89℄[Brevik 99℄,et ne sera par onséquent pas retenu

dans notre modèle.

Dans toute la suite, nous noterons

E

2

_{=< E}

2

_{(t) >}

et

H

2

_{=< H}

2

_{(t) >}

, les

valeursquadratiquesdes hampséle triqueetmagnétiquemoyennéessurune

période optique.

La for eéle tromagnétique expriméedans l'équation(3.3) dérivedu tenseur

des ontraintes éle tromagnétiques

T

em

dontl'expression est [Landau60℄ :

T

em

_j

=

1

2

ǫ

0

(E

j

2

_ρ

j

∂ǫ

j

∂ρ

j

)I −

1

2

ǫ

0

ǫ

j

E

j

2

_I

_{+ ǫ}

0

ǫ

j

E

j

E

j

, j = 1, 2

(3.6) ave

∇.T

em

j

= f

_emj

, j = 1, 2

(3.7)

Dans l'équation (3.6), le premier terme orrespond à l'éle trostri tion,alors

que lesdeux derniers orrespondent àla pressionde radiation optique.

Nous allons maintenant é rire le bilan de ontraintes à l'interfa e, tenant

ompte de l'expression du tenseur des ontraintes éle tromagnétiquesdonné

i-dessus, an d'obtenir l'expression de la pression de radiation optique qui

s'exer e sur l'interfa e.

3.1.3 Saut de ontraintes sur l'interfa e

La ondition sur l'interfa e traduit le fait que les sauts de ontraintes

[T

hyd

1

− T

hyd

2

].n + [T

em

1

− T

em

2

].n = γκn

(3.8)

n

est lanormale unitairedirigéedu liquide 1 vers leliquide 2.

κ

est la double ourbure moyenne lo ale de l'interfa e dans un repère ylin-drique qui s'exprime par :

κ(r) =

1

r

d

dr

r

dz

_dr

q

1 +

dz

_dr

2

(3.9)

T

hyd

_j

est letenseur des ontraintes hydrodynamiquesdontl'expression, pour les uidesnewtoniens, s'é rit :

T

hyd

_j

_{= −p}

j

I

+ 2µ

j

D

j

(u

j

) , j = 1, 2

(3.10)

D

j

étant le tenseur des tauxde déformationsdans la phase

j

:

D

j

(u

j

) =

1

2

(∇u

j

+ ∇

t

u

j

) , j = 1, 2

(3.11)

Les phases étudiées étant onsidérées in ompressibles, nous pouvons in lure

les ontributions des for es onservatives(gravité etéle trostri tion) dansle

hampdepression,nousdénissonsalorsunepseudo-pression

q

j

donnéepar:

q

j

= p

j

+ ρ

j

gz −

1

2

ǫ

0

(E

j

2

_ρ

j

∂ǫ

j

∂ρ

j

) , j = 1, 2

(3.12)

En rée rivant l'équation(3.8) en termede pseudo-press ion, onobtient :

(q

2

− q

1

) + 2[µ

1

D

1

.n − µ

2

D

2

.n].n + (ρ

1

− ρ

2

)gz +

1

2

ǫ

0

(E

2

2

_ρ

2

∂ǫ

2

∂ρ

2

− E

1

2

ρ

1

∂ǫ

1

∂ρ

1

)

+[T

em

1

.n − T

em

2

.n].n = γκ

(3.13) et ensuite:

(q

2

− q

1

) + 2[µ

1

D

1

.n − µ

2

D

2

.n].n + (ρ

1

− ρ

2

)gz

−

1

₂

ǫ

0

(ǫ

1

E

1

2

− ǫ

2

E

2

2

) + ǫ

0

(ǫ

1

E

1

E

1

.n − ǫ

2

E

2

E

2

.n).n = γκ

(3.14) Finalement, nous voyons que lorsque la résolution du problème se fait en

terme de pseudo-press ions

q

,la for eéle trostri tiven'intervientpas de ma-nière expli ite dans le saut de ontraintes à l'interfa e, elle n'a ainsi au une

inuen e sur sa forme ou sa hauteur. Sa seule ontribution revient à

L'équation de l'interfa e s'exprime enn ommeétant :

(q

2

− q

1

) + 2[µ

1

D

1

.n − µ

2

D

2

.n].n + (ρ

1

− ρ

2

)gz + Π

rad

= γκ

(3.15)

Π

rad

est lapression de radiationoptique.

3.2 Pression de radiation optique

3.2.1 Expressions de la pression de radiation

L'expression de la pression de radiation, s'exprime d'après les équations

(3.14) et (3.15),en fon tiondes hamps éle triques omme étant :

Π

rad

= −

1

2

ǫ

0

(ǫ

1

E

1

2

− ǫ

2

E

2

2

) + ǫ

0

(ǫ

1

E

1

E

1

.n − ǫ

2

E

2

E

2

.n).n

(3.16) La onnaissan edes hampséle triques

E

1

et

E

2

permetde déduire l'expres-sion de la pression de radiation (Voir annexe C). Cependant, une se onde

appro he, plus usuellementutilisée[Casner 02; Wunenburger06a℄, onsidère

l'aspe t orpus ulairede lapressionde radiation, 'est àdire ladis ontinuité

de la quantité de mouvement des photons transmis à l'interfa e entre deux

milieux diéle triques. Les deux appro hes sont équivalentes et donnent la

même expressionde la pressionde radiationoptique. Cependant, l'appro he

orpus ulaire étant plus on ise, 'est ette dernière qui fut privilégiée.

Dans etteappro he,larelationentrel'intensitédufais eauetle hamp

éle -trique du milieu in ident(indi e i)est :

I = ǫ

0

N

i

c(E

i

)

2

.

(3.17)

Celui- i est relié au hamp éle trique transmis (indi et) par larelation

sui-vante:

(E

t

)

2

= Ψ

N

i

N

t

cosθ

i

cosθ

t

(E

i

)

2

(3.18)

θ

i

est l'angle d'in iden e du fais eau sur l'interfa e alors que

θ

t

est l'angle de transmission ( f. gure (3.2)), dont l'expression est donnée par la loi de

Des artes :

sin(θ

t

) =

N

i

N

t

N

est l'indi e optique du milieu (in ident ou transmit), son expression est donnée en fon tion de la permittivitérelative par l'équation(3.4).

Ψ

est le oe ient de Fresnel de transmission en énergie qui dépend de la polarisationdu fais eau.

Ainsi, l'expression de la pressionde radiationoptique [Casner 02℄ s'exprime

dans notre onvention de signe, pour le as de propagation de la phase la

moins réfringente à laplus réfringente ommeétant :

Π

−

+

_{(r, θ}

i

, θ

t

) = −

I(r)

c

cos θ

i

(2N

−

cos θ

i

− Ψ

−

+

(N

−

cos θ

i

+ N

+

cos θ

t

)),

(3.20)

Pour le as de propagation inverse, la pression de radiation s'é rit omme

étant :

Π

+−

(r, θ

i

, θ

t

) =

I(r)

c

cos θ

i

(2N

+

_{cos θ}

i

− Ψ

+−

(N

+

cos θ

i

+ N

−

cos θ

t

)).

(3.21)

le signe - (respe tivement +) référent à la phase la moins (respe tivement

plus) réfringente.

L'intensité du fais eau laser in ident

I(r)

est assimilée à une Gaussienneet

Fig. 3.2  Angles d'in iden e

θ

i

et de transmission

θ

t

du fais eau laser sur l'interfa e. (

N

1

< N

2

).

son expressionest :

I(r) =

2P

πω

2

0

e

−2(

ω0

r

)

2

,

(3.22)

P

est la puissan e du fais eau.

Ψ

−+

et

Ψ

+−

sontles oe ientsde transmissionenénergie. Commesouligné

sation

Uneonde laser peut avoirdiérentstypes de polarisations.

Typiquement,on distingue trois polarisations( f. 3.3) :

- la polarisationlinéaire, oùle hamp éle trique E est toujours orienté dans

lamêmedire tion.Selonqu'ilsoitparallèleouorthogonalauplan d'observ

a-tion onparleradepolarisationTransverse MagnetiquediteTM ( Eparallèle)

ou Transverse Ele trique dite TE ( E orthogonal).

- la polarisation elliptique, où le hamp éle trique E a une traje toire

ellip-tique dans leplan orthogonal auve teur de propagation de l'onde.

- la polarisation ir ulaire,oùle hamp éle trique E a une traje toire

ir u-lairedans le plan orthogonal auve teur de propagationde l'onde.

Etant donnéque lerapport entre les indi esoptiques des deux phases pour

Fig. 3.3  Représentation des diérents types de polarisation d'une onde

laser ontinue induisantun hamp éle trique

E

.

le as des uides utilisés dans le travail expérimental, est pro he de l'unité,

tous les as de polarisations sont équivalents [Casner 02℄. De plus, omme

notre modèle suppose un problème àsymétrie de révolution,la seule

polari-sation ompatibleave ettehypothèseestlapolarisation ir ulairequenous

retiendrons dans toute lasuite de e travail.

Ainsi, dans e as de polarisation,les oe ients

Ψ

−+

et

Ψ

+−

transmis-Ψ = transmis-Ψ

−

+

= Ψ

+−

=

(2N

−

N

+

_{cos θ}

i

cos θ

t

)

(N

−

_{cos θ}

i

+ N

+

cos θ

t

)

2

+

(2N

−

N

+

_{cos θ}

i

cos θ

t

)

(N

+

_{cos θ}

i

+ N

−

cos θ

t

)

2

(3.23)

Notons quedans le as de propagationdu milieu leplus réfringentaumilieu

lemoinsréfringent,l'expressionpré édentede

Ψ

+−

n'est plusvalablelorsque

la ondition de rée tion totale du fais eau laser sur l'interfa e est atteinte.

En eet lorsque

θ

i

≥ θ

RT

= arcsin



N

−

N

+



, toute l'énergie est réé hie sur

l'interfa e, e quiimplique:

Ψ

+−

_≥RT

= 0.

(3.24)

3.3 Problème aux limites

3.3.1 Choix des grandeurs ara téristi qu es

Ande donnerauproblème un ara tèreuniversel,nous allons

l'adimen-sionner en hoisissanslesgrandeurs ara téristiques appropriées.

Comme longueur ara téristique, nous hoisissons le rayon au ol du

fais- eau laser (appelé aussi waist)

ω

0

, ar il orrespond à l'ordre de grandeur des déformationsd'interfa es induitesoptiquement.Le hoixde lavitesse et

du temps ara téristique est justié par la onnaissan ede ladynamique de

l'interfa e. Ainsi,Wunenburger et al. [Wunenburger 06b℄ ont montré que la

dynamiquedel'interfa epouvaitêtre modéliséedanslerégimelinéaireparla

théoriededispersiondesondesgénéralisantpour2uidesun modèle1-uide

établit auparavant par Ostrovskaya etal. [Ostrovskaya87℄.

Il apparait alors que le mouvement de l'interfa e orrespond à un régime

où lesondes apillaires àl'interfa esont suramorties et oula diusion de la

quantité de mouvement àl'é helle

ω

0

est beau oup plus rapide quela défor-mationde l'interfa e.

En a ord ave ette étude, nous hoisissons dans notre modèle, la vitesse

de relaxationvisqueuse de l'interfa e dont la norme est

u

∗

=

γ

< µ >

omme vitesse ara téristiqueasso iée au temps ara téristique :

τ

∗

=< µ > ω

0

/γ

.

< µ >=

µ

1

+µ

2

2

est la vis osité moyenne des deux phases et

γ

est la tension interfa ialeentre les deux liquides.

En égalantles eets de pressionaux eets visqueux, lapressionde référen e

est alors donnée par :

p

∗

j

=

µ

j

u

∗

ω

0

Laformeadimensionnelledel'équationdeNavier-Stokess'é ritalorsdans

haque phase

j

ommeétant :

Re

j

(

∂u

′

j

∂t

′

+ u

′

j

.∇

′

u

′

_j

_{) = −∇}

′

p

′

j

+ ∇

′2

u

′

j

+ (ρ

j

g

+ f

emj

)

ω

0

p

∗

j

, j = 1, 2

(3.25) Dans ette équation,lesgrandeurs et opérateurs en

′

sont sans dimension et

Re

j

est lenombrede Reynolds dé rivant lerapport entre for es inertielleset visqueuse s dans haque phase, son expression est :

Re

j

=

ρ

j

u

∗

ω

0

µ

j

, j = 1, 2

(3.26)

Les expérien es de Casner [Casner 02℄ ayant montré que les eets inertiels

pouvaientêtrenégligés(

Re

j

∼ 10

−3

),onpeut onsidérerl'é oulement omme

rampantet quasi-statique.

And'allegerlanotation,toutesleséquationsserontdonnées sousleurforme

adimensionnelleen omettantles symboles

′

.

Les équations de onservation de la masse et de quantité de mouvement

s'é rivent alors :

∇.u

j

= 0 , j = 1, 2

(3.27)

−∇q

j

+ ∇

2

u

j

= 0 , j = 1, 2.

(3.28)

T

j

est le tenseur des ontraintes hydrodynamiquesà divergen e nulledénit dans haque phase telque :

T

j

= −q

i

I

+ (∇u

j

+

t

∇u

j

) , j = 1, 2

(3.29) Le saut de ontraintes à l'interfa e s'é rit alors ommeétant :

2

1 + λ

(λT

1

.n − T

2

.n).n = κ − Π

rad

−

Bo

z,

(3.30) Dans ette relation Bo est dénit omme un nombre de Bond optique qui

représente le rapport entre for es gravitationnelles et for es apillaires à

l'é helle de ladéformationet est donné par :

Bo

= (ρ

1

− ρ

2

)gω

2

0

/γ,

(3.31)

et

λ

est le rapport de vis osité entre les deux phases.

De plus,

Π

rad

est l'expression adimensionnellede la pressionde radiation ré-sultantdes équations (3.20)et (3.21),i.e.

Π

rad

= Π

−+

_ω

0

/γ

pour la propaga-tion delaphaselamoinsréfringenteàlaplusréfringenteet

Π

rad

= Π

+−

_ω

0

/γ

pour lapropagation de sens opposé.

An de quantier les eets du laser sur l'interfa e, on dénit le paramètre

adimensionné

ξ

ommelerapport depressionele tromagnetiquesurpression de Lapla etel que:

ξ = Π

rad

(r = 0, θ

i

= 0, θ

t

= 0) =

4P

πcω

0

γ

N

i

(N

2

− N

1

)

(N

2

+ N

1

)

(3.33)

La ondition de non-glissement à l'interfa e ainsi que la non-mis ibilité des

liquides impliquela ontinuité de lavitesse

u

sur l'interfa e

S

I

:

u

= u

1

= u

2

x

∈ S

I

(3.34)

Nous supposons également une ondition lassique de non-glissement sur

toutes les paroissolides

S

C1

et

S

C2

du domaine, e quiimplique:

u

j

= 0 sur S

Cj

, j = 1, 2.

(3.35)

Le mouvement de l'interfa e est suivi grâ e à une appro he Lagrangienne.

Cela onsisteàsuivre haque parti uleuide àlaposition

x

àl'instant

t

sur l'interfa e dans son mouvement Lagrangien età é rire don :

dx

dt

= u(x) x ∈ S

I

.

(3.36)

Finalement,le système d'équations peut être mis sous la formesuivante:































∇.u

j

= 0

j = 1, 2.

−∇q

j

+ ∇

2

u

j

= 0

j = 1, 2

2

1+λ

(λT

1

.n − T

2

.n).n = κ − Π

rad

−

Bo

z

x

∈ S

I

u

1

= u

2

= u

x

∈ S

I

u

j

= 0

x

∈ S

Cj

j = 1, 2.

dx

dt

= u(x)

x

∈ S

I

.































(3.37)

Résolution par méthode intégrale

et éléments de frontière

Dans e hapitre, nous présentons leproblème de Stokes diphasique

axi-symètrique, mis sous forme intégrale, puis sa résolution par la méthode des

élémentsde frontière(Boundary Integral ElementMethod -BIEM), en

l'as-so iant aux onditions auxlimitesexpli itéespré édemment.

Tout d'abord,nous présentons dansun brefhistoriquelesoriginesetles

pre-mièresappli ationsdelaBIEMenmontrantsespointsfortsdanslarésolution

d'é oulementsdiphasiques. Ensuite,nousexpli itonslaformulationintégrale

du problèmede Stokesdiphasiqueetaxisymètriqueainsiquelesfon tionsde

Greenasso iées,avantdeprésenterleproblèmesoussaformedis rétisée.

En-n, nous présentons l'algorithmegénéral de résolution du problème in luant

les diérentes étapes de résolution (mise en pla e et résolution du système

linéaire, estimation des ourbures, adve tion de l'interfa e, remaillage).

4.1 Etudes pré édentes utilis ant la méthode BIEM

L'origine de l'utilisation des BIEM remonte aux années 60 et à

l'ap-pli ation des méthodes dites de singularités ( panel methods). En eet, es

méthodes ont tout d'abord servi à l'étude d'é oulements potentiels

interve-nants dans l'aérodynamique de prols d'ailes d'avion [Hess 67; Morino 74;

Hunt 80℄. Elles ont ainsi été utilisées ave su ès an de modéliser

l'é ou-lement autour de prols de forme omplexe e qui n'était pas aisé pour les

autres méthodes numériques.

LesBIEM, proprementdites, ontété popularisées parBrebbia [Brebbia 84℄;