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stationnaires, mesures de Gibbs associées et ergodicité
Pierre-Yves Louis
To cite this version:
Pierre-Yves Louis. Automates Cellulaires Probabilistes : mesures stationnaires, mesures de Gibbs
associées et ergodicité. Mathématiques [math]. Université des Sciences et Technologie de Lille - Lille
I, 2002. Français. �tel-00002203v2�
Thèse en Cotutelle franco-italienne
(Tesi in Cotutela) présentée à :
l'Université des Sciences et Technologies de Lille et
il Politecnicodi Milano
pour obtenir (per ottenere)
le grade de Docteur de l'Université
(e il Diploma di Dottorato di Ricerca)
Discipline (Disciplina) : Mathématiques (Matematica) Spécialité (Specialità) : Probabilités (Probabilità)
par
Pierre-Yves LOUIS
Automates Cellulaires Probabilistes :
mesures stationnaires, mesures de Gibbs associées et
ergodicité
(Automi Cellulari Probabilistici :
Misure stazionarie, misure di Gibbs associate e ergodicità) soutenue le23 septembre2002 devant lejury comp osé de : (difesa il 23 settembre 2002 davanti alla commissione giudicatrice :)
Président: G.B. Giacomin,UniversitéParis VI I Directeurs deThèse : P.DaiPra, Università diPadova
S. R÷lly,CNRS,Institut Weierstraÿ,Berlin Rapp orteurs : R. Fernandez, Universitéde Rouen
G.B. Giacomin,UniversitéParis VI I
F.Martinelli,Università degli Studi Roma Tre E. Olivieri, Universitàdi Roma Tor Vergata Examinateurs: M. Fradon, Université LilleI
lui-même quelque pouvoir qui lui permettra de l'obtenir T. Hobb es
Ce n'est pasassezde fairedes pasqui doiventun jour conduireau but, chaque pas doit être lui-même un but en même temps qu'il nous porte en avant , écrivit G÷the. Accomplissement d'un cursus universitaire, la thèse de Do ctorat représente égalementuneétap ep ersonnelleimp ortantepar lesré exions,lesremisesenquestion qu'ellesuscite,ainsique parles rencontres qu'elleprovo que.La particularitédecette thèse d'avoir été réalisée en cotutelle entre la France et l'Italie donne à ce travail scienti que,unedimensionhumaineplusenrichissanteencore.Ellefutainsil'o ccasion de découvrir d'autres communautés scienti ques, au delà des Alp es certes mais aussi de l'autre côté du Rhin, en Allemagne, ou dans les contrées plus lointaines, d'autant plus surprenanteset attachantes,d'Arménie.
Je tiens p our tout cela à exprimerma profonde gratitude à M me
Sylvie R÷lly qui a accepté dediriger ce travail dethèse et a eu l'idéeoriginellede partager cette direction dans le cadre d'une cotutelle. Je lui sais gré d'avoir su, avec la grande culture qui est sienne, me montrer l'intérêt et la richesse des mo dèles probabilistes issus de la Physique Statistique lorsqu'étudiant en Maîtrise de Mathématiques et en Maîtrise de Physique, j'étais à la recherche d'une thématique à la croisée de ces deux disciplines. Je tiens à témoignerici de l'accueil chaleureux et enthousiaste qui fut alors le sien, du soutien de tous les instants qu'elle m'accorda par la suite a n de menerà bience travailense jouantdes éloignementsgéographiqueso ccasionnels. Mesprofondsremerciementss'adressentégalementàM.PaoloDaiPraquipartageala directiondecettethèse. Àsa comp étence,ilajouta lasympathieetl'entrain,guidant au plus près mesrecherches.Son intuition mathématiqueet sa p erspicacité dans de très nombreux domaines furent précieuses. Je salue ici le soutien patient qu'il sut toujours me témoigner.Je tiens en n à remercier conjointementM
me
Sylvie R÷lly, et M.Paolo Dai Pra p our tout letemps qu'ilsont su généreusementme consacrer.
J'adressemesplus vifsremerciementsà M.GiambattistaGiacominp our l'hon-neurqu'ilm'afaitenprésidantlejurydesoutenance,aprèsavoirau p¯ealableaccepté d'être rapp orteur de ce travail. C'est également avecreconnaissance que je remercie M. Rob erto Fernández, d'avoir été rapp orteur de ce travail. L'intérêt qu'il mani-festa,en particulierlors d'un congrèsà Rome,p our mesactivités mathématiquesfut p our moi source d'encouragements. Ses commentaires nombreux et précis ont p er-mis d'améliorer certaines parties de ce travail, en particulier les terminologies liées auxsystèmesferromagnétiques.Jeleremercieégalementp our lesnombreux dévelop-p ementsultérieurs envisageables à partir de cette thèse sur lesquels il a attiré mon attention.Mes remerciementsvontaussi à M.Fabio Martinelliet àM. Enzo Olivieri qui ont acceptéd'être rapp orteurs decette thèse.
Jesouhaite formulerdevifsremerciementsàM me
MyriamFradonet àM. Gus-tavoPostap ourl'intérêtqu'ilsonttémoignéàmontravail,enparticulierenacceptant departicip erau jury.Je suis reconnaissantenversM
me
MyriamFradonp our sa com-préhensiondes di cultésdelacotutelle.Je remercieM.GustavoPostaquicontribua à l'atmosphère accueillante que je trouvai à mon arrivée à Milan, et p our m'avoir signalé laRemarque 5.2.4.
Une thèse rep ose également sur les conditions de travail dans lesquelles elle p eut être réalisée, et sur les relations cordiales et amicales que le do ctorant p eut noueravecsonentourageprofessionnel.Jeremercieainsi lesmembresdu Lab oratoire de Mathématiques Appliquées de l'Université des Sciences et Technologies de Lille. Jep enseenparticulieràM
me
NellyHanounep our sonsoutienconstantetsesconseils avisésetàM.DanielFlip op ournosdiscussionsautourdeLinuxetL
A T
E
X.Jeremercie M.Maurice Porchet,etàtraverslui l'ensembledu p ersonneldu Centred'Initiationà l'EnseignementSup érieurNordPasdeCalaisPicardie.Magratitudevaégalement à l'ensembledes p ersonnels enseignants-chercheurs, administratifs et techniques de l'UFRdeMathématiques,etplusgénéralementàceuxdel'UniversitédeLilleIquej'ai eu plaisir à cotoyer durant cette thèse, à l'o ccasion demes activités d'enseignement, et auparavant. La réalisation d'une thèse en cotutellen'est pas chose aisée, et l'aide ainsi que lesoutien de nombreusesp ersonnes furentappréciables.
Jeremercielesp ersonnesquej'airencontréeslors demesséjours etpassages au seindediérentsétablissementsp our l'amabilitédeleuraccueil.Jep enseau départe-mentdeMathématiquesduPolitecnicodeMilan,au départementdeMathématiques de l'Université dePadoue, à l'équip e Systèmesaléatoires en interaction de l'Ins-titut Weierstraÿ deBerlin,etégalementà l'équip edu do ctorat deMathématiqueset Statistique de l'Université de Pavie, et du Centre de Mathématiques Appliquées de l'École Polytechnique.
Jene saurais oublierdans mesremerciementsles p ersonnesqui en aval ont été mesenseignantsau lycée F.Darchicourtd'Hénin-Beaumont,enclasses préparatoires et à l'Université de LilleI. Je p ense en particulierà M. R. Gergondey, M
me
F. Kur-zawski, M. M. Murcia, M. A. Pillons, M
me
M. Queélec, M. H. Zessin, ainsi que M.L.Flaminioquejeremercieégalementicip our avoirencadrélaréalisationdemon mémoirede DEA.
Mes remerciements vont égalementà l'ensembledes do ctorants et jeunes do c-teurs dont les parcours croisèrent le mienici ou là, en particulier ceux amicalement cotoyésàLille:Jean-Christophe,Mohamedou, Frédéric,Octave,Abbas, sans oublier David p our nos entretiensmathématiqueset discussions diverses lors denos tribula-tions, et aussi Élo die, Christophe, et Guillaume.J'asso cie égalementà ces remercie-mentsceuxquinousprécédèrentdep eudans cettevoie:Bruno,lesdeuxEmmanuel, Cristian, Désiré, et Olivier que je remerciep our sa lecture attentivede ce travailet sa participationactivelors dela soutenance decette thèse.
Je remercieaussi particuliérementNicolas, mon frère, p our nos discussions in-formatiques autour de Matlab. Je remercie ma mère p our son soutien de tous les instants, mon p ère qui sait me montrer le chemin, et tous deux p our leur présence indéfectible.En n,j'asso cieàcesremerciementsmesami(e)settoutemafamille,leur amitiéetleur présencep ermanentemefurentprécieuses.À toutes et tous, un grand grazie!
Remerciements v
Liste des gures xiii
Résumé de la thèse xv
Résumé de la thèse en italien (Riassunto della tesi) xvii
Résumé de la thèse en anglais (Abstract) xxi
1 Introduction aux Automates Cellulaires 1
1.1 Dé nition . . . 1
1.2 Historique . . . 3
1.3 Utilisationet applications . . . 4
1.4 Classes d'AutomatesCellulairesProbabilistes . . . 5
1.4.1 Automatescellulaires Probabilistespurementsto chastiques . . 6
1.4.2 AutomatesCellulairesProbabilistes dégénérés . . . 7
1.5 Plan de cetteétude . . . 8
2 Cadre mathématique et notations 9 2.1 Espaces d'états . . . 10
2.1.1 Espace des sites . . . 11
2.1.2 Espaces des con gurations . . . 11
2.1.3 Fonctions sur S Z d . . . 14
2.2 Mesures deprobabilité . . . 16
2.2.1 Dé nition ettop ologie . . . 16
2.2.2 Mesures deGibbs sur S Z d asso ciées àune interaction . . . 17
2.2.3 Ordre sto chastique sur les mesures,mesure deGibbs monotone, inégalitéFKG. . . 23
2.3 Dynamiquesparallèles . . . 25
2.3.1 Dynamiquesparallèlesà volume ni . . . 26
2.3.2 Dé nition dela dynamiqueparallèleàvolume in ni . . . 27
2.3.3 Dynamique attractive. . . 30
3 États d'équilibre de PCA généraux 35 3.1 Dé nitionsgénérales des états d'équilibre . . . 36
3.3 Mesures stationnaires/réversiblesà volume
in ni . . . 37
3.4 Caractérisation gibbsienne des états d'équilibre . . . 40
3.4.1 Caractérisation gibbsienne sur S Z d Z des lois des trajectoires . . . 40
3.4.2 Asp ect gibbsiensur S Z d des mesuresstationnaires invariantes partranslation . . . 42
3.5 Classe des PCA réversibles . . . 43
4 Étude d'une famille spéci que de PCA 51 4.1 Dé nition etétude ne à volume ni . . . 51
4.1.1 Dé nition dela classeC dePCA . . . 52
4.1.2 Mesures réversibles/ deGibbs à volume ni . . . 56
4.1.3 Cas monotone . . . 63
4.2 Mesures deGibbs naturellementasso ciées . . . 73
4.2.1 Transition dePhase àbasse temp ératureendimension2 . . . 74
4.2.2 Cas particulierde l'interactionpropre nulle (cas K (0) =0) . . . 82
4.3 Actionde la dynamiquesur l'ensemble des mesures deGibbs . . . 87
4.3.1 Cas attractif . . . 88
4.3.2 Cas répulsif . . . 89
4.3.3 Cas du couplage propre nulK (0)=0 . . . 92
5 Couplage croissant de plusieurs PCA 97 5.1 Couplage synchrone d'automates cellulaires probabilistes . . . 98
5.2 Couplage synchrone croissant deN PCA . . . 100
5.2.1 N-uplet croissant d'automatescellulairesprobabilistes . . . . 100
5.2.2 Construction d'un PCA, couplage croissant dePCA . . . 101
5.2.3 Propriétés du couplage croissant . . . 104
5.3 Couplage synchrone croissant d'un nombre quelconque dePCAidentiques . . . 107
5.3.1 Construction . . . 107
5.3.2 Quelques propriétés . . . 108
5.4 Couplage synchrone croissant dedynamiques PCA à volume ni et in ni . . . 109
5.4.1 Conditions au b ord extrémaleset couplage sp éci queasso cié . 110 5.4.2 Comparaisons volume ni/volumein ni . . . 111
5.5 Quelques idées d'utilisation . . . 112
6 Convergence vers l'équilibre de PCA 115 6.1 Critèresusuels d'ergo dicitép our lesPCA . . . 116
6.1.1 Dé nition del'ergo dicité . . . 116
6.1.2 Critère deDobrushin-Vasershtein . . . 116
6.2 Ergo dicité detout PCAattractif admettant
une unique mesure stationnaire . . . 122
6.2.1 Mesures stationnaires àvolume ni etin ni . . . 122
6.2.2 Fonctionde contrôle del'ergo dicité: (n) . . . 128
6.2.3 Preuve del'ergo dicité. . . 130
6.3 Tout PCA attractif ergo dique àvitesse p olynomialeest ergo dique àvitesse exp onentielle . . . 132
6.3.1 Énoncé du résultat . . . 132
6.3.2 Preuve du résultat . . . 133
6.4 Ergo dicitéexp onentielledes PCA attractifs dela classe C . . . 136
6.4.1 Énoncé du résultat . . . 136
6.4.2 Condition defaible mélange . . . 137
6.4.3 Preuve del'ergo dicitéà vitesseexp onentielle . . . 141
6.5 Généralisationet commentairesgénéraux . . . 149
7 Simulations numériques pour certains PCA de la classe C 0 151 7.1 Langage et matérielutilisé . . . 151
7.2 Estimationdela temp ératurecritique p our l'hamiltonienasso cié . . . 152
7.2.1 Algorithmeutilisé . . . 153
7.2.2 Données des simulations . . . 153
7.2.3 Résultats . . . 154
7.3 Ergo dicité/nonergo dicité de dynamiquesPCA . . . 155
7.3.1 Données des simulations . . . 156
7.3.2 Résultats . . . 156
7.4 Simulationpar la dynamiqueparallèledu mo dèled'Ising . . . 158
A Programme TransitionDePhase.m 159 A.1 Programmeprincipal . . . 159
A.2 Programmes secondaires . . . 163
A.2.1 Fonctionvoisinage . . . 163
A.2.2 Création de toutesles con gurations sur 13 sites . . . 163
A.2.3 identi cation du voisinage d'un site . . . 163
A.2.4 p ério disation des b ords . . . 164
A.2.5 Poids aecté àun siteenfonction de son voisinage . . . 164
B Programme DynParallele.m 165
C Programme IsingParallel.m 169
1.1 Schémaespace-tempsdeladép endance d'unsitek 2Z d
, àl'instantn, enles valeurs aux sites voisinsV
k
à l'instant précédent(n 1) (n>1) 2 1.2 Cas où G=ZetV
k
=fk 1;k;k+1g, entredeuxinstants successifs n 1 etn . . . 2 2.1 Ensemble f0g
(n)
des sites de Z d
à l'instant 0 ayant une in uence p o-tentiellesur la valeur du spin à l'origineau temps n . . . 28 3.1 Position resp ective de R;R
i ;S;S
i
;G(');G i
(') p our une dynamique PCAsurS
Z d
purementsto chastique,réversibleetinvariantepar trans-lation. . . 47 4.1 Contour . . . 76 7.1 Variation dela magnétisationselon le paramètre ,cas K (0) =0 . . . 154 7.2 Variation dela magnétisationselon le paramètre ,cas K (0) =+1 . . 155 7.3 Variation dela magnétisation,b ord +1 et-1, cas K (0)=0 . . . 157 7.4 Variation dela magnétisation,b ord +1 et-1, cas K (0)=+1 . . . 157
Utilisés dans de nombreux domaines scienti ques, les Automates Cellulaires Probabilistes, usuellement abrégés en PCA, de l'anglais Probabilistic Cellular Auto-mata, constituent, au sein des dynamiques aléatoires à temps discret, une classe de pro cessussto chastiquesmarkoviensàvaleursdansunespacein niS
G
oùS désigneun ensemble ni etGestun graphein ni.On considèreicitoujourslecasoù G=Z
d .La particularitédecesdynamiquesestl'évolutionenparallèle,ousynchrone,dechacune des co ordonnées ou comp osants élémentaireseninteraction.
Nous nous intéressons dans un premier temps à l'existence et à l'unicité des mesures stationnaires p our les dynamiques PCA non dégénérées i.e. dont le com-p ortement lo cal n'est jamais déterministe, ainsi qu'à la caractérisation de ces états d'équilibre en tant que mesures gibbsiennes. Nous fondant sur les résultats de Dai Pra, Kozlov, Künsch, Leb owitz, Vasilyev et al., nous précisons, p our la classe des dynamiquesPCAréversibles,lesrelationsexistantentrelesmesuresstationnaires,les mesures réversibleset lesmesures deGibbs asso ciées àun p otentiel dont lelienavec la dynamiqueest explicité.
Pour une familleparamétrée dedynamiquesPCA réversibles,nous démontrons l'existenced'un phénomène detransition de phase etexplicitons dans cecas le com-p ortementde diérentesmesures deGibbs sous l'actionde ces dynamiques.En par-ticulier, nous exhib ons des mesures deGibbs non-stationnaires.
Dansunsecondtemps,nousétudionsl'ergo dicité,i.e.laconvergencevers l'équi-libredes dynamiques PCAqui sont deplus attractives.Nousconstruisons àceteet un couplage decesdynamiques préservantl'ordresto chastique. Ennous référantaux travaux de Martinelli et Olivieri p our les dynamiques de Glaub er, nous établissons qu'en l'absencede transition de phase, dès que l'uniquemesure de Gibbs véri e une condition de faible mélange, il y a ergo dicité et convergence à vitesse exp onentielle verscetuniqueétatd'équilibre,améliorantencelagrandementlescritèresd'ergo dicité p our lesPCA existantdans la littérature.
En n, nousillustrons cesrésultatspar laréalisation desimulationsnumériques de certaines des dynamiques réversibles précédemment étudiées, et présentons un algorithme parallèle convergeant vers les mesures de Gibbs extrémales du mo dèle d'Ising.
Usati in diversi campi scienti ci, gli Automi Cellulari Probabilistici, abbre-viati in PCA dal inglese Probabilistic Cellular Automata costituiscono una classe di dinamichealeatorie a temp o discreto, e sono pro cessi sto castici markoviania valori nellospazioin nitoS
G
doveSèun'insieme nitoeGungrafoin nito. Qui,supp oni-amo sempre G =Z
d
. La caratteristica principale di questedinamicheè l'evoluzione in parallelo, o sincrona, di ognuna delle co ordinate o comp onenti elementari in in-terazione. Per ogni k 2 Z
d , e p er ogni stato 2 S Z d , una probabilità p k (:j) sullo spazio S costituisce la regola lo cale di evoluzione nel sito k, sap endo che al temp o precedentelo stato era .
Nel primo capitolo presentiamo la storia di questi mo delli e diamo diversi esempidovegliautomicellulari,deterministicioprobabilisticisonousati. Spieghiamo l'ip otesidinon degenricità8s2S;82S
Z d
; p k
(sj)>0,cio ècheuna taledinamica non ammettemai evoluzionilo cali deterministiche.
Nel secondo capitolo, le due primesezioni danno le de nizioni matematiche checostituisconoilquadro diquesto studio,e un riassunto sullemisure diGibbs. La sezione 2.3 de nisce i PCA e cosa si intende con dinamicaa volume nito o volume in nito. La Prop osizione 2.3.1(p.29)spiegacon curacomesipassadalvolume nito ( sottoinsieme nito di Z
d
) al volume in nito Z d
, cio è da diversedinamiche P su S
con condizione al b ordo 2 S Z
d
a un'unica dinamicaparallela P su S Z
d . La sotto-sezione 2.3.2 de niscele dinamichePCA attrative.
Ciinteressiamo,neicapitoli3e4,all'esistenzaeal'unicitàdellemisure stazionar-ie p er le dinamiche parallele non degeneri su S
Z d
, e anche alla caraterizazzione di questi stati di equilibrio come misure di Gibbs. Questi capitoli sviluppano risultati pubblicati in [DPLR02]. Nel terzo capitolo, dop o averrichiamatoil caso del vol-ume nito (catene di Markov su S
con nito) nella Prop osizione 3.2.1 (p. 37), spiegiamo, nella Prop osizione 3.3.1 (p.38), come lastazionarietà (o reversibilità)di una misura
a volume nito p er una dinamica P
si trasferisce al volume in nito, p er la dinamicaP su S
Z d .
Nella sezione 3.4, richiamiamo un risultato di Dai Pra (1992, [DP92 ]) (p. 42) dovèsistabilisceche,seesisteunamisurastazionaria,invariantep ertraslazione,cheè diGibbsp erunp otenziale'suS
Z d
,alloratuttelemisurestazionariep erladinamica P, invariantep er traslazione sono diGibbs p er lostesso p otenziale'.
Consideriamop oi,nellasezione3.5,ilcasodelledinamicheparalleleche ammet-tono almeno una misura reversibile, chiamate dinamichePCA reversibili. Richiami-amo un risultato (p. 46) di Kozlov-Vasyliev (1980, [KV80]), completato da Künsch (1984, [Kün84b]), che identi ca esattamentela forma di queste dinamichee mostra
che ogni misura reversibile è di Gibbs p er un p otenziale ' canonicamenteasso ciato alla dinamica. Recipro camente,stabilisceche ogni misura diGibbs è reversibile, op-pure p erio dica dip erio da 2. Perle dinamicheparallelereversibili esplicitiamoallora (Corollario 3.5.2, p. 47) relazioni precisi tra l'insiemedelleS dellemisure stazionar-ie, l'insiemeR delle misure reversibili,e l'insieme G(') delle misure di Gibbs p er il p otenziale 'asso ciato naturalmentealla dinamica(cf. gura 3.1, p. 47).
Nelquarto capitolo, studiamopiù precisamenteuna famigliaparametrizzata di dinamichePCA reversibili su f 1;+1g
Z d (cf. forma dei (p k ) k 2Z d de niti in (4.1) p. 52 o (4.6) p. 53). Per P una qualsiasi dinamica di questa famiglia,abbiamo pre-cisamenteidenti catolemisure
reversibili(quindi stazionarie) p er ledinamichea volume nitoP
asso ciate(cf.Prop osizione4.1.5p.57). Ilp otenziale'naturalmente asso ciato ha quindila formaesplicita(4.34) (p.60). Siamo allorain grado di svilup-pare un'analisi precisatra lemisuredi Gibbsasso ciate a' elemisurestazionarie
(cf. Prop. 4.1.8 p. 61, Prop. 4.1.9 p. 63, Prop. 4.1.11 p. 66, Corollario 4.1.14 p. 72 e Proprietà 4.1.16 p. 73).
L'esistenzaditransizione di fase p erquesto p otenziale' èdimostrata nel T eo-rema 4.2.1 (p. 75) usando un'argomento di contour del tip o usato da Peierls p er il mo dello di Ising. Però il nostro mo dello è più complicatop erche il p otenziale non è solo adue corpi. In un caso particolaresip ossono usarerisultatidelmo dellodiIsing p er dare un valore esatto del parametro critico (Teorema 4.2.4 p. 84), e identi care esattamentel'insiemeG(')dellemisurediGibbs(Corollario4.2.5p.85). Quando c'è transizione di fase, studiamonella sezione4.3 il comp ortamento dellediversemisure di Gibbs di G(') estremalesotto l'azionedella dinamicaparallela P. In particolare, diamo esempidi misure diGibbs chenon sono stazionarie (Prop osizione 4.3.2). Poi nei capitoli 5 e 6 ci interessiamo alla convergenza al'equilibrio (ergo dicità) di dinamichePCAnon degeneri generalisuf 1;+1g
Z d
chesono attrattive.
Costruiamop er questo,nel quinto capitolo, un accoppiamento diun numero nitodidinamichePCAchepreserval'ordinesto castico. Relazioniutilitradinamiche avolume nitoein nitosono dimostratenelleProprietà 5.4.2p.111,Proprietà 5.4.3 p. 111.
Nel sesto capitolo, si stabilisce nella Prop osizione 6.2.1 (p. 122) chep er una dinamicaPCAattrattiva, lemisurestazionarie avolume nito
sonocrescenti sto-casticamente quando la condizione al b ordo cresce. Proviamo anche, nella Prop o-sizione6.2.3(p.125)l'ugualianzatralimitenelvolumelim
!Z d + (resp. lim !Z d ) e limite temp orale lim
n!1 Æ 1 P (n) (resp. lim n!1 Æ +1 P (n) ). Facendo riferimento ai lavori di Martinelli e Olivieri [MO94a] stabiliamo, nel Teorema 6.4.1 (p. 137) p er dinamiche PCA reversibili,che quando non c'è transizione di fase p er il p otenziale canonicamenteasso ciato, echel'unicamisuradiGibbsveri caunacondizionediweak mixing (cf.De nizione6.4.3p.139), c'èergo dicitàdelladinamicaPCAeconvergenza a l'equilibrio con una velo cità esp onenziale. Questo risultato migliora quelliapparsi in letteratura p erdinamicheatemp odiscreto (richiamatinella sezione6.1).
Per dimostrare tale risultato, mostriamo prima che una successione ((n)) n2N (de nita in (5.5) p. 108) controlla la velo cità di convergenza a l'equilibrio. Si usano p oi i Teoremi 6.2.10 (p. 130) e 6.3.1 (p. 132) dove mostriamo resp ettivamente che se c'è l'unicità della misura stazionaria a volume in nito allora c'è ergo dicità, e che
se c'è convergenza a l'equilibrio con velo cità p olinomiale di grado su cientemente elevato, allora la velo cità è in realtà esp onenziale. Si stabilisce p er concludere, che sotto la condizione diweak mixing, lasuccessione (n)
n2N
veri cauna disugualianza di ricorrenza (lemma6.4.8,p. 142) chebasta p er concludere che questa successione va a zero con velo cità p olinomiale di grado su ciente p er applicare quanto app ena descritto (lemma6.4.9 p.146).
IlTeorema 6.5.1(p.149) da nalmenteunageneralizzazione dell'ergo dicitàcon velo cità esp onenziale nel caso di dinamiche parallele che non sono necessariamente reversibili.
Nelcapitolo 7illustriamoquestirisultaticon simulazioninumerichedi alcune dinamichePCAreversibilistudiate,epresentiamounalgoritmoparallelecheconverge verso la misuradi Ising.
Used in many scienti c areas, the discrete time random dynamics called Pro-babilisticCellularAutomata(P.C.A.)are Markovsto chastic pro cesseswith valuesin an in nitespace S
G
whereS is a nite setand G an in nitegraph. Here weassume
G=Z
d
.The mainfeatureofthesedynamicsistheparallel,orsynchronous,evolution of allthe co ordinates or interacting elementarycomp onents.
We are rst interested in the existence and uniqueness of stationary measures fornondegeneratedPCAdynamics,i.e.whoselo calb ehaviourisneverdeterministic. Based on results of Dai Pra, Kozlov, Künsch, Leb owitz, Vasilyev et al., we give for the class of reversiblePCA dynamicsprecise relationsb etweenthesets ofstationary measures,reversible measuresand someGibbs measures.
ForatypicalparametrizedfamilyofreversiblePCAdynamics,weprovethe exis-tence of a phase transition phenomenonand establishthe b ehaviour of the dierent Gibbs measuresunder thedynamics'action. In particular,we exhibitnon-stationary Gibbs measures.
Secondly, we study the convergence to equilibrium for PCA dynamics which are attractive (so called ergo dicity). One of our to ols is a sp ecial coupling of these dynamics,preservingthesto chasticorder.Whenthereisnophasetransition,inspired bytheideasofMartinelliandOlivierionGlaub erdynamics,weprovetheergo dicityof PCAdynamics, and moreprecisely,the convergenceexp onentiallyfast to the unique equilibriumstate.Thisresult trulyimprovespreviousonesexisting inthelitterature.
Finally, we present some numerical simulations of reversible PCA dynamics, and, in particular, a parallel algorithmwhichconverges to extremalGibbs measures asso ciated to the Isingmo del.
Introduction aux Automates
Cellulaires
1.1 Dé nition
Un automate cellulaireest un système dynamique composé d'entités élémen-taires ou cellules ou encore sites,généralementorganisés enréseaurégulier, qui évoluent en temps discret.Chaque celluleest caractériséepar une valeur qui ap-partient à un ensemble dénombrable. L'évolution de ces valeurs au cours du temps se fait de manière parallèle (ou synchrone), chaque cellulevoyantsa va-leuractualiséeselonunerèglelo caledanslaquelleinterviennentlesvaleursdescellules voisines.
Formellement, on désigne par S l'ensemble des valeurs p ouvant être prises par une cellule.Onidenti elastructurederépartitionspatialedes cellulesavecun grapheG sur lequelsontdé nisdes voisinagesV
g
p our tout g 2G.Pourchaquecelluleg 2G, on dé nit la règle locale d'évolution u
g
commeune fonction de l'espace pro duit S
G
vers S dé nissant l'évolution del'état de la celluleg en fonction de la valeur de ses cellulesvoisines :
fg g (n+1)=u g ( V g (n)); (1.1) où V
(n) représentel'ensembledes valeurs à l'instantn des cellules de V G. Les voisinages (V
g )
g 2G
sonttoujoursdes ensembles nis decellules.Lesrèglesd'évolution (u
g )
g 2G
sont ainsi toujourschoisieslo cales. La gure 1.1 schématise,dans le cas G= Z
d
réseaudedimensiond>1,ladép endancedelavaleurdelacellulekenlesvaleurs, à l'instant précédent,des cellules deV
k .
La principalecaractéristique des automates cellulairesestquel'évolutiondes valeurs des diérentescellules sefait de manièreparallèle : entreun instant (n 1) et l'ins-tant suivant n toutes les valeurs des cellules p euventêtre mo di ées. Considérons un exemplep ourlequelG=Z.Ondé nitlesvoisinages(V
k ) k 2Z parV k =fk 1;k;k+1g. Examinonsplusparticulièrementtroissitesk 1;ketk+1.Cettesituationestdécrite par la gure 1.2. À l'instant n, la valeur
k
(n) de la cellulek est obtenuegrâce à la règle de calculu
k
où interviennentlesvaleurs V (n 1)=f k 1 (n 1); k (n 1); k +1 (n 1)g
Z
d
Z
Z
d
Z
Espace
n-1
n
Temps
k
Fig. 1.1 Schéma espace-tempsde ladép endance d'un sitek 2Z d
, à l'instantn, en les valeurs auxsites voisinsV
k
à l'instant précédent(n 1) (n>1)
des cellules k 1;k et k +1 à l'instant (n 1). De même, la valeur k 1 (n) est déterminéeen fonctionde k 2 (n 1), k 1 (n 1), k (n 1) etlavaleur k +1 (n) en fonction de k (n 1), k +1 (n 1), k +2 (n 1).
L'évolution synchrone de toutes les cellules se représente commel'action globale d'unetransformationUsurl'ensembledes valeursasso ciéesauxcellulesS
G =(s g ) g 2G de laforme: U ( g (n)) g 2G = u g ( V g (n 1)) g 2G : (1.2)
Demanièregénérale,desconditionssupplémentairessontimp oséesauxrègles(u g ) g 2G
k
n
n-1
Temps
Espace
k
k+1
k-1
k-2
k+2
Fig.1.2 Casoù G=Z etV k
=fk 1;k;k+1g,entredeuxinstantssuccessifsn 1 et n
les règles (u g
) g 2G
sonten fait une seule et mêmerègle u.Cette homogénéité spatiale fait écho à l'homogénéité temp orelle. En eet, on remarque que les règles lo cales d'évolutionnedép endentpas du temps etsont donc lesmêmesàtous les instants. Précisons que ces règles d'évolution peuvent être déterministes, ce qui cor-resp ond au cas présentéci-avant, ou bien probabilistes. Dans cecas, on remplace lesrègles (u
g )
g 2G
par des probabilités (p g
) g 2G
d'obtenir chacunedes valeurs g
(n) de S enfonction des valeurs des cellules voisines à l'instant précédent
Vg (n 1) soit : p g ( g (n)j V g (n 1)).
On parle ainsi resp ectivementd'automates cellulaires déterministes,abrégés en DCAdel'anglaisDeterministicCellularAutomata,etd'automatescellulaires pro-babilistes, abrégésen PCAde l'anglaisProbabilistic Cellular Automata.
1.2 Historique
Lorsqu'àla ndesannées40,J.VonNeumanntravailleàlaconceptiondespremiers ordinateurs, il intro duit le concept d'automates cellulaires(déterministes). Son idée originelleétaitderéaliserdesmachinesp ouvantgénérerdescomp ortementscomplexes etvariés àpartirdeloissimplesdefonctionnement,etd'imiterlefonctionnementdu cerveau humain. S'inspirant de la biologie, il conçoit ces mo dèles de dynamiques à tempsdiscretdans lesquellesdiérentesentités élémentairesévoluentsimultanément, eninteractionetselon des règlesidentiques,tellelastructure cérébraledes neurones. L'idéedeconsidérerunensemblediscretd'entitésélémentaires,etnoncontinucomme les mo dèlesusuels de laphysique, remonteà S. Ulam(cf. [Ula52]). Le concept d'au-tomate cellulaire a ensuite été utilisé sous des terminologies diérentes, dans des contextesdisciplinaires divers(analyse del'image,ingénierieélectrique,etc.).
La p opularisation deces mo dèlestrouve son originedans lejeu de la vie intro duit par J. Conway en 1970 (cf. [Gar70 ]). Pour cet automate cellulaire déterministe, on a S =f0;1g et G = Z
2
. La valeur 0 désigne une cellule dite morte, la valeur 1 une cellulevivante.Les voisinages considérés contiennent le site lui-mêmeet ses 8 voisinssur Z 2 dé nis par : V k =fk;k e 1 ;k+e 1 ;k e 2 ;k+e 2 ;k+e 1 +e 2 ;k+e 1 e 2 ;k e 1 +e 2 ;k e 1 e 2 g (1.3) où k 2Z 2 et (e 1 ;e 2
)désignentlesdeux vecteursdela basecanoniquedeR 2
.La règle lo cale d'évolutionest établiede lasorte :
naissance:siunecelluleestmorte(état0)àun instant,elledevientvivante(état1) à l'instant suivant si elle est entourée par exactement 3 cellules vivantes dans le voisinage V
k ;
mortparisolementousurp opulation:siunecelluleestvivante,ellemeurtàl'instant suivantsi elleest entouréepar moinsde 2ou plus de3 cellules vivantes.
Cela se traduitpar la formulesuivante :8k 2Z 2 , u k ( k (n))=11 f k (n 1)=0g :11 f P k 0 2V k k 0 (n 1)=3g +11 f k (n 1)=1g :11 f P k 0 2V k k 0 (n 1)=3g : (1.4) Pensée comme mo délisation de l'évolution de p opulations de cellules (vivantes ou mortes),cetterèglesimplea,demanièreinattendue,révélédescomp ortementsdivers
et remarquables.Une vaste littérature luiestconsacrée, actualiséesans cesse, etl'on se référera à[CD98 ] p our plus deprécisions à ceprop os.
De nombreux travaux étudient les DCA dans le cas où G= Zou bien G= Z 2
. On se rep ortera aux références[CD98 , MT87] p our une bibliographietrès complète à ce sujet. En particulier,dans les années 80, S. Wolframentreprend une étude systéma-tique des automates cellulaires déterministesen dimension 1 (G = Z)(cf. [Wol86]).
Diérentsauteurs,commeT. Tooli, N.H. Margolus,E. Fredkinprônentalors l'em-ploi des automates cellulairescommeoutil demo délisation p our des situations phy-siques, biologiques ::: Si jusque là, l'intérêt était p orté presque essentiellementaux automates cellulaires déterministes, l'intro duction des automates cellulaires proba-bilistes ore alors une plus grande souplesse p our mo déliser les phénomènes de la physique statistique (cf. [Dom84, DK84 , GJH85 , Wol83 ]). À la diérence des DCA, on intro duitdanslarègled'évolutionlo caleunparamètre régulantlaquantité d'aléa-toire, cequip ermetd'obtenir descomp ortementsaussi variés quelaphénoménologie considérée.
De manière indép endante, dans les années 70, l'école probabiliste soviétique, sous l'impulsion de I. M Gelfand et M. L. Tsetlin, publie de nombreux travaux sur des mo dèles probabilistes de typ e dynamiques markoviennes, avec application à la bio-logie et l'ingénierie. Entre autres, les PCA furent étudiés sous les terminologies de locally interacting Markov systems ou discrete local Markov systems. Les premiers résultats les concernant sont dûs à R. L. Dobrushin, O. Kozlov, G. L. Kurdyumov, L. G. Mityushin, S. A. Pirogov, O. N. Stavskaya, A. L. To om, L. N. Vasershtein, N. B. Vasilyev::: Ces travaux furent regroup és p our l'essentiel et publiés en langue anglaise en 1978 dans la référence [TVS
+
78 ]. Dans [MM91] les auteurs appliquent égalementlestechniquesdedévelopp ementenamas (cluster expansion) aux PCA. Indép endamment,D. Dawson établit durant la mêmep ério de diérentsrésultats re-latifs aux PCA [Daw73 , Daw74a, Daw74b , Daw75, Daw77 ], qu'il désigne par syn-chronous dynamics. Quelquespublications furentpro duitesdans lesannées 80 sur ce thème; nous les mentionnerons plus avant. Un regain d'intérêt mathématique p our lesPCAfut ensuitesuscitédans lesannées90 parla publicationdel'article[GLD89 ] de A. Georges et P. Le Doussal, ainsi que des articles de J. L. Leb owitz, C. Maes, S.Shlosman, E.R.Sp eer et al.[LMS90, GKLM89 ].Cesdernièresréférencesréalisent un lienentrel'étude strictementprobabiliste des automates cellulaireset leuremploi au seindela physique statistique.
Bienquelesdynamiquesparallèlessoientdesdynamiquesàtempsdiscretplus faciles à dé nir que des dynamiques à temps continu,l'étude de ces dernières a longtemps prévalu. Cela expliquele p eude résultatsgénéraux concernant lesPCA.
1.3 Utilisation et applications
Intro duits à l'origine p our l'informatique,les automates cellulairesen demeurentun concept imp ortant p our développ er des algorithmes p ouvant être mis en ÷uvre sur
desmachinesàarchitectureparallèle.D'autrepart,commenousl'avonssignalé précé-demment,lesAutomates Cellulairesconstituentun objet mathématiquefécond p our la mo délisationdediversphénomènes.
Enphysique,ilssontutilisés,parexemple,p ourl'étudedelacroissancedecristaux,ou l'apparition destructures d'interfaces(cf.[Vic84]).Ils sontégalementutilisés comme alternativeauxéquationsdiérentiellesdel'hydro dynamique,carleurimplémentation estplusaisée.Maxwell(cf.[Max90 ])avaitdéjàévo quél'emploidetelsmo dèlesdiscrets p our étudierlesgaz etlesécoulementsde uide.Desmo dèlesd'automatescellulaires p ermettent eectivement de retrouver des comp ortements prédits par les équations de Navier-Stokes(cf. [CM87, FHP86, CdLP86, Tof84 ]).
Leconceptd'automatescellulairesestapparup ourimiterlecomp ortementdescellules neuronales. La biologie se prête ainsi à une description en termede comp osants élé-mentaireseninteraction,évoluantdemanièresimultanée.(cf.[Bag97 ,Bag98 ,Bez99, EvC]).
Demême,ensciencesso ciales, lareprésentationdep opulations parun grandnombre d'individus répartis dans l'espace, dont le comp ortement est co dé par une valeur et régiparl'interactionaveclesindividuspro ches,p ermetd'avoirrecoursauxautomates cellulaires.
En nance, l'utilisation des mo dèlesmarkoviens estfondamentale : ainsi, les PCA y jouent un rôle, commeenatteste laréférence [Föl94].
Les PCAjouentégalementun rôle imp ortant dansd'autresbranches mathématiques quelesprobabilités.Ainsiparexemple,danslaréférence[GM00],l'étuded'unsystème dynamique comp osé de transformations couplées (coupled maps) se fonde sur celle d'un PCA qui luiestasso cié (cf. également[Sak88 ]).
En probabilité, on p eut se servir des connaissances que l'on a p our les PCA p our les appliquer à d'autres pro cessus sto chastiques. Par exemple, certains systèmes de particules à temps continu se laissant approximer par des PCA, on p eut transp oser lespropriétés nesdesuns verslesautres(cf.parexemple[MS93]p our despropriétés d'ergo dicité).
1.4 Classes d'Automates Cellulaires Probabilistes
Les automates cellulaires probabilistes sont un typ e sp éci que de systèmes de par-ticules, c'est-à-dire de dynamiques sto chastiques markoviennessur S
Z d
, dites dyna-miquesparallèles,p our lesquellesl'évolutionsimultanéedesspinsestindép endante conditionnellementau passé, cequisetraduit par une probabilitéde transitionde la forme pro duit.
Nousallons maintenantsouligner une diérencefondamentale aveclesdynamiques à tempscontinu,p our lesquellesl'évolutionestséquentielle(cf. [Bré99,Guy92 , Lig85 ]).
Si l'on sedonne une mesurede probabilité sur S
,où estune partie nie deZ d , qui soit une mesure deGibbs à volume ni p our une interaction donnée(cesnotions
seront précisées au Chapitre 2), il est aisé de construire une chaine de Markov sur S
avec une dynamique séquentielle qui admette commemesure réversible, donc commeétatinvariantsousl'actiondeladynamique.La situationdes dynamiques pa-rallèlesesttouteautre.Iln'existepasdemétho desgénéralesp ermettantdeconstruire une dynamique PCA qui admettrait une mesure de Gibbs donnée comme état sta-tionnaire. Onsait mêmeplusprécisément,d'aprèsunrésultatdeDawson(cf.Th. 4.2 in [Daw74b ]),que si estune mesuredeGibbspar rapp ort àun p otentieldep ortée 1(i.e. auxpluspro chesvoisins)sur f0;1g
Z 2
,alors, iln'existepasdedynamiquePCA invariante par translation quiadmette commemesureréversible.
Cela témoigne de l'originalité des dynamiques parallèles par opp osition aux dyna-miquesséquentielles.
1.4.1 Automates cellulaires Probabilistes purement
stochas-tiques
Jusqu'à présent,deuxgrandes classesd'automates cellulairesontétéconsidérées: les automates cellulaires déterministes et les automates cellulaires probabi-listes. Des situations intermédiairesméritentcep endant d'êtreprécisées.
Un automate cellulaireprobabiliste qui véri ela condition :
8g2G; 8s2S; 82S G
; p
g
( s j )>0 ; (1.5)
est dit purement stochastique. En chaque site, tout état de S p eut être atteint enun instantavecune probabiliténon nulle.De telsPCA nep ossèdent ainsi aucune comp osantedynamiquedéterministe.Notreétudese concentrerasur euxdans les chapitresàvenir.
Cas particulier où S =f 1;+1g et G=Z d Cecas sera celuiconsidéréà partirdu Chapitre 4. On remarque que lesrègles lo cales (p
k )
k 2Z
d d'un automate cellulaireprobabiliste sur f 1;+1g
Z d
p euvent toujourss'écrire sous la forme:
p k (s j )= 1 2 (1+s h k ()) (1.6) où s2S;2S Z d eth k
(:) estune fonction deS Z
d
vers Rqui satisfait p our tout :
jh k
()j6 1; (1.7)
et qui traduit la dép endance du site k en ses sites voisins. Le fait que ladynamique PCA considérée soit purementsto chastique estalors équivalent àla condition :
82S Z d ; jh k ()j<1 : (1.8)
1.4.2 Automates Cellulaires Probabilistes dégénérés
La situation opp oséeau cas purementsto chastique est celled'un automate cellulaire probabiliste derègles (p g ) g 2G satisfaisant 8g 2G; 8s2S;82S G ; p g (s j )=0 ou 1; (1.9)
qui esten réalitéun automate cellulairedéterministe.
Entrecesdeuxsituations extrêmessetrouventdesautomatescellulairesprobabilistes tels que: 9g 2G;9s 0 2S;9 0 2S G ; p g ( s 0 j 0 )=0 ; (1.10)
c'est-à-dire qu'il existe au moins un état qui, p our une certaine con guration ini-tiale du système,n'estpresque-sûrementjamaisatteint.De telsautomatescellulaires probabilistes seront alors dits dégénérés. Les références [KKT, FT01 ] en étudient certains exemples.
Une classe particulière de ces PCA dégénérés est constituée par les dynamiques pa-rallèles telles que, p our au moins un site g 2 G, il existe une valeur s
0 2 S et une con guration 0 2S G tellesque: p g (s 0 j 0 )=1 : (1.11)
Citons comme exemple de telles dynamiques PCA le modèle de Stavskaja (cf. exemple1.2in[TVS
+
78 ]):on supp oseS =f0;1g,G=Z,lesvoisinages(V k
) k 2Z
sont dé nis par fk 1;kg etles règles lo cales d'évolution sont dé nies, p our k 2Z,par :
p k (1 j ) = 1si k = k 1 =1 = "2[0;1] sinon. (1.12)
CePCAesthomogènespatialementcar touslessitesk 2Zévoluentsuivantlamême règle d'évolution lo cale p
k
. Cette règle est en fait la comp osée successive de deux op érations : l'une déterministe,
k (n)= k (n 1) k 1 (n 1); l'autre probabiliste, puisque tous les sites se trouvant dans l'état 0 p euvent prendre la valeur 1 avec une probabilité de", indép endemmentdes autres sites etdeleurétat passé. Cemo dèlea été étudiéen détaildans la référence[SPS71 ]. Citons enquelquespropriétés.
Lorsque "= 1, l'état du système où tous les sites prennentla valeur 1, est invariant sous l'actiondeladynamiqueetestatteintdès l'instant1,indép endemmentdel'état initial.
Lorsque"=0,lasituationestencorecelled'unautomatecellulairedéterministeeton p eut montrerqu'ilexistediérentesrépartitions statistiquesinvariantessous l'action de ladynamique.
Plus précisément,il a été établi qu'il existeun paramètre "
tel que si " >"
, alors cette dynamiquePCA estergo dique: p our toutétat initial,le systèmeconvergevers l'état où l'on a 1 en chaque site. Et si " < "
, il a été établi que le système est non-ergo dique.
Pourd'autresexemplesdePCAdégénérés, etrésultatsàleurprop os, onse rep ortera aux références[BKM93, Pir86 , TVS
+
1.5 Plan de cette étude
Dans toute cette étude nous nous placerons dans le cas où l'ensembledes sites est le graphe régulierG=Z
d
etl'ensembleS est ni.
Les questions naturelles qui se p osent à prop os des automates cellulaires sont celles usuelles p our tout systèmedynamique: évolutionau cours du temps,comp ortement asymptotique en temps, existence et unicité d'états invariants ou réversibles sous l'action de la dynamique (dans un sens qui sera précisé au Chapitre 2). Comme le mo dèledeStavskajal'atteste,diérentscomp ortementsasymptotiquesp euventavoir lieu.
PourlesdynamiquesàtempscontinusurS Z
d
,unlienétroitentrelesétats d'équilibre decesdynamiquesetcertainstyp esdedistributionstatistique,commedesmesuresde Gibbs, estétablidepuislongtemps.Ilp ermetdeconsidérer l'in uencedu phénomène detransition dephase sur lecomp ortementdeladynamiqueasso ciée ([Spi74,DR79, Dur81 , HS81]). La motivationde ce travail est demettre en valeur et de développ er une tellecorresp ondance p our les dynamiquesparallèles.
DansleChapitre2, nousdé nissonslecadremathématiqueutileànotreétude. Nous rapp elons lanotiondemesuredeGibbsetdé nissonsrigoureusementlesdynamiques PCA qui nous intéressent. Notre attention se concentre ensuite sur les dynamiques parallèlespurementsto chastiques.
Dans les Chapitres 3 et 4 nous nous intéressons à l'existence et à l'unicité des me-suresstationnairesdecesdynamiquesPCA,ainsiqu'àlacaractérisationdeleursétats d'équilibre comme mesures de Gibbs. Ces chapitres développ ent et complètent des résultatsquenousvenonsdepublier(cf.[DPLR02 ]).Nousétudions plus particulière-mentdes dynamiquesditesréversibles,etleChapitre 4estconsacré àl'analysed'une famille paramétrée de telles dynamiques sur f 1;+1g
Z d
. Pour ces dynamiques les relationsentreles étatsd'équilibre(mesuresstationnaires, réversibles)et lesmesures de Gibbs p our un p otentiel naturellement asso cié à la dynamique, sont explicitées. L'existenced'unphénomènedetransitiondephaseestdémontréeetsonin uencesur le comp ortementasymptotiquede ladynamiqueprécisé.
Dans lesChapitres 5 et6, nous nous intéressons à laconvergenceversl'équilibredes dynamiques PCA sur f 1;+1g
Z d
qui sont, de plus, attractives. À cette n, dans le Chapitre 5onconstruit un couplaged'unnombre ni dedynamiquesparallèlesayant la particularitéde préserver l'ordre sto chastique. Dans leChapitre 6, nous prouvons la convergenceàvitesse exp onentielleversl'équilibre.
En n, le Chapitre 7illustre, par des simulations numériques,les résultats précédem-mentdévelopp ésetprésenteun algorithmeparallèleconvergeantversdes mesuresde Gibbs du mo dèled'Ising.
Lelecteurtrouveradans lesintro ductionsresp ectivesdechacundeschapitresdeplus amples précisionssur leur contenuetleurorganisation interne.
Cadre mathématique et notations
La MécaniqueStatistiques'attacheàétudieretdécrireleou lesétatsmacroscopiques dans lesquels p eut se trouver un système comp osé d'un grand nombre de consti-tuantsquiinteragissententreeuxau niveaumicroscopique.La formalisation actuelle de cette théorie au seindes Probabilités nous ore un cadre rigoureux p our préciser etdévelopp ernotre étudedes automatescellulairesprobabilistes.Bienplus,ellenous fournit leconceptfondamentaldemesuredeGibbsqui sera intro duitdans leprésent chapitre. Brièvement, une mesure de Gibbs est un mo dèle mathématique p ermet-tant de préciser la répartition statistique des diverses con gurations p ossibles d'un système,con gurations résultantdephénomènesco op ératifs entrelesentités élémen-taires constitutivesdu système.Lesautomates cellulaires,commenous l'avonsvu au chapitre précédent, sont des systèmes dont l'essence même est d'être comp osés de cellulesélémentairess'in uençantmutuellementau cours du temps.
L'asp ect principal de l'étude des dynamiques parallèles aléatoires que nous menons présentement est donc de mettre en lumière les liens p ouvant exister entre ces dy-namiques et ce concept général d'état statistique macroscopique d'un système de particules en interaction. La terminologieparticule està considérer commeanalogue à un automate élémentaire, i.e. à une entitémicroscopiquementionnée; l'origine de cette terminologieestàsituerenPhysiqueoùcesconceptssontnés.Enparticulier,il est établique p our certainesclasses dedynamiques sto chastiques,on p eut naturelle-mentasso cier des mesures de Gibbs qui constituentexactementles états d'équilibre decesdynamiques.Certains résultatsdorénavantusuelsdelathéorie des mesuresde Gibbs p ermettentalors de préciser l'étude des états d'équilibrede ces dynamiques : questiondel'existencedetelsétats,deleuréventuellemultiplicité,deleurspropriétés qualitatives, etquestion de l'évolution,etde la vitessed'évolution,de ladynamique vers ces états. Les dynamiques parallèles, que sont les PCA, sont ainsi considérées dans cetteétudecommedesdynamiquessto chastiquesparticulières:desdynamiques markoviennes, et les résultats présentés expliciteront les engrenages fondamentaux entrecesdynamiquesetlathéoriedesmesures deGibbs,caractérisantl'étatstatique d'un système.
Nousprécisons danscechapitreleformalismemathématiqueprobabilisteutilisé, éta-blisurlamo délisationusuelleparunespacepro duitS
Z d
del'espacedesétatsp ossibles de systèmesde particules.Compte tenudela richesseévo quée au chapitreprécédent
detelsmo dèles,nousconsidéronsicilecasoù lesparticules,c'estàdirelesautomates, nep euventprendrequ'unnombre nidevaleurs(élémentsdeS), etsontindexéspar lesélémentsd'unréseausous-jacent,quel'onassimileiciàZ
d
.Danslasection2.1nous rapp elons quelquespropriétésquantàlastructure top ologiquedecetespace, proprié-tés quiseront à labase des résultatsà venir.Dans lasection 2.2 nous dé nissons les mesures de probabilité sur cet espace de con gurations. Ce sont les loisstatistiques de tout mo dèleprobabiliste des systèmesauxquelsnous nous intéressons. Nous dé -nissonsdans cettesection(sous-section2.2.2) leconceptdemesuredeGibbsasso ciée à une interaction sur le réseau Z
d
, etmentionnonsles résultatsusuels dans cecadre. Nous dé nissons également le concept de système ferromagnétique, i.e. de système au seinduquel les états statistiquesmacroscopiques réalisés donnent une probabilité plus forte aux agencements lo caux favorisant des valeurs égales p our des particules voisines. Dans la section 2.3, nous mo délisons les automates cellulairesprobabilistes pardesdynamiquessto chastiquesmarkoviennesàtempsdiscretparticulières,prenant leurs valeursdans l'espacedes con gurations S
Z d
intro duit.Nousy précisons les rap-p orts existants entreles dynamiques p ouvant être dé nies p our un ensemble ni de particuleseninteraction,etp our unensemblein niquiestl'objetdenotreétude.En eet, commelesrésultats lejusti eront a posteriori,et commele motiventles résul-tats de la théoriedes mesuresde Gibbs,seule lamo délisationd'une grande quantité de particules par une in nité mathématique p ermet d'obtenir des résultats rendant compte detoute laphénoménologie observéedans la réalité.Nousintro duisons en n dans la sous-section 2.3.3 l'analogue dynamique des systèmesferromagnétiques : les dynamiques attractives, i.e. favorisant au cours du temps l'évolution de particules voisines verslemêmeétat.
2.1 Espaces d'états
Dans cette première section, nous dé nissons (sous-section 2.1.1) l'espace des sites indexant les particules. Chaque particule prend un nombre ni de valeurs, valeurs quel'on regroup eauseind'un mêmeespace ni S, quiseraapp elé espacedespins. La terminologie choisie se réfère à nouveau aux origines physiques de tels mo dèles, puisqu'un des premiers problèmesab ordé par la Physique Statistiquefut l'étude des propriétés magnétiques de cristaux. Le magnétisme macroscopique trouve en eet son origine dans la considération de l'électron sous son asp ect quantique, plus pré-cisément dans la prise en compte de la valeur du moment magnétiquerésultant des spins des électrons. Nous dé nissons ensuite (sous-section 2.1.2) l'espace des con -gurations, qui est un espace pro duit de l'espace des spins S. Une con guration est un des états microscopiquesp ouvant être réalisés par le système. Nous précisons la structure top ologique,ainsi que lastructured'espace mesurableusuelle,ainsi que les transformations agissant sur cetespace qui sont utilesultérieurement.En n, on mo-délise lesobservations p ouvant êtreréaliséessur lemo dèlepar lesfonctions àvaleurs réellesdé niessur l'espacedes con gurations(sous-section2.1.3)eton énoncela Pro-p osition 2.1.4 contrôlantles uctuationsd'une fonction d'observationet quisert aux chapitres suivants. Pour plus de précisions, se référer à l'annexe A du livre de Ellis [Ell85], etaux références quiy sont mentionnées.
2.1.1 Espace des sites
Dé nitions et normes sur l'espace des sites
Soit d un entiernon nul. On considère commeespace des sites l'ensembleZ d
. On app elle volume ni toute partie nie de Z
d
, ce que l'on désigne par b Z d ; l'expression volume in ni est utilisée commesynonyme p our l'espace des sites Z d danssonintégralité.Onnote#lecardinaldetoutepartie niedeZ
d
.Soitk 2Z d . La notation , signi e égal par dé nition à. Notons k=(k
1 ;k 2 ;:::;k d )2Z d . On dé nit lesnormes suivantes:
kkk 1 , d X i=1 jk i j ; (2.1) kkk 2 , v u u t d X i=1 jk i j 2 ; (2.2) kkk max , max 16i6d jk i j : (2.3) Soit L2 R
. La b oule decentre0 et derayon L au sens dela norme k : k max est ici notée : B L ,B k :k max (0;L)=fk 2Z d : kkk max 6Lg=\ d i=1 fk 2Z d : L6k i 6Lg : (2.4) On note lesvecteursde labase canonique deR
d : (e i ) 16i6d .
2.1.2 Espaces des con gurations
Dé nitions et notations
Soit S un espace ni decardinalsup érieurou égal àdeux quiestapp elé espace des spins. Les espaces d'état des variables aléatoires et pro cessus sto chastiques marko-viens, quiseront considérés,sont les espacespro duit :
8bZ d ; S ,S:::S | {z } #fois = k 2 S : (2.5)
On considère principalement comme espace d'état l'espace S Z
d
( = Z d
) dont les éléments seront app elés con gurations (éventuellementcon guration à volume in ni) et désignés par les lettres grecques : ;;;::: Pour une con guration , élément deS
Z d
, on utilise la notation k
p our désigner la valeur de la con guration au sitek,i.e. lavaleurdu spinau sitek.La notation!
k
(n)estutiliséelorsqu'ils'agit de considérer une con guration !
: (n)=(! k (n)) k 2Z d à un instant n2N. Pour l'étude sur S
Z d
, on est également amené à considérer les con gurations à volume ni ( bZ d )notée par 2S . On dé nit laprojection } : } : S Z d ! S 7! } (), ;
autrementditlarestrictionde( k ) k 2Z dà( k ) k 2
.Pourtoutevaleurdespins,élément de S, on utilise égalementlanotation sp our signi erlacon guration de S
Z d égale à s en tout sitek : 8k 2Z d ; s k =s :
Ainsi, si S = f 1;+1g, 1, resp ectivement+1, désignent les con gurations égales en tout sitedeZ
d
à 1, resp ectivement+1.
Parailleurs,soient; deuxpartiesdisjointesdeZ d .Onparleradeconcaténation dedeuxcon gurations et (resp. dans S etS
) p our désignerlacon guration deS [ telleque : k = k si k 2 k sik 2 :
En particulier,p our toute partie nie deZ d , c désigne lacon guration : ( c) k = k sik 2 k sik 2 c : (2.6)
Commel'ensembleS est ni,ilestmunid'unerelationd'ordretotal(6)eton dé nit l'ordre partiel 4 sur S
(Z d )p our ; 2S par : 4 si : 8k 2; k 6 k : (2.7)
On intro duit dans ce cas les con gurations suivantes : ^ et _ dé nies, p our tout k deZ d , par : (^) k =min( k ; k ) et (_) k =max( k ; k ) : (2.8)
On précise que l'on fait l'abus de notation suivant : la notation
désignera autant l'image d'une con guration 2 S
Z d
dé nie sur le réseau tout entier,qu'un élément de l'espaceS
(bZ d
) p our lequel l'indice rapp ellel'espace auquel appartient la con guration à volume ni.
Structures topologiques
L'espace ni S étant muni dela top ologie discrète, on munit le pro duit d'espace S delatop ologiepro duit.Danslecas oùestune partie nie,S
estunespacediscret ni,etlatop ologie pro duitcoïncidedanscecas aveclatop ologiediscrète.Danslecas où =Z
d
, l'espaceS Z
d
est un espace de cardinalin ni. Leconcernant,on intro duit lesensemblesN
V
()dé nissant unebase devoisinages delatop ologie pro duit: p our 2S Z d etV bZ d , N V ()=f2S Z d : V = V g : Pour 2S Z d , on noteraN L ()=N B L ().LesensemblesN L (:); L2N , constituent une base devoisinage p our latop ologie pro duit considérée sur S
Z d . Remarquons que S Z d
est un espace compact, puisque pro duit in ni dénombrable d'espaces compacts.
L'espaceS Z
d
estégalementun espacemétrique.Eneet,on p eutvéri erque,p our toute bijection n : Z
d
!N, ladistanced dé nie p our ; 2S Z d par d(;)= X k 2Z d 1 2 n(k ) 11 k 6= k (2.9)
(où 11 désigne la fonction indicatrice) est une métrique sur S Z
d
dont la top ologie asso ciée corresp ond àla top ologie pro duit précédemmentévo quéesur S
Z d . On précise qu'en tant qu'espace métrique compact, S
Z d
est également un espace complet p our la métriqued.
Remarque 2.1.1 L'espace métrique (S Z
d
; d) est homéomorphe à une partie com-pactede[0;1],totalementdiscontinue,nonconnexe
1
.Enparticulier,siS =f 1;+1g, S
Z d
est homéomorpheà l'ensemble triadique de Cantor.
Transformations sur l'espace des con gurations Translations Soitun sitek 0 deZ d .On dé nit k 0
()la translationd'une con guration deS Z d par k0 (),( k k0 ) k 2Z d : (2.10)
Retournements de spins Dans le cas où l'espace des spins S est symétrique ( s2S () s 2S)on dé nitlatransformation T k0 par : T k0 (), k 0 avec k 0 k = k si k6=k 0 k si k =k 0 : (2.11) Cette transformation T k 0
estapp elée le retournement de spin au site k 0
. Dans la littérature, cette transformation apparaît souvent sous la dénomination anglo-saxonne despin ipen un sitek
0 .
L'espace des con gurations comme espace mesurable SoitbZ
d .S
étantunespace nidecardinal#S #
munidelatop ologiediscrète, on le considéreramuni dela tribu constituée par l'ensemblede sesparties.
Concernant l'espace des con gurations (à volume in ni) S Z
d
, il faut préciser que latribu borélienne sur S
Z d
asso ciée à la top ologie pro duit estengendrée par les événementscylindriques(cylindres)c'està direlesparties deS
Z d dela forme: f : = g; p our tout bZ d ; et 2S Z d xés; qui sont exactement les voisinages N
(). La tribu pro duit P(S) Z
d
(où P(S) désigne l'ensemble des parties de S) coïncide donc avec la tribu b orélienne. On utilise lanotation F p our désignercette tribu sur S
Z d . 1
Cespropriétés motiventl'emploid'unenotationnon discrète desloisdeprobabilitésurcet espace.
Tribus sur S Z
d
des événements dép endant d'un nombre ni de sites : Pour tout
bZ
d
, on désigne par F
la sous-tribu de F engendrée par la projection }
, soit encore la tribu engendrée par les événementscylindriquesdela forme N
(), 2S
Z d
( xé).On remarque quep our ; deuxparties niesde Z d , tellesque , on ap our tout 2S Z d : N () N ();d'où : F F : 2.1.3 Fonctions sur S Z d Fonctions sur S Z d à valeurs réelles
Donnonsàprésentquelquesdé nitionsconcernantlesfonctionsf dé niessur l'espace des con gurations S
Z d
, et à valeurs dans R. On précise que de telles fonctions sont parfois égalementdésignéespar l'app ellation observable.
Soitf unefonctionsurS Z
d
,àvaleursréelles.Onintro duitl'op érateurgradientdiscret, p our k2Z d : r k f ,f ÆT k f ; (2.12)
soit p our tout 2S Z d : (r k f)()=f( k ) f() :
On remarque que sif est une fonction continue,p our tout k appartenant à Z d
, r k
f l'estégalement.On intro duit maintenantle conceptfondamentalde fonctionlo cale: Dé nition 2.1.2 Onditqu'unefonctionf estunefonctionlocalesielle nedépend que de la valeur des con gurations en un nombre ni de sites, i.e. :
9bZ d ; 82S Z d ; f()=f( ) :
L'ensembledesitesminimalp ourlequelf satisfaitlapropriétéci-dessusseraapp elé support de la fonction lo cale f et noté
f
. Une fonction f lo cale est donc F
f -mesurable, et n'est pas F
-mesurable p our $ f
. On véri e aisément que, si f est lo cale,alors c'estégalementle cas de r
k
f p our tout sitek de Z d ; enparticulier, 8k 2Z d ; r k f = f et8k 2= f ; r k f 0.
Fonctions continues sur S Z
d
On dé nit, p our f fonction continuesur le compactS Z d , lanorme uniforme: kfk 1 , sup 2S Z d jf()j (2.13)
qui dé nit la top ologie de la convergence uniforme sur les fonctions continues. De plus, l'espacedesfonctionsàvaleursréellescontinues surS
Z d :(C(S Z d ;R);k:k 1 )est un espace de Banachet l'on a lapropriété suivante très utileenpratique :
Proposition 2.1.3
Toute fonctionlocalesurS Z
d
àvaleurs dansRest continue, ettoutefonction continue est limite uniforme, au sens de k : k , de fonctions locales.
Preuve : PuisqueS
Z d
estunespacecompact,cerésultatestunesimpleapplicationduthéorème de Stone-Weierstraÿ. Toutefois, nous préférons donner ici une preuve plus construc-tive,quiévitelerecoursàcethéorème.Soitf unefonctioncontinuesur S
Z d
àvaleurs réelles. Soit une con guration xée de S
Z d
, et soit, p our toute partie nie de Z d , G latransformation de S Z d
qui asso cie à toute con guration la con guration G ()=
c. Si l'on considèreune suite croissante ( n ) n tendant vers Z d , alors il estaisé devéri erquelasuite detransformation(G
n
) n
convergeuniformémentvers la transformation identité. De plus, f étant continuesur S
Z d
compact,elle est donc uniformémentcontinue; ce qui, conjugué au résultat précédent, p ermet de conclure quelasuite defonctionslo cales(f ÆG
n
) n
convergeuniformémentversla fontion continuef.
De plus, comme S Z
d
est un espace métriquecompact,on remarque que l'espace des fonctions continues (C(S Z d ;R); k: k 1 ) est séparable.
Parailleurs,p our toutefonctioncontinuef,on dé nitenoutrelanormejk : jkpar:
jkf jk, X k 2Z d kr k fk 1 ; (2.14)
et on remarque que,p our toute fonctionf lo cale:
jkf jk62# f
kfk 1
: (2.15)
On établit alors la prop osition suivante:
Proposition 2.1.4 Soit S =f 1;+1g. Soit f une fonction locale; pour tout couple de con gurations ; de S Z d , on a : f() f() 6 X k 2 f kr k fk 1 :11 f k 6= k g 6jkf jk : Preuve :
Comme f est lo cale, seules imp ortent les valeurs de et en les sites (en nombre ni) de f . Ainsi, f et f
ne diérent qu'en un nombre ni de sites. Comme S = f 1;+1g, il su t d'appliquer successivement, p our tous les k en lesquels
f et f diérent, T k à f p our obtenir f
. Ordonnons ces sites, et nommons les k 1 ;k 2 ;:::;k M où M =#fk : ( f ) k 6=( f ) k g. Notons : 0 =; 1 =T k 1 (); 2 =T k 2 (T k 1 ());::: ::: M =T k M (T k M 1 :::T k 2 (T k 1 ()))= f c f :
Ces con gurations seront app elées con gurations interpolantes. On aalors :
f() f()=f( M ) f()= i=M 1 X f( i+1 ) f( i ) :
En remarquantque f( i+1 ) f( i )=r k i+1 f( i ),on conclut alors : f() f() 6 X k :( f ) k 6=( f ) k kr k fk 1 = X k 2 f kr k fk 1 11 f k 6= k g : 2.2 Mesures de probabilité
Dans cette sous-section nous dé nissons les lois statistiques macroscopiques précé-demment évo quées, i.e. les mesures de probabilité sur S
Z d
et la top ologie adéquate (sous-section 2.2.1). Nous nous attardons sur le concept de mesure de Gibbs et ses premières propriétés qui seront imp ortants dans les chapitres à venir (sous-section 2.2.2).Nousprécisonségalementleconceptdesystèmeferromagnétique(sous-section 2.2.3).
2.2.1 Dé nition et topologie
On note P(S Z
d
) l'ensembledes mesures deprobabilitésur S Z
d
(en toute rigueur,sur (S
Z d
;F) ).On véri eaisémentlefait suivant : Proposition 2.2.1 P(S
Z d
) estune partie convexe compacte du dualtopologiquede C(S
Z d
;R).
Ayant dé ni précédemment les translations k
sur l'espace des con gurations, on intro duit alors le sous-ensemble P
i (S Z d ) de P(S Z d
), constitué par les mesures de probabilités sur S
Z d
qui demeurent égales à elle-mêmesous l'action des translations
k
(probabilités invariantes par translation),c'estàdirelesprobabilités telles que : 8k 2Z d ; Æ 1 k = :
Convergence de mesures de probabilité Soit Z
d
.On dé nit surP(S
) latop ologie delaconvergencefaible, eton dira que lasuite de mesuresde probabilité
n
decet espaceconverge faiblementversune mesure deprobabilité si : 8f 2C(S ;R) n (f) ! n!1 (f) ;
oùl'onutiliselanotation(f)= R
f d.P(S Z
d
)munidecettetop ologie estunespace compactmétrisable(cf.ThéorèmeA.11.2del'AnnexeA de[Ell85]).Deplus, P
i (S
Z d ) est une partie convexe compacte de P(S
Z d
) relativementà cette même top ologie de la convergencefaible.
Nous sommes amenés par la suite à considérer des parties convexes de P(S Z d ), et P(S Z d
deGibbs:::Aussiest-ilopp ortun derapp eleràl'attentionlerésultatsuivant:toute partiedeP(S Z d ),ouP i (S Z d
),non vide,convexe,fermée(ausensdelatop ologie de la convergence faible) est compacte, admet des éléments extrémaux, et coïncideavec lafermeturedel'enveloppeconvexedecespointsextrémaux.
Notations
Lorsque #=1, on privilégiep our les mesuresdeprobabilité sur S
, une notation continue(d), ainsi :
(f), Z
f()(d) p our toute fonction f :S !R: Lorsque bZ d ,commel'espaceS
estun espacediscret,on note~
lesélémentsde P(S
),eton privilégiecette foisune notationdiscrète:~ ( )désignelep oids dela con guration deS resp ectivementà~
,etp ourtoute fonctionf dé niesur S : ~ (f), P 2S f( )~ ( ) :
On désigne par ailleurs les mesures de Dirac par le symb ole Æ s
(où s 2 S) p our la mesure de Dirac sur S, etde mêmeÆ
p our la mesure de Dirac sur S asso ciée à la con guration 2S , p our tout bZ d .
2.2.2 Mesures de Gibbs sur S
Z d
associées à une interaction L'idéedeconsidérerdessystèmesphysiquescomplexescommeuneasso ciationde sous-systèmesdonton connaîtlesinteractionsrécipro ques,etdelesétudieràl'aidedelois statistiques,remonteauxtravaux novateursàla n du xix
ème
siècledans ledomaine delathermo dynamiquedeMaxwell,BoltzmannetGibbs.L'o euvre[Gib60]deGibbs en1902 marquaun tournantdans cedomaineetfut une despierres fondatricesde la Physique Statistique quise développa dès lors.
La formalisation probabiliste dorénavant bien établie et succinctementintro duite ci-après, est issue des travaux indép endants et concomitants de Dobrushin [Dob68b , Dob68a] et de Lanford et Ruelle [LR69 , Rue78 ]. Pour cette raison, les mesures de Gibbs sont égalementapp elées états DLR dans la littérature.Citons également les travaux de Preston [Pre76] et de Georgii [Geo88 ] qui ont largement contribué à l'édi cation età lagénéralisation del'asp ect probabiliste deces objets.
A n de quanti er les phénomènes d'in uence lo cale mutuelle, la théorie usuelle de la Mécanique Statistique intro duit la notion d'Hamiltonien asso cié à une fonction d'interaction entre les constituants élémentaires. Une mesure de Gibbs asso ciée à cet Hamiltoniendécrit alors une loi statistique globale du système qui rend les plus probableslesétatsminimisantl'Hamiltonien,i.e.l'énergiedusystème.Nousdétaillons le cas du volume ni puis le cas du volume in ni qui sera central p our notre étude. En n, après avoirprésentédiverses propriétés concernant l'ensembledes mesures de Gibbs, nous précisons l'intérêtque revêtentlesmesures deGibbs extrémalesau sens de lamo délisationconcrète,et endonnons une interprétation.
On se réfère principalement p our cette sous-section à l'ouvrage de Georgii [Geo88 ]. Mentionnonségalementl'intro ductionau domaineréaliséepar Minlos [Min00],et les référencessuivantes:[Guy92,Sim93].Lesréférences[Bov01,GHM01]développ entde b elles intro ductions succinctes au sujet avant d'ab order ses développ ementsles plus récents : cas du milieu aléatoire in [Bov01], cas des phénomènes de p ercolation in [GHM01].
Potentiel d'interaction et Hamiltonien associé
Commenousl'avonsannoncé,nousintro duisonsàprésentlaformalisationduconcept dep otentield'interactionqui quanti el'interactionqui alieuentrediérentssites du réseau Z
d
, en fonction des valeurs de spin prises en ces sites. On asso cie alors à cette grandeur une famille de fonctions sur S
Z d
, indicées par les volumes nis de Z
d
: l'Hamiltonien. L'Hamiltonien asso cié à un volume fait corresp ondre à chaque con guration sur ce volume une certaine énergie qui est la somme des interactions des spins concernés. Précisons cela : soit ('
A )
AbZ
d une famille de fonctions dé nies sur S
Z d
à valeursréellesindicée par des ensembles nis A desites deZ d . Dé nition 2.2.2 On dit que la famille ('
A )
AbZ
d dé nit un potentiel d'interaction sur Z d si pour tout AbZ d , ' A
est une fonction F A
-mesurable, c'est à dire : 82S Z d ; ' A ()=' A ( A ) : On dit que les fonctions '
fk g
sont les fonctions d'interaction propre, et que les fonctions' fk ;k 0 g (où (k;k 0 )2Z d Z d
)sontdes fonctionsd'interaction par paires. On précise qu'un p otentiel d'interaction est dit à portée nie s'il existe un réel L tel que '
A
0 p our tout A tel que A 2= B(0;L). On app elle p ortée R le plus p etit des réelsL telquecette condition soit véri ée. A nde simpli erl'intro duction présenteàprop osdesmesuresdeGibbs,onsupposeradèslorsquetoutpotentiel d'interaction considéré sera de portée nie.
Un p otentield'interaction' esten outre dit potentiel invariant par translation si cep otentiel véri ela propriété :
8AbZ d ; 8k 2Z d ; ' A+k Æ k =' A ; (2.16) où A+k =fk 0 +k : k 0 2Ag.
Exemple : le potentiel d'Ising aux plus proches voisins
Cep otentielfutintro duitparLenz([Len20])etIsing([Isi25])danslesannées1920a n demenerdesétudessur lespropriétésmagnétiquesdecertainscristaux.Laconstante représente l'inverse de la temp érature du système, h représente l'intensité d'un champmagnétiqueextérieurau systèmeet J estune constantedecouplage entreles particules,mesurantl'intensitéde l'interaction magnétiqueentreelles.
On app elle p otentiel d'Ising (aux plus pro ches voisins) un p otentiel comp osé uni-quementd'une interaction propre et d'une interaction par paire entresites premiers voisins sur Z d . Soit 2 R + , soient (J;h) 2 R 2 . Le p otentiel d'Ising ' ;J;h est dé ni par : ' ;J;h A ()= J k k 0 si A=fk;k 0 g où kk k 0 k 1 =1 ' ;J;h ()= h k si A=fkg (2.17)
