Périodiques Non périodiques Stationnaires Non stationnaires

signaux

Ce chapitre présente et analyse quelques signaux types avant de dénir et illus-

trer l'utilisation des fonctions d'auto- et d'intercorrélation. Il se termine par une

présentation succincte des signaux aléatoires.

7.1 Classication des signaux

Sans entrer dans les détails de la classication des signaux, il faut mentionner que

plusieursapproches sont possibles.Parmi celles-ci,onen citera deux :

laclassicationphénoménologiquequimetl'accentsurlecomportementtemporel

du signal;

laclassicationénergétique oùl'on classelessignaux suivantqu'ilssont àénergie

nie ou àpuissance nie.

Signaux

Déterministes Aléatoires

Périodiques Non périodiques Stationnaires Non stationnaires

Fig. 7.1: Classication phénoménologiquedes signaux

7.1.1 Classication phénoménologique

Danscette classication,on répartitgénéralement lessignaux en deux classes prin-

cipaleset quatre sous-classes illustréespar la gure 7.1.

Dansles deux classes principales, ontrouve :

les signaux déterministes dont l'évolution temporelle parfaitement dénie peut

être prédite par un modèle mathématique approprié;

les signaux aléatoires qui ont un comportement temporel imprévisible et dont la

description ne peut sefaire qu'au travers d'observations statistiques.

Parmi lessignaux déterministes (gure 7.2.1), ondistingue :

les signaux périodiques dont la formese répète régulièrement;

lessignaux pseudo-aléatoiresquisont des signauxpériodiquesmais avec, àl'inté-

rieur de la période, un comportement aléatoire;

les signaux quasi-périodiques qui résultent d'une somme de sinusoïdes dont le

rapportdes périodes n'est pas rationnel;

les signaux non-périodiques; ils sont essentiellement représentés par des signaux

transitoires dontl'existence est éphémère.

Parmi lessignaux aléatoires (gure 7.2.2), ondistingue :

lessignaux stationnairesdontlescaractéristiques statistiquesne changent pas au

cours du temps (p.ex : le bruit électronique);

lessignauxnon-stationnairesdontlecontenustatistiqueévolueaucoursdutemps

(p.ex. : la parole).

7.1.2 Énergie et puissance des signaux

Considérantlapuissancemoyenne

P x

^{oul'énergietotale}

W x

^{dessignaux,onobserve}

queceux-ci peuventalors être classés dans une des deux catégories suivantes :

1. Lessignaux à énergienie tels que

W x < ∞

^{alors que}

P x = 0

Dans cette catégorie, on rencontre tous les signaux temporaires qu'ils soient

déterministesoualéatoires.

2. Lessignaux à puissance nie tels que

P x < ∞

^{alors que}

W x → ∞

Cette catégorie englobe les signaux périodiques, quasi-périodiques et les si-

gnaux permanentsaléatoires ounon.

Suivant les caractéristiques des signaux, on calculera donc soit leur puissance

P x

^,

soit leur énergie

W x

^{. Selon Parseval, ce calcul peut, bien entendu, se faire dans le}

domainetemporel

P x = lim

T →∞

1 T

Z + T / 2

−T / 2

x ² (t)dt

V

2

(7.1)

W x = lim

T →∞

Z +T /2

−T /2

x ² (t)dt

V

2

sec

(7.2)

oudans celui des fréquences :

P x = Z + ∞

−∞

R xx (f ) df

V

2

(7.3)

W x = Z + ∞

−∞

S xx (f) df

V

2

sec

(7.4)

àcondition d'avoirà sadisposition

−5 0 5

−1

−0.5 0 0.5 1

(a)

−5 0 5

−1

−0.5 0 0.5 1

(b)

−5 0 5

−1

−0.5 0 0.5 1

(c)

temps

−5 0 5

−1

−0.5 0 0.5 1

(d)

temps

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−1 0 1

(a)

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−1 0 1

(b)

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−1 0 1

(c)

temps

Fig.7.2: 1)Quatre signauxdéterministes:(a) périodique, (b) pseudo-aléatoire,(c)

quasi-périodique, (d) non-permanent.

2) Trois signaux aléatoires : (a) bruit blanc (spectre inniment large et

constant), (b) bruit large bande (spectre de largeur nie), (c) bruit non-

stationnaire.

la densitéspectrale de puissance

R xx (f )

^{qui s'exprimeen}

[

^V

² /

^Hz

]

ou

la densitéspectrale d'énergie

S xx (f)

^{dont lesunités sont}

[

^V

² /

^Hz

² ]

^.

Onnoteraque,pour lecalculdelapuissance dessignaux périodiques,laduréed'in-

tégration

T

^{sera prise égaleàune période}

T 0

^{du signal.On sesouviendra également}

que la puissance moyenne

P x

^{d'un signal}

x(t)

^{est, par dénition, égale au carré de}

savaleur ecace

P x ≡ X _{ef f} ²

Enn, il faut relever que certains signaux théoriques n'appartiennent à aucune des

deux catégories présentées ci-dessus. C'est le cas, par exemple, de l'exponentielle

x(t) = e ^−at − ∞ < t < ∞

^.

−5 0 5 10 15 20 25

0 0.5 1 x 1 (t)

−5 0 5 10 15 20 25

−1 0 1

x 2 (t)

−5 0 5 10 15 20 25

−1 0 1

x 3 (t)

−5 0 5 10 15 20 25

−1 0 1

x 4 (t)

temps

Fig.7.3: Quatre signaux types: (a)déterministe temporaire, (b) déterministe per-

manentpériodique, (c) quasi-périodiquepermanent, (d)aléatoireàbande

étroite

7.2 Quatre signaux types

An de clarier les choses, considérons comme exemple des signaux-types (gure

7.3) illustrantles quatre classes de signaux :

1. Déterministes temporaires tels que l'exponentielle amortie

x 1 (t)

^{ou les}

signauxpériodiques de durée nie.

2. Permanents et périodiquestels quele signalcarré

x 2 (t)

^.

3. Permanents quasi-périodiquestels quele signal

x 3 (t)

^{constitué de quatre}

composantes spectrales non rationnelles.

4. Aléatoires stationnaires permanents tels que

x 4 (t)

^{pour lequel il n'existe}

pas de description temporelle.

7.2.1 Signaux déterministes temporaires

Les signaux déterministes temporaires tels que

x 1 (t)

^{sont des signaux à puissance}

moyenne nulle mais énergie nie. Ils possèdent un spectre continu déni par leur

densitéspectrale d'amplitude.Celle-ci n'est autre quela transformée de Fourier du

signal:

X(jf) = Z + ∞

−∞

x(t) exp( − j2πf t) dt [

^{V sec}

] = [

^V/Hz

]

^(7.5)

Leur énergiese calculesoit auniveau temporel

W x = Z ⁺ ∞

−∞

x ² 1 (t) dt

V

2

sec

soitdans ledomaine fréquentiel

W _x = Z +∞

−∞

S _x (f) df

V

2

sec

(7.6)

à partir de la densité spectrale d'énergie

S x (f )

^{exprimée en}

[

^V

² /

^Hz

² ]

^{. Dans le cas}

des signaux temporaires, onpeut montrer quela densitéspectrale d'énergie est liée

àla densitéspectrale d'amplitude par larelation

S x (f) = X (jf ) · X(jf ) ^∗ = | X(jf ) | ²

V

2 /

^Hz

²

(7.7)

Exemple L'exponentielle décroissante

x 1 (t) = A exp( − at) (t)

^{possède une puis-}

sancemoyenne nulle etune énergie nie :

P 1 = lim

T →∞

1 T

Z +T /2

−T /2

x ² 1 (t) dt = 0

W 1 = lim

T →∞

Z + T / 2

−T /2

x ² 1 (t) dt = A ²

2a = A ² τ

2 < ∞

V

2

sec

(7.8)

Cetteénergiepeutégalementsecalculerdansledomainefréquentiel.Eneet,comme

ausignal

x 1 (t) = A exp( − at) (t)

^{correspond ladensité spectrale} d'amplitude

X 1 (jf ) = A

a + j2πf

^(7.9)

onpeut calculer sadensité spectrale d'énergie

S 1 (f )

^:

S 1 (f) = | X 1 (jf ) | ² =

A a + j2πf

2

= A ²

a ² + (2πf ) ²

V

2 /

^Hz

²

(7.10)

puis son énergie

W 1 =

Z +∞

−∞

S 1 (f ) df = Z +∞

−∞

A ²

a ² + (2πf ) ² df

^(7.11)

= A ² 2πa

^atg

2πf a

+ ∞

−∞

= A ² 2a

V

2

sec

(7.12)

7.2.2 Signaux permanents périodiques

Unsignaldéterministepermanentestunsignalpériodiquedontlapuissanceestnie

et l'énergie innie. Sa description spectrale peut se faire grâce à la transformée de

Fourierdu signal

X(jf ) = Z + ∞

−∞

x(t) exp( − j2πf t) dt [

^{V sec}

]

^(7.13)

Pour tous signaux périodiques, on obtient alors une densité spectrale d'amplitude

constituéed'impulsionsde Dirac.Cesimpulsionscorrespondentauxraiesspectrales

du signal périodique qui, commeon lesait, possède un spectre discret.

Plutôtque de travailleravec lesimpulsionsde Dirac, ilest alors plus simple etplus

pratiqued'en rester à ladescription bien connue des séries de Fourier

X (jk) = 1 T

Z + T / 2

−T / 2

x(t) exp( − j2πkf 0 t) dt [

^V

]

^(7.14)

Lapuissance des signaux périodiques se calculesoitau niveau temporel

P x = 1 T

Z +T /2

−T /2

x ² (t) dt [

^V

² ]

^(7.15)

soitdans ledomaine fréquentiel

P x =

+ ∞

X

k=−∞

| X(jk) | ²

V

2

(7.16)

Exemple Le signal carré

x 2 (t)

d'amplitude

A

^{posède une puissance nie et une}

énergieinnie :

P 2 = lim

T →∞

1 T

Z +T /2

−T /2

x ² 2 (t) dt = A ² < ∞

V

2

(7.17)

W 2 = lim

T →∞

Z +T /2

−T /2

x ² 2 (t) dt → ∞

Dans le domaine fréquentiel, partant des composantes de Fourier du signal carré

périodique d'amplitude

A

^{et à valeur moyenne nulle}

X(jk) = 2A ∆t

T

sin(πkf 0 ∆t)

πkf 0 ∆t = A sin(kπ/2) kπ/2 =

( 0

^si

k

^pair

2A

kπ

^si

k

^{impair (7.18)}

onpeut calculer, sadensité spectrale de puissance

R 2 (f ) R 2 (f ) =

+ ∞

X

−∞

| X(jk) | ² = 2

+ ∞

X

k =1 , 3 , 5 ,···

2A

kπ δ(f − kf 0 )

2

V

2 /

^Hz

(7.19)

Partant de celle-ci,il vient

P 2 = Z +∞

−∞

R 2 (f ) df = 2

+ ∞

X

k=1,3,5,···

2A kπ

²

= A ²

V

2 ef f

(7.20)

7.2.3 Signaux permanents aléatoires

Un signal permanent est un signal dont la puissance est nie et l'énergie innie.

Parmiceux-ci,ontrouveessentiellementlessignaux aléatoirestels que

x 4 (t)

^et,plus

rarement, les signaux quasi-périodiques comme le signal

x 3 (t)

^{qui est constitué de}

quatre sinusoïdesdont lesfréquences ne sont pas dans un rapportrationnel.

Ces signaux n'ayant pas de transformée de Fourier, car leur intégrale en valeur

absolueest innie

Z +∞

−∞ | x(t) | dt → ∞

^(7.21)

ondevra tenter de trouver une modélisationspectrale par une approche diérente.

C'estce que l'on verra àla section7.7.

Parcontre,sil'onest en possessiond'unesuitede valeursenregistréesde duréenie

T = N ∆t

^{, on peut calculerla puissance et le spectre} d'amplitudes

X(jf )

^{de cette}

suite

x[n] = x(t = n ∆t)

^:

P x ' 1 N

N−1

X

n=0

x ² [n]

V

2

(7.22)

X(jf ) ' 1 N

N −1

X

n=0

x[n] exp( − j2πf n∆t) [

^V

]

^(7.23)

7.3 Comparaison des signaux

Lacorrélationestutiliséedanslesradars,lessonars,lescommunicationsnumériques,

ladétectionde signauxnoyésdans du bruit,la mesurede tempsde transmission, le

GPS (GlobalPositioningSystem), etc.

Dans chaque cas, on dispose de deux fonctions : le signal de référence

x(t)

^{et le}

signalàanalyser

y(t)

^{.Ilfautalors trouverune opération}mathématiquepermettant de comparer ces signaux et d'en mesurer la ressemblance ou la corrélation. Ceci

se fait simplement en eectuant l'intégrale du produit des signaux que l'on décale

progressivement l'un par rapport à l'autre

r xy (τ ) = Z + ∞

−∞

x(t) y(t + τ ) dt

^(7.24)

On obtient alors une opérationmathématique qui, de par sa forme, est très proche

delaconvolution.Cependant,contrairementàlaconvolutionquipermetde calculer

lesignaldesortied'unltrelinéaire,lacorrélationsertàmesurer ledegréde ressem-

blance de deux signaux et d'extraire des informationsqui, dans une large mesure,

dépendent de l'applicationconsidérée.

Deux illustrations en sont données dans les gures 7.4 et7.5. Dans la première, on

compare deux signaux dont la superposition (maximum de ressemblance) apparaît

aprèsun décalagetemporelégalà0.8. Dansladeuxième,oncompareunsignalchirp

(signalsinusoïdaldontlafréquence varielinéairementavec letemps)avec saversion

décalée. On y voitque lacorrélation d'un telsignal avec saversion décaléepossède

un maximum très bien déni àl'endroit correspondant exactement au décalage des

deux signaux.

7.3.1 Corrélation de signaux à énergie nie

Intercorrélation de deux signaux

Considérantdeuxsignaux

x(t)

^et

y(t)

^{àénergienie,ondénitlafonction}d'intercorrélation (c)commel'intégrale du produit du signal

x(t)

^{avec le signal}

y(t)

^{décaléd'une va-}

leur

τ

^:

r xy (τ ) = Z + ∞

−∞

x(t) y(t + τ ) dt

^(7.25)

Par changement de variable

θ = t + τ

^{, onmontre que}

r xy (τ) =

Z +∞

−∞

x(θ − τ ) y(θ) dθ = r yx ( − τ )

^(7.26)

On voit ainsi que la fonction

r xy (τ )

^{est aussi la version retournée de}

r yx (τ)

^autour

de l'ordonnée

Oy

^.

Commeonpeut leconstater, les fonctionsd'intercorrélation

Z +∞

−∞

x(t) y(t + τ) dt = r _xy (τ)

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0

0.5 1

Exemple de corrélation

y(t)

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−1 0 1

x(t), y(t+ τ )

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−1 0 1

x(t) ⋅ y(t+ τ )

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

−0.1 0 0.1

r xy (+ τ )

temps

Fig. 7.4: Intercorrélationde deux signaux

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

−1 0 1

Exemple de corrélation

y(t)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

−1 0 1

x(t), y(t+ τ )

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

−1 0 1

x(t) ⋅ y(t+ τ )

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

−0.2 0 0.2 0.4

r xy (+ τ )

temps

Fig. 7.5: Autocorrélation d'un signal chirp

etde convolution

Z +∞

−∞

x(θ) y(t − θ) dθ = x(t) ⊗ y(t)

sont formellement très proches. On montre qu'elles sont reliées entre elles par :

r _xy (τ ) = x( − τ ) ⊗ y(τ)

^(7.27)

Cette relationvalable dans l'espace temps a bien entendu son équivalent dans l'es-

pace des fréquences :

R _xy (jf ) = X ^∗ (jf ) Y (jf )

^(7.28)

Autocorrélation d'un signal

Dansle cas particulier où

y(t) = x(t)

^{, onobtient lafonction} d'autocorrélation (fac) du signal

x(t)

^:

r xx (τ) = Z +∞

−∞

x(t) x(t + τ) dt

^(7.29)

qui,pour un décalage nul, donne l'énergiedu signal

x(t)

^:

r xx (0) =

Z ⁺ ∞

−∞

x(t) ² dt ≡ W x

^(7.30)

7.3.2 Corrélation de signaux à puissance nie

Danscecas,lessignauxsontpermanentsetpossèdentuneénergieinnimentgrande;

on ne peut donc pas utiliser les dénitions précédentes. Pour cette catégorie de

signaux,on redénit les deux fonctions de corrélation commesuit :

r xy (τ ) = lim

T →∞

1 T

Z +T /2

−T /2

x(t) y(t + τ ) dt

^(7.31)

r _xx (τ ) = lim

T →∞

1 T

Z +T /2

−T / 2

x(t) x(t + τ) dt

^(7.32)

Dansle cas d'un décalage nul, ontrouve la puissance du signal

x(t)

^:

r xx (0) = lim

T →∞

1 T

Z + T / 2

−T / 2

x(t) ² dt ≡ X _{ef f} ² = P x

^(7.33)

Il est d'autre part évident que si les signaux sont périodiques, l'intégration se fera

sur une période seulement.

La gure 7.6 montre des fonctions d'autocorrélation représentatives de quelques

signaux aléatoires. On y trouve successivement trois signaux dont les puissances

sont les mêmes,à savoir0.2

V

2 ef f

:

un bruit blanc gaussien : son caractère non prévisible est manifeste et il est

conrmé par l'étroitesse du picde la fac.

un bruit à large bande :ce signala étéobtenuen ltrantpasse-bas lebruitblanc.

Son contenu spectral moinsétendu fait qu'ilest raisonnablementpossible de pré-

voir une valeur future pas trop éloignée. Une mesure de cet horizon de prévision

est donnée par la largeurà mi-hauteurdu picde lafac.

un bruit à bande étroite : ce signal a été obtenu en ltrantle bruit blanc àl'aide

d'un ltre passe-bande. Son contenu fréquentiel étroit se manifeste par un com-

portementoscillantdemanièreassezrégulière.Cettepseudo-périodicitéestencore

plus facileàdéterminer àl'aidede safac :ellesemesurepar ladistance séparant

le piccentraldu premier piclatéral.

−2 −1 0 1 2

−1 0 1

x(t)

(a)

−2 −1 0 1 2

−0.2

−0.1 0 0.1 0.2

r _xx (τ)

−2 −1 0 1 2

−1 0 1

(b)

−2 −1 0 1 2

−0.2

−0.1 0 0.1 0.2

−2 −1 0 1 2

−1 0 1

temps

(c)

−2 −1 0 1 2

−0.2

−0.1 0 0.1 0.2

décalage τ

Fig.7.6: Quelques signaux et leur fonctiond'autocorrélation

7.3.3 Propriétés de l'autocorrélation

On rappellera tout d'abord que la fonction d'autocorrélation consiste à décaler un

signalpar rapportàlui-même,puis àintégrer leproduitdes deux. On montre alors

aisémentque la fonctiond'autocorrélationpossèdeles propriétés suivantes :

1. Lorsque le décalage temporel est nul (

τ = 0

^{), la fac est égale à l'énergie du}

signalpour lessignaux à énergienie :

r _xx (0) = Z +∞

−∞

x(t) ² dt ≡ W _x

^(7.34)

ou, àla puissance moyenne pour les signaux àpuissance nie :

r xx (0) = lim

T →∞

1 T

Z + T / 2

−T / 2

x(t) ² dt ≡ P x

2. Commela correspondance entre lesdeux signaux ne peut pas être aussi forte

quelorsque lessignaux sesuperposent exactementcela entraîne quelafac est

maximumpour un décalage nul.On a donc :

r xx (0) ≥ r xx (τ)

^(7.35)

3. Lafac est une fonction paire :

r xx (τ ) = r xx ( − τ )

^(7.36)

4. Lafacd'un bruitblanc (ainsi appelépar analogieà lalumièreblanche consti-

tuéedetoutes lesfréquenceslumineuses)est uneimpulsionde Dirac.Eneet,

le bruit blanc étant formé d'une multitude de fréquences possédant la même

puissance, ilen résulte un signal variant sirapidement quesa valeur présente

estindépendantedes valeurs passéesetquesavaleur est nonnullepour

τ = 0

seulement. On a donc :

r xx (τ) = σ ² δ(t)

^(7.37)

où

σ ²

^{est la variance du signal aléatoire; c'est également, comme on l'a vu}

plus haut, lapuissance du signal aléatoire.

5. La fac d'un signal périodique quelconque est une fonction périodique paire.

Considéronscomme exemplele signal

x(t) = A sin(ωt + α)

^{.On aalors :}

r _xx (τ) = 1

T

Z +T /2

−T / 2

x(t) x(t + τ) dt

= A ² T

Z + T / 2

−T / 2

sin(ωt + α) sin(ω(t + τ ) + α) dt

d'où:

r _xx (τ ) = A ²

2 cos(ωτ )

^(7.38)

Onremarqueainsi quel'amplitudede cettefacestlapuissance

A ² /2

^dusignal

x(t)

^{et quelafac ne nous donne aucune} informationsur la phase

α

^{du signal.}

6. Dans le cas d'un signal

x(t)

^{perturbé par du bruit}

n(t)

^{, il est possible de}

retrouver la fac du signal non perturbé. Considérant

y(t) = x(t) + n(t)

^{, on a}

en eet:

r _yy (τ ) = lim

T →∞

1 T

Z +T /2

−T /2

(x(t) + n(t)) (x(t + τ) + n(t + τ)) dt

= lim

T →∞

1 T

Z +T /2

−T / 2

(x(t) x(t + τ) + n(t) n(t + τ) · · ·

· · · + x(t) n(t + τ ) + n(t) x(t + τ)) dt

= r xx (τ ) + r nn (τ ) + r xn (τ ) + r nx (τ)

d'où:

r yy (τ) = r xx (τ) + r nn (τ) + r xn (τ ) + r nx (τ)

^(7.39)

Dans le cas où le signal

x(t)

^{et le bruit}

n(t)

^{ne sont pas corrélés, on a bien}

entendu

r xn (τ) = 0 = r nx (τ)

^{; ce qui donnenalement :}

r yy (τ ) = r xx (τ ) + r nn (τ )

^(7.40)

De plus, comme généralement la fac

r nn (τ)

^{du bruit tend rapidement vers 0,}

onvoit que, pour un décalage susamment grand, il restera la fac

r xx (τ )

^du

signal

x(t)

^.

Uneillustration de cette dernière propriété (gure 7.7) montre comment l'autocor-

rélation permet d'extraire un signal noyé dans un bruit blanc. Dans cette gure,

le signal est une sinusoïde d'amplitude 1 volt et le bruit blanc possède une valeur

ecace de 5volt.

Le signal extrait est reconnaissable mais encore perturbé par du bruit. Comme ce

bruit résidueldiminue avec la racine carrée du nombre d'échantillon, on voit qu'on

peut diminuer lebruit en augmentant le nombre d'échantillons enregistrés.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

−20

−10 0 10 20

Signal + bruit avec 20’000 échantillons

x(t)

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

0 10 20 30

r xx ( τ )

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−1

−0.5 0 0.5 1

r xx ( τ )

décalage τ

Fig. 7.7: Extraction d'un signal avec l'aide de l'autocorrélation

7.3.4 Propriétés de l'intercorrélation

Commepour lafonctiond'autocorrélation,onsecontenterad'énoncer lespropriétés

des fonctions d'intercorrélation :

1. Engénéral lac n'est ni paire, niimpaire.

2. Lemaximumde la c sesitue àl'endroitdu décalage correspondant aumaxi-

mumdesimilitudeentrelesdeuxsignaux.Cettepropriétéesttrèsutiliséepour

mesurer des temps de propagation.

3. Comme le fait de retarder

y(t)

^{par rapport à}

x(t)

^{d'une valeur}

τ

^{équivaut à}

avancer lesignal

x(t)

^{par rapport à}

y(t)

^{, onaura :}

r xy (τ ) = r yx ( − τ )

^(7.41)

4. Si les deux signaux sont périodiques de même période, la c sera également

périodique.

7.3.5 Calcul numérique de la corrélation

Lecalculnumériqued'unecorrélationsefaitenremplaçantl'intégralepar lasomme

du produit des valeurséchantillonnéesavec une période constante unité.

Danslecasoùl'onasusammentdepointsàdisposition,onpeutcalculerlasomme

sur

N

^{pointssans atteindre leslimites des signaux} enregistrés. On a alors :

r xy [k] = 1 N

N−1

X

n=0

x[n] y[n + k], k min ≤ k ≤ k max

^(7.42)

Commeon l'a vu plus haut (équ. (7.28)), le calcul de l'intercorrélation peut égale-

ment se faire dans le domaine fréquentiel qui, pour lessignaux numériques, se fait

en utilisantlatransformation de Fourier discrète. On obtient alors

R xy [jk] = 1

N X ^∗ [jk] · Y [jk]

Dans le cas où l'on souhaite utiliser toutes les valeurs à disposition, le nombre

de points intervenant dans la somme diminue au fur et à mesure que le décalage

augmente. Pour éviter de biaiser le résultat de la corrélation, on la calcule alors

commesuit :

r _xy [k] = 1 N − | k |

N −|k|

X

n =0

x[n] y[n + k], 0 ≤ k ≤ N − 1

^(7.43)

Maisalors,onvoitbienque,

k

augmentant,lenombrede pointsàdisposition

N −| k |

diminue. Cequi,statistiquement,rendlerésultatdel'intercorrélationplusincertain

dans lesextrémités de lafonction (voirgure 7.9b).

7.4 Rapport signal sur bruit SNR

Commeonvalevoirplusloin, lesfonctionsde corrélationsont très puissantes pour

extraire un signal

x(t)

^{masqué par un bruit}

n(t)

^{. An de chirer} précisément la

qualité (mauvaise ou non) d'un signal, on utilise la notion de rapport signal/bruit

(Signalto Noise Ratio) dénie commesuit :

SNR dB = 10

^log

P x

P _n

= 20

^log

X ef f

N _{ef f}

[dB] (7.44)

UnSNRégal à0dB,signieque lapuissance

P n

^{du bruit estégale àcelle dusignal}

P _x

^{ou, de manière} équivalente, que

X _{ef f} = N _{ef f}

^.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−20 0 20

SNR = −20 [dB]

temps t

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−5 0 5

SNR = 40 [dB]

Quelques valeurs SNR pour x(t) + n(t)

−0.5 0 0.5

−100 0 100 200

décalage τ P 0 = P

x + P n P x

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−5 0 5

SNR = 0 [dB]

−0.5 0 0.5

−2 0 2 4

P 0 = P x + P

P n x

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−5 0 5

SNR = 20 [dB]

−0.5 0 0.5

−2 0 2

−0.5 0 0.5

−2 0 2

Autocorrélation de x(t) + n(t)

Fig.7.8: Illustrationsde quelques valeurs SNR

Lacolonnegauche de lagure 7.8montre un signal sinusoïdalauquel est ajoutéun

bruit de plus en plus fort. Même si visuellement on observe qu'un SNR de 40dB

est presque indétectable, il est important de savoir qu'en pratique il est fréquent

d'exigerune qualitéde signaux dont lesSNRsontsupérieursà60dB,voire 96dBen

haute-délitéaudio.Malheureusement,iln'estpasrarede devoirtraiterdessignaux

dont leSNR est inférieur à0dB et dans ces cas là,comme onle verra, lesfonctions

de corrélation sontextrêment utiles.

Enn, comme on l'a vu dans la section précédente, les fonctions d'intercorrélation

sontnulles danslecas designauxindépendants,noncorrélés. Ainsi,danslecasd'un

bruit

n(t)

indépendant ajouté à un signal

x(t)

^{, la fonction} d'autocorrélation de la sommedes deux vaut-elle

r x+n (τ ) = r xx (τ) + r nn (τ)

^(7.45)

On voit alors que la puissance de deux signaux indépendants est égale à la somme

des puissances individuellescar

r x + n (0) = P tot = r xx (0) + r nn (0) = P x + P n

^(7.46)

Ce quipermet parfois,lorsque lesignal

x(t)

^est périodique,d'estimer lesdeux puis- sancesetd'endéduirelavaleurdu SNRcommelemontre lacolonnede droitede la

gure7.8.

7.5 Exemples de corrélation

Lafonctiond'intercorrélationesttrèssouventutiliséepourdétecterlaprésenced'un

messageetmesurer un temps de propagation.Dans ce but, le signal émis est choisi

de manièreà ce que lepicde safonction d'autocorrélation soittrès bien déni. Les

signaux leplus souvent utilisésont les signaux chirp (à fréquence variable aucours

du temps)et lesséquences binaires pseudo-aléatoires.

7.5.1 Autocorrélation d'un signal chirp

Le signal chirp est un signal sinusoïdal dont la fréquence (ou la pulsation) varie

linéairement avec le temps.Il est dénicomme suit

x(t) = A sin(θ(t) + α)

avec

θ(t) = Z t

0

ω(t) dt ω(t) = ω min + ω max − ω min

t max

t 0 ≤ t ≤ t max

Safonction d'autocorrélationpossède unmaximum trèsbien dénicorrespondant à

lapuissance du signalqui vaut

A ² /2

^{(gure 7.9a).}

7.5.2 Autocorrélation d'une SBPA

Uneséquence binairepseudo-aléatoire(SBPA)estunesuccession devaleursbinaires

(généralement

± 1

^{) dont la} distribution temporelle possède un caractère aléatoire pendant une certaine durée et qui ensuite se répète périodiquement. Sa fonction

d'autocorrélation possède également un pic très bien déni égal à la puissance

A ²

du signal (gure7.9b).

7.6 Trois applications de la corrélation

7.6.1 Le radar

Comme exemple illustratif, imaginons le principe du radar avec lequel on désire

détecter la présence ou non d'un avion puis connaître la distance à laquelle il se

trouve.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

−1

−0.5 0 0.5 1

Signal chirp

temps

x(t)

−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

−0.2

−0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

Autocorrélation d’un signal chirp

décalage r xx ( τ )

0 50 100 150 200 250

−1

−0.5 0 0.5 1

Séquence binaire pseudo−aélatoire

s[n]

temps n

−100 −50 0 50 100

−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

Autocorrélation d’une SBPA

décalage m r ss [m]

Fig. 7.9: Fonctions d'autocorrélation d'un signalchirp etd'une SBPA

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

−1

−0.5 0 0.5 1

Signal émis

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

−0.1

−0.05 0 0.05 0.1

Signal reçu en présence de l’avion

Instants n

Fig. 7.10: Signaux émis etreçus par un radar

Leradarémet un signal chirp

x(t)

^{etcapte en retourl'écho}

y(t)

^{renvoyé par l'avion}

(gure7.10).S'iln'yapas d'aviondans lazone couvertepar leradar, lesignalreçu

y(t)

^{est constitué d'un bruit}

n(t)

^{seulement.De plus, il est évident que si un avion}

est présent, le signal

y(t)

^{reçu en retour consiste en une version atténuée, retardée,}

etfortement bruitéedu signal émis

x(t)

^{. Ainsi,lesignal reçu peut être décrit par :}

y(t) = A x(t − t d ) + n(t)

avec :

A

^=unefonctiond'atténuationdépendantde ladistance etde laformede l'avion

t d

^{=le tempsmis par l'onde pour faire son aller etretour}

n(t)

^{= lebruit additif captépar l'antenne et générépar} l'électronique du radar.

Pratiquement, le signal reçu est tellement perturbé par le bruit qu'une analyse vi-

suelle ne permet pas de déceler la présence ou l'absence d'un signal rééchi par

l'avion(gure 7.10).

Lesgures7.11aet7.11billustrentleprincipede l'utilisationd'unsignalchirp pour

détecterun avionetmesurer sadistance. Considéronslesdeux situationssuivantes :

1. Absence d'un avion :Lesignalreçu

y(t)

^{est fortementatténué etperturbé.}

Seule une intercorrélation entre

x(t)

^et

y(t)

^{permet de savoir si un avion est}

présent ou non. Dans ce dernier cas, aucun pic bien distinct n'apparaît dans

legraphe (gure7.11a).

2. Présenced'un avion:Ici,l'intercorrélationfaitapparaîtreun pictrèsétroit

sedégageant nettement au-dessus du bruit de fond (gure 7.11b). On notera

quecepicestlégèrementdécaléversladroiteparrapportàlapositioncentrale;

ce décalage correspond au temps d'aller et retour du signal émis. Unefois ce

tempsdéterminé,onpeut calculerladistance de l'avionpar rapportauradar.

7.6.2 La mesure d'un débit

On présente ici un débitmètre industrielréalisé par l'Institut d'AutomatisationIn-

dustriellede laheig-vd. Leprincipe,de mêmeque saréalisation, en est très simple.

Unecamérafournit régulièrementdesimagesd'un uxdegranulés (gure7.12).En

eectuantlacomparaisonparintercorrélationdedeuximagessuccessives,onobtient

un point lumineux se situant aux coordonnées du déplacement

∆y(t)

^. Connaissant lasection

A

^{du conduit, on peut calculerle débit aucours du temps:}

Q(t) = A · ∆y(t)

∆t

La seule diculté de cette mesure réside dans le temps nécessaire pour calculer

l'intercorrélationen temps réel. En eet, si l'on imagine que l'on dispose d'images

de 100x400pixels, on doittraiter 40'000pixels par intercorrélation; ce quientraîne

un nombre d'opérations valantenviron

N op ' N _pxl ² = 16 · 10 ⁸

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

−0.1

−0.05 0 0.05 0.1

Signal reçu en l’abscence de l’avion

−500 −400 −300 −200 −100 0 100 200 300 400 500

−2

−1 0 1 2 3 4

5 x 10 ⁻³ Intercorrélation en l’abscence de l’avion

décalage m

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

−0.1

−0.05 0 0.05 0.1

Signal reçu en présence de l’avion

−500 −400 −300 −200 −100 0 100 200 300 400 500

−2

−1 0 1 2 3 4

5 x 10 ⁻³ Intercorrélation en présence de l’avion

Instants n

Fig.7.11: a) Intercorrélation entre un signal chirp etdu bruit

b) Intercorrélationentre un signal chirp et du bruit corrélé

Fig.7.12: Interface du débitmètre de granulés

Même avec un DSP très performant(

T clock ' 10

^{ns), iln'est pas possible de fournir}

une information en moins d'une seconde. Par contre, en utilisant la FFT on peut

espérer fournir des résultats dans le temps imparti car celle-ci demande beaucoup

moinsd'opérations

N op ' N pxl

^log

2 (N pxl ) ' 40 · 10 ³ · 15 = 6 · 10 ⁵

L'algorithmede calculest alors lesuivant

1) acquisition de image1

2) acquisition de image2

3) FFT bidimensionnelle de image1 et image2 => IMG1 et IMG2

4) calcul de Rxy = conj(IMG1) * IMG2

5) FFT inverse pour obtenir rxy

6) recherche des coordonnées du maximum d'intensité

Unefoisces calculseectués, il reste encoresusamment de tempspourcalculer le

débitactuel, lisser cette valeur, acher lesimages, etc (gure 7.12).

7.6.3 La mesure du rythme cardiaque

On s'intéresse ici à la mesure automatique des pulsations cardiaques à l'aide de

moyens simples : un stéthoscope muni d'une capsule microphonique etla carte-son

d'un PC permettant d'enregistrerleson caractéristiquedes battements cardiaques.

D'un point de vue analytique, ces pulsations de très basse-fréquence (environ une

pulsationpar seconde) sont modulées par un soue basse-fréquence situé aux envi-

rons de 100Hz. C'est ce qui rend le son audible puisque l'oreille humaine n'entend

pas les sons inférieurs à20Hz. Commele rythme cardiaque est périodique, on peut

espérer, grâce à l'autocorrélation, éliminer le bruit environnant et faire apparaître

clairementlapériode du rythme cardiaque.

Cependant, àcause des perturbationsliées àla mesure,leschoses ne sont pas aussi

simples et, très vite, on se rend compte que la recherche de l'enveloppe du signal

mesurésera bien plus fructueuse. Les diérentes étapesà parcourir pour obtenir le

rythmecardiaque avec un bontaux de réussite sont alors lessuivantes.

Après acquisition du signal

x(t)

^{à l'aide de la carte son d'un PC (}

f e

^{= 8kHz) et}

sa sauvegarde dans un chier *.wav, on peut, avec Matlab, eectuer les calculs

ci-dessous :

1. élimination des fréquences inintéressantes par ltrage passe-bande du signal

entre 60et 500Hz;

2. limitationdes amplitudes du signalà

3 · σ

^où

σ

^{est lavaleurecace du signal}

(écart-type);

3. recherche de l'enveloppe du signal; celle-cis'obtient de manièresimilaire à la

démodulationd'amplitudepar le redressement du signal etson ltragepasse-

bas;

Fig. 7.13: Analyse d'un signal phonocardiographique

4. autocorrélation de l'enveloppe;

5. recherche du maximum situé dans ledomaine des pulsations cardiaques ordi-

naires; pour despulsations comprises entre 50et200puls/min,lepremierpic

setrouvera entre 1.2et0.3 secondes.

La gure 7.13 illustre ces diérentes étapes et elle montre, à l'évidence, combien

l'autocorrélation est puissante pour extraire une information noyée dans du bruit.

7.7 Description des signaux aléatoires

Pardénition,lessignauxaléatoiresnepeuventpasêtredécritsanalytiquement.On

peut cependant tenter de lesclasser dans une des trois catégories types qui sont :

les bruits à large bande dans lesquels toutes les fréquences sont présentes à am-

plitudes égales(gure 7.14a);

les bruits à bande limitée dans lesquels les composantes hautes fréquences sont

nulles (gure 7.14b);

les bruitscolorés dans lesquels toutes les fréquences sontprésentes mais avec des

amplitudes variables (gure7.14c).

Commeaucune description analytiquen'est possible pour lessignaux aléatoires, on

tente d'en extraire des moyennes temporelles en utilisantleurs fonctions d'autocor-

rélation (fac) illustrées à la gure 7.15. On en déduit que la fac du premier signal

est extrêmement étroite; on la modélise par une impulsion de Dirac. La deuxième

fac rappelleune fonction en sinus cardinal.Enn, la troisième peut être modélisée

par une exponentielle décroissante symétrique.

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−1

−0.5 0 0.5 1

(a)

Bruits: (a) large bande (b) bande limitée (c) coloré

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−1

−0.5 0 0.5 1

(b)

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−1

−0.5 0 0.5 1

(c)

t

Fig.7.14: Trois signaux aléatoirestypes

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−0.5 0 0.5

1 (a)

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−0.5 0 0.5

1 (b)

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−0.5 0 0.5

1 (c)

τ

Fig. 7.15: Fonctionsd'autocorrélation des trois bruitstypes

On dénit alors ladensité spectralede puissance

R xx (jf )

^{commeétant latransfor-}

mée de Fourier de la fonctiond'autocorrélation

r xx (τ )

^:

R xx (jf ) =

Z + ∞

−∞

r xx (τ ) exp( − j 2πf τ ) dτ

V

2

sec

=

V

2 /

^Hz

L'observation de la densité spectrale de puissance (gure 7.16a) des trois signaux

permetdetirerquelques propriétésetde dénirdes modèlesreprésentantaussibien

quepossible chacune des trois densités spectrales de puissance (gure 7.16b).

Lebruitblanc àdensitéspectraleconstanteet bandeinnie Ilcontienttoutes

les fréquences de

−∞

^à

+ ∞

^{et sa densité spectrale de puissance est constante. Il}

est alors représentépar

R xx (f) = A ² − ∞ < f < + ∞

V

2 /

^Hz

(7.47)

dont la facest une impulsionde Dirac :

r xx (τ ) = A ² · δ(τ)

V

2

(7.48)

LethéorèmedeParsevalnousditalorsquesapuissanceestinnie.Commecelan'est

pas possible, on préfère travailler avec un modèle plus réaliste, le bruit à densité

spectraleconstante età bande limitée

Le bruit à densité spectrale constante et bande limitée Il contient toutes les

fréquencesde

− f max

^à

+f max

^{.Sapuissancenieest souvent désignéeparlavariance}

statistique

σ _x ²

^{qui n'est autre que le carré de la valeur ecace}

X _{ef f} ²

^{du signal. Ce}

bruitest alors représenté par

R xx (f ) =







σ x ²

2 f max si − f max < f < +f max

V

2 /

^Hz

0 sinon

(7.49)

dont la facvaut

r xx (τ) = σ ² _x sin(2π f max τ)

2π f _max τ − ∞ < τ < + ∞

V

2

(7.50)

Lebruit coloréà puissancenie Ilcontienttouteslesfréquences de

−∞

^à

+ ∞

^.

Mais sa puissance

σ _x ²

^{est nie car son contenu spectral diminue assez rapidement}

avec la fréquence. Unmodèle souvent utilisé est le suivant:

R xx (f ) = σ _x ² πf c

1 1 +

f f ^c

² − ∞ < f < + ∞

V

2 /

^Hz

(7.51)

dont la facvaut

r xx (τ) = σ ² _x · e ^−a|τ| − ∞ < τ < + ∞

V

2

(7.52)

avec

a = 2π f c [1/

^sec

]

^(7.53)

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 0

0.5

1 (a)

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

0 0.5

1 (b)

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

0 0.5

1 (c)

f

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

0 0.5

1 (a)

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

0 0.5

1 (b)

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

0 0.5 1

f (c)

Fig.7.16: a) Densités spectrales de puissance des trois bruitstypes

b) Troismodèles simples pour les représenter

7.7.1 Tension équivalente de bruit

Ilest intéressantde releverque,pour lescomposantssemiconducteurs,ladonnée de

ladensitéspectrale de puissance

R(f)

^{est remplacée par une tension} équivalente de bruit qui n'est autre quela racine carréede ladensité spectrale de puissance :

e n (f ) ≡ p R(f )

√

V Hz

(7.54)

Fig. 7.17: Tensionéquivalente de bruit à l'entrée d'un LF411

Par exemple, les caractéristiques de l'amplicateur opérationnel LF411 (g. 7.17)

montrent que, dans les basses fréquences (

f < 30

^{Hz), le spectre du bruit décroît à}

raisonde10[dB]pardécade environ(ickernoise=bruitde grenaille)etqu'ilreste

pratiquement constant audelà de 300 [Hz]. Il vaut alors :

e n ∼ = 25

nV

√

Hz

f > 300 [

^Hz

]

Connaissant cette valeur, on peut ainsi estimer la valeur ecace du bruit dans un

domainede fréquencesdonné.S'intéressant,par exemple,audomainede fréquences

1

^kHz

< f < 100

^kHz

lapuissance du bruitvaut

P n = Z f 2

f ¹

e ² _n (f ) df ' e ² _n · ∆f = 625 · 10 ⁻¹⁸

^V

2

Hz

· 99

^kHz

= 6.2 · 10 ⁻¹¹ [

^V

² _{ef f} ]

Cequicorrespondàunetensionecacedebruitd'environ8

µ

^V

ef f

^{présenteàl'entrée}

de l'amplicateuropérationnel.

7.8 Systèmes linéaires et densités spectrales

Ilest très fréquentque l'ondoiveétudierdes signauxreliés entre-eux parle passage

autravers d'un système linéaire,par exemple un ltre. Celui-ci étant décrit par sa

réponse impulsionnelle

h(t)

^{ou sa réponse} fréquentielle

H(jf )

^{, les signaux d'entrée}

x(t)

^{et de sortie}

y(t)

^{sont alors reliés entre eux par le produit de} convolution

y(t) = Z +∞

−∞

h(θ) x(t − θ) dθ

^(7.55)

On s'intéresse ici à préciser, en particulier aux niveaux des unités, quelles sont les

relationstemporellesetfréquentiellesentredessignauxàénergienieouàpuissance

nie.

7.8.1 Signaux à énergie nie

Ce sont lessignaux dontla TF existe car ils sont intégrables en valeur absolue

Z + ∞

−∞ | x(t) | dt < ∞

^(7.56)

Il s'agit généralement de signaux temporaires ou à décroissance rapide. On dénit

alors lesdensités spectrales d'amplitude (DSA) des signaux

x(t)

^et

y(t) X(jf ) =

Z +∞

−∞

x(t)

^exp

( − j2π f t) dt

^[V/Hz]

Y (jf) = Z ⁺ ∞

−∞

y(t)

^exp

( − j2π f t) dt

^[V/Hz]

etl'on a

Y (jf ) = H(jf ) · X(jf )

^(7.57)

Pour ces signaux,les fonctions de corrélation secalculent comme suit

r xy (τ) = Z + ∞

−∞

x(t) y(t + τ ) dt

^{[V sec] (7.58)}

etonpeut montrer queles relationssuivantes sont vraies :

R _xx (f) = X ^∗ (jf) · X(jf ) [

^V

² /

^Hz

² ]

^(7.59)

R xy (jf ) = X ^∗ (jf ) · Y (jf ) = | X(jf ) | ² · H(jf ) [

^V

² /

^Hz

² ]

^(7.60)

R yy (f ) = | H(jf ) | ² · R xx (f) [

^V

² /

^Hz

² ]

^(7.61)

7.8.2 Signaux à puissance nie

LaTF de ces signaux n'existe pas car leur énergieest innie. Il s'agitgénéralement

designauxaléatoirespermanents.Onlesmodélisealorspar leurfonctiond'autocor-

rélation

r xx (τ ) = lim

T →∞

1 T

Z ⁺ T / 2

−T / 2

x(t) x(t + τ) dt [

^V

² ]

^(7.62)

etondénitleur densité spectrale de puissance (DSP)

R xx (f )

^{commelatrans-}

formée de Fourier de la fonctiond'autocorrélation

R xx (f) = Z ⁺ ∞

−∞

r xx (τ)

^exp

( − j2π f τ) dτ [

^V

² /

^Hz

]

^(7.63)

Lorsque les signaux

x(t)

^et

y(t)

^{sont reliés entre eux par une opération de ltrage}

linéaire,le produit de convolution relie également lesfonctions de corrélation entre

elles etl'on a :

r xy (τ) = Z + ∞

−∞

h(θ) r xx (τ − θ) dθ [

^V

² ]

^(7.64)

R _xy (jf ) = T F (r _xy (τ) = H(jf ) · R _xx (f)

V

2

/Hz

(7.65)

où

R xy (jf )

^{est ladensité} interspectrale de puissance.

Letableau 7.1réunit les relationsexistantentre les signaux, lesfonctions de corré-

lationet lesdensités spectralesd'amplitudes (DSA) oude puissance (DSP).

Domaine temporel DSA

Énergie nie signaux

x(t), y(t) T F (x(t), y(t))

[unités] [V] [V/Hz]

entrée

x(t) X(jf )

système

h(t) H(jf )

sortie

y(t) Y (jf )

relations

y(t) = h(t) ⊗ x(t) Y (jf ) = H(jf ) · X(jf)

Puissance nie Corrélation DSP

[unités] [V

2

] [V

2

/Hz]

entrée

r _xx (τ ) R _xx (f )

système

h(τ) H(jf )

sortie

r xy (τ ) R xy (jf )

relations

r xy (τ ) = h(τ ) ⊗ r xx (τ) R xy (jf ) = H(jf ) · R xx (f)

R _yy (f ) = | H(jf ) | ² · R _xx (f )

Tab. 7.1: Relations temporelles etfréquentielles

7.9 Signaux, spectres et statistique

Lapage suivante, tirée de l'ouvrage de F. de Coulon[2], illustre lespropriétés tem-

porelles, spectrales etstatistiques de quelques signaux. Comme onl'a déjà ditplus

haut, ces descriptions ne sont que des points de vue diérents d'une même réalité:

le signal temporel

x(t)

^{. Ces points de vue sont} complémentaires et c'est le but du traitementdes signauxde lesrelier entre euxetd'en tirerecacement lemaximum

d'information.

Fig.7.18: Descriptions temporelle, spectrale etstatistique de signaux typiques [2]

7.10 Quelques exemples

Exemple 1 : Signal temporaire

Onappliqueuneexponentielledécroissante

u 1 (t) = U 0 exp( − at)(t)

^{àunltrepasse-}

bandeidéal. On demande :

1. Dessinez laréponse fréquentielle du ltre.

2. Esquissezles densités spectralesd'amplitude

| U 1 (jf ) |

^et

| U 2 (jf ) |

^.

3. Quevalentles densités spectrales d'énergie

S 1 (f)

^et

S 2 (f )

^?

4. Calculez lesénergies

W 1

^et

W 2

^{des signaux d'entrée et de sortie.}

5. A.N.:

U 0 = 10 [

^V

], a = 24 ⁰ 000 [

^1/sec

], f 1 = 4 [

^kHz

], f 2 = 6 [

^kHz

]

Solution:

Exemple 2 : Signal aléatoirepermanent

Un opérateur vous informe qu'il a mesuré à la sortie d'un amplicateur un bruit

largebande dont lavaleur ecace vaut

U 1 ,ef f = 0.01 [

^V

_{ef f} ]

^.

1. Quelleest lapuissance

P 1

^{dece bruit?}L'informationapportée parl'opérateur est-ellesignicative etsusante?

2. Aprèsdiscussion,celui-ciprécisequecettemesureaétéeectuéeavec unvolt-

mètreàvraievaleur ecace dontlabande passanteest de 100kHz. Choisissez

un modèle de densité spectralede puissance correspondant.

3. Esquissez

R 1 (f)

^{et calculezsa valeur.}

4. La sortie de cet amplicateur est branchée sur un ltre passe-bas idéal dont

la fréquence de coupure est xée à 1 kHz. Esquissez la densité spectrale de

puissance

R 2 (f )

^{du bruit aprèsle ltre.}

5. Quellevaleur ecace

U 2 ,ef f

mesurerez-vous après leltre? Solution:

Exemple 3 : Signal aléatoirepermanent

À la sortie d'un amplicateur dont la bande passante est de

100 [

^kHz

]

^{, on mesure}

un bruit de

10 [

^mV

_{ef f} ]

^{. On ltre ce bruit avec un ltre RC passe-bas réalisé avec}

R = 1.6 [

^k

Ω]

^et

C = 100 [

^nF

]

^.

1. Choisissezunmodèlededensitéspectraledepuissance

R 1 (f )

^{dubruitdesortie}

de l'amplicateuretcalculez savaleur.

2. Calculez lafréquence de coupure du ltre passe-bas.

3. Esquissez sur un même diagramme les densités spectrales de puissance

R 1 (f )

et

R 2 (f )

^{présentes à l'entrée età lasortie du ltre RC.}

4. Quellesera la valeur ecace de latension àla sortie du ltre RC?

Solution:

Exemple 4 : Signal temporaire

On applique une impulsion de tension d'amplitude

E

^{et de largeur}

∆t

^{à un ltre}

passe-bande LC-R caractérisé par sa fréquence de résonance

f 0

^{et son facteur de}

qualité

Q 0

^{. Admettant que la largeur de} l'impulsion est beaucoup plus petite que lestemps caractéristiquesdu ltre :

1. Esquissez

u 1 (t)

^et

u 2 (t)

^{ainsi que}

| U 1 (jf ) |

^et

| U 2 (jf ) |

^.

2. Calculez

U 1 (jf )

^et

U 2 (jf )

^.

3. Calculez l'énergie

W 1

^{du signal d'entrée.}

4. Calculez l'énergie

W 2

^{du signal de sortie du ltre.}

5. A.N.:

E = 10 [

^V

], ∆t = 10 [µ

^sec

], f 0 = 1 [

^kHz

], Q 0 = 10

^.

Solution:

7.11 Exercices

Correl 0

Considérant deux signaux numériques

x(n)

^et

y(n)

^{déniscomme suit :}

n · · ·

^{0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14}

· · ·

x(n)

^{0 0 0 0 0 0 1 2 3 4 0 0 0 0 0 0 0}

y(n)

^{0 0 0 0 0 0 0 0 4 3 2 1 0 0 0 0 0}

calculezetreprésentez lafonction d'intercorrélation

r _xy (m) =

+∞

X

n=−∞

x(n) y(n + m)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

0 2 4

x(n)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

0 2 4

y(n)

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10

0 10 20 30

n, m r xy (m)

Fig. 7.19: Exercice Corr 0

Correl 1 Considérant le signal

x(t)

^{déni comme suit :}

x(t) =



 

 

 

 



 

 

 

 



− A si − ∆t < t < 0 0 si t = 0 +A si 0 < t < ∆t

0 si | t | ≥ ∆t

ondemande :

1. esquissez

x(t)

^;

2. calculezsafonction d'autocorrélation pour lesvaleurs particulières suivantes

τ = 0, ± ∆t, ± 2∆t

^;

3. esquissezla fonction

r xx (τ), −∞ < τ < + ∞

^.

Correl 2 Considérant les 3signaux suivants :

une exponentielle décroissante

x(t)

d'amplitude

A

^{etde constante de temps}

τ 1

^,

uneimpulsionrectangulaire

y(t)

^{centrée en}

t = 0

^,d'amplitude

A

^etdelargeur

∆t

^,

une impulsiontriangulaire

z(t)

^{centrée en}

t = 0

^, d'amplitude

A

^{et de base 2}

∆t

^,

ondemande :

1. esquissezces 3signaux;

2. calculezdes valeurs particulières de leur fonction d'autocorrélation;

3. calculezleur fonction d'autocorrélation pour

τ

^{comprisentre +et}

∞

^;

4. esquissezces fonctions.

Remarque Lecalcul de latroisièmefonction n'est pas simple;sans entrer dans le

détaildes calculs,imaginezcomment vous devriez vous y prendre pour le faire.

Correl 3 Calculez la fonction d'intercorrélationdes signaux

x(t)

^et

h(t)

^{de l'exer-}

ciceCorr3.Avantdevouslancerdanslescalculs,imaginezoùsesitueralemaximum

de lafonction. Esquissez le résultatde l'intercorrélation.

2

2T t 0

h(t)

1

T

t 0

x(t)

Fig. 7.20: Exercice Corr 3

Correl 4 On souhaite connaître lafonction d'intercorrélationdes signaux

h 2 (t)

^et

h 1 (t)

^{de l'exercice Corr4 :}

r 21 (τ) = Z + ∞

−∞

h 2 (t) h 1 (t + τ ) dt

Pour cela :

1. imagineztout d'abord l'endroitoùse situerale maximum de la c;

2. montrez que,pour lespoints particulierssuivants

τ = {− 2∆t, − ∆t, 0, +∆t }

^,

ona,respectivement,

h 21 (τ) =

0, A ^{2 ∆t} ₃ , A ^{2 ∆t} ₆ , 0

^;

3. pourquoi,commeilestprécisédanslaremarqueci-dessous,lecalculest-ilplus

simplelorsque

τ

^{est compris entre 0 et}

∆t

^?

4. quepensez-vous des résultatsgraphiques obtenusavec Matlab (gure7.21)?

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

0 0.5 1

h 1 (t)

Ex.CR4

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

0 0.5 1

h 2 (t)

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

0 0.2 0.4

temps [∆t]

r 21 ( τ )

Fig. 7.21: Exercice Corr 4

Remarque Pour donnerune idéede ce quereprésentel'approche analytique,voici

le calcul de la partie la plus simple correspondant audécalage avancé de

h 1 (t + τ )

avec

τ

^{comprisentre 0 et}

∆t

^.

Commel'on a :

r 21 (τ) = Z ⁺ ∞

−∞

h 2 (t) h 1 (t + τ ) dt

ilfaut commencerpar décrireles 2fonctions suivantes :

h 2 (t) = A

∆t t h 1 (t + τ) = A

1 − t + τ

∆t

valablespour

0 < t < ∆t

^, respectivement,

− τ < t < ∆t − τ

^.

Puis, tenant comptedes partiesnulles, ilvient :

r 21 (τ ) =

Z ∆ t−τ 0

h 2 (t) h 1 (t + τ ) dt

=

Z ∆ t−τ 0

A

∆t t A

1 − t + τ

∆t

dt

= A ²

∆t

Z ∆t−τ 0

t − t ²

∆t − τ t

∆t

dt

= A ²

∆t t ²

2 − t ³

3∆t − τ t ² 2∆t

∆t−τ

0

= A ²

∆t

(∆t − τ) ² 2

1 − τ

∆t

− (∆t − τ ) ³ 3∆t

= A ² (∆t + τ) ²

6 ∆t ² (∆t − τ)

Ce qui donneen particulier les2 valeurs suivantes :

r 21 (τ = 0) = A ² ∆t

6 r 21 (τ = ∆t) = 0

SAL 1 Sachant qu'un signal aléatoire

x(t)

^{décritpar safac}

r xx (τ ) = σ _x ²

^exp

( − a | τ | )

^avec

a = 2πf c

possède ladensité spectrale de puissance suivante

R xx (f) = σ _x ² πf c

1 1 +

f f ^c

²

ondemande de calculer sapuissance de deux manièresdiérentes. Que vaut-elle?

Réponse :

P x = σ ² _x

SAL 2 Sachant qu'un bruit

x(t)

^{dont la facvaut}

r xx (τ) = 10 ^{− 4}

V

2

exp

( − a | τ | )

^avec

a = 1000

sec

− 1

passeautravers d'unltre passe-bandeidéalcaractérisépar ses deuxfréquences de

coupure

f i = 100 [

^Hz

]

^et

f s = 200 [

^Hz

]

^{, on demande de calculer lesvaleurs ecaces}

des signaux d'entrée

x(t)

^{etde sortie}

y(t)

^.

Réponse :

U x,ef f = 10

^mV,

U y,ef f = 3.3

^mV