Chapitre 7 Primitives et Int´egrales

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Chapitre 7

Primitives et Int´egrales

7.1 Primitive d’une fonction

Soit f une fonction définie sur un intervalle K de R. On appelle primitive de f , une fonction F dont la dérivée est f :

F� (x) = f (x). On note F (x) = � f (x) dx.

On dit que F est une primitive ou une intégrale de f et que l’on a intégré f . • On admettra que toute fonction continue sur K admet des primitives sur K. L’expression dF = f (x) dx est l’élément différentiel de l’intégrale.

7.2 Propri´et´es des primitives.

1o _{Si F est une primitive de f , les autres primitives sont F + (Constante).}

2o � �λ f(x) + µ g(x)� dx = λ � f (x) dx + µ � g(x) dx ∀ λ� µ ∈ R.

7.3 Intégrale définie �ou Intégrale de Riemannn)

Soit x �−→ f(x) une fonction bornée sur un intervalle borné (a� b). On cherche à évaluer, dans un repère orthonormé, l’aire algébrique� de la surface délimitée par le graphe de f , l’axe Ox et les droites x = a et x = b. Pour ce faire, on considére les points x0� x1� . . . � xn ∈ (a� b) tels que a = x0 < x1 < · · · < xn−1 < xn = b.

On a ainsi divis´e (a� b) en n intervalles partiels. Soit ζi ∈ [xi−1� xi] et consid´erons

la somme, que l’on appelle somme de Riemann :

(2)

a=x

0

x

1

x

2

x

3

x

i−1

x

i

x

n−1

x

n

=b

y=f(x)

ζ

i

f(ζ

i

)

…

y

x

O

Sn mesure donc l’aire alg´ebrique totale des rectangles hachur´es. Cette somme

d´epend de nombreux param`etres, comme les valeurs des xi, ou la position des ζi.

Si, quand n → ∞ de sorte que les longueurs de tous les intervalles partiels tendent simultan´enent vers z´ero, toutes les sommes de Riemann Sn ont une

li-mite commune égale à �, indépendante du partage de (a� b), on dit que f est intégrable sur (a� b) ; cette limite s’appelle :

Intégrale définie de f sur (a� b) et se note I = � b

a

f (x) dx.

Le nombre I ainsi défini résulte d’opérations compliquées et l’on pourrait douter de son existence. Le théoréme suivant nous rassure :

Théorème. Toute fonction bornée ayant un nombre fini de points de discontinuité sur un intervalle borné (a� b) est intégrable �au sens de Riemann) sur (a� b).

7.3.1 Discontinuit´e de f

Si la fonction f est discontinue au point x0 ∈ (a� b) et si elle a une limite ﬁnie `a

gauche et une limite finie à droite de x0, on posera par définition :

� b a f (x)dx = � x0 a f (x)dx + � b x0 f (x)dx.

7.3.2 Propriétés de l’intégrale définie 1o � a a f (x)dx = 0 ∀a ∈ R. 2o � b a f (x)dx + � c b f (x)dx = � c a f (x)dx ∀a� b� c ∈ R.

(3)

3o � b a kf (x)dx = k � b a f (x)dx _{k ∈ R.} 4o � b a f (x)dx = − � a b f (x)dx _{∀a� b ∈ R.} 5o _{Si a < b et f (x)}_{≥ 0 alors} � b a f (x)dx ≥ 0. 7.3.3 Formule de la Moyenne.

On appelle valeur moyenne de la fonction f sur [a� b] l’expression : 1

b − a � b

a

f (x)dx

Théorème. Soit f définie et continue sur [a� b]. Alors il existe c∈]a� b[ tel que

f (c) = 1 b − a � b a f (x) dx O f(c) a c b y = f(x) x y

Ce résultat se déduit du théorème des accroissements finis appliqué à la fonction x �−→

� x

a

f (t) dt sur l’intervalle [a� b].

7.3.4 Relation entre intégrale définie et primitive

Si f est une fonction continue sur l’intervalle I de R et a� b� c� x∈ I� on démontre que la fonction F définie par

x �−→ F (x) = � x

c

f (t) dt admet une d´eriv´ee F�

; de plus F�

= f . Une primitive de f est donc F et puisque � b a f (x)dx = � b c f (x)dx − � a c f (x)dx �relation de Chasles) : � b a f (x)dx = F (b) − F (a) = � F (x)�b a

7.4 Tableau de primitives usuelles

Lu ”à l’envers”, un tableau de dérivées est un tableau de primitives.

Le calcul d’une primitive consiste, souvent après quelques transformations que nous allons étudier au paragraphe suivant, à ”reconnaˆıtre” une des fonctions du tableau �qu’il est donc conseillé de savoir par coeur) :

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TAB. 7.1: Tableau de primitives usuelles

D´eﬁnie sur Fonction f F (x) =� f (x) dx R∗ ou R∗ + xα (α < 0 α �= −1) xα+1 α + 1+ C R_{ou R}+ _xα _{(α > 0)} x α+1 α + 1+ C R 1 1 + x2 Arc tan x + C R_{\ {−1� +1}} 1 1 − x2 1 2ln � � � � 1 + x 1 − x � � � � + C R∗ −∪ R ∗ + 1 x ln |x| + C R _ax_{(a > 0)} a x ln a+ C R _ex _ex_{+ C} R _{sin(ωx + α) ω �= 0} ₋1 ωcos(ωx + α) + C R _{cos(ωx + α)} _{ω �= 0} 1 ωsin(ωx + α) + C R_\�π 2 + kπ � 1 cos2_x = 1 + tan 2_x _{tan x + C} R_{\ {kπ}} 1 sin2_x = 1 + cotan 2_x −_{tan x}1 + C R_\�π 2 + kπ � tan x _{− ln | cos x| + C} ] − 1� +1[ √ 1 1 − x2 Arcsinx + C

(5)

7.5 M´ethodes de calcul des primitives et des int´egrales

7.5.1 Changement de variable naturel

Si f (x) peut se mettre sous la forme f (x) = ϕ[u(x)]u�

(x) o ù ϕ est une fonction continue dont Φ est une primitive et si u est à dérivée continue, alors :

f (x)dx = ϕ(u)u� (x)dx = ϕ(u) du et _� f (x)dx = � ϕ(u) du = Φ(u(x)) + C Pour les intégrales définies, la formule devient :

� b

a

f (x)dx = � u(b)

u(a)

ϕ(u) du = Φ_{�u(b)� − Φ�u(a)�.} Exemples. 1o _{Calculer I =}

�

tan x dx =

� _{sin x} cos xdx.

Solution On pose u(x) = cos x dont la diff´erentielle est du =− sin x dx. Alors I =− � _du u = − ln |u(x)| + C = − ln | cos x| + C. 2o _{Calculer J =} � 1/2 0 x dx √ 1 − x2

Solution. On pose u(x) = 1−x2 _{donc u(0) = 1, u(1/2) = 3/4 et du =}_{−2x dx.}

On obtient alors J = − � 3/4 1 du 2√u = � −√u�3/4 1 = 1 − √ 3 2 . 7.5.2 Changement de variable forc´e

Pour obtenir une expression plus simple de l’élément différentiel, il peut être utile de poser x = ϕ(t) dont la différentielle est dx = ϕ�

(t) dt ; dans ces conditions : � f (x) dx = � f (ϕ(t))ϕ� (t) dt = � g(t) dt = G(t) + C = G�ϕ−₁ (x)� + C.

o ù G est une primitive de g. Notons que la fonction ϕ doit être inversible et à dérivée continue.

Pour les intégrales définies, toujours avec x = ϕ(t) : � b a f (x) dx = � β α f (ϕ(t))ϕ� (t) dt = G(β) − G(α). o ù α = ϕ−₁_{(a) β = ϕ}−₁

(b) ϕ étant inversible sur [α� β] et à dérivée continue sur ]α� β[.

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Exemple. Calculer � 1/2 0 dx √ 1 − x2

Solution. On pose x = sin t avec t ∈ ] − π 2�

π

2[ qui s’inverse en t = Arc sin x ;

les bornes deviennent Arc sin 0 = 0 � Arc sin1₂ = π

6 , la diff´erentielle s’´ecrit dx = cos t dt et √1 − x2 _{= | cos t| = cos t. Il s’en suit :}

� 1/2 0 dx √ 1 − x2 = � π/6 0 dt = π 6

REMARQUE : Le tableau de primitives donne

(Arc sin x)� = _√ 1 1 − x2 et l’on retrouve : � 1/2 0 dx √ 1 − x2 = � Arc sin x�1/2 0 = π 6 7.5.3 M´ethode d’int´egration par parties

De la formule de dérivation du produit des fonctions �u v�� = u� v + u v� u� v : C1 On déduit � u(x)v� (x) dx = u(x)v(x) − � v(x)u� (x) dx que l’on écrit avec les différentielles :

�

u dv = uv − �

v du

et si les intégrales sont définies, u et v ayant leurs dérivées continues sur (a� b) : � b a udv = [uv]b_a₋ � b a vdu Exemples. 1o _{Calculer I =} � ln x dx. Solution. On pose u = ln x donc du = dx

x et dv = dx donc v = x et l’on int`egre par parties, ce qui donne :

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2o _{Calculer J =}

� 1

0

xexdx.

Solution. On pose u = x d’o `u du = dx et dv = ex_{dx qui donne v = e}x_{. Alors :}

J =�xex�1 0− � 1 0 exdx =�ex_{(x − 1) + C}�1 0= 1.

7.6 Int´egration des fractions rationnelles

Une fraction rationnelle est le quotient de deux fonctions polyn ˆomes P (x) et Q(x) donc de la forme f (x) = P (x)

Q(x).

Exceptés certains cas évidents comme celui o ù f (x) = P

�

(x)

P (x) on décompose d’abord f (x) en éléments simples, puis on calcule les primitives de chacun des éléments simples.

En SV105 de l’I.B.F.A., on se limitera aux éléments simples de 1ère espèce à l’ordre 2 et de 2nde espèce à l’ordre 1 ; et l’on pourra se contenter d’examiner seulement les exemples traités dans les paragraphes suivants :

7.6.1 Décomposition d’une fraction rationnelle en éléments simples dans R On suppose la fraction réduite, c’est à dire P et Q sans facteurs communs. On effectue alors la décomposition du dénominateur Q(x) en produit de polyn ômes irréductibles sur R donc du 1er ou du 2nd degré :

Q(x) = (x − a1)α1. . . (x − al)αl(x2+ p1x + q1)β1. . . (x2+ pkx + qk)βk

o `u p2i − 4qi < 0 et αi� βi∈ N∗.

Les racines a1� . . . � al, de Q, s’appellent les pˆoles de la fraction et l’on d´emontre que

f (x) s’´ecrit de fa¸con unique sous la forme suivante : f�x) = E�x) +� � �α1 �x − a1)α1 + �α1−1 �x − a1)α1−1 + · · · + �1 x_{− a}1 � +� � _B β1x+ Cβ1 �x2_{+ p} 1x+ q1)β1 + Bβ1−1x+ Cβ1−1 �x2_{+ p} 1x+ q1)β1−1 + · · · + B1x+ C1 x2_{+ p} 1x+ q1 �

Les coefficients A1� . . . � Aα1; B1� . . . � Bβ1; C1� . . . � Cβ1sont des nombres réels à déterminer.

La fonction polyn ôme E(x) généralement obtenue par division euclidienne de P par Q est appelée partie entière de f ; remarquons que si do_{P < d}o_{Q alors E(x) = 0}

(8)

Exemple. x8_{+ 2x}5_{+ 8x}4_{− 3x + 1} (x2_{+ x + 1)(x − 1)}3_{(x + 1)} = E(x) + A3 (x − 1)3 + A2 (x − 1)2 + A1 x − 1+ A� 1 x + 1 + Bx + C x2_{+ x + 1} Exemple. 2x4_{− 3x}3+ 4x2_{− 5x + 6} x2_{+ x + 1} = 2x 2 − 5x + 7 + _x−7x − 1₂_{+ x + 1}. A1 (x − a1)α1 + A2 (x − a1)α1−1 + · · · + Aα1 x − a1

est la partie polaire relative au p ˆole a1 et

les différents termes s’appellent éléments de première espèce. B1x + C1

(x2_{+ p}

1x + q1)β1 + · · · +

Bβ1x + Cβ1

x2_{+ p}

1x + q1 est la partie relative au facteur irr´eductible

(x2_{+ p}

1x + q1) et les différents termes s’appellent éléments de seconde espèce.

Pour calculer les coefficients, il existe différents procédés, dont l’identification ; on peut aussi s’aider des remarques suivantes :

Cas d’un p ˆole simple. f (x) = P (x)

(x − a)R(x) R(a) �= 0.

a est un p ˆole simple, sa partie polaire ne comporte donc qu’un seul terme A x − a f (x) = A

x − a + g(x) o `u g(x) n’admet pas 0 comme p ˆole ; A = lim

x→a(x − a)f(x) = limx→a

(x − a)P (x) Q(x) = P (a) lim x→a Q(x) − Q(a) x − a = P (a) Q�_(a). Exemple. f (x) = x 2 (x − 1)(x + 2)(x + 3) = A x − 1+ B x + 2 + C x + 3 Solution. A = lim x→1(x − 1)f(x) = limx→1 x2 (x + 2)(x + 3) = 1 12; B = lim x→−2 x2 (x − 1)(x + 3) = − 4 3 C = limx→−3 x2 (x − 1)(x + 2) = 9 4.

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Cas d’un p ˆole multiple d’ordre α1 ≥ 2.

Le calcul du coefficient Aα1 de l’élément simple

Aα1

(x − a)α1 donne :

Aα1 = lim

x→a(x − a)

α1_{f (x).}

Cas d’une fraction paire ou impaire. Si f est paire �resp. impaire) la décompo-sition est elle aussi paire �resp. impaire) ; cette remarque permet de diminuer le nombre des coefficients à calculer.

Exemple. f (x) = x 4_{+ 4} x3_(x2_{+ 1)} = A3 x3 + A2 x2 + A1 x + Bx + C x2_{+ 1} .

Solution. f est impaire donc f (x) =−f(−x) qui conduit `a A3 x3 + A2 x2 + A1 x + Bx + C x2_{+ 1} = A3 x3 − A2 x2 + A1 x − −Bx + C x2_{+ 1}

et l’identiﬁcation donne A2 = C = 0. Puis on calcule :

A3 = lim x→0x 3_{f (x) = 4 et B = lim} x→i(x 2_{+ 1)f (x) =} i4+ 4 i3 = 5.

Pour d´eterminer A1remarquons lim

x→+∞xf (x) = A1+ B = 1, d’o `u A1 = 4 et ﬁnalement, f (x) = 4 x3 − 4 x+ 5x x2_{+ 1}.

Conclusion : pour intégrer une fraction rationnelle, on est donc ramené dans le cas général à intégrer trois types de fonctions : une fonction polyn ôme qui s’intégre immédiatement et des éléments simples de première ou seconde espèce.

7.6.2 Intégration des éléments simples de première espèce � _dx (x − a)p = 1 (1 − p)(x − a)p−1 + Cte p ≥ 2� � _dx (x − a) = ln |x − a| + Cte p = 1.

7.6.3 Intégration des éléments simples de seconde espèce à l’ordre 1 Ce sont les intégrales I(x) =

� _{Ax + B}

x2_{+ px + q}dx avec p

2_{− 4q < 0.}

La technique consiste à faire apparaˆıtre au numérateur la dérivée 2x + p du polynome x2_{+ px + q :}

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I(x) = A 2 � _{2x + p} x2_{+ px + q}dx + � B − Ap₂ � � _dx x2_{+ px + q} = A 2J(x) + � B − Ap₂ � K

On calcule J(x) par changement de variable naturel en posant u(x) = x2_{+ px + q ce qui donne}

J(x) = � _du u = ln |x 2 + px + q| + Cte. On calcule K(x) = � _dx

x2_{+ px + q} par deux changements de variable cons´ecutifs

après avoir mis le polynome irréductible sous forme canonique. On trouve fina-lement : K(x) = 1 ωArc tan � x + p/2 ω � + Cte et I(x) = A 2 ln(x 2_{+ px + q) +}� B − p₂A� 1 ωArc tan �x ω + p 2ω � + Cte. 7.6.4 Exemples d’intégrales se ramenant à l’intégration d’une fraction

rationnelle

Exemples. 1o _{Soit `a calculer I =}

� _dx sin x. Solution. On pose t = tanx

2. Alors sin x = 2t 1 + t2 et dt = 1 2(1+t 2_{)dx Finalement,} I = � _dt t = ln |t| + C = ln � � �tan x 2 � � � + C . 2o _{Soit `a calculer I =} � _ex_{+ 1} ex_{− 1}dx.

Solution. On pose t = ex_{d’o ù dt = tdx et l’on est ramené au calcul de l’intégrale}

d’une fraction rationnelle en t, `a savoir : I =

� _{t + 1} t − 1

dt t

REMARQUE. On dispose maintenant de calculatrices graphiques qui poss`edent

une fonction permettant le calcul, au moins numérique, d’intégrales définies ; elles se trouvent :

pour les Casio dans option, calc,� (f ct� a� b) pour les Ti dans Math, f nint(f ct� var� a� b)

(11)

7.6.5 Intégrales généralisées

On étend la notion d’intégrale à des fonctions non bornées sur (a� b) ou à des intervalles [a�∞[ ou ]∞� a] à l’aide des définitions suivantes :

1o _{Soit f continue sur [a� b}_{− ε] non born´ee en b. La notation}

� b

a

f (x)dx repr´esente, si elle existe la limite :

lim

ε→0�

� b−ε

a

f (x)dx. On dit que l’int´egrale est convergente et :

� b a f (x)dx = lim ε→0� � b−ε a f (x)dx 2o _{Soit f continue sur l’intervalle [a� X]. La notation}

� +∞

a

f (x)dx repr´esente, si elle existe la limite :

lim

X→+∞

� X

a

f (x)dx On dit que l’int´egrale est convergente et :

� +∞ a f (x)dx = lim X→+∞ � X a f (x)dx Exemples : 1o � +∞ 0 dx

1 + x2 = lim_X→+∞Arc tan X = π/2

2o _{L’int´egrale}

�

e−_x2_/2

dx est convergente ; en effet puisque lim

x→+∞x 2_e−_x2_/2

= 0 il existe x0tel que∀x > x0 x2e−x

2_/2 < 1 ou encore 0 < e−x2/2_< 1 x2 d’o `u : � X 1 e−x2/2 dx < � X 1 dx x2 = 1 − 1 X et en passant `a la limite : � +∞ 1 e−x2/2 dx = lim X→+∞ � X 1 e−x2/2 dx < 1

(12)

Exercices

7.1. A l’aide d’un changement de variable appropri´e, calculer les int´egrales sui-vantes : a) � _dx √ a2_{− x}2 b) � _dx a2_{+ x}2 c) � _{2x + 1} √ x2_{+ x + 1}dx d) � 2 1 ln x x dx e) � xex2 dx f) � π₂ 0 cos x (1 + sin x)4dx g) � cos2_{x dx} _h) � sin3_{x dx} _i) � _{x dx} (x2_{+ 1)}3 j) � _{x dx} √ −x4_{+ 2} �Poser x 2_{= t) �On suppose a ∈ R}∗ +.)

7.2. Calculer, par parties, les int´egrales suivantes : a) � ln x dx b) � _{x Arc sin x} √ 1 − x2 dx c) � x Arc tan x dx d) � _x cos2_xdx e) � eax_{cos(bx) dx} _f) � eax_{sin(bx) dx}

7.3. Calculer les primitives des fractions rationnelles suivantes : a) � _dx x(x2_{+ 1)} b) � _x3 1 − xdx c) � 3 2 x3_{+ 2x}2_{+ 3x − 1} (x − 1)2 dx d) � _25x5_{+ 7x}3 + 2x − 7 x − 1 dx 7.4. Primitives et int´egrales extraites de sujets d’examens du SV105 : a) � ecos2 x_{(cos x sin x) dx et} � xe1−x2 dx

b) Pour quelles valeurs de x la fonction f : x �→ � Arc sin x

1 − x2 est-elle d´eﬁnie et

continue ? Pour ces valeurs, calculer les primitives de f en effectuant un chan-gement de variable naturel.

Après avoir vérifié que cela est possible, calculer J = � e

1

sin(ln x) dx par int´egration par parties.

c) Calculer les int´egrales F (x) = � (2x2_{− 1) cos x dx et} J = � π₂ 0 cos3_{x sin x dx.}

(13)

d) Calculer a, b et c∈ R tels que _{(1 + t}₂1 )(t − 1) = a t − 1 + bt + c t2_{+ 1} puis l’int´egrale K = � 3 2 dt (1 + t2_{)(t − 1)}

e) Calculer les intégrales � x2_e−_x3 dx et � x e−_x dx puis � u e−_u2 du. f) Calculer à l’aide d’une intégration par parties :

�

ueu_{du ; en d´eduire `a l’aide}

d’un changement de variable convenable I = � 2

1

2t(1 + t2)e1+t2dt. g) D´eterminer a et b r´eels tels que x

3 x2_{− 9} = x + a x + 3 + b x − 3 En d´eduire le calcul de l’int´egrale I =

� 1 0 x3 x2_{− 9}dx Soit l’int´egrale J = � 1 0 dx (x2_{+ 1)}2

On effectue le changement de variable x = tan θ. Donner un intervalle pour θ tel que 0 ≤ x ≤ 1. Montrer que J =

� π₄

0

cos2θ dθ puis terminer le calcul de J. h) Calculer K =

� 2

1

x ln x dx en int´egrant par parties. i) Extrait T1-2008 a. Calculer

� π/2

0

x sin(2x) dx �Int´egration par parties.) b. Calculer les primitives

�

x4ex5/5dx �Changement de variable.)

j) a. Utiliser un changement de variable appropri´e pour calculer l’int´egrale : I =

� 1

0

x√1 + x2_dx

b. Utiliser une int´egration par parties pour calculer l’int´egrale : J =

� e

1

x2_{ln x dx}

7.5. Soit f : R→ R d´eﬁnie par x �−→ ex_{sin x}

D´eterminer la valeur moyenne de f sur l’intervalle I = �

0�3π 4

�

APPLICATIONS DU CALCUL INTEGRAL´

7.6. La quantité de chaleur dégagée dans une résistance électrique R est propor-tionnelle au carré de l’intensité du courant qui la traverse à un instant donné. Calculer l’énergie dégagée pendant une période T par un courant alternatif sinu-soidal.