Algebrec Hecke kai Basika Sunola

Algebrec Hecke kai Basika Sunola

MarÐa Qlouberˆkh

(se sunergasÐa me ton N. Jacon)

University of Edinburgh

Seminˆrio 'Algebrac & GewmetrÐac tou PanepisthmÐou IwannÐnwn

17 Δεκεμβρίου 2009

JewrÐa anaparastˆsewn

΄Εστω F ένα σώμα καιG μια ομάδα. ΄ΕναςF-διανυσματικός χώροςV μαζί με έναν ομομορφισμό ομάδωνρ:G →GL(V)είναι μιααναπάρασταση της ομάδαςG.

Ο χώροςV λέγεται καιG-πρότυπο, γιατι η απεικόνιση ρορίζει μια δράση της ομάδαςG επί τουV ως εξής:

G×V → V

(g,v) 7→ ρ(g)(v).

Η συνάρτησηχ_ρ:G →F, g 7→΄Ιχνος(ρ(g))λέγεταιχαρακτήραςτης αναπαράστασηςρ.

Μια αναπαράστασηV λέγεταιανάγωγη (ηαπλόG-πρότυπο) αν V 6={0} και ο χώροςV δεν έχει μη τετριμμένους γνήσιους υπόχωρους που είναι επίσης αναπαραστάσεις της ομάδαςG. Συμβολίζουμε μεIrr(G)το σύνολο των ανάγωγων αναπαραστάσεων της ομάδαςG.

Αντίστοιχα, ονομάζουμε αναπάρασταση μιαςF-άλγεβραςAκάθεA-πρότυπο.

JewrÐa anaparastˆsewn

΄Εστω F ένα σώμα καιG μια ομάδα. ΄ΕναςF-διανυσματικός χώροςV μαζί με έναν ομομορφισμό ομάδωνρ:G →GL(V)είναι μιααναπάρασταση της ομάδαςG. Ο χώροςV λέγεται καιG-πρότυπο, γιατι η απεικόνισηρορίζει μια δράση της ομάδαςG επί τουV ως εξής:

G×V → V

(g,v) 7→ ρ(g)(v).

Η συνάρτησηχ_ρ:G →F, g 7→΄Ιχνος(ρ(g))λέγεταιχαρακτήραςτης αναπαράστασηςρ.

Μια αναπαράστασηV λέγεταιανάγωγη (ηαπλόG-πρότυπο) αν V 6={0} και ο χώροςV δεν έχει μη τετριμμένους γνήσιους υπόχωρους που είναι επίσης αναπαραστάσεις της ομάδαςG. Συμβολίζουμε μεIrr(G)το σύνολο των ανάγωγων αναπαραστάσεων της ομάδαςG.

Αντίστοιχα, ονομάζουμε αναπάρασταση μιαςF-άλγεβραςAκάθεA-πρότυπο.

JewrÐa anaparastˆsewn

΄Εστω F ένα σώμα καιG μια ομάδα. ΄ΕναςF-διανυσματικός χώροςV μαζί με έναν ομομορφισμό ομάδωνρ:G →GL(V)είναι μιααναπάρασταση της ομάδαςG. Ο χώροςV λέγεται καιG-πρότυπο, γιατι η απεικόνισηρορίζει μια δράση της ομάδαςG επί τουV ως εξής:

G×V → V

(g,v) 7→ ρ(g)(v).

Η συνάρτησηχ_ρ:G →F, g 7→΄Ιχνος(ρ(g))λέγεταιχαρακτήραςτης αναπαράστασηςρ.

Μια αναπαράστασηV λέγεταιανάγωγη (ηαπλόG-πρότυπο) αν V 6={0} και ο χώροςV δεν έχει μη τετριμμένους γνήσιους υπόχωρους που είναι επίσης αναπαραστάσεις της ομάδαςG. Συμβολίζουμε μεIrr(G)το σύνολο των ανάγωγων αναπαραστάσεων της ομάδαςG.

Αντίστοιχα, ονομάζουμε αναπάρασταση μιαςF-άλγεβραςAκάθεA-πρότυπο.

JewrÐa anaparastˆsewn

΄Εστω F ένα σώμα καιG μια ομάδα. ΄ΕναςF-διανυσματικός χώροςV μαζί με έναν ομομορφισμό ομάδωνρ:G →GL(V)είναι μιααναπάρασταση της ομάδαςG. Ο χώροςV λέγεται καιG-πρότυπο, γιατι η απεικόνισηρορίζει μια δράση της ομάδαςG επί τουV ως εξής:

G×V → V

(g,v) 7→ ρ(g)(v).

Η συνάρτησηχ_ρ:G →F, g 7→΄Ιχνος(ρ(g))λέγεταιχαρακτήραςτης αναπαράστασηςρ.

Μια αναπαράστασηV λέγεταιανάγωγη(η απλόG-πρότυπο) αν V 6={0}

και ο χώροςV δεν έχει μη τετριμμένους γνήσιους υπόχωρους που είναι επίσης αναπαραστάσεις της ομάδαςG.

Συμβολίζουμε μεIrr(G)το σύνολο των ανάγωγων αναπαραστάσεων της ομάδαςG.

Αντίστοιχα, ονομάζουμε αναπάρασταση μιαςF-άλγεβραςAκάθεA-πρότυπο.

JewrÐa anaparastˆsewn

΄Εστω F ένα σώμα καιG μια ομάδα. ΄ΕναςF-διανυσματικός χώροςV μαζί με έναν ομομορφισμό ομάδωνρ:G →GL(V)είναι μιααναπάρασταση της ομάδαςG. Ο χώροςV λέγεται καιG-πρότυπο, γιατι η απεικόνισηρορίζει μια δράση της ομάδαςG επί τουV ως εξής:

G×V → V

(g,v) 7→ ρ(g)(v).

Η συνάρτησηχ_ρ:G →F, g 7→΄Ιχνος(ρ(g))λέγεταιχαρακτήραςτης αναπαράστασηςρ.

Μια αναπαράστασηV λέγεταιανάγωγη(η απλόG-πρότυπο) αν V 6={0}

και ο χώροςV δεν έχει μη τετριμμένους γνήσιους υπόχωρους που είναι επίσης αναπαραστάσεις της ομάδαςG. Συμβολίζουμε μεIrr(G)το σύνολο των ανάγωγων αναπαραστάσεων της ομάδαςG.

Αντίστοιχα, ονομάζουμε αναπάρασταση μιαςF-άλγεβραςAκάθεA-πρότυπο.

JewrÐa anaparastˆsewn

΄Εστω F ένα σώμα καιG μια ομάδα. ΄ΕναςF-διανυσματικός χώροςV μαζί με έναν ομομορφισμό ομάδωνρ:G →GL(V)είναι μιααναπάρασταση της ομάδαςG. Ο χώροςV λέγεται καιG-πρότυπο, γιατι η απεικόνισηρορίζει μια δράση της ομάδαςG επί τουV ως εξής:

G×V → V

(g,v) 7→ ρ(g)(v).

Η συνάρτησηχ_ρ:G →F, g 7→΄Ιχνος(ρ(g))λέγεταιχαρακτήραςτης αναπαράστασηςρ.

Μια αναπαράστασηV λέγεταιανάγωγη(η απλόG-πρότυπο) αν V 6={0}

και ο χώροςV δεν έχει μη τετριμμένους γνήσιους υπόχωρους που είναι επίσης αναπαραστάσεις της ομάδαςG. Συμβολίζουμε μεIrr(G)το σύνολο των ανάγωγων αναπαραστάσεων της ομάδαςG.

Αντίστοιχα, ονομάζουμε αναπάρασταση μιαςF-άλγεβραςAκάθεA-πρότυπο.

Omˆdec Anaklˆsewn

΄Εστω V ένας πραγματικός διανυσματικός χώρος πεπερασμένης διάστασηςm.

Μιαανάκλασηείναι μια απεικόνισηs∈GL(V)που ικανοποιεί τις παρακάτω συνθήκες:

1 s²=id_V,

2 dim_R(Ker(s−idV)) =m−1.

Μια πεπερασμένη υποομάδα του GL(V)που παράγεται από ανακλάσεις ονομάζεταιομάδα ανακλάσεων.

Παραδείγματα: οι ομάδες μεταθέσεων, οι διεδρικές ομάδες.

Μια ομάδα ανακλάσεων ονομάζεταιομάδαWeylαν τα ίχνη όλων των στοιχείων της είναι ρητοί αριθμοί.

Παραδείγματα: οι ομάδες μεταθέσεων, οι διεδρικές ομάδες τάξης6,8και12.

Omˆdec Anaklˆsewn

΄Εστω V ένας πραγματικός διανυσματικός χώρος πεπερασμένης διάστασηςm.

Μιαανάκλασηείναι μια απεικόνισηs∈GL(V)που ικανοποιεί τις παρακάτω συνθήκες:

1 s²=id_V,

2 dim_R(Ker(s−idV)) =m−1.

Μια πεπερασμένη υποομάδα του GL(V)που παράγεται από ανακλάσεις ονομάζεταιομάδα ανακλάσεων.

Παραδείγματα: οι ομάδες μεταθέσεων, οι διεδρικές ομάδες.

Μια ομάδα ανακλάσεων ονομάζεταιομάδαWeylαν τα ίχνη όλων των στοιχείων της είναι ρητοί αριθμοί.

Παραδείγματα: οι ομάδες μεταθέσεων, οι διεδρικές ομάδες τάξης6,8και12.

Omˆdec Anaklˆsewn

΄Εστω V ένας πραγματικός διανυσματικός χώρος πεπερασμένης διάστασηςm.

Μιαανάκλασηείναι μια απεικόνισηs∈GL(V)που ικανοποιεί τις παρακάτω συνθήκες:

1 s²=id_V,

2 dim_R(Ker(s−idV)) =m−1.

Μια πεπερασμένη υποομάδα του GL(V)που παράγεται από ανακλάσεις ονομάζεταιομάδα ανακλάσεων.

Παραδείγματα: οι ομάδες μεταθέσεων, οι διεδρικές ομάδες.

Μια ομάδα ανακλάσεων ονομάζεταιομάδαWeylαν τα ίχνη όλων των στοιχείων της είναι ρητοί αριθμοί.

Παραδείγματα: οι ομάδες μεταθέσεων, οι διεδρικές ομάδες τάξης6,8και12.

Omˆdec Anaklˆsewn

΄Εστω V ένας πραγματικός διανυσματικός χώρος πεπερασμένης διάστασηςm.

Μιαανάκλασηείναι μια απεικόνισηs∈GL(V)που ικανοποιεί τις παρακάτω συνθήκες:

1 s²=id_V,

2 dim_R(Ker(s−idV)) =m−1.

Μια πεπερασμένη υποομάδα του GL(V)που παράγεται από ανακλάσεις ονομάζεταιομάδα ανακλάσεων.

Παραδείγματα: οι ομάδες μεταθέσεων, οι διεδρικές ομάδες.

Μια ομάδα ανακλάσεων ονομάζεταιομάδαWeylαν τα ίχνη όλων των στοιχείων της είναι ρητοί αριθμοί.

Παραδείγματα: οι ομάδες μεταθέσεων, οι διεδρικές ομάδες τάξης6,8και12.

Omˆdec Anaklˆsewn

΄Εστω V ένας πραγματικός διανυσματικός χώρος πεπερασμένης διάστασηςm.

Μιαανάκλασηείναι μια απεικόνισηs∈GL(V)που ικανοποιεί τις παρακάτω συνθήκες:

1 s²=id_V,

2 dim_R(Ker(s−idV)) =m−1.

Μια πεπερασμένη υποομάδα του GL(V)που παράγεται από ανακλάσεις ονομάζεταιομάδα ανακλάσεων.

Παραδείγματα: οι ομάδες μεταθέσεων, οι διεδρικές ομάδες.

Μια ομάδα ανακλάσεων ονομάζεταιομάδαWeylαν τα ίχνη όλων των στοιχείων της είναι ρητοί αριθμοί.

Παραδείγματα: οι ομάδες μεταθέσεων, οι διεδρικές ομάδες τάξης6,8και12.

Omˆdec Anaklˆsewn

΄Εστω V ένας πραγματικός διανυσματικός χώρος πεπερασμένης διάστασηςm.

Μιαανάκλασηείναι μια απεικόνισηs∈GL(V)που ικανοποιεί τις παρακάτω συνθήκες:

1 s²=id_V,

2 dim_R(Ker(s−idV)) =m−1.

Μια πεπερασμένη υποομάδα του GL(V)που παράγεται από ανακλάσεις ονομάζεταιομάδα ανακλάσεων.

Παραδείγματα:

οι ομάδες μεταθέσεων, οι διεδρικές ομάδες.

Μια ομάδα ανακλάσεων ονομάζεταιομάδαWeylαν τα ίχνη όλων των στοιχείων της είναι ρητοί αριθμοί.

Παραδείγματα: οι ομάδες μεταθέσεων, οι διεδρικές ομάδες τάξης6,8και12.

Omˆdec Anaklˆsewn

΄Εστω V ένας πραγματικός διανυσματικός χώρος πεπερασμένης διάστασηςm.

Μιαανάκλασηείναι μια απεικόνισηs∈GL(V)που ικανοποιεί τις παρακάτω συνθήκες:

1 s²=id_V,

2 dim_R(Ker(s−idV)) =m−1.

Μια πεπερασμένη υποομάδα του GL(V)που παράγεται από ανακλάσεις ονομάζεταιομάδα ανακλάσεων.

Παραδείγματα: οι ομάδες μεταθέσεων,

οι διεδρικές ομάδες.

Μια ομάδα ανακλάσεων ονομάζεταιομάδαWeylαν τα ίχνη όλων των στοιχείων της είναι ρητοί αριθμοί.

Παραδείγματα: οι ομάδες μεταθέσεων, οι διεδρικές ομάδες τάξης6,8και12.

Omˆdec Anaklˆsewn

΄Εστω V ένας πραγματικός διανυσματικός χώρος πεπερασμένης διάστασηςm.

Μιαανάκλασηείναι μια απεικόνισηs∈GL(V)που ικανοποιεί τις παρακάτω συνθήκες:

1 s²=id_V,

2 dim_R(Ker(s−idV)) =m−1.

Μια πεπερασμένη υποομάδα του GL(V)που παράγεται από ανακλάσεις ονομάζεταιομάδα ανακλάσεων.

Παραδείγματα: οι ομάδες μεταθέσεων, οι διεδρικές ομάδες.

Μια ομάδα ανακλάσεων ονομάζεταιομάδαWeylαν τα ίχνη όλων των στοιχείων της είναι ρητοί αριθμοί.

Παραδείγματα: οι ομάδες μεταθέσεων, οι διεδρικές ομάδες τάξης6,8και12.

Omˆdec Anaklˆsewn

΄Εστω V ένας πραγματικός διανυσματικός χώρος πεπερασμένης διάστασηςm.

Μιαανάκλασηείναι μια απεικόνισηs∈GL(V)που ικανοποιεί τις παρακάτω συνθήκες:

1 s²=id_V,

2 dim_R(Ker(s−idV)) =m−1.

Μια πεπερασμένη υποομάδα του GL(V)που παράγεται από ανακλάσεις ονομάζεταιομάδα ανακλάσεων.

Παραδείγματα: οι ομάδες μεταθέσεων, οι διεδρικές ομάδες.

Μια ομάδα ανακλάσεων ονομάζεταιομάδαWeylαν τα ίχνη όλων των στοιχείων της είναι ρητοί αριθμοί.

Παραδείγματα: οι ομάδες μεταθέσεων, οι διεδρικές ομάδες τάξης6,8και12.

Omˆdec Anaklˆsewn

΄Εστω V ένας πραγματικός διανυσματικός χώρος πεπερασμένης διάστασηςm.

Μιαανάκλασηείναι μια απεικόνισηs∈GL(V)που ικανοποιεί τις παρακάτω συνθήκες:

1 s²=id_V,

2 dim_R(Ker(s−idV)) =m−1.

Μια πεπερασμένη υποομάδα του GL(V)που παράγεται από ανακλάσεις ονομάζεταιομάδα ανακλάσεων.

Παραδείγματα: οι ομάδες μεταθέσεων, οι διεδρικές ομάδες.

Μια ομάδα ανακλάσεων ονομάζεταιομάδαWeylαν τα ίχνη όλων των στοιχείων της είναι ρητοί αριθμοί.

Παραδείγματα:

οι ομάδες μεταθέσεων, οι διεδρικές ομάδες τάξης6,8και12.

Omˆdec Anaklˆsewn

΄Εστω V ένας πραγματικός διανυσματικός χώρος πεπερασμένης διάστασηςm.

Μιαανάκλασηείναι μια απεικόνισηs∈GL(V)που ικανοποιεί τις παρακάτω συνθήκες:

1 s²=id_V,

2 dim_R(Ker(s−idV)) =m−1.

Μια πεπερασμένη υποομάδα του GL(V)που παράγεται από ανακλάσεις ονομάζεταιομάδα ανακλάσεων.

Παραδείγματα: οι ομάδες μεταθέσεων, οι διεδρικές ομάδες.

Μια ομάδα ανακλάσεων ονομάζεταιομάδαWeylαν τα ίχνη όλων των στοιχείων της είναι ρητοί αριθμοί.

Παραδείγματα: οι ομάδες μεταθέσεων,

οι διεδρικές ομάδες τάξης6,8και12.

Omˆdec Anaklˆsewn

΄Εστω V ένας πραγματικός διανυσματικός χώρος πεπερασμένης διάστασηςm.

Μιαανάκλασηείναι μια απεικόνισηs∈GL(V)που ικανοποιεί τις παρακάτω συνθήκες:

1 s²=id_V,

2 dim_R(Ker(s−idV)) =m−1.

Μια πεπερασμένη υποομάδα του GL(V)που παράγεται από ανακλάσεις ονομάζεταιομάδα ανακλάσεων.

Παραδείγματα: οι ομάδες μεταθέσεων, οι διεδρικές ομάδες.

Μια ομάδα ανακλάσεων ονομάζεταιομάδαWeylαν τα ίχνη όλων των στοιχείων της είναι ρητοί αριθμοί.

Παραδείγματα: οι ομάδες μεταθέσεων, οι διεδρικές ομάδες τάξης6,8και12.

Omˆdec Coxeter

Μια ομάδαW είναιομάδαCoxeterαν έχει μια παράσταση από γεννήτορες και σχέσεις της μορφής:

W =hS |(st)^mst = 1 ∀s,t∈S i, όπουmss= 1 καιmst ≥2γιαs6=t.

Je¸rhma

1 Μια ομάδα είναι ομάδα ανακλάσεων αν και μόνο αν είναι πεπερασμένη ομάδαCoxeter.

2 Μια πεπερασμένη ομάδαCoxeterείναι ομάδαWeylαν και μόνο αν mst ∈ {2,3,4,6} για κάθεs6=t ∈S.

΄Εστω w ∈W. Ονομάζουμεμήκοςτουw και συμβολίζουμε με`(w)τον ακέραιο

`(w) := min{r ∈N|w =s1s2. . .sr, si∈S}.

Η έκφρασηw =s₁s₂. . .s_r τουw ως γινόμενο στοιχείων τουS λέγεται μειωμένη ανr =`(w).

Omˆdec Coxeter

Μια ομάδαW είναιομάδαCoxeterαν έχει μια παράσταση από γεννήτορες και σχέσεις της μορφής:

W =hS |(st)^mst = 1 ∀s,t∈S i, όπουmss= 1 καιmst ≥2γιαs6=t.

Je¸rhma

1 Μια ομάδα είναι ομάδα ανακλάσεων αν και μόνο αν είναι πεπερασμένη ομάδαCoxeter.

2 Μια πεπερασμένη ομάδαCoxeterείναι ομάδαWeylαν και μόνο αν mst ∈ {2,3,4,6} για κάθεs6=t ∈S.

΄Εστω w ∈W. Ονομάζουμεμήκοςτουw και συμβολίζουμε με`(w)τον ακέραιο

`(w) := min{r ∈N|w =s1s2. . .sr, si∈S}.

Η έκφρασηw =s₁s₂. . .s_r τουw ως γινόμενο στοιχείων τουS λέγεται μειωμένη ανr =`(w).

Omˆdec Coxeter

Μια ομάδαW είναιομάδαCoxeterαν έχει μια παράσταση από γεννήτορες και σχέσεις της μορφής:

W =hS |(st)^mst = 1 ∀s,t∈S i, όπουmss= 1 καιmst ≥2γιαs6=t.

Je¸rhma

1 Μια ομάδα είναι ομάδα ανακλάσεων αν και μόνο αν είναι πεπερασμένη ομάδαCoxeter.

2 Μια πεπερασμένη ομάδαCoxeterείναι ομάδαWeylαν και μόνο αν mst ∈ {2,3,4,6} για κάθεs6=t ∈S.

΄Εστω w ∈W. Ονομάζουμεμήκοςτουw και συμβολίζουμε με`(w)τον ακέραιο

`(w) := min{r ∈N|w =s1s2. . .sr, si∈S}.

Η έκφρασηw =s₁s₂. . .s_r τουw ως γινόμενο στοιχείων τουS λέγεται μειωμένη ανr =`(w).

Omˆdec Coxeter

Μια ομάδαW είναιομάδαCoxeterαν έχει μια παράσταση από γεννήτορες και σχέσεις της μορφής:

W =hS |(st)^mst = 1 ∀s,t∈S i, όπουmss= 1 καιmst ≥2γιαs6=t.

Je¸rhma

1 Μια ομάδα είναι ομάδα ανακλάσεων αν και μόνο αν είναι πεπερασμένη ομάδαCoxeter.

2 Μια πεπερασμένη ομάδαCoxeterείναι ομάδαWeylαν και μόνο αν mst ∈ {2,3,4,6} για κάθεs6=t ∈S.

΄Εστω w ∈W. Ονομάζουμεμήκοςτουw και συμβολίζουμε με`(w)τον ακέραιο

`(w) := min{r ∈N|w =s1s2. . .sr, si∈S}.

Η έκφρασηw =s₁s₂. . .s_r τουw ως γινόμενο στοιχείων τουS λέγεται μειωμένη ανr =`(w).

Omˆdec Coxeter

Μια ομάδαW είναιομάδαCoxeterαν έχει μια παράσταση από γεννήτορες και σχέσεις της μορφής:

W =hS |(st)^mst = 1 ∀s,t∈S i, όπουmss= 1 καιmst ≥2γιαs6=t.

Je¸rhma

1 Μια ομάδα είναι ομάδα ανακλάσεων αν και μόνο αν είναι πεπερασμένη ομάδαCoxeter.

2 Μια πεπερασμένη ομάδαCoxeterείναι ομάδαWeylαν και μόνο αν mst ∈ {2,3,4,6} για κάθεs6=t ∈S.

΄Εστω w ∈W. Ονομάζουμεμήκοςτουw και συμβολίζουμε με`(w)τον ακέραιο

`(w) := min{r ∈N|w =s1s2. . .sr, si∈S}.

Η έκφρασηw =s₁s₂. . .s_r τουw ως γινόμενο στοιχείων τουS λέγεται

'Algebrec Iwahori-Hecke

΄Εστω ότι

W =hS | ststst. . .

| {z }

m_st

=tststs. . .

| {z }

m_st

, s²= 1 ∀s,t∈S i.

είναι μια ομάδα Weyl. Παραδείγματα:

1 G2=

s,t |ststst =tststs, s²=t²= 1

2 Sn=

*

s1,s2, . . . ,s_n−1

sisi+1si =si+1sisi+1, sisj =sjsi αν|i−j|>1, s_i²= 1

+

'Algebrec Iwahori-Hecke

΄Εστω ότι

W =hS | ststst. . .

| {z }

m_st

=tststs. . .

| {z }

m_st

, s²= 1 ∀s,t∈S i.

είναι μια ομάδα Weyl.

Παραδείγματα:

1 G2=

s,t |ststst =tststs, s²=t²= 1

2 Sn=

*

s1,s2, . . . ,s_n−1

sisi+1si =si+1sisi+1, sisj =sjsi αν|i−j|>1, s_i²= 1

+

'Algebrec Iwahori-Hecke

΄Εστω ότι

W =hS | ststst. . .

| {z }

m_st

=tststs. . .

| {z }

m_st

, s²= 1 ∀s,t∈S i.

είναι μια ομάδα Weyl.

Παραδείγματα:

1 G2=

s,t |ststst =tststs, s²=t²= 1

2 Sn=

*

s1,s2, . . . ,s_n−1

sisi+1si =si+1sisi+1, sisj =sjsi αν|i−j|>1, s_i²= 1

+

'Algebrec Iwahori-Hecke

΄Εστω ότι

W =hS | ststst. . .

| {z }

m_st

=tststs. . .

| {z }

m_st

, s²= 1 ∀s,t∈S i.

είναι μια ομάδα Weyl.

Παραδείγματα:

1 G2=

s,t |ststst =tststs, s²=t²= 1

2 Sn=

*

s1,s2, . . . ,s_n−1

sisi+1si =si+1sisi+1, sisj =sjsi αν|i−j|>1, s_i²= 1

+

'Algebrec Iwahori-Hecke

΄Εστω ότι

W =hS | ststst. . .

| {z }

m_st

=tststs. . .

| {z }

m_st

, s²= 1 ∀s,t∈S i.

είναι μια ομάδα Weyl.

Παραδείγματα:

1 G2=

s,t |ststst =tststs, s²=t²= 1

2 S_n=

*

s₁,s₂, . . . ,s_n−1

sisi+1si =si+1sisi+1, sisj =sjsi αν|i−j|>1, s_i²= 1

+

΄Εστω u= (us)s∈S μια οικογένεια ακεραίων με την ιδιότητα:

Ανs,t ∈S ανήκουν στην ίδια κλάση συζυγίας της ομάδαςW, τότεu_s =u_t.

΄Εστωv= (v_s)_s∈S μια δεύτερη οικογένεια ακεραίων με την παραπάνω ιδιότητα καιq μια μεταβλητή.

ΗIwahori-HeckeάλγεβραH_u,v τουW είναι η Z[q,q⁻¹]-άλγεβρα με την εξής παράσταση:

Hu,v =h(Ts)_s∈S| TsTtTs. . .

| {z }

m_st

=TtTsTt. . .

| {z }

m_st

,(Ts−q^2us)(Ts+q^2vs) = 0∀s,t∈Si.

Παραδείγματα:

1 H(G₂) =

T_s,T_t

TsTtTsTtTsTt=TtTsTtTsTtTs,

(Ts−q^2us)(Ts+q^2vs) = (Tt−q^2ut)(Tt+q^2vt) = 0

2 H(S_n) =

*

T₁,T₂, . . . ,T_n−1

T_iT_i+1T_i=T_i+1T_iT_i+1, TiTj =TjTi αν|i−j|>1, (Ti−q^2u)(Ti+q^2v) = 0

+

΄Εστω u= (us)s∈S μια οικογένεια ακεραίων με την ιδιότητα:

Ανs,t ∈S ανήκουν στην ίδια κλάση συζυγίας της ομάδαςW, τότεu_s =u_t.

΄Εστωv= (v_s)_s∈S μια δεύτερη οικογένεια ακεραίων με την παραπάνω ιδιότητα καιq μια μεταβλητή.

ΗIwahori-HeckeάλγεβραH_u,v τουW είναι η Z[q,q⁻¹]-άλγεβρα με την εξής παράσταση:

Hu,v =h(Ts)_s∈S| TsTtTs. . .

| {z }

m_st

=TtTsTt. . .

| {z }

m_st

,(Ts−q^2us)(Ts+q^2vs) = 0∀s,t∈Si.

Παραδείγματα:

1 H(G₂) =

T_s,T_t

TsTtTsTtTsTt=TtTsTtTsTtTs,

(Ts−q^2us)(Ts+q^2vs) = (Tt−q^2ut)(Tt+q^2vt) = 0

2 H(S_n) =

*

T₁,T₂, . . . ,T_n−1

T_iT_i+1T_i=T_i+1T_iT_i+1, TiTj =TjTi αν|i−j|>1, (Ti−q^2u)(Ti+q^2v) = 0

+

΄Εστω u= (us)s∈S μια οικογένεια ακεραίων με την ιδιότητα:

Ανs,t ∈S ανήκουν στην ίδια κλάση συζυγίας της ομάδαςW, τότεu_s =u_t.

΄Εστωv= (v_s)_s∈S μια δεύτερη οικογένεια ακεραίων με την παραπάνω ιδιότητα καιq μια μεταβλητή. ΗIwahori-HeckeάλγεβραH_u,v τουW είναι η

Z[q,q⁻¹]-άλγεβρα με την εξής παράσταση:

Hu,v =h(Ts)_s∈S|TsTtTs. . .

| {z }

m_st

=TtTsTt. . .

| {z }

m_st

,(Ts−q^2us)(Ts+q^2vs) = 0 ∀s,t∈Si.

Παραδείγματα:

1 H(G₂) =

T_s,T_t

TsTtTsTtTsTt=TtTsTtTsTtTs,

(Ts−q^2us)(Ts+q^2vs) = (Tt−q^2ut)(Tt+q^2vt) = 0

2 H(S_n) =

*

T₁,T₂, . . . ,T_n−1

T_iT_i+1T_i=T_i+1T_iT_i+1, TiTj =TjTi αν|i−j|>1, (Ti−q^2u)(Ti+q^2v) = 0

+

΄Εστω u= (us)s∈S μια οικογένεια ακεραίων με την ιδιότητα:

Ανs,t ∈S ανήκουν στην ίδια κλάση συζυγίας της ομάδαςW, τότεu_s =u_t.

΄Εστωv= (v_s)_s∈S μια δεύτερη οικογένεια ακεραίων με την παραπάνω ιδιότητα καιq μια μεταβλητή. ΗIwahori-HeckeάλγεβραH_u,v τουW είναι η

Z[q,q⁻¹]-άλγεβρα με την εξής παράσταση:

Hu,v =h(Ts)_s∈S|TsTtTs. . .

| {z }

m_st

=TtTsTt. . .

| {z }

m_st

,(Ts−q^2us)(Ts+q^2vs) = 0 ∀s,t∈Si.

Παραδείγματα:

1 H(G₂) =

T_s,T_t

TsTtTsTtTsTt=TtTsTtTsTtTs,

(Ts−q^2us)(Ts+q^2vs) = (Tt−q^2ut)(Tt+q^2vt) = 0

2 H(S_n) =

*

T₁,T₂, . . . ,T_n−1

T_iT_i+1T_i=T_i+1T_iT_i+1, TiTj =TjTi αν|i−j|>1, (Ti−q^2u)(Ti+q^2v) = 0

+

΄Εστω u= (us)s∈S μια οικογένεια ακεραίων με την ιδιότητα:

Ανs,t ∈S ανήκουν στην ίδια κλάση συζυγίας της ομάδαςW, τότεu_s =u_t.

΄Εστωv= (v_s)_s∈S μια δεύτερη οικογένεια ακεραίων με την παραπάνω ιδιότητα καιq μια μεταβλητή. ΗIwahori-HeckeάλγεβραH_u,v τουW είναι η

Z[q,q⁻¹]-άλγεβρα με την εξής παράσταση:

Hu,v =h(Ts)_s∈S|TsTtTs. . .

| {z }

m_st

=TtTsTt. . .

| {z }

m_st

,(Ts−q^2us)(Ts+q^2vs) = 0 ∀s,t∈Si.

Παραδείγματα:

1 H(G₂) =

T_s,T_t

T_sT_tT_sT_tT_sT_t=T_tT_sT_tT_sT_tT_s,

(Ts−q^2us)(Ts+q^2vs) = (Tt−q^2ut)(Tt+q^2vt) = 0

2 H(S_n) =

*

T₁,T₂, . . . ,T_n−1

T_iT_i+1T_i=T_i+1T_iT_i+1, TiTj =TjTi αν|i−j|>1, (Ti−q^2u)(Ti+q^2v) = 0

+

΄Εστω u= (us)s∈S μια οικογένεια ακεραίων με την ιδιότητα:

Ανs,t ∈S ανήκουν στην ίδια κλάση συζυγίας της ομάδαςW, τότεu_s =u_t.

΄Εστωv= (v_s)_s∈S μια δεύτερη οικογένεια ακεραίων με την παραπάνω ιδιότητα καιq μια μεταβλητή. ΗIwahori-HeckeάλγεβραH_u,v τουW είναι η

Z[q,q⁻¹]-άλγεβρα με την εξής παράσταση:

Hu,v =h(Ts)_s∈S|TsTtTs. . .

| {z }

m_st

=TtTsTt. . .

| {z }

m_st

,(Ts−q^2us)(Ts+q^2vs) = 0 ∀s,t∈Si.

Παραδείγματα:

1 H(G₂) =

T_s,T_t

T_sT_tT_sT_tT_sT_t=T_tT_sT_tT_sT_tT_s,

(Ts−q^2us)(Ts+q^2vs) = (Tt−q^2ut)(Tt+q^2vt) = 0

2 H(S_n) =

*

T₁,T₂, . . . ,T_n−1

T_iT_i+1T_i =T_i+1T_iT_i+1, T_iT_j=T_jT_i αν|i−j|>1, (Ti−q^2u)(Ti+q^2v) = 0

+

ΘέτουμεH:=Hu,v,A:=Z[q,q⁻¹] καιK :=Q(q).

Η άλγεβρα KH:=K⊗AH

είναι διαχωρίσιμη ημιαπλή. Από το Θεώρημα Παραμόρφωσης τουTits αποκτούμε μια αντιστοιχία

Irr(KH)←→Irr(W).

Οπότε, αν Λείναι ένα σύνολο που παραμετροποιεί τοIrr(W), Irr(W) ={E^λ |λ∈Λ},

τότε

Irr(KH) ={V^λ |λ∈Λ}.

ΘέτουμεH:=Hu,v,A:=Z[q,q⁻¹] καιK :=Q(q). Η άλγεβρα KH:=K⊗AH

είναι διαχωρίσιμη ημιαπλή.

Από το Θεώρημα Παραμόρφωσης τουTits αποκτούμε μια αντιστοιχία

Irr(KH)←→Irr(W).

Οπότε, αν Λείναι ένα σύνολο που παραμετροποιεί τοIrr(W), Irr(W) ={E^λ |λ∈Λ},

τότε

Irr(KH) ={V^λ |λ∈Λ}.

ΘέτουμεH:=Hu,v,A:=Z[q,q⁻¹] καιK :=Q(q). Η άλγεβρα KH:=K⊗AH

είναι διαχωρίσιμη ημιαπλή. Από το Θεώρημα Παραμόρφωσης τουTits αποκτούμε μια αντιστοιχία

Irr(KH)←→Irr(W).

Οπότε, αν Λείναι ένα σύνολο που παραμετροποιεί τοIrr(W), Irr(W) ={E^λ |λ∈Λ},

τότε

Irr(KH) ={V^λ |λ∈Λ}.

ΘέτουμεH:=Hu,v,A:=Z[q,q⁻¹] καιK :=Q(q). Η άλγεβρα KH:=K⊗AH

είναι διαχωρίσιμη ημιαπλή. Από το Θεώρημα Παραμόρφωσης τουTits αποκτούμε μια αντιστοιχία

Irr(KH)←→Irr(W).

Οπότε, αν Λείναι ένα σύνολο που παραμετροποιεί τοIrr(W), Irr(W) ={E^λ |λ∈Λ},

τότε

Irr(KH) ={V^λ |λ∈Λ}.

ΘέτουμεH:=Hu,v,A:=Z[q,q⁻¹] καιK :=Q(q). Η άλγεβρα KH:=K⊗AH

είναι διαχωρίσιμη ημιαπλή. Από το Θεώρημα Παραμόρφωσης τουTits αποκτούμε μια αντιστοιχία

Irr(KH)←→Irr(W).

Οπότε, αν Λείναι ένα σύνολο που παραμετροποιεί τοIrr(W), Irr(W) ={E^λ |λ∈Λ},

τότε

Irr(KH) ={V^λ |λ∈Λ}.

H sunˆrthsh a

΄Εστω w ∈W. Ανw =s1s2. . .sr (si ∈S)είναι μια μειωμένη έκφραση για το w, τότε θέτουμε

Tw:=Ts1Ts2. . .Tsr.

Τα στοιχεία (T_w)_w∈W αποτελούν βάση της άλγεβραςHωςA-πρότυπο. Η γραμμική απεικόνισηt :H →Aμεt(T_w) =

1, ανw = 1

0, ανw 6= 1 ικανοποιεί

t = X

V^λ∈Irr(KH)

1 s_λχ_Vλ

όπουsλ∈Aείναι τοστοιχείοSchur του ανάγωγου χαρακτήραχ_Vλ. Ορίζουμε a: Λ→N, λ7→a_λ:=min{α∈N|q^αs_λ∈Z[q]}.

Παράδειγμα: Ανsλ=q⁻²+q⁻¹+q³, τότεaλ= 2.

H sunˆrthsh a

΄Εστω w ∈W. Ανw =s1s2. . .sr (si ∈S)είναι μια μειωμένη έκφραση για το w, τότε θέτουμε

Tw:=Ts1Ts2. . .Tsr.

Τα στοιχεία (T_w)_w∈W αποτελούν βάση της άλγεβραςHωςA-πρότυπο.

Η γραμμική απεικόνισηt :H →Aμεt(T_w) =

1, ανw = 1

0, ανw 6= 1 ικανοποιεί

t = X

V^λ∈Irr(KH)

1 s_λχ_Vλ

όπουsλ∈Aείναι τοστοιχείοSchur του ανάγωγου χαρακτήραχ_Vλ. Ορίζουμε a: Λ→N, λ7→a_λ:=min{α∈N|q^αs_λ∈Z[q]}.

Παράδειγμα: Ανsλ=q⁻²+q⁻¹+q³, τότεaλ= 2.

H sunˆrthsh a

΄Εστω w ∈W. Ανw =s1s2. . .sr (si ∈S)είναι μια μειωμένη έκφραση για το w, τότε θέτουμε

Tw:=Ts1Ts2. . .Tsr.

Τα στοιχεία (T_w)_w∈W αποτελούν βάση της άλγεβραςHωςA-πρότυπο.

Η γραμμική απεικόνισηt:H →Aμεt(Tw) =

1, ανw = 1

0, ανw 6= 1 ικανοποιεί

t = X

V^λ∈Irr(KH)

1 s_λχ_Vλ

όπουsλ∈Aείναι τοστοιχείοSchur του ανάγωγου χαρακτήραχ_Vλ.

Ορίζουμε a: Λ→N, λ7→a_λ:=min{α∈N|q^αs_λ∈Z[q]}.

Παράδειγμα: Ανsλ=q⁻²+q⁻¹+q³, τότεaλ= 2.

H sunˆrthsh a

΄Εστω w ∈W. Ανw =s1s2. . .sr (si ∈S)είναι μια μειωμένη έκφραση για το w, τότε θέτουμε

Tw:=Ts1Ts2. . .Tsr.

Τα στοιχεία (T_w)_w∈W αποτελούν βάση της άλγεβραςHωςA-πρότυπο.

Η γραμμική απεικόνισηt:H →Aμεt(Tw) =

1, ανw = 1

0, ανw 6= 1 ικανοποιεί

t = X

V^λ∈Irr(KH)

1 s_λχ_Vλ

όπουsλ∈Aείναι τοστοιχείοSchur του ανάγωγου χαρακτήραχ_Vλ. Ορίζουμεa: Λ→N, λ7→a_λ:=min{α∈N|q^αs_λ∈Z[q]}.

Παράδειγμα: Ανsλ=q⁻²+q⁻¹+q³, τότεaλ= 2.

H sunˆrthsh a

΄Εστω w ∈W. Ανw =s1s2. . .sr (si ∈S)είναι μια μειωμένη έκφραση για το w, τότε θέτουμε

Tw:=Ts1Ts2. . .Tsr.

Τα στοιχεία (T_w)_w∈W αποτελούν βάση της άλγεβραςHωςA-πρότυπο.

Η γραμμική απεικόνισηt:H →Aμεt(Tw) =

1, ανw = 1

0, ανw 6= 1 ικανοποιεί

t = X

V^λ∈Irr(KH)

1 s_λχ_Vλ

όπουsλ∈Aείναι τοστοιχείοSchur του ανάγωγου χαρακτήραχ_Vλ. Ορίζουμεa: Λ→N, λ7→a_λ:=min{α∈N|q^αs_λ∈Z[q]}.

Παράδειγμα: Ανsλ=q⁻²+q⁻¹+q³, τότεaλ= 2.

O pÐnakac diˆspashc

΄Εστω θ:A→L, q7→ξένας ομομορφισμός δακτυλίων, όπουL είναι το σώμα πηλίκων της εικόναςθ(A).

ΑνLH:=L⊗AH, τότεIrr(LH) = ?

΄Εστω R0(KH)(αντ. R0(LH)) η ομάδαGrothendieckτων πεπερασμένα παραγόμενωνKH-προτύπων (αντ. LH-προτύπων), η οποία παράγεται από τις κλάσεις ισομορφίας[U]των απλώνKH-προτύπων (αντ. LH-προτύπων) U.

΄Εχουμε μιααπεικόνιση διάσπασηςdθ:R0(KH)→R0(LH)τέτοια ώστε, για κάθελ∈Λ, έχουμε

dθ([V^λ]) = X

N∈Irr(LH)

[V^λ:N][N].

Ο πίνακας

D_θ= [V^λ:N]

λ∈Λ,N∈Irr(LH)

λέγεταιπίνακας διάσπασης ως προςθ.

O pÐnakac diˆspashc

΄Εστω θ:A→L, q7→ξένας ομομορφισμός δακτυλίων, όπουL είναι το σώμα πηλίκων της εικόναςθ(A). ΑνLH:=L⊗AH, τότεIrr(LH) = ?

΄Εστω R0(KH)(αντ. R0(LH)) η ομάδαGrothendieckτων πεπερασμένα παραγόμενωνKH-προτύπων (αντ. LH-προτύπων), η οποία παράγεται από τις κλάσεις ισομορφίας[U]των απλώνKH-προτύπων (αντ. LH-προτύπων) U.

΄Εχουμε μιααπεικόνιση διάσπασηςdθ:R0(KH)→R0(LH)τέτοια ώστε, για κάθελ∈Λ, έχουμε

dθ([V^λ]) = X

N∈Irr(LH)

[V^λ:N][N].

Ο πίνακας

D_θ= [V^λ:N]

λ∈Λ,N∈Irr(LH)

λέγεταιπίνακας διάσπασης ως προςθ.

O pÐnakac diˆspashc

΄Εστω θ:A→L, q7→ξένας ομομορφισμός δακτυλίων, όπουL είναι το σώμα πηλίκων της εικόναςθ(A). ΑνLH:=L⊗AH, τότεIrr(LH) = ?

΄Εστω R0(KH)(αντ. R0(LH)) η ομάδαGrothendieckτων πεπερασμένα παραγόμενωνKH-προτύπων (αντ. LH-προτύπων), η οποία παράγεται από τις κλάσεις ισομορφίας[U]των απλώνKH-προτύπων (αντ. LH-προτύπων) U.

΄Εχουμε μιααπεικόνιση διάσπασηςdθ:R0(KH)→R0(LH)τέτοια ώστε, για κάθελ∈Λ, έχουμε

dθ([V^λ]) = X

N∈Irr(LH)

[V^λ:N][N].

Ο πίνακας

D_θ= [V^λ:N]

λ∈Λ,N∈Irr(LH)

λέγεταιπίνακας διάσπασης ως προςθ.

O pÐnakac diˆspashc

΄Εστω θ:A→L, q7→ξένας ομομορφισμός δακτυλίων, όπουL είναι το σώμα πηλίκων της εικόναςθ(A). ΑνLH:=L⊗AH, τότεIrr(LH) = ?

΄Εστω R0(KH)(αντ. R0(LH)) η ομάδαGrothendieckτων πεπερασμένα παραγόμενωνKH-προτύπων (αντ. LH-προτύπων), η οποία παράγεται από τις κλάσεις ισομορφίας[U]των απλώνKH-προτύπων (αντ. LH-προτύπων) U.

΄Εχουμε μιααπεικόνιση διάσπασηςdθ:R0(KH)→R0(LH)τέτοια ώστε, για κάθελ∈Λ, έχουμε

d_θ([V^λ]) = X

N∈Irr(LH)

[V^λ:N][N].

Ο πίνακας

D_θ= [V^λ:N]

λ∈Λ,N∈Irr(LH)

λέγεταιπίνακας διάσπασης ως προςθ.

O pÐnakac diˆspashc

΄Εστω θ:A→L, q7→ξένας ομομορφισμός δακτυλίων, όπουL είναι το σώμα πηλίκων της εικόναςθ(A). ΑνLH:=L⊗AH, τότεIrr(LH) = ?

΄Εστω R0(KH)(αντ. R0(LH)) η ομάδαGrothendieckτων πεπερασμένα παραγόμενωνKH-προτύπων (αντ. LH-προτύπων), η οποία παράγεται από τις κλάσεις ισομορφίας[U]των απλώνKH-προτύπων (αντ. LH-προτύπων) U.

΄Εχουμε μιααπεικόνιση διάσπασηςdθ:R0(KH)→R0(LH)τέτοια ώστε, για κάθελ∈Λ, έχουμε

d_θ([V^λ]) = X

N∈Irr(LH)

[V^λ:N][N].

Ο πίνακας

D_θ= [V^λ:N]

λ∈Λ,N∈Irr(LH)

λέγεταιπίνακας διάσπασης ως προςθ.

Basikˆ sÔnola

Λέμε ότι η άλγεβραHδιαθέτει ένακανονικό βασικό σύνολοB ⊂Λ ως προς την απεικόνισηθ:A→Lαν και μόνο αν οι δύο παρακάτω συνθήκες ισχύουν:

1 Για κάθεN∈Irr(LH), υπάρχειλN ∈ Bτέτοιο ώστε

I [V^λN:N] = 1, και

I αν[V^µ:N]6= 0, τότε είτεµ=λείτεaµ>aλ_N.

2 Η απεικόνιση

Irr(LH) → B N 7→ λN

είναι1−1 και επί.

Basikˆ sÔnola

Λέμε ότι η άλγεβραHδιαθέτει ένακανονικό βασικό σύνολοB ⊂Λ ως προς την απεικόνισηθ:A→Lαν και μόνο αν οι δύο παρακάτω συνθήκες ισχύουν:

1 Για κάθεN∈Irr(LH), υπάρχειλN ∈ Bτέτοιο ώστε

I [V^λN:N] = 1, και

I αν[V^µ:N]6= 0, τότε είτεµ=λείτεaµ>aλ_N.

2 Η απεικόνιση

Irr(LH) → B N 7→ λN

είναι1−1 και επί.

Basikˆ sÔnola

Λέμε ότι η άλγεβραHδιαθέτει ένακανονικό βασικό σύνολοB ⊂Λ ως προς την απεικόνισηθ:A→Lαν και μόνο αν οι δύο παρακάτω συνθήκες ισχύουν:

1 Για κάθεN∈Irr(LH), υπάρχειλN ∈ Bτέτοιο ώστε

I [V^λN :N] = 1, και

I αν[V^µ:N]6= 0, τότε είτεµ=λείτεaµ>aλ_N.

2 Η απεικόνιση

Irr(LH) → B N 7→ λN

είναι1−1 και επί.

Basikˆ sÔnola

Λέμε ότι η άλγεβραHδιαθέτει ένακανονικό βασικό σύνολοB ⊂Λ ως προς την απεικόνισηθ:A→Lαν και μόνο αν οι δύο παρακάτω συνθήκες ισχύουν:

1 Για κάθεN∈Irr(LH), υπάρχειλN ∈ Bτέτοιο ώστε

I [V^λN :N] = 1, και

I αν[V^µ:N]6= 0, τότε είτεµ=λείτεaµ>aλ_N.

2 Η απεικόνιση

Irr(LH) → B N 7→ λN

είναι1−1 και επί.

Basikˆ sÔnola

Λέμε ότι η άλγεβραHδιαθέτει ένακανονικό βασικό σύνολοB ⊂Λ ως προς την απεικόνισηθ:A→Lαν και μόνο αν οι δύο παρακάτω συνθήκες ισχύουν:

1 Για κάθεN∈Irr(LH), υπάρχειλN ∈ Bτέτοιο ώστε

I [V^λN :N] = 1, και

I αν[V^µ:N]6= 0, τότε είτεµ=λείτεaµ>aλ_N.

2 Η απεικόνιση

Irr(LH) → B N 7→ λN

είναι1−1και επί.

Αν το σώμαLείναι χαρακτηριστικής0, τότε η ύπαρξη κανονικών βασικών συνόλων έχει αποδειχθεί για όλες τις ομάδεςWeyl

από τους Geck & Rouquier,ότανu_s =c∈Nκαιv_s = 0για κάθεs∈S, από τους Geck & Jacon,ότανus ∈Nκαιvs = 0 για κάθεs∈S.

Je¸rhma (Qlouberˆkh- Jacon )

΄Εστω Lένα σώμα χαρακτηριστικής0. Η άλγεβραHδιαθέτει ένα κανονικό βασικό σύνολο ως προς κάθεθ:A→L.

Ιδέα της απόδειξης: ΄Εστωs∈S. Ανus ≥vs, τότε (us−vs,0)→(us,vs), B 7→ B.

Ανus <vs, τότε

(vs−us,0)→(0,vs−us)→(us,vs), B 7→ B^ε={ε(λ)|λ∈ B} όπουε: Λ→Λείναι μια αντιστοιχία που προέρχεται από τη δράση της κυκλικής ομάδαςZ/2Zπάνω στο σύνολοIrr(KH).

Αν το σώμαLείναι χαρακτηριστικής0, τότε η ύπαρξη κανονικών βασικών συνόλων έχει αποδειχθεί για όλες τις ομάδεςWeyl

από τους Geck & Rouquier,ότανu_s =c∈Nκαιv_s = 0για κάθεs∈S,

από τους Geck & Jacon,ότανus ∈Nκαιvs = 0 για κάθεs∈S.

Je¸rhma (Qlouberˆkh- Jacon )

΄Εστω Lένα σώμα χαρακτηριστικής0. Η άλγεβραHδιαθέτει ένα κανονικό βασικό σύνολο ως προς κάθεθ:A→L.

Ιδέα της απόδειξης: ΄Εστωs∈S. Ανus ≥vs, τότε (us−vs,0)→(us,vs), B 7→ B.

Ανus <vs, τότε

(vs−us,0)→(0,vs−us)→(us,vs), B 7→ B^ε={ε(λ)|λ∈ B} όπουε: Λ→Λείναι μια αντιστοιχία που προέρχεται από τη δράση της κυκλικής ομάδαςZ/2Zπάνω στο σύνολοIrr(KH).

Αν το σώμαLείναι χαρακτηριστικής0, τότε η ύπαρξη κανονικών βασικών συνόλων έχει αποδειχθεί για όλες τις ομάδεςWeyl

από τους Geck & Rouquier,ότανu_s =c∈Nκαιv_s = 0για κάθεs∈S, από τους Geck & Jacon,ότανu_s ∈Nκαιv_s = 0 για κάθεs∈S.

Je¸rhma (Qlouberˆkh- Jacon )

΄Εστω Lένα σώμα χαρακτηριστικής0. Η άλγεβραHδιαθέτει ένα κανονικό βασικό σύνολο ως προς κάθεθ:A→L.

Ιδέα της απόδειξης: ΄Εστωs∈S. Ανus ≥vs, τότε (us−vs,0)→(us,vs), B 7→ B.

Ανus <vs, τότε

(vs−us,0)→(0,vs−us)→(us,vs), B 7→ B^ε={ε(λ)|λ∈ B} όπουε: Λ→Λείναι μια αντιστοιχία που προέρχεται από τη δράση της κυκλικής ομάδαςZ/2Zπάνω στο σύνολοIrr(KH).

Αν το σώμαLείναι χαρακτηριστικής0, τότε η ύπαρξη κανονικών βασικών συνόλων έχει αποδειχθεί για όλες τις ομάδεςWeyl

από τους Geck & Rouquier,ότανu_s =c∈Nκαιv_s = 0για κάθεs∈S, από τους Geck & Jacon,ότανu_s ∈Nκαιv_s = 0 για κάθεs∈S.

Je¸rhma (Qlouberˆkh- Jacon )

΄Εστω Lένα σώμα χαρακτηριστικής0. Η άλγεβραHδιαθέτει ένα κανονικό βασικό σύνολο ως προς κάθεθ:A→L.

Ιδέα της απόδειξης: ΄Εστωs∈S. Ανus ≥vs, τότε (us−vs,0)→(us,vs), B 7→ B.

Ανus <vs, τότε

(vs−us,0)→(0,vs−us)→(us,vs), B 7→ B^ε={ε(λ)|λ∈ B} όπουε: Λ→Λείναι μια αντιστοιχία που προέρχεται από τη δράση της κυκλικής ομάδαςZ/2Zπάνω στο σύνολοIrr(KH).

Αν το σώμαLείναι χαρακτηριστικής0, τότε η ύπαρξη κανονικών βασικών συνόλων έχει αποδειχθεί για όλες τις ομάδεςWeyl

από τους Geck & Rouquier,ότανu_s =c∈Nκαιv_s = 0για κάθεs∈S, από τους Geck & Jacon,ότανu_s ∈Nκαιv_s = 0 για κάθεs∈S.

Je¸rhma (Qlouberˆkh- Jacon )

΄Εστω Lένα σώμα χαρακτηριστικής0. Η άλγεβραHδιαθέτει ένα κανονικό βασικό σύνολο ως προς κάθεθ:A→L.

Ιδέα της απόδειξης: ΄Εστωs∈S. Ανus ≥vs, τότε (us−vs,0)→(us,vs),

B 7→ B. Ανus <vs, τότε

(vs−us,0)→(0,vs−us)→(us,vs), B 7→ B^ε={ε(λ)|λ∈ B} όπουε: Λ→Λείναι μια αντιστοιχία που προέρχεται από τη δράση της κυκλικής ομάδαςZ/2Zπάνω στο σύνολοIrr(KH).