L3– Algorithmique1(Année2013/2014) A. Lagoutte & A. Langlois
TD 7 – Réduction
Exercice1. Deux Cliques
1. Etant donné un grapheG= (V,E), et un entierK>0, existe-t-il deux cliques disjointes de taille K dansG? On rappelle qu’une clique est un sous-ensemble de sommets tous adjacents deux à deux.
Exercice2. Variantes de3-SAT
Montrer laN P-complétude des deux variantes de3-SAT suivantes :
1. 3-SAT NAE(not all equal), où l’on impose que les trois littéraux de chaque clause ne soient pas tous à la même valeur.
2. 3-SAT OIT(one in three), où l’on impose qu’exactement un littéral soit àvraidans chaque clause.
Exercice3. Couverture de Sommets
SoitG= (V,E)un graphe. Unecouverture de sommetsde taillekest un sous-ensemble de sommetsV0 de taille ktel que pour toute arêteuv ∈ E, on au ∈ V0 ou v ∈ V0 (ou les deux). Autrement dit, les sommets choisis "couvrent" toutes les arêtes du graphe.
On considère le problème suivant :
Couverture-Sommets: Etant donné un grapheGet un entierk, existe-t-il une couverture de sommets de taillek?
1. Montrer que ce problème est NP-complet.
Indication : Faire une réduction à partir deClique
Exercice4. Chemin avec Paires Interdites
1. SoientG= (V,E)un graphe orienté (on distingue l’arc (u,v) de l’arc (v,u)), deux sommets de ce graphes,t∈ Vet une listeP ={(a1,b1), . . . ,(an,bn)}de paires de sommets deG. Existe-t-il un chemin orienté desverstdansGqui contient au plus un sommet de chaque paire de la listeP? Indication : faire une réduction à partir de3-SAT.
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