Echantillonnage et estimation
Exercice 1 :
Dans une population donnée, la proportion des pauvres est égale à 0.36. Quelle est la probabilité pour que la moyenne 𝑋̅ d’un échantillon de taille n=400 soit ≥0.4 ?
Exercice 2 :
Un fabricant de clous a déterminé que 3% des clous produits sont défectueux. On étudie un échantillon aléatoire de 300 clous. Quelle est la probabilité que la proportion de clous défectueux dans l’échantillon soit comprise entre 2% et 3.5% ?
Exercice 3 :
La durée de vie moyenne d’un type de lame de scie est de 41.5h, avec un écart-type de 2.5h. Quel est la probabilité que la moyenne des durées de vie d’un échantillon aléatoire simple de 50 lames ait une moyenne comprise entre 40.5h et 42h ?
Exercice 4 :
Une machine automatique produit des pièces dont le poids moyen est une variable aléatoire de moyenne 5 grammes et d’écart-type 0.25 grammes.
Pour contrôler le poids de ces pièces, on en prélève 100 à intervalles réguliers.
1. Quelle est la loi de la variable aléatoire 𝑋̅ ?
2. Calculer la probabilité que 𝑋̅ soit au plus égale à 5.01 grammes ? Exercice 5 :
Dans une population donnée, la proportion de familles qui possèdent deux voitures au moins est 0.7.
Afin de réaliser une enquête, on souhaite extraire un échantillon de cette population. Quelle est la taille nécessaire de l’échantillon pour qu’il comporte entre 60% et 80% de familles possédant au moins deux voitures, au risque 5% ?
Exercice 6 :
Une usine fabriquant des verres constate que la chaine de production et d’emballage est responsable de 2% d’anomalies. 800 verres sont livrés dans un magasin.
Au risque de 5%, à combien de verres abimés peut-on s’attendre dans ce magasin ? Exercice 7 :
On suppose que, dans la population des jeunes adultes, 20% des individus ont de l’acné. Combien de sujets doit-on choisir au hasard dans cette population pour avoir 95% de chances qu’il y ait entre 10
% et 30% de personnes atteintes d’acné dans l’échantillon ainsi constitué ?
Exercice 81 :
On considère que dans la population d’une grande ville donnée, 15% des enfants entrant à l’école élémentaire ont des difficultés scolaires. Un directeur d’école est surpris par le nombre important d’enfants en difficulté dans son établissement, puisqu’il en a compté 25 sur un total de 120 élèves.
1. a Déterminer l’intervalle de confiance de niveau 95% de la proportion d’enfants en difficulté scolaire dans un échantillon de taille 120.
b. Quelle est la fréquence d’enfants en difficulté observée par le directeur dans son école ? c. que peut-on en déduire ?
2. Quelle taille d’échantillon faut-il choisir pour que la fréquence observée dans la question 1b soit en dehors de l’intervalle de confiance ?
Exercice 9 :
On veut connaitre la prévalence d’une maladie chronique M dans une population donnée. On extrait au hasard de cette population un échantillon d’effectif 64 et on observe que 16 personnes ont la maladie M.
1. Déterminer un intervalle de confiance de la prévalence de M dans la population, au risque de 5%
2. Même question avec un échantillon de taille 400 et toujours avec la même fréquence observée.
3. Quelle doit être la taille minimale de l’échantillon si l’on souhaite une étendue de l’intervalle de confiance inférieure ou égale à 0.04, toujours au risque de 5% ?
1 www.etudegenerale.wordpress.com
