TP N°14-1 : Halley et Jupiter

TP N°14-1 : Halley et Jupiter

PARTIE 1 : La comète de Halley I. Découverte de la comète de Halley

« Ecrits en 1738 par Voltaire à son amie la marquise du Châtelet, ces vers illustrent d’une façon remarquable une révolution capitale dans l’histoire de la compréhension des comètes par l’humanité. Jusque-là, ces astres au cours apparemment erratique, à l’apparition imprévisible, à l’aspect spectaculaire et rapidement changeant, étaient considérés avec crainte et superstition comme des présages néfastes et annonciateurs de grandes catastrophes. Mais au XVII ^ième siècle, on comprenait enfin, grâce notamment aux travaux de Johannes Kepler, d’Isaac Newton et d’Edmund Halley que le mouvement apparemment étrange des comètes sur la voûte céleste obéit en fait aux mêmes lois que le mouvement des planètes. (…) Dans le cas des comètes l’ellipse est simplement beaucoup plus allongée (plus excentrique) que celles qui sont parcourues par les planètes. »

Le Grand Atlas Universalis de l’Astronomie

Selon des annales chinoises, les premières observations de la comète de Halley datent d’au moins 240 av. J.C. En 1682, Edmund Halley (1656 – 1743), alors âgé de 26 ans, aidé par Isaac Newton, prédit le retour de cette comète pour 1759. La comète fut au rendez-vous vérifiant ainsi les lois de Kepler. Durant l’été 1911 la Terre traversa la queue de poussière et de gaz de la comète provoquant une grande inquiétude populaire allant même jusqu’aux grandes prédictions de fin du monde apocalyptique propres à toute fin proche d’un millénaire. On avait en effet détecté par spectroscopie la présence dans l’atmosphère de la comète d’un gaz très toxique, le cyanogène CN, et des escrocs en profitèrent pour vendre des pilules « anticomète ».

II. Etude du mouvement de la comète 1. Analyse du relevé (Analyser)

1.1 En regardant les données des caractéristiques de l’orbite de la comète retrouver l’excentricité e d’un cercle.

1.2 Le plan de l’orbite de la comète est-il confondu avec celui de la Terre ? Justifier.

1.3 A l’aide des caractéristiques de la trajectoire, déterminer l’échelle du relevé de positions (1 cm  …. u.a.).

1.4 Placer les foyers S et S’ de l’ellipse. Préciser et justifier la position du Soleil.

1.5 Représenter l’orbite de la Terre sachant que sa trajectoire est approximativement un cercle.

1.6 Déterminer approximativement la période de révolution T de la comète de Halley.

2. Analyse du mouvement (S’approprier)

2.1 Qualifier le mouvement de la comète autour du Soleil.

2.2 Déterminer la valeur de la vitesse en km 

de la comète en 1989.

2.3 Le vecteur vitesse de la comète est-il constant en direction ? En norme ? 2.4 En déduire l’expression correcte du vecteur accélération a 

de la comète :



a 

= a

 T 

+ a

 N 

a 

= a

 T 

a 

= a

 N  2.5 Construire le vecteur accélération en 1988 en précisant l’échelle retenue. Que remarque-t-on ? 2.6 Faire le bilan des forces qui s’appliquent sur la comète en négligeant tout autre astre que le Soleil.

2.7 Représenter sans utiliser d’échelle la résultante des forces



de la comète à la date 1992. Vérifier que l’expression de l’accélération choisie en question 2.4. correspond bien qualitativement au vecteur



trouvé.

3. Vers la troisième loi de Kepler (Valider)

3.1 Calculer, pour la comète de Halley, le rapport T

3.2 Calculer ce même rapport pour la Terre, puis pour la Lune.

3.3 Que remarque-t-on ? Quelle conclusion peut-on tirer de ces calculs ?

Cessez d’épouvanter les peuples de la Terre, Dans une ellipse immense achevez votre cours,

Remontez, descendez près de l’astre des jours, Voltaire Lancez vos feux, volez, et revenant sans cesse,

Des mondes épuisés ranimez la vieillesse.

Caractéristique de l’orbite lunaire :

• Périgée : 363 104 km

• Apogée : 405 696 km

• Période de révolution 27,32 j

PARTIE 2 : Comment déterminer avec un programme PYTHON, la masse de la planète de Jupiter à partir du mouvement de ses satellites ?

Problématique : A partir du programme PYTHON qui permet de vérifier la troisième loi de Képler par l’étude du mouvement des planètes autour de notre Soleil, proposer une modification de ce programme afin de pouvoir déterminer graphiquement la valeur du quotient

et en déduire la masse M

de la planète Jupiter sachant que

𝑇² 𝑎³= ^4𝜋2

𝐺∙𝑀_𝐽

Questions :

1. Afin de déterminer les valeurs des orbites a des différents satellites et leurs périodes T, vous devrez exploiter les relevés astronomiques des positions des satellites à différentes dates (voir Annexe 2)

Détailler précisément votre méthode graphique de lecture des données pour l’un des satellites (angles, distances et durées) en utilisant des échelles de mesure.

Echelle : Sur le document, un angle apparent de 10° correspond à une distance de 1 882 000 km Les mesures sont effectuées tous les jours terrestres.

2. Compléter le tableau suivant :

Io (I) Europe (II) Ganymède (III) Callisto (IV)

Angle (°)

a (× 10³

km)

T (jour)

3. Remplacer dans le programme Python ( Annexe 1)les données des satellites de Jupiter afin d’étudier la troisième loi de Képler

Afficher le graphique.

Attention : Il faut effectuer des modifications dans le programme sur les conversions de la valeur du demi-grand- axe en mètre et celle de la période en seconde.

4. Déterminer le rapport

5. En déduire la masse de Jupiter à l’aide de la relation

𝑎³= ^4𝜋2

𝐺∙𝑀_𝐽

G = 6,67 × 10¹¹

m

kg

.s

Annexe 1 : Programme.

import matplotlib.pyplot as plt import scipy.stats as stat

# listes des demi-grands axes a en U.A et périodes des planètes en années

LIST_a = […,…,….,….] #liste des demi-grands axes en km x 1 000 LIST_T = [….,….,….,….] # liste périodes de révolution des satellites

LIST_P = ['Io','Europe','Ganymede','Callisto'] # nom des satellites de Jupiter

# création des listes a au cube et T au carré for i in range(0, len(LIST_a)):

LIST_a[i] = (LIST_a[i]*…)**3 # a est converti en mètre puis élevée au cube LIST_T[i] = (LIST_T[i]*…..)**2 # T est converti en seconde puis élevé au carré

# régression linéaire

regression = stat.linregress(LIST_a,LIST_T) # regression est une liste des trois données : pente, ordonnée à l'origine et coefficient directeur

pente =regression[0] # récupération dans la variable pente du coefficient directeur print('pente --> '+str(pente)) # Affichage du coefficient directeur

ordorigine =regression[1] # récupération dans la variable ordorigine de l'ordonnée à l'origine print('ordonnée à l origine --> '+str(ordorigine)) # Affichage de l'ordonnée à l'origine

coeffcorel = regression[2] #récupération dans la variable coeffcorel du coefficient de correlation r print('coefficient de corrélation -->'+str(coeffcorel)) # Affichage du coefficient de correlation

#Calcul des coordonnées un points appartenant à la droite de régression

# ce point est utilisé pour tracer la droite sur le graphe

# la droite est tracé entre les points de coordonnées (0,0).et (a_3_max , T_2_max) a_3_max = LIST_a[len(LIST_a)-1]

T_2_max =pente *a_3_max + ordorigine

#Affichage du graphe plt.grid(True)

plt.xlabel("a au cube (m3)" ) plt.ylabel("periode au carré (s2)")

plt.scatter(LIST_a,LIST_T,s = 100,c ='red',marker ='+') # affichage des points

# Affichage des noms et de la droite de regression for i in range (0,len(LIST_a)):

plt.text(LIST_a[i],LIST_T[i], LIST_P[i],fontsize =8)

plt.plot ([0,a_3_max],[ordorigine,T_2_max],c ='blue')

plt.show()

Annexe 2 : Mouvements satellites de Jupiter

Correction 1. Exploitation des relevés d’orbites des satellites de Jupiter.

Sachant que 10° représente 1 882 000 km et que 10° sur le schéma mesure 5,1 cm, on utilise la méthode suivante :

Par exemple pour Ganymède, on lit 2,9 cm soit un angle de 𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒

Un angle de 5,7° correspond à une distance 𝑎

10° = 1 070 km

La période de révolution se détermine en mesurant la durée afin que Ganymède se retrouve dans la même position.

On utilise l’échelle suivante 10 jours correspond à 10,3 cm.

On mesure 7,3 cm pour une période, soit 𝑇

10,3 = 7,1 jours

2. Tableau.

Io (I) Europe (II) Ganymède (III) Callisto (IV)

Angle (°) 2,16 3,63 5,59 10,0

a (× 10³

km)

406 683 1070 1882

T (jour)

1,83 3,66 7,1 16,7

3. Programme.

import matplotlib.pyplot as plt import scipy.stats as stat

# listes des demi-grands axes a en U.A et périodes des planètes en années

LIST_a = [406,683,1070,1882] #liste des demi-grands axes en km x 1 000 LIST_T = [1.83,3.66,7.1,16.7] # liste périodes de révolution des satellites LIST_P = ['Io','Europe','Ganymede','Callisto'] # nom des satellites de Jupiter

# création des listes a au cube et T au carré for i in range(0, len(LIST_a)):

LIST_a[i] = (LIST_a[i]*1e6)**3 # a est converti en mètre puis élevée au cube LIST_T[i] = (LIST_T[i]*24*3600)**2 # T est converti en seconde puis élevé au carré

# régression linéaire

regression = stat.linregress(LIST_a,LIST_T) # regression est une liste des trois données : pente, ordonnée à l'origine et coefficient directeur

pente =regression[0] # récupération dans la variable pente du coefficient directeur print('pente --> '+str(pente)) # Affichage du coefficient directeur

ordorigine =regression[1] # récupération dans la variable ordorigine de l'ordonnée à l'origine print('ordonnée à l origine --> '+str(ordorigine)) # Affichage de l'ordonnée à l'origine

coeffcorel = regression[2] #récupération dans la variable coeffcorel du coefficient de correlation r print('coefficient de corrélation -->'+str(coeffcorel)) # Affichage du coefficient de correlation

#Calcul des coordonnées un points appartenant à la droite de régression

# ce point est utilisé pour tracer la droite sur le graphe

# la droite est tracé entre les points de coordonnées (0,0).et (a_3_max , T_2_max) a_3_max = LIST_a[len(LIST_a)-1]

T_2_max =pente *a_3_max + ordorigine

#Affichage du graphe plt.grid(True)

plt.xlabel("a au cube (m3)" ) plt.ylabel("periode au carré (s2)")

plt.scatter(LIST_a,LIST_T,s = 100,c ='red',marker ='+') # affichage des points

# Affichage des noms et de la droite de regression for i in range (0,len(LIST_a)):

plt.text(LIST_a[i],LIST_T[i], LIST_P[i],fontsize =8) plt.plot ([0,a_3_max],[ordorigine,T_2_max],c ='blue') plt.show()

Graphique :

4. Détermination du rapport

𝑎³

A partir du programme : pente -->

.m

coefficient de corrélation -->0.999990156775687

5.

𝐺∙𝑀_𝐽

⟺ 𝑀_𝐽 =^{4𝜋2∙𝑎3}

𝐺∙𝑇²

⟺ 𝑀_𝐽 = ^4𝜋2∙

6,67×10⁻¹¹×3,12×10⁻¹⁶∙

⟺ 𝑀_𝐽 = 1,897 × 10²⁷

kg

La valeur théorique est égale à 𝑀

kg