S7 FR , Prébac 2012
MATHEMATIQUES 5 PERIODES
MATERIEL AUTORISE :
Calculatrice TI Nspire CAS ou CAS CX DUREE DE L'EPREUVE : 3h00
REMARQUE :
Cette partie est composée de 4 exercices à traiter
obligatoirement, pour un total de 70 points.
Exercice 1 : Géométrie dans l'Espace
Dans l'Espace muni d'un repère orthonormé, on considère les points A8 ; 0 ; 8 et B10 ; 3 ; 10 ainsi que la droite (d) dont le système d'équations paramétriques est :
{
zxy=−2=−5=13s2 ss , s ∈ ℝ.1°)a)Déterminer le système d'équations paramétriques de la droite , passant par les points A et B;
b)Montrer que les droites (d) et sont non coplanaires.
2°)Le plan (P) est parallèle à (d) et contient . Déterminer une équation cartésienne de (P).
3°)Calculer la distance entre les droites (d) et ().
20 pts
5 5 5
5
Exercice 2 : Analyse
On considère la fonction f définie par f x =x2−3
x−2 et on appelle F sa représentation graphique dans un repère orthonormé O;i ;j.
1)Étudier f : domaine de définition, coordonnées des intersections avec les axes de coordonnées, variations de f, coordonnées des extrema éventuels (chaque réponse sera justifiée de façon explicite)
2)Montrer que F admet une asymptote oblique, dont vous déterminerez l'équation, puis étudier sa position par rapport à F.
3)Construire un graphique comportant tous les éléments étudiés.
4)Calculer l'aire exacte du domaine délimité par F et l'axe des abscisses.
20 pts
8
5
3
4
Exercice 3 : Analyse
On considère la fonction f définie par : f x =
{
2 ln12 x2x+−px1−pour x52 pour x⩾1 <1où p est un réel. On note Cf sa représentation graphique dans un repère orthonormé.
1)En utilisant un graphique et un curseur faits sur votre calculatrice, indiquer la valeur du réel p afin que la fonction f soit continue en x=1 ; toujours en utilisant la calculatrice, indiquer si la fonction f vous semble dérivable pour x=1 ou non
(expliquer votre méthode).
2)a)A l'aide de calculs explicites, retrouver la valeur de p pour que f soit continue en x=1,
b)Etudier lors la dérivabilité de f en 1.
3)Etudier la fonction f (zéros, variations, extemum)
4)Déterminer l'équation de la tangente T à Cf au point d'abscisse 1 5)Construire schématiquement T et Cf
6)Pour x⩾1 , résoudre f(x)=0 puis calculer l'aire exacte de la surface limitée par la coube Cf, l'axe des abscisses et les droites d'équations x=e et x=e.
20 pts
3
2 3 3 3 3
3
Exercice 4 : Complexes
Soit le polynôme P(z)=3z3+(1+6 i)z2+2(8+i)z+32 i ; 1)Calculer, en indiquant les étapes, les réels a, b et c tels que
P(z)=(z+2 i)(az2+bz+c)
2)Calculer alors les racines complexes du polynôme P.
10 pts
6
4
