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La fin justifie les moyens.Mais qu’est-ce qui justifie la fin ? (A. Camus)
Résumé. Nous avons mis en évidence que le calcul de la réponse forcée d’une équation de Helmholtz présente des spécificités : la k-singularité qui provoque un déphasage entre l’onde exacte et numérique et une erreur sur l’amplitude croissant avec le nombre d’onde, la λ-singularité qui correspond à la singularité de l’opérateur de Helmholtz discret aux fréquences propres. L’analyse d’erreur a priori a permis de décomposer l’erreur en un terme d’erreur d’approximation (différence entre les ondes exacte et interpolante) et l’erreur de pollution (différence entre l’onde interpolante et éléments finis)
Nous avons ensuite mis en évidence que les estimateurs d’erreur a posteriori permettent une évaluation efficace de l’erreur d’approximation. Dans ce sens, l’estimation d’erreur a posteriori est donc indispensable à faible nombre d’onde de manière à contrôler la pollution due aux singularités géométriques et physiques. Par contre, pour les nombres d’onde adimensionnels plus élevés (κ > 1), il y a lieu de procéder à la génération d’un maillage satisfaisant à une règle a priori permettant de contrôler l’erreur de pollution.
Enfin, les analyses vibro-acoustiques industrielles menées au chapitre 7 ont permis, outre les conclusions de conception, de montrer l’applicabilité des estimateurs développés.
Ensuite, ce chapitre se poursuit en traçant trois pistes primordiales de développements futurs. Premièrement, nous avons montré que l’erreur en norme intégrale, de type norme
“énergie”, n’est pas toujours pertinente pour l’utilisateur. En fait, il convient maintenant de chercher une définition mathématique appropriée au calcul d’erreur sur la courbe de réponse fréquentielle qui est le résultat le plus important d’une analyse acoustique.
Deuxièmement, il apparaît que l’influence de la k-singularité ne peut pas être contrôlée a posteriori et il convient donc de modifier la formulation éléments finis soit par des méthodes de stabilisation (paragraphe 8.2.2.) soit par une méthode où les fonctions d’interpolation sont non rationnelles (paragraphe 8.2.3). Dans ce dernier cas, on expose l’application très prometteuse à l’acoustique des méthodes dites “sans maillage”.
8.1 Conclusions
8.1.1 Spécificités de l’acoustique
La propagation des ondes acoustiques est régie par une équation de Helmholtz dont l’inconnue est la variation spatiale de la pression. Le calcul de la réponse forcée (à fréquence d’excitation imposée) par éléments finis présente des spécificités qui affectent la qualité de la solution.
Dispersion
Nous avons rappelé, pour un problème unidimensionnel (p=1), la démonstration du caractère dispersif de l’onde numérique, c’est-à-dire d’une vitesse de propagation différente de la vitesse du son. Nous avons établi la relation
(3.40) kh = k - k3 h2
24 + O(k5 h4)
(8.1) montrant que la dispersion induit une longueur d’onde numérique plus grande que la longueur d’onde exacte, il s’en suit un déphasage entre les ondes exacte et éléments finis croissant avec le nombre d’onde.
La dispersion a ensuite été illustrée sur des problèmes uni- et bidimensionnels.
k-singularité (pollution)
Nous avons ensuite rappelé la démonstration, pour un problème unidimensionnel, de la décomposition de l’erreur de discrétisation par des éléments finis de degré p en deux termes selon la relation (pour la semi- norme H1)
(3.56)
p - ph 1
p 1 ≤ C1Θ + C2 κ Θ2
(8.2) où
Θ = κh p
p
(8.3) Le premier terme correspond à l’erreur d’approximation polynomiale et peut être contrôlé par la règle de bonne pratique usuelle qui suggère de maintenir le facteur Θ constant, c’est-à-dire d’assurer une résolution minimale d’une longueur d’onde par six éléments finis linéaires par exemple. Le deuxième terme de la relation (8.1) définit la pollution. Nous avons montré qu’elle est due à une erreur sur la phase et l’amplitude croissante entre les ondes exacte et éléments finis. À nombres d’onde adimensionnels élevés (κ>1), la pollution domine l’erreur et elle ne peut pas être contrôlée par la règle de bonne pratique.
En particulier, nous avons montré que l’erreur de discrétisation est une fonction croissante de la longueur caractéristique de la géométrie étudiée. Nous préconisons donc d’abandonner la règle de bonne pratique, telle qu’elle est suggérée par le manuel d’utilisation de SYSNOISE,
(3.14) kh ≤ 2π
6 (8.4)
et d’adopter une nouvelle règle permettant d’obtenir des solutions éléments finis dont l’erreur de pollution est contrôlée
(3.82) κ κh
p
2p < C (η)
(8.5) où η est l’erreur relative prescrite. Bien entendu, ce critère augmente considérablement le nombre d’inconnues et, corrélativement les temps de calcul et espaces disque nécessaires. Un premier enjeu de l’obtention de solutions éléments finis à erreur prescrite réside donc dans la capacité des solveurs de résoudre des systèmes d’équations de grande taille. Un projet ESPRIT (Communauté européenne) vient d’ailleurs de débuter dont le but est de démontrer l’applicabilité de solveurs itératifs parallélisés à l’acoustique [DOM97]. En particulier, nous espérons y reproduire les excellents gains de performance obtenus par P. Saint-Georges [SAI95, SAI96/1] dans le cadre de l’élasticité linéaire (algorithme séquentiel).
Le critère (8.5) montre également que la k-singularité est mieux contrôlée par des éléments de degré élevé (p>1). Cependant, les travaux d’I. Babuska, résumés en annexe 9.3, ont montré que la pollution numérique due aux singularités géométriques ou physiques (discontinuité des conditions aux limites par exemple) était plus importante pour des éléments de degré plus élevés (p>1). Pour les cas industriels, où il existe très souvent des singularités géométriques ou physiques, il est donc nécessaire de trouver un compromis. Pour cette raison, nous recommandons l’usage systématique des éléments de degré 2.
Une alternative réside évidemment dans la p-adaptation qui, si elle est basée sur des calculs d’erreur fiables, permettra de générer des maillages à éléments de degré variable qui permettent de contrôler l’influence de toutes les singularités.
λ-singularité
Pour les problèmes intérieurs, en l’absence d’amortissement structural, la matrice du système éléments finis est singulière pour les fréquences de résonance. À ces fréquences, l’erreur est donc infinie.
Néanmoins, en observant une courbe de réponse fréquentielle qui donne la variation de la pression (par exemple) en un point géométrique en fonction de la fréquence, on se rend immédiatement compte que cette erreur n’apporte pas une information pertinente à l’utilisateur car, dans ce cas, il semble préférable de donner une erreur sur la fréquence propre elle-même. Dans ce cadre, c’est la définition même de l’erreur qui est en cause et l’erreur en norme intégrale L2 ou H1 n’est pas appropriée. Nous y reviendrons au paragraphe 8.2.1.
8.1.2 Estimation d’erreur a posteriori
Nous avons développé deux estimateurs d’erreur a posteriori procédant de principes totalement différents : un estimateur basé sur le lissage superconvergent du champ de vitesses (disponible pour tous les éléments de la librairie de SYSNOISE à deux et trois dimensions) et un estimateur basé sur la construction de champs admissibles (disponible pour le triangle à trois noeuds). Nos tests numériques montrent que ces estimateurs se comportent sensiblement de la même manière vis-à-vis des spécificités de l’acoustique :
1) les estimateurs d’erreur a posteriori se révèlent incapables d’évaluer correctement l’erreur de pollution. Nous avons montré que les deux méthodes ne permettent pas de construire des champs dont le déphasage par rapport à la solution exacte serait minimisé,
2) les estimateurs d’erreur a posteriori ne sont pas fiables en présence de λ−singularité, 3) par contre, à faibles nombres d’onde adimensionnels, on retrouve les mêmes
conclusions que celles décrites dans la littérature pour des problèmes régis par des opérateurs elliptiques, à savoir : l’estimateur d’erreur par lissage superconvergent se révèle le plus robuste et le plus facile à implanter, y compris pour les éléments tridimensionnels ; l’estimateur d’erreur en champs admissibles fournit bien une borne
supérieure de l’erreur exacte mais son indice d’efficacité devrait être amélioré (il excède souvent 2 dans la version actuelle) et les développements doivent être adaptés spécifiquement à chaque élément.
8.1.3 Contrôle de l’erreur à faibles nombres d’onde
À faibles nombres d’onde adimensionnels (κ<1), la relation (8.2) montre que l’influence de la k- singularité est négligeable devant l’erreur d’approximation. Les estimateurs d’erreur a posteriori sont fiables dans ce cas et nous avons montré, sur un exemple industriel simple (compartiment passager d’un véhicule automobile) et sur des applications tridimensionnelles (chapitre 7) que la précision de la solution est alors influencée par les singularités géométriques (angles entrants) ou physiques (discontinuité de conditions aux limites). Pour contrôler l’influence de ces singularités, il est indispensable de procéder à l’équidistribution de l’erreur absolue élémentaire et nous avons développé les outils nécessaires au raffinement de maillages mixtes bidimensionnels.
8.1.4 Applications industrielles
Enfin, deux applications industrielles ont été réalisées : les analyses vibro-acoustiques du GLT (section bidimensionnelle d’un tram) et de la Vertigo (compartiment passager tridimensionnel). Elles illustrent l’applicabilité des méthodes numériques de type éléments finis pour l’étude acoustique de cavités. De plus, elles ont permis de suggérer des modifications de conception de manière à rencontrer les souhaits de leur constructeur respectif. Ces études ont été complétées par un calcul d’erreur montrant la confiance que nous pouvons avoir en les résultats de la discrétisation éléments finis.
8.2 Perspectives de recherches
Ce paragraphe n’a pas la prétention de tracer tous domaines de recherche ouverts par le présent travail.
Néanmoins, nous tenons quand même à en souligner trois qui nous semblent importants.
8.2.1 Erreur en réponse fréquentielle
Un calcul d’erreur correctement conçu trouve naturellement sa place dans un processus de conception. Il est l’outil indispensable à l’ingénieur conscient que les méthodes numériques qu’il utilise lui fournissent une approximation de l’erreur exacte du problème continu qu’il a défini. Il base ses décisions sur les résultats numériques et il est donc essentiel de fournir une évaluation de l’erreur sur les variables pertinentes du processus de conception. Or, la plupart des études acoustiques sont effectuées de manière à contrôler le niveau de bruit (pression exprimée en décibel) et le résultat le plus souvent consulté est la courbe de réponse fréquentielle. Dans ce cadre, il convient donc de définir une erreur sur la courbe de réponse fréquentielle. Malheureusement, il s’agit ici d’un problème mathématiquement mal posé car deux variables contradictoires entrent en jeu :
1) la fréquence. Le premier souci consiste à identifier les fréquences pour lesquelles la courbe de réponse fréquentielle présente des pics,
2) l’amplitude. Pour des structures réelles présentant de l’amortissement, une fois connues les fréquences présentant des pics, il y lieu de vérifier si la pression correspondante excède ou non la limite souhaitée ou imposée.
On le voit, il faut donc à la fois évaluer une erreur sur la fréquence et sur l’amplitude et la définition d’une telle erreur est toujours une problème ouvert.
De la même manière, les méthodes de h-adaptation que nous proposons optimise le maillage à chaque fréquence d’excitation. Toutefois, d’un pont de vue pratique, la recherche d’un maillage optimal sur la
gamme de fréquences étudiée, ou sur des sous-ensembles de celle-ci, se révèle plus économique et donc plus réaliste. La définition d’une erreur en réponse fréquentielle introduira naturellement un ou plusieurs maillages optimisés en “réponse fréquentielle”.
8.2.2 Minimisation de l’influence de la k-singularité
L’inefficacité des estimateurs d’erreur a posteriori est due principalement à la pollution. En aucun cas, les estimateurs ne peuvent être tenus responsables de ce phénomène et il donc plus légitime de chercher à stabiliser la méthode des éléments finis. De nombreuses tentatives sont présentées dans la littérature de laquelle il ressort
1) à une dimension, il est possible d’éliminer complètement la pollution,
2) à deux dimensions et plus, il est possible de démontrer qu’il n’est pas possible de l’éliminer complètement, tout au plus peut-elle être minimisée.
Ces méthodes consistent à généraliser la formulation des éléments finis de Galerkin et nous soulignons deux approches. La première est une généralisation de la méthode des éléments finis de Galerkin par moindres carrés et qui consiste à incorporer au sens des moindres carrés des résidus en équation de propagation et des conditions aux limites (Galerkin least squares [HAR96/2, THO95]). La deuxième procède par généralisation de la méthode des éléments finis en modifiant les fonctions de forme. Dans le cadre d’une équation de Helmholtz, cette façon de procéder permet de bénéficier des résultats de l’analyse de dispersion (paragraphe 3.7) et de chercher la formulation telle que k - kh = 0 [BAB95/2].
8.2.3 Fonctions d’interpolation non polynomiales
Une alternative prometteuse pour minimiser l’influence de la k-singularité consiste à utiliser des fonctions d’interpolation non polynomiales. Pour cela, il est possible de généraliser la formulation de la méthode des éléments finis [MEL95], mais parmi les approches disponibles dans la littérature, les méthodes d’interpolation nodale “sans maillage” semble très prometteuse. Elles ont connu récemment un regain d’intérêt par l’introduction d’une formulation par moindres carrés pondérés à coefficients variables (moving least squares). Ces méthodes présentent en effet l’énorme avantage de nécessiter uniquement une distribution de noeuds, sans devoir établir une connectivité par des éléments. Le gain en temps de génération de maillage est évident, et, en particulier, la génération de raffinements locaux devrait se révéler très aisée (procédure adaptative) dès que les outils d’estimation d’erreur auront été mis au point.
Si la première publication de ces méthodes date déjà de 1977 [LUC77], ce sont surtout les travaux de Nayroles et al. [NAY92] et Belytschko et al. [BEL94] qui ont permis de faire d’énormes progrès. En particulier, ce n’est que très récemment que la convergence de la méthode des moindres carrés pondérés à coefficients variables a été démontrée (par exemple [BAB97/2]).
Formulation pour l’acoustique
P. Saint-Georges a déjà montré comment formuler une méthode d’interpolation nodale pour le calcul des valeurs propres d’un opérateur de Laplace en variables réelles [SAI96/2]. La formulation s’étend aisément au cas de l’acoustique. Dans les principes, il s’agit d’une approximation de Galerkin de la formulation d’extrémum (2.68) à l’exclusion des conditions aux limites de Dirichlet qui, compte tenu de la méthode d’approximation par moindres carrés à coefficients variables, doivent être imposées explicitement par exemple par paramètres de Lagrange [BOU97/4].
Approximation par moindres carrés pondérés à coefficients variables
La méthode des moindres carrés pondérés à coefficients variables est décrite pour une fonction scalaire réeele g quelconque, mais s’étend directement à toute fonction tensorielle éventuellement complexe.
L’approximation gh(x) est choisie polynomiale sous la forme
gh(x) = pt(x) a(x) (8.6)
où p(x) désigne les monômes d’une base polynomiale complète de degré p. Par exemple, la base de degré 1 est pt = 1, x, y et de degré 2 est pt = 1, x, y, x2, xy, y2 pour un problème bidimensionnel. Il est important de remarquer que les coefficients a(x) de l’expression (8.6) sont variables, c’est la différence fondamentale avec la méthode des éléments finis où ces coefficients sont constants. Supposons connaître la fonction g en les noeuds i. Les coefficients a(x) sont déterminés en minimisant la norme L2 discrète pondérée suivante :
J = w( x - xi ) ( pt(xi) a(x) - gi )2 i = 1
s
(8.7) où w( x - xi ) est une fonction poids non nulle dans un voisinage de xi appelé domaine d'influence (son support) et s le nombre de noeuds présents dans ce domaine. L'expression (8.7) est en fait un cas particulier de la classe des méthodes d'approximation qui “partitionnent l'unité”[BAB97/2], c'est-à-dire des méthodes telles que la somme des fonctions d'interpolation en tout point vaut 1 (ce qui assure la consistance de la méthode). L’expression du minimum s’écrit
dJ da = 0
(8.8) ce qui donne le système d’équations linéaires en a(x)
A( x ) a( x ) = C( x ) g (8.9) où la matrice A(x) est symétrique et définie par
A(x) = w( x - xi ) p(xi) p(xit) i = 1
s
(8.10) et C(x) est un matrice dont la ième ligne est
C(x)ième ligne = w( x - xi ) p(xi) i = 1
s
(8.11) et g contient les valeurs nodales connues de la fonction g. La résolution du système (8.9) fournit les coefficients a(x).
Fonctions d’interpolation
Si l’on exprime les coefficients a(x) dans la relation (8.9), (8.6) devient
gh(x) = pt(x) A-1(x) C(x) g (8.12) qui introduit
N(x) = pt(x) A-1(x) C(x) (8.13)
où N(x) est la matrice des fonctions de forme. Il est important de remarquer que ces fonctions sont non rationnelles et que l’approximation ne passe par forcément par les valeurs nodales.
Fonctions poids
Le choix des fonctions poids est évidemment essentiel. Elles doivent satisfaire aux critères suivants : 1) elles doivent être positives ou nulles (pour des raisons de consistance),
2) leur dérivée première doit exister (car elles apparaissent dans la matrice de rigidité), 3) leurs valeurs doivent être grandes au noeud considéré et décroître lorsque l'on s'en
éloigne. Les fonctions poids sont donc non nulles dans un domaine d'influence.
Toute fonction poids qui satisfait aux critères ci-dessus convient à l'approximation (8.7), mais il est évident que le choix conditionne la qualité de la solution numérique. Il existe une limite théorique inférieure pour le diamètre du domaine d'influence : tout point d’évaluation doit appartenir à un nombre de domaines d’influence au moins égal au nombre de monômes de la base polynomiale p(x) pour que A(x) soit non singulière.
Tests numériques préliminaires
-1 -0.5 0 0.5 1
0.0 0.5 1.0
p pFEM pEFGM
ξ Re (p)
figure 8.1. Problème modèle 1 : pressions exacte “p”, éléments finis “pFEM”
et par interpolation nodale “pEFGM” (partie réelle) - (k=18.85 m-1, f=750 Hz, L=1 m, h=0.1 m, κ1 = 18.85)
0.01%
0.10%
1.00%
10.00%
100.00%
1 10 100
1/h
kL=1.01 kL=1.01
kL=10.05 kL=10.05
kL=25.13 kL=25.13
p -ph1 p1
FEM EFGM
figure 8.2.. Problème modèle 1 : convergence en semi-norme H1 pour différents κ=kL
Afin d’illustrer les résultats prometteurs de cette formulation, nous nous sommes intéressés immédiatement à la dispersion et la pollution sur le problème modèle 1. La figure 8.1 donne la distribution de la partie réelle de l’onde de pression pour le problème modèle 1 (respectivement les ondes exacte p, éléments finis pFEM et par interpolation nodale pEFGM). On constate que l’onde par interpolation nodale présente une dispersion nettement plus faible que l’onde éléments finis. De plus, les fonctions de forme non rationnelles permettent de mieux approcher une onde oscillante en sinus.
L’influence de la k-singularité est également moins sensible par interpolation nodale comme le montre la figure 8.2 qui donne la convergence de l’erreur en semi-norme H1 pour différents nombres d’onde.
Il convient maintenant d’améliorer encore la formulation par interpolation nodale en tentant compte des spécificités de l’acoustique.
