Estimateurs d'erreur a posteriori pour des problèmes dynamiques

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dynamiques

Nadir Soualem

To cite this version:

Nadir Soualem. Estimateurs d’erreur a posteriori pour des problèmes dynamiques. Mathématiques

[math]. Université de Valenciennes et du Hainaut-Cambresis, 2007. Français. �tel-00156845�

Institut des Sciences et Techniques – Valenciennes

Laboratoire LAMAV de Valenciennes

FR CNRS 2956

Estimateurs d’erreur a posteriori pour

des probl`

emes dynamiques

TH`

ESE

pr´

esent´

ee et soutenue publiquement le 30 mai 2007

pour l’obtention du

Doctorat de l’Universit´

e de Valenciennes

(sp´

ecialit´

e Math´

ematiques Appliqu´

ees)

par

Nadir SOUALEM

Composition du jury

Rapporteurs :

Patrick HILD

Universit´

e de Franche-Comt´

e

Marco PICASSO

Ecole Polytechnique F´

´

ed´

erale de Lausanne

Examinateurs :

Emmanuel CREUS ´

E

Universit´

e de Valenciennes

Luc PAQUET

Universit´

e de Valenciennes

Christophe TROESTLER

Universit´

e de Mons-Hainaut

Dire teur de thèse :

Serge NICAISE

Universit´

e de Valenciennes

Jetiens à remer ieren tout premierlieuSerge NICAISE quia dirigé ette thèse dans la ontinuité de mon stage de DEA. Tout aulongde es trois années, il asuorientermes re her hesauxbonsmomentsenmefaisantdé ouvrirleséquationsauxdérivéespartielles, autravers de son regardde théori ien pragmatique.

Je remer ie les rapporteurs de ette thèse Patri k HILD professeur de l'Université de Fran he-Comté et Mar o PICASSO professeur de l'É ole Polyte hnique Fédérale de Lausanne d'avoir a epté ette tâ he peu évidente et l'intérêt qu'ils auront porté à mon travail.

Un grand mer i à Lu PAQUET et Christophe TROESTLER d'avoir a epté non seulement de fairepartie des membres du jury mais aussi d'avoir examiné attentivement lemanus rit.

Jeremer ieégalementmon ollèguedebureauKarimDJADEL,quiparsonexpérien e m'a permis d'avan er du pointde vue numérique.

Pour reprendre un ordre plus hronologique, je voudrais remer ier deux amis qui ont jouéun rle fondamentaldans maformation.Tout d'abord Ja ques VAUTHIER Profes-seur àl'Université Pierre etMarie Curie qui a suéveiller en moi, dès 1997,une véritable passionpourlesmathématiques.Grâ eàlui,jegarderaide monpassageàl'Universitéde PierreetMarie Curie,uneintuitivemaissolideformationauxmathématiquesappliquées. Puis Emmanuel CREUSÉ, qui m'a initié au al ul s ientique et à l'analyse numérique. Ilm'a sans au undoute apporté, autravers des entaines d'heures passéesensemble,une visionpratique de l'analysedans lesdomaines appliquéesautravers de son expérien ede numéri ien.

Jetiensàremer ierChristopheCOLLARD, oordinateurs ientiquedela oopération ave l'ENSAMetlelaboratoiredeMetzauseinduprojetSimula+,pourm'avoirimpliqué dans son projet depuis2002 me permettant ainsi de réaliser de nombreuses lasses C++ appliquéesau domainedes éléments nis, notammentdans le adre de la mise en ÷uvre de résolutions d'équations aux dérivées partiellesdynamiques.

Laqualité etla ontinuité de e projetsontlefruitd'un travaild'équipesur leterrain et de nombreuses ren ontres très onstru tives. J'ai pour ela pleinement proté de la présen e de Christophe COLLARD, Denis MERCIER et Émmanuel CREUSÉ ainsi que de l'e a ité des stagiairessu essifs que nous avons pris en harge.

Le Laboratoired'analysenumériqueJa ques Louis LIONSet labibliothèque de Che-valeretontété un adreprivilégiépouree tuer ettethèse.Parmi eux quiont ontribué à mes réexions, je remer ie tout spé ialement Samy qui apartagé son bureau ave moi aux ours des universités d'été.

Je n'oublierai pas les aides permanentes reçues du personnel administratifdu Dépar-tementde Mathématiques : NabilaDAIFI etCorinne AUREGGI.

Mer i àJawed etàMarlène d'avoirrelu attentivement unegrosse partiede e manus- rit. Mer i du temps qu'ils ont onsa ré à redonner un peu de rigueur à maplume qui a tendan e quelques fois àdéraper...

Enn,une penséeémue pour tous lesthésards ave quij'ai partagéune salle,un afé, un repas ou une onsole d'ordinateurpendant es quelques années et toute la troupedu Laboratoirede Valen iennes.

Dans une première partie, on introduit des estimateurs d'erreur a posteriori pour l'équationde la haleurdans

R

d

,

d = 2

,3viauneméthoded'élémentsnis non onformes

[DDPV96 ℄ en espa e et un s héma d'Euler impli iteen temps. Pour ette dis rétisation, onélabore un indi ateur d'erreur résiduelspatialbasé sur lessautsdes dérivées normales ettangentielles de notre approximation,ainsi qu'un indi ateur résidueltemporel [BM00℄ basésur lesaut du gradientà haque pas de temps.Les bornes inférieuresetsupérieures de la norme de l'erreur forment les résultats prin ipaux de ette étude. En outre, on montre que es estimateurs sont ableset e a es. Dansune se onde partie,on traitele problème de Stokes dynamique.L'élaborationdes estimateursa posteriori est également basée sur des estimateurs spatiaux et temporels. Une preuve de leur abilité et de leur e a ité est donnée. Finalement,lestests numériqueset un algorithme adaptatifissu de [Pi 98℄ onrment les prévisions théoriques et le bon omportement de es estimateurs [NS05, NSa℄.

Mots- lés: a posteriori, éléments nis non onformes, équation de la haleur, Stokes dynamique.

Abstra t

In a rst part, we introdu e an a posteriori estimator for a non onforming nite element approximation[DDPV96℄ of the heat equation in

R

d

,

d = 2

,3, using Ba kward

Euler'ss heme. Forthis dis retization,wederive aresidualindi atorbasedon thejumps ofthe normal andtangential derivativesof thenon onforming approximationand a time residual based on the jump of broken gradients at ea h time step [BM00℄. Lower and upper bounds form the main results. We onrm the e ien y and reliability of these estimators.Ina se ondpart,we presentana posteriori estimatorfor thetime dependent Stokes problem in

R

d

,

d = 2

or 3. Our analysis overs non onforming nite element

approximation(Crouzeix-Raviart's element).Wederive anindi atorwhi h uses aspatial andtimeresidual.Numeri alexperiments onrmthetheoreti alpredi tions[NS05,NSa℄ and show the usefulness of these estimators on adaptive mesh renement using [Pi 98℄.

Keywords: a posteriori, non onforming nite element, heat equation, time dependent Stokesproblem.

Notations xi

Table des gures xiii

Chapitre 1 Introdu tion 1

1.1 Résolutiondu problème numérique . . . 3

1.2 Étude du problème a priori . . . 3

1.3 Étude du problème a posteriori . . . 4

1.4 Critère d'optimalitédes indi ateursd'erreur . . . 4

1.5 Adaptation de maillage . . . 4

1.6 Ranementde typeh . . . 5

1.7 Te hniques adaptatives . . . 5

1.8 Génération de maillage . . . 6

Chapitre 2 Estimations d'erreur a posteriori pour le problème du lapla ien 9 2.1 Introdu tion . . . 10

2.2 Élémentsnis de Crouzeix-Raviart . . . 10

2.2.1 Des ription géométrique . . . 10

2.2.2 Des ription topologique . . . 10

2.2.3 Dénitions etpropriétés . . . 11

2.3 Opérateurs d'interpolationde Clément . . . 13

2.3.1 Élémentsnis onformesde premier ordre . . . 13

2.3.2 Dénition . . . 13

2.3.3 Propriétés de l'opérateurd'interpolationde Clément. . . 14

2.4 Outils fon tionnels . . . 14

2.4.2 Inégalités inverses . . . 15

2.5 Problèmes ontinuset dis rétisés . . . 15

2.5.1 Problème ontinu . . . 15

2.5.2 Problèmedis ret . . . 16

2.6 Outilset propriétés analytiques . . . 16

2.6.1 Dé ompositionde Helmholtz . . . 16

2.6.2 Relationsd'orthogonalité . . . 17

2.7 Analyse a posteriori de la dis rétisation. . . 19

2.7.1 Bornesupérieure de l'erreur . . . 20

2.7.2 Borneinférieure de l'erreur . . . 21

2.8 Tests numériques . . . 22

2.9 Con lusion . . . 23

Chapitre 3 Estimateurs d'erreur a posteriori pour l'équation de la haleur 25 3.1 Introdu tion . . . 25

3.2 Dis rétisations du problème . . . 26

3.2.1 Dis rétisation en tempsvia un s héma d'Euler impli ite. . . 26

3.2.2 Dis rétisation totale . . . 27

3.3 Outilset propriétés analytiques . . . 29

3.4 Analyse a posterioride ladis rétisation en temps . . . 33

3.5 Analyse a posteriori de la dis rétisationspatiale . . . 36

3.5.1 Bornesupérieure de l'erreur . . . 36

3.5.2 Borneinférieure de l'erreur . . . 41

3.6 Analyse a posteriori de la dis rétisationtotale . . . 43

3.7 Tests numériques . . . 46

3.7.1 Premiertest . . . 46

3.7.2 Dépendan e de l'erreur . . . 49

3.7.3 Algorithmeadaptatif . . . 52

3.8 Con lusion . . . 55

Chapitre 4 Estimateurs d'erreur a posteriori pour le problème de Stokes 59 4.1 Introdu tion . . . 59

4.2.2 Dis rétisation totale . . . 61

4.3 Outils etpropriétés analytiques . . . 63

4.4 Analyse a posteriori de ladis rétisation en temps . . . 70

4.5 Analyse a posteriori de ladis rétisation spatiale . . . 72

4.5.1 Borne supérieurede l'erreur . . . 72

4.5.2 Borne inférieurede l'erreur. . . 77

4.6 Analyse a posteriori de ladis rétisation totale . . . 80

4.7 Tests numériques . . . 82

4.7.1 Premier test . . . 82

4.7.2 Algorithme adaptatif . . . 86

4.8 Con lusion . . . 91

Annexes 95 Annexe A Mise en ÷uvre algorithmique des éléments nis non onformes 2D 95 A.1 Résolutionde l'équationde Lapla e.. . . 95

A.2 Assemblage de la matri edu problème de Lapla e.. . . 96

A.3 Assemblage du se ond membre. . . 98

A.3.1 Intégration numérique . . . 98

A.3.2 Te hnique d'assemblage. . . 99

A.4 Mise en pla e du système linéaire issu de ladis rétisation . . . 101

A.5 Sto kage de la matri e . . . 101

A.5.1 Sto kage stru turé. . . 102

A.6 Résolutiondu système linéaire. . . 104

Annexe B Mise en ÷uvre algorithmique du problème de Stokes 2D. 105 B.1 Algorithmed'Uzawa. . . 105

B.2 Résolutionnumériquedu problème de Stokes . . . 107

B.3 Algorithmed'Uzawa sous forme dis rète. . . 108

B.4 Implémentation de l'algorithmed'Uzawa. . . 109

B.5 Appli ationnumérique. . . 111

R

espa e ve torieldes nombres réels

C

espa e ve torieldes nombres omplexes

K

espa e ve torieldésignant

R

ou

C

N

ensemble des entiers naturels

A

n

espa e produit

A

× A × · · · × A

|

{z

}

nf ois

M

n

(K)

espa e ve torieldes matri es d'ordre

n

à oe ients dans

K

Ω

_{⊂ R}

d

domaineouvert borné de dimension

d = 2, 3

P

k

_(Ω)

espa e des polynmes de degréinférieur ouégal à

k

C

k

_(Ω)

espa e des fon tions

k

fois ontinuement dérivablessur

Ω

L

2

_(Ω)

espa e des fon tions de arré intégrable sur

Ω

L

2

0

(Ω)

espa e des fon tions de arré intégrable de moyenne nullesur

Ω

L

p

_(Ω)

espa e des fon tions de puissan e

p

-ième intégrable sur

Ω

L

∞

_(Ω)

espa e des fon tions essentiellement bornées

H

k

_(Ω)

espa e de Sobolev des fon tions dont lesdérivées

k

-ièmesappartiennent à

L

2

_(Ω)

H

k

0

(Ω)

espa e de Sobolev des fon tions de

H

k

_(Ω)

satisfaisant une ondition au bord de type Diri hlet homogène

H

−1

_(Ω)

dual topologique de

H

1

_(Ω)

(

·, ·)

produit s alairede

L

2

_(Ω)

∂u

∂x

i

dérivée partiellede

u

par rapport à lavariable

x

i

D

i

u

dérivée partiellede

u

par rapport à lavariable

x

i

∂

k

_u

∂x

k

i

dérivée partielled'ordre

k

de

u

par rapportà lavariable

x

i

D

k

i

u

dérivée partielled'ordre

k

de

u

par rapportà lavariable

x

i

∂

t

u

dérivée partiellede

u

par rapport à lavariabletemps

t

∇u

opérateur gradientde

u

∆u

opérateur lapla iende

u

k·k

norme

L

2

_(Ω)

k · k

K

,

k·k

_E

norme

L

2

sur le domaine

K

ousur une fa e

E

k·k

R

d

norme eu lidienne d'un ve teur de

R

d

k · k

s,D

norme de l'espa e de Sobolev

H

s

_(D)

| · |

s,D

semi-norme de l'espa e de Sobolev

H

s

_(D)

Γ = ∂Ω

bord de

Ω

T

h

triangulationde

Ω

K

triangle outétraèdre de

T

h

|K|

aire ou volume de

T

ˆ

K

triangle de référen e

K

tétraèdre de référen e

E

K

arête de K

E

h

ensemble des arêtes/fa es de

T

h

E

int

h

ensemble des arêtes/fa es intérieures de

T

h

F

K

appli ation linéaireane du triangle

K

ˆ

sur

K

a . b

il existe une onstante positive

C

indépendante de

a

et de

b

telle que

a

_{≤ Cb}

a

∼ b

il existe des onstantes positives

C

1

et

C

2

indépendantes de

a

et de

b

telles que

C

1

b

≤ a ≤ C

2

b

n

E

= (n

E1

, n

E2

)

normaleextérieure d'une arête

E

t

E

= (

−n

E2

, n

E1

)

ve teur tangentà l'arête

E

h

E

longueur ou diamètred'un élément

E

h

K

diamètrede lamaille

K

ω

K

réunion des éléments partageant une arête/fa e ommune ave

K

ω

E

réunion des éléments partageant l' arête/fa e

E

ω

x

réunion des éléments partageant le noeud

x

˜

ω

K

réunion des éléments partageant un noeud ave

K

˜

ω

E

réunion des éléments partageant un noeud ave

E

T

nombre réel stri tementpositif

δ

i,j

Symbolede Krone ker

δ

i,j

= 1

, si

i = j

,0 sinon

M

D

(u)

valeur moyenne intégrale d'unefon tion

u

sur le domaineD

ℜλ

partie réelle de

λ

2.1 Élémentni

P

1

non onforme2D . . . 10

2.2 Fon tion de base

p

ˆ

1

. . . 12

2.3 Fon tion de base

p

ˆ

2

. . . 12

2.4 Fon tion de base

p

ˆ

3

. . . 12

2.5 Deux éléments partageantune arête

E

. . . 13

2.6

T

0

et

T

1

. . . 22

2.7

T

2

et

T

3

. . . 23

2.8 Ordre de onvergen e de

k∇

h

e

k

et

η

. . . 24

3.1 Maillage uniforme sur le arré unité ave

n = 8

. . . 46

3.2

∇

_h

e

N

en fon tiondes DoFpour des maillagesuniformes. . . 47

3.3

q

N

up

en fon tion des DoFpour des maillagesuniformes.. . . 48

3.4

q

N

low

en fon tiondes DoFpour des maillagesuniformes. . . 48

3.5 Maillage non stru turé du arré unitéave

h = 0.2

. . . 49

3.6

q

N

up

en fon tion des DoFpour des maillagesnon stru turés. . . 50

3.7

q

N

low

en fon tiondes DoFpour des maillagesnon stru turés. . . 50

3.8 Fon tion gaussienne ave

n = 4

,

t

n

= 0.1s

,

Nv = 442

. . . 54

3.9 Fon tion gaussienne ave

n = 20 t

n

= 0.5s

,

Nv = 462

. . . 55

3.10 Fon tion gaussienne ave

n = 40 t

n

= 1s

,

Nv = 470

. . . 56

3.11 Solution singulièreave

n = 4

,

t

n

= 0.1s

,

Nv = 836

. . . 56

3.12 Solution singulièreave

n = 20 t

n

= 0.5s

,

Nv = 872

. . . 57

3.13 Solution singulièreave

n = 40 t

n

= 1s

,

Nv = 874

. . . 57

4.1 Maillage uniforme sur le arré unité ave

n = 8

. . . 83

4.2

∇

_h

e

N

en fon tiondes DoFpour des maillagesuniformes. . . 84

4.3

p

N

− p

N

_h

en fon tion des DoF pour des maillagesuniformes. . . 84

4.4

q

N

up

en fon tion des DoFpour des maillagesuniformes.. . . 85

4.5

q

N

low

en fon tiondes DoFpour des maillagesuniformes. . . 85

4.6 Maillage non stru turé du arré unitéave

h = 0.2

. . . 86

4.7

q

N

up

en fon tion des DoFpour des maillagesnon stru turés. . . 87

4.8

q

N

low

en fon tiondes DoFpour des maillagesnon stru turés. . . 87

4.9 Solution exa te autemps

t = 1s

. . . 90

4.10 Curl gaussien ave

n = 4

,

t

n

= 0.1s

,

Nv = 289

.. . . 91

4.11 Curl gaussien ave

n = 20 t

n

= 0.5s

,

Nv = 284

. . . 92

4.13 Solutionsingulièreave

n = 4

,

t

n

= 0.1s

,

Nv = 621

. . . 93

4.14 Solutionsingulièreave

n = 20

,

t

n

= 0.5s

,

Nv = 677

. . . 93

4.15 Solutionsingulièreave

n = 40

,

t

n

= 1s

,

Nv = 693

. . . 94

A.1 Disposition des points

P

ij

. . . 99

A.2 Prol matri ieldans le as

n = 2

. . . 102

B.1 Composante

u

1

de lasolutionexa te

u

. . . 112

B.2 Composante

u

2

de lasolutionexa te

u

. . . 112

B.3 Représentation graphiquede la pressionsur ledomaine

Ω

. . . 113

B.4 Représentation graphiquede la première omposante

f

1

. . . 113

B.5 Représentation graphiquede la se onde omposante

f

2

. . . 114

B.6 Approximation de

u

1

pour une triangulation

T

1/40

.. . . 114

B.7 Approximation de

u

2

pour une triangulation

T

1/40

.. . . 115

B.8 Approximation de

p

en norme

L

2

. . . 115 B.9 Approximation de

u

en norme

L

2

. . . 116

Introdu tion

Dansle adredelarésolutiondeproblèmesphysiquestelsqu'enmé aniquedesuides, des solides ouplus généralement de systèmes d'équations auxdérivées partielles,on ren- ontre biensouvent leproblèmede l'e a itédes méthodes numériquesemployées. Quels vont être les temps de al ul? Le taux de onvergen e est il optimal pour la méthode onsidérée? Telles sont les problématiques auxquelles le numéri ien est onfronté. Dans bien des as, la di ulté ren ontrée, dans le adre d'une résolution via une méthode d'éléments nis, est que le taux de onvergen e de es méthodes numériques se trouve détérioré. On trouveà ela plusieurs raisons:

 lagéométrie du domaine: présente-t-il des oins?

 lanature des onditions aubord :la frontière est ellemixte?

 le omportement de la solution : présente-t-elle des singularités? A-t-elle un om-portementanisotrope? Existe-t-il des dis ontinuités?

Le ranement de maillage automatique peut répondre à e genre de problèmes. Le ranement de maillage est une te hnique algorithmique qui permet d'améliorer le taux de onvergen e des méthodes numériques employées. L'idée de base est de raner les régionssensiblesdu maillagedenotredomaineoùl'approximationdenotresolutionserait "mauvaise" tout en abandonnant les régions les moins sensibles à une approximation lassique. Cet abandon s'explique évidemment par le oût d'un ranement uniforme : à quoi bon raner des zones où l'approximation est plus que onvenable? La réponse est triviale.

C'est dans e adre que l'on fait intervenir la notion d'estimateurs a posteriori. Es-timateurs, puisqu'il s'agit évidemment d'estimer au mieux les erreurs ommises dans la triangulationde notre domaine. Le termea posteriori, quant àlui, par oppositionau a-ra tèrea priori, désigneévidemmentlefait quel'on doit déterminerl'ordre d'erreursans pour autant onnaître la solution exa te de notre problème. Alors en pratique omment déterminerun ordre d'erreur sans onnaîtrela solutionexa te? L'idéeest de trouverune quantitééquivalenteàl'erreur ommiseentrelasolutionexa teetlasolutionappro héedu problèmeétudié. C'estl'essen e mêmede la miseen pla edes estimateurs ouindi ateurs d'erreur a posteriori.

On s'atta he dans ette thèse, à mettre en ÷uvre des estimateurs a posteriori pour des problèmes de type dynamique tels que l'équation de la haleur ou le problème de Stokes. L'élaboration de es indi ateurs d'erreur repose sur une dis rétisation des

pro-blèmesd'équationsauxdérivéespartiellesviadesméthodesd'élémentnisnon onformes. On a hoisi i i les méthodes d'éléments nis de Crouzeix-Raviart. Le hapitre 2 est une introdu tion aux indi ateurs a posteriori. On présente la dis rétisation du problème de Lapla estatiquevia laméthode d'élémentsnisde Crouzeix-Raviart.Ilest destinéd'une part aux non initiés, mais il onstitue en soi un ex ellent adre de préparation aux trai-tements des problèmes dynamiques.

Dans le hapitre3, onprésente des résultats on ernant l'équation de la haleur dans

R

d

,

d = 2

ou 3. On met en pla e une dis rétisation de e problème toujours à l'aide

des éléments nis de Crouzeix-Raviart, mais ette fois- i la donnée temporelle

t

est in-troduite. On a hoisi i i, tout omme dans [BM00℄, un s héma d'Euler impli ite pour la dis rétisation en temps. Une fois le problème dis rétisé, on met en ÷uvre non seulement un indi ateur d'erreur a posteriori basé sur le saut normal et sur le saut tangentiel du gradient de notre approximation, maisaussi un indi ateurd'erreur en temps basé sur les gradients su essifs de l'approximation.L'équivalen e entre l'erreur etles indi ateurs est prouvée ave des onditionsminimalessur lemaillage.Destests numériquesbasés sur un s héma adaptatif viennent onforter lesrésultatsthéoriques démontrés.

Après avoir mis en ÷uvre les estimateurs d'erreurs pour l'équation de la haleur, on met en pla e des indi ateurs d'erreurs pour le problème de Stokes dynamique dans le hapitre 4. Cette étude s'ins ritdans la ontinuité du hapitre pré édent dans la mesure oùla résolution numériquedu problème de Stokesdynamique repose sur la résolution de problèmessu essifs de Stokesstatique(à haque pasde temps),quieux-mêmes reposent sur une résolution de problèmes de Lapla e(à haque étape de l'algorithmede Uzawa ou d'ArrowHurwitz).Lesbornesinférieuresetsupérieuresd'erreursontdémontrées,demême quel'équivalen eentre l'erreuretlesindi ateursa posteriori.Desexpérien esnumériques onrment le bon omportementde laméthode numérique employée.

De nombreux problèmes tou hant à la physique ou à l'ingénierie mathématique sont don régispar des équationsauxdérivées partielles.Bienentendu, lessolutionsexpli ites de tels problèmes sont rarement onnues et de e fait on s'atta he parti ulièrement à la résolution numérique de es équations. Évidemment, le rle du numéri ien ou de l'ingé-nieur al ul est de mettre en pla e une méthode numérique pour appro her au mieux la solution exa te. On distingue alors plusieurs étapes dans la mise en pla e de laméthode numérique hoisie :

 la déterminationdu domainede résolution

Ω

de

R

d

,

d = 2

ou3

 ladis rétisationdeson systèmed'équations auxdérivéespartiellesviauneméthode de diéren es nies, d'élémentsnis oude volumes nis.Dans le as des problèmes dynamiques,il faut également prendre en omptela dis rétisationen temps

 lamise en ÷uvre algorithmique de ette dis rétisationvia des langagesoudes logi- iels (C, C++, Fortran90, matlab, freefem, et )

 larésolution des systèmes d'équations issues de la dis rétisation

 l'étude de la onvergen e de la méthode numérique et le al ul du taux de onver-gen e.

Unefoislaméthodemiseenpla e,onestamenéàdis uterdelaabilitéetdel'e a itéde laméthode numérique.Engénéral,lespreuvesthéoriques de onvergen e,en l'o urren e les estimations a priori, assurent la abilité mais en au un as l'e a ité. L'ordre de onvergen e se trouve parfois détérioré; ontrouve plusieursraisons à ela : géométrie du

domaine, régularité de la solution exa te, et . La problématique est don de trouverune méthode à lafois able ete a e. Lesestimateurs a posteriori vont jouer e rle.

1.1 Résolution du problème numérique

Une fois que notre système d'équations aux dérivées partielles est dis rétisé on est amenéàrésoudre parla suitedes systèmesd'équations linéairesounon-linéaires.Dansle asdes systèmeslinéaires,onutiliselaplupartdutemps desméthodesde gradientbasées surlesespa es deKrylov;dans le as non-linéaire,onprivilégiedesméthodesde Newton. Le hoixdes méthodes de résolution des grandssystèmes linéairesrepose sur le ara tère matri iel du problème : ma matri e est-elle inversible? Est-elle bien onditionnée? Par ailleurs,lesrésolutionsnumériques, etilfautinsistersurlemotnumérique,ne sontjamais exa tes.L'idée fondamentale est de xer une toléran e

ε

et un ritèrede onvergen e :si la fon tion ritère dépasse le seuil

ε

, alors on réitère le pro édé de résolution (méthodes itératives). On onstate don que le numéri ien doit non seulement prendre en ompte lanature de son équationaux dérivées partiellesmais aussi prendre en ompte lanature de sa dis rétisation numérique. Le rle de la fon tion ritère est don essentiel dans e pro essus.

1.2 Étude du problème a priori

Pour mettreen ÷uvre une méthode numériqueable, ilest né essaire de prouverdes résultatsthéoriques préalables. Ce sont lesestimations a priori. A priori ar on suppose la onnaissan ede lasolution

u

oude ses attributs:sarégularité,l'espa edanslequel vit ettesolution.

Pour établirdes estimations a priori, on utilise lesformulations variationnelles onti-nue et dis rète du problème. Soit

V

un espa e de Bana h. La formulation variationnelle ontinue seprésente en généralsous ette forme: trouver lasolution

u

telle que

a(u, v) = (f, v),

_{∀v ∈ V.}

(1.1)

où

a

est une forme bilinéaire ontinue et

f

une donnée du problème. Soit

h > 0

. La formulationvariationnelle dis rète onsiste à déterminerune solution

u

h

vériant :

a

h

(u

h

, v

h

) = (f

h

, v

h

)

∀v

h

∈ V

h

.

(1.2)

où

V

h

est un sous espa e de dimension nie de

V

. Si l'espa e

V

h

n'est pas in lus dans

V

, on parle d'approximation non onforme. Les appli ations

a

h

,

f

h

sont respe tivement les approximationsde

a

et

f

dans

V

h

. L'estimation a priori se présente omme suit :

ku − u

h

k

V

.

B

h

(u) + C

h

(f ).

(1.3)

où

où

W

est un sous espa e fon tionnel de

V

qui dépend ex lusivement de la régularité de

u

et

p

est un entier représentant l'ordrede onvergen e entre la solution exa te

u

et son approximation

u

h

. Quant à laquantité

C

h

(f )

, elledépend ex lusivement de la diérente entreladonnée

f

etsonapproximation

f

h

etd'unepuissan e

q

de

h

supérieureà

p

(termes de degrés supérieurs). La preuve théorique d'une telle inégalité assure bien évidemment la onvergen e de la méthode numérique employée, à ondition évidemment d'avoir des hypothèsesde régularité pour avoir l'e a ité de ette méthode.

1.3 Étude du problème a posteriori

Pourmettreen ÷uvredesestimationsd'erreuraposteriori,ondoitprouverl'existen e d'une borne d'erreur

η

quivérie le ritèresuivant :

ku − u

h

k

_V

.

η(h, u

h

, f

h

) + ξ

h

(f ).

(1.4)

où

ξ

h

(f )

est une quantité négligeable devant

η

(termes d'ordre supérieurs). La quantité

η

se al ule très fa ilement à partir des données

u

h

et

f

h

, par suite il est fa iled'obtenir une borne de l'erreur globale, ette borne est appelée estimateur global. En pratique, l'estimateur globalest une sommed'estimateurs lo aux

η

K

où

K

est une maille de notre triangulation

T

h

.L'estimateur global s'é rit alors

η =

s

X

K∈T

h

η

2

K

(1.5)

1.4 Critère d'optimalité des indi ateurs d'erreur

Comme nous venons de le voir, l'estimateur global

η

est une somme d'estimateurs lo aux

η

K

. Pour prouver l'équivalen e entre les estimateurs et l'erreur globale, on doit montrer non seulementl'inégalitéglobale (1.4), mais aussi l'inégalitélo ale suivante:

η

K

.

ku − u

h

k

ω

K

+ χ

h

(f, K),

(1.6)

où

k · k

ω

K

est la restri tion à

ω

K

de la norme de

V

et

ω

K

est la réunion des éléments partageantune arête/fa e ommune ave

K

.

Dénition1.4.1. Unefamilled'indi ateurslo aux

(η

K

)

K∈T

h

vériele ritèred'optimalité si elle vérie l'inégalité globale (1.4) et l'inégalité lo ale (1.6).

Le ritèred'optimalitéassurel'équivalen eentrel'erreuretlesestimateursaposteriori. Ce ritère permet don d'assurer le bon omportementdes estimateurs d'erreur.

1.5 Adaptation de maillage

Du point de vue théorique, on voit que les quantités

(η

K

)

K∈T

h

ne dépendent que des données

u

h

, f

h

etduproblème onsidéré,afortiori esindi ateurssontfa ilesà al uler.La

problématiqueest don lasuivante:en pratique,quellevaêtrelastratégieemployéepour utiliser es résultats?Nousallonsutiliserpour elalastratégied'adaptationde maillages. L'adaptationde maillage onsisteàlo aliserleslieuxoùl'erreurest importante.Eneet, nous béné ions d'une arte lo ale d'erreur, nous sommes don en mesure d'appré ier les lieux où l'erreur est importante. Le but étant, bien entendu, de se on entrer sur les mailles du domaine dont l'estimateur lo al est le plus élevé. Le pro édé de maillage adaptatifs'opère omme suit :

1. onstru tiond'un maillageinitial

T

0

de

Ω

. On xe :

k = 0

2. al ulde lasolutionappro hée sur

T

k

àl'aide d'une méthode d'éléments nis 3. al uldesestimateurs

(η

K

)

K∈T

k

.Stop,lorsquel'erreurglobale

η

2

₌

X

K∈T

h

η

2

K

estassez

petite

4. on rane tout les éléments

K

∈ T

k

qui vérient le ritère

η

K

≥ δ

, la toléran e

δ

étant donnée

5.

k

←− k + 1

et onretourne à l'étape (2).

Regardonspré isément l'étape4.Commentxe-t-onlatoléran e

δ

et omments'opère la pro édurede ranement? Nousnous sommesplus parti ulièrementintéressés au rane-ment de type

h

(

h

-renement) dé rit dans lase tion suivante.

1.6 Ranement de type h

Le ranement de type

h

onsiste à enri hir l'espa e d'éléments nis lo alement en partitionnant les mailles qui vérient le ritère

η

K

≥ δ

. On dénit la toléran e omme suit :

δ =

1

2σ

X

K∈T

k

η

K

(1.7)

où

σ

représente le nombre de mailles de

T

k

. Les mailles

K

de

T

k

dépassant la toléran e sont ranées ommesuit :

h

K

:=

1

2

h

K

autrement dit 'est i i que la dénition du ranement de type

h

prend tout son sens : onrane lo alement sur les données

h

K

. Il existe évidemment d'autres ritères de ra-nement.

1.7 Te hniques adaptatives

Nousavons évoquéle ranement de type

h

, mais ilen existe d'autres types :

 le ranement de type

p

onsiste à augmenter lo alement le degré de la méthode d'éléments nis

 leranement de type

hp

est une ombinaisondes méthodes de ranementde type

 leranement de type

r

est uneméthode permettantlarelo alisationdesn÷uds, le nombre d'in onnues restant xe

 leranementdetype

m

permetderedénirlo alementunmodèle,évidemment ela dépend du omportement lo al de lasolution. Un as typique est elui du passage d'un état instationnaire à un état stationnaire, ou bien d'une ara téristique non-linéaireà une ara téristique linéaire.

Évidemment l'utilisation de telles te hniques suppose que l'on possède au départ un maillage, e quinous amène à nous poser la question de lagénération de maillage.

1.8 Génération de maillage

Undomainede résolution

Ω

étantdonné,ondoitgénérerun maillageadéquatpour ré-soudrenumériquementnotreéquationauxdérivéespartielles.Lepremierproblèmeauquel nous somme onfrontés est issu de la nature géométrique du bord : omment appro her au mieux un domaine dont les bords sont des ourbes, par une triangulation.Le se ond problème est issu de l'équirépartitiondes mailles, omment générer un maillage dont les éléments sontéquirépartis sur tout le domaine?

Le mathémati ien russe Boris Nikolaevi h Delone, dit Delaunay (1890-1980) a mis en pla e une méthode de réationd'une triangulationà partir des n÷uds qui dénissent la frontière du domaine. L'idée onsiste à insérer des n÷uds supplémentaires pour réer de nouveaux éléments triangulaires. La génération de maillagede type Delaunay repose sur le prin ipe fondamental du er le vide : le er le ir ons rit au triangle ne ontient au un n÷ud de la triangulation autres que les trois sommets dénissant e triangle. La triangulationdeDelaunayestparmitouteslestriangulationspossibles, ellequimaximise l'angle minimalde latriangulation.À partir de ette propriété ilpeut être prouvé que la triangulation de Delaunay minimisele rayon du er le ir ons rit, ainsi que le rayon du er le ins rit.Un problème issu de ette méthode est évidemmentlare onstru tion de la frontière lorsque ledomaineest non onvexe.Du point de vuealgorithmique,l'idée est la suivante:

 dénir un ritère

h

qui orrespond àla nessedu maillage  réaliser une triangulationinitialegrossière

 ranerlafrontière du domainejusqu'à e que lesn÷udsde lafrontièresatisfassent le ritère de nesse

 ontinuer àinsérer des n÷udsissus du ranementà l'intérieurdes trianglesreliant les n÷uds de la frontière jusqu'à e que tous les triangles satisfassent le ritère de nesse du maillage

 re onstru tion éventuelle de lafrontière dans le as oùle domaineest non onvexe. Il existe d'autres méthodes de génération de maillage, on peut notamment iter l'algo-rithme"advan ingfront"(voir[Loh96℄),dontl'idéeestgrossièrementde réerdestriangles pro hes de lafrontière etensuitede maillerpar ou he jusqu'à e queledomainesoit en-tièrement re ouvert. Il existe également la méthode de pavage, reposant sur les mêmes prin ipes quel'algorithme "advan ingfront", mais quigénère des quadrilatères.

Bien entendu,lagénérationde maillageest un domainetrès vaste des mathématiques appliquées, e hapitre est par onséquent une ourte introdu tion aux méthodes

exis-tantes. Pour plus d'informations, on pourra se référer notamment aux ouvrages [Geo91, GB97℄. Retenons lespointsessentielsde e hapitre: nous avons vu que la démar he du numéri iens'ins rità travers des étapes onstru tives(étudedu problème,dis rétisation, et ). L'étape qui va nous intéresser par la suite etqui sera a fortiori le l ondu teur de ettethèsereposerasurl'élaborationd'estimateursd'erreur.Nousnoussommes parti ulè-rementintéressés auranementdetype

h

.LesmaillagesutilisésserontdetypeDelaunay etons'intéresseraparti ulièrementau ara tèreoptimaldesindi ateursd'erreuremployés.

Estimations d'erreur a posteriori pour

le problème du lapla ien

Sommaire

2.1 Introdu tion . . . 10 2.2 Éléments nis de Crouzeix-Raviart . . . 10 2.2.1 Des ription géométrique . . . 10 2.2.2 Des ription topologique . . . 10 2.2.3 Dénitionsetpropriétés . . . 11 2.3 Opérateurs d'interpolation de Clément . . . 13 2.3.1 Éléments nis onformes depremier ordre . . . 13 2.3.2 Dénition . . . 13 2.3.3 Propriétés de l'opérateur d'interpolationde Clément . . . 14 2.4 Outilsfon tionnels . . . 14 2.4.1 Formules deGreen . . . 14 2.4.2 Inégalités inverses . . . 15 2.5 Problèmes ontinus et dis rétisés . . . 15 2.5.1 Problème ontinu . . . 15 2.5.2 Problème dis ret . . . 16 2.6 Outilset propriétés analytiques . . . 16 2.6.1 Dé omposition de Helmholtz . . . 16 2.6.2 Relations d'orthogonalité . . . 17 2.7 Analyse a posteriori de la dis rétisation . . . 19 2.7.1 Borne supérieurede l'erreur . . . 20 2.7.2 Borne inférieure de l'erreur . . . 21 2.8 Tests numériques. . . 22 2.9 Con lusion. . . 23

2.1 Introdu tion

Ce hapitrerappelledesestimationsd'erreur aposteriori pourleproblèmede Lapla e 2D via une dis rétisation par éléments nis non onformes de Crouzeix-Raviart. Ces es-timateurs sont mis en pla e de manière standard. En outre, nous avons pris le soin de dé rire les diérentes étapes de onstru tion de es indi ateurs d'erreur, e hoix étant guidé non seulement par le fait que e hapitre soit en lui même une introdu tion aux estimateurs d'erreur a posteriori, mais aussi par le fait qu'il s'agisse d'un problème sta-tiqueetparvoiede onséquen eil onstitue un ex ellent adreintrodu tifauxproblèmes dynamiques.

2.2 Éléments nis de Crouzeix-Raviart

On propose dans ette partie une brève des ription des élément nis de Crouzeix-Raviart. Ces éléments nis sont de type non onforme autrement dit que l'espa e des approximations n'est pas in lus au sens ensembliste dans l'espa e de vie de la solution.

2.2.1 Des ription géométrique

Dans le adre2D,l'élémentni de référen eest représentépar unemaille triangulaire dontlesdegrésde liberté orrespondentaumilieude ha unedes arêtes ommelemontre laguresuivante. Clairement et élémentprésentedes dis ontinuités auniveau des

inter-b

b

b

0

1

0

1

K

Fig.2.1 Élémentni

P

1

non onforme 2D

fa es des arêtes, le seul point de ontinuité au niveau des interfa es étant le milieu des arêtes.

Dans le adre 3D, l'élément ni de référen e est représenté par un tétraèdre dont les degrés de liberté orrespondentaux bary entres des fa es des tétraèdres.

2.2.2 Des ription topologique

Nous xons un maillage

T

h

de

Ω

qui est régulier au sens de Ciarlet [Cia78, p. 124℄, autrementdit ,il existe

σ > 0

tel que

h

K

ρ

K

≤ σ, ∀K ∈ T

h

où

h

K

et

ρ

K

désignent respe tivement le diamètrede

K

etle diamètrede la plus grande bouleins ritedans

K

.Touslesélémentssontdestriangles/tétraèdresnotés

K

.L'ensemble detouteslesarêtes/fa esde

T

h

est symbolisé par

E

h

.Ondénitégalementl'ensemble

E

int

h

desarêtes/fa esintérieuresde

T

h

etl'ensemble

E

K

desarêtes/fa es d'unélément

K

.Enn pour une arête/fa e donnée

E

∈ E

K

∩ E

L

, ondésigne par

h

E

, lalongueur ou le diamètre d'un élément

E

.

Ilestégalementné essairededénirdespat hslo aux:pourunélément

K

,ondénit

ω

K

ommelaréunionde tous lesélémentsquipartagentune arête/fa eave

K

. Pourune arête/fa e

E

,

ω

E

désigne la réunion des triangles/tétraèdres ayant

E

pour arête/fa e. Enn, pour un n÷ud

x

, on dénit

ω

x

omme la réunion de tous les triangles/tétraèdres ayant

x

pour n÷ud. De la même manière, on dénit par

ω

˜

K

et

ω

˜

E

la réunion de tous lestriangles/tétraèdres partageant respe tivement un n÷ud ave

K

et

E

.

N

h

représente l'ensemble des n÷uds de la triangulation

T

h

et

N

int

h

l'ensemble des n÷uds intérieurs de latriangulation

T

h

.

On introduit i i l'espa edes élémentsnis non onformesde Crouzeix-Raviart :

X

_h

0

=

{v ∈ L

2

_{(Ω) : v}

|K

∈ P

1

,

∀K ∈ T

h

,

Z

E

v

|K

=

Z

E

v

|L

,

∀E ∈ E

K

∩ E

L

∩ E

h

int

, K, L

∈ T

h

,

Z

E

v

|K

= 0,

∀E ∈ E

K

∩ Γ, K ∈ T

h

}.

Dansle adre 2D, l'espa epeut-être reformulé ommesuit

X

0

h

=

{v ∈ X

h

: v = 0

aumilieu des arêtes du bord

Γ

}

ave

X

h

=

{v ∈ L

2

(Ω) : v

|K

∈ P

1

,

∀K ∈ T

h

,

v

est ontinuau milieu des arêtes

}

Lesfon tions de base de et élément ni sont lessuivantes :







ˆ

p

1

(ˆ

x, ˆ

y) =

1

− 2ˆy

ˆ

p

2

(ˆ

x, ˆ

y) =

−1 + 2ˆx + 2ˆy

ˆ

p

3

(ˆ

x, ˆ

y) =

1

− 2ˆx

2.2.3 Dénitions et propriétés

Étantdonnée unearête

E

,on hoisitunedire tionnormalearbitraire

n

E

etondénit

K

in

et

K

ext

ommeétantlesdeuxélémentspartageant ettearête/fa e.Onpeutsupposer, sans au une restri tion, que

n

E

= (n

E1

, n

E2

)

pointe vers

K

ext

(Figure 2.5). Le ve teur tangent est déni par

t

E

= (

−n

E2

, n

E1

)

.

On utiliseraégalement,lorsde l'analysepar élémentsnis des équations auxdérivées partielles,lapropriété suivante :

Z

E



u

h



E

= 0

∀E ∈ E

h

,

∀u

h

∈ X

0

h

,

(2.2)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1

-0.5

0

0.5

1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Fig. 2.2 Fon tionde base

p

ˆ

1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1

0

1

2

3

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Fig. 2.3 Fon tionde base

p

ˆ

2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1

-0.5

0

0.5

1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

E

~n

E

K

in

K

out

Fig. 2.5 Deux éléments partageant une arête

E

oùlesaut d'unefon tion

v

à travers une arête/fa e

E

au point

x

est déni par



v(x)



_E

=

(

lim

α→0

+

v(x + αn

E

)

− v(x − αn

E

)

si

E

∈ E

int

h

,

v(x)

si

E

∈ E

h

\ E

int

h

.

Notons également que le signe de



v(x)



_E

dépend de l'orientation de

n

E

. Néanmoins, des quantités telles que le saut du gradient



∇v · n

E



E

sont indépendantes de ette orientation. Pour une fon tion

v

∈ X

0

h

, ondénit le gradientdis ontinu

∇

h

v

par

(

∇

h

v)

|K

=

∇v

|K

,

∀K ∈ T

h

.

2.3 Opérateurs d'interpolation de Clément

2.3.1 Éléments nis onformes de premier ordre

Nous avons déni pré édemment leséléments nis de type non onformes, rappelons àprésent la dénition de l'élément ni onforme

P

1

V

h

=

{v ∈ L

2

(Ω) : v

|K

∈ P

1

,

∀K ∈ T

h

}

ave

V

_h

0

= V

h

∩ H

0

1

(Ω).

2.3.2 Dénition

Pournotreanalyseaposteriori,nousavonsbesoindel'interpolédeClément.Ondénit

Y

h

=

{v ∈ L

2

(Ω) : v

|K

∈ H

1

(K),

∀K ∈ T

h

,

Z

E

v

|K

=

Z

E

v

|L

,

∀E ∈ E

K

∩ E

L

∩ E

h

int

, K, L

∈ T

h

,

},

Y

_h

0

=

_{{v ∈ L}

2

(Ω) : v

|K

∈ H

1

(K),

∀K ∈ T

h

,

Z

E

v

|K

=

Z

E

v

|L

,

∀E ∈ E

K

∩ E

L

∩ E

h

int

, K, L

∈ T

h

,

Z

E

v

|K

= 0,

∀E ∈ E

K

∩ Γ, K ∈ T

h

}.

Remarque 2.3.1. Notez que

H

1

_(Ω)

_{⊂ Y}

h

et que

X

0

On rappelle que l'opérateur d'interpolation de Clément est déni omme suit : on dénit de manièrestandard l'appli ationqui àtout n÷ud

x

asso ie

λ

x

∈ V

h

et vériant

λ

x

(y) = δ

x,y

,

∀y ∈ N

h

.

Pour tout élément

v

∈ Y

h

et

w

∈ Y

0

h

, ondénit les opérateurs

I

C

et

I

0

C

par

I

C

v =

X

x∈N

h

|ω

x

|

−1

Z

ω

x

v



λ

x

,

(2.3)

I

_C

0

w =

X

x∈N

int

h

|ω

x

|

−1

Z

ω

x

w



λ

x

.

(2.4)

Remarque 2.3.2.

I

C

v

appartient à

V

h

, alors que

I

0

C

w

appartient à

V

0

h

.

2.3.3 Propriétés de l'opérateur d'interpolation de Clément

Les opérateurs dénis pré édemment vérientles propriétés suivantes.

Lemme 2.3.3. Pour tout

v

∈ Y

h

et

w

∈ Y

0

h

, on a

kv − I

C

v

k

K

.

h

K

k∇

h

v

k

ω

˜

K

,

∀K ∈ T

h

,

(2.5)

kv − I

C

v

k

E

.

h

1/2

_E

k∇

h

v

k

˜

ω

E

,

∀E ∈ E

h

,

(2.6)

kw − I

0

C

w

k

K

.

h

K

k∇

h

w

k

ω

˜

K

,

∀K ∈ T

h

,

(2.7)

kw − I

C

0

w

k

E

.

h

_E

1/2

k∇

h

w

k

ω

˜

E

,

∀E ∈ E

int

h

,

(2.8)

k∇I

C

0

w

k

K

.

k∇

h

w

k

˜

ω

K

,

∀K ∈ T

h

.

(2.9)

Démonstration. Toutes espropriétéssontdémontréesdans[Clé75℄.Onpourraégalement se référer à [SZ90, Ver99℄ pour des estimations équivalentes faisant intervenir d'autres opérateurs.

2.4 Outils fon tionnels

2.4.1 Formules de Green

La valeur moyenne d'une fon tion

v

sur une arête/fa e

E

est déniepar

M

E

(v) =

1

|E|

Z

E

v.

Nousauronségalementbesoindes formulesde Greensuivantes :si

D

est un ouvert borné de

R

2

et

v, w

∈ H

1

_(D)

,alors on a

Z

D

∇v ·

url

w =

Z

∂D

v

url

w

· n =

Z

∂D

∇v · tw,

(2.10)

où

t

est le ve teur unitaire tangent le long de

∂D

et url

w

le ve teur déni omme suit url

w =



∂

2

w

− ∂

1

w



. En outre, si

D

est un ouvert borné de

R

3

et

v

∈ H

1

_(D)

,

w

∈ H

1

_(D)

3

alors on a

Z

D

∇v ·

url

w =

Z

∂D

v

url

w

· n =

Z

∂D

(

∇v × n) · w.

(2.11) 2.4.2 Inégalités inverses Soit

λ

K

1

, λ

K

2

, λ

K

3

les oordonnéesbary entriques de l'élément

K

. Ondénit lafon tion bulle

b

K

asso iée au triangle

K

ommesuit :

b

K

=



27λ

K

1

λ

K

2

λ

K

3

dans

K

0

sur

∂K.

(2.12)

Étant donnée une arête

E

∈ E

h

, ave

ω

E

= K

1

∪ K

2

, on dénit la fon tion bulle

b

E

asso iée à l'arête

E

:

b

E

=



4λ

K

i

1

λ

K

2

i

dans

K

i

, i = 1, 2

0

sur

∂Ω

\ ω

E

.

(2.13)

Lemme 2.4.1. Soit

E

⊂ ∂K

une arête/fa e de

K

. Considérons

r

K

∈ P

0

et

r

E

∈ P

1

. Alors les équivalen es et les inégalités suivantes sont vériées

kr

K

b

1/2

K

k

K

∼ kr

K

k

K

,

(2.14)

k∇(r

K

b

K

)

k

K

.

h

−1

K

kr

K

k

K

,

(2.15)

r

E

b

1/2

_E

E

∼ kr

E

k

E

,

(2.16)

kF

ext

(r

E

)b

E

)

k

K

.

h

1/2

E

kr

E

k

E

(2.17)

k∇(F

ext

(r

E

)b

E

)

k

K

.

h

−1/2

E

kr

E

k

_E

,

(2.18) où

F

ext

est l'opérateurd'extension d'une arêteà un triangle.

2.5 Problèmes ontinus et dis rétisés

Soit

Ω

un ouvert borné de

R

d

,

d = 2

ou3,ave un bord

Γ

polygonal.

2.5.1 Problème ontinu

On onsidère le problème elliptique de se ondordre suivant :







−∆u = f

dans

Ω,

u = 0

sur

Γ.

(2.19) La solution du problème (2.19)

u

∈ H

1

0

(Ω)

vérie la formulation variationnelle sui-vante:

Z

Ω

∇u · ∇v =

Z

Ω

f v,

_{∀v ∈ H}

₀

1

(Ω).

(2.20)

2.5.2 Problème dis ret

À présent nous allons dis rétiser (2.20) de manière assez standard. Nous employons pour ela,la méthode d'éléments nis non onformes pré édemmentdé rite.

Ladis rétisationtotaleduproblème(2.19)viauneméthoded'élémentsnisde Crouzeix-Raviart est donnée par : trouver

u

h

∈ X

0

h

, telle que:

X

K∈T

h

Z

K

∇u

h

∇v

h

=

Z

Ω

f v

h

(2.21) pour tout

v

h

∈ X

0

h

.

2.6 Outils et propriétés analytiques

Contrairementàlaméthode d'élémentsnis

P

1

- onformes,lamise en ÷uvre d'indi a-teurs d'erreur a posteriori né essite i iune étudeanalytique plus poussée.En eet, dans le as onforme, rien ne nous empê he de prendre pour valeur

u

h

dans la formulation variationnelle (2.20) puisque

u

h

s'annule sur le bord

Γ

. De plus l'erreur

e

h

= u

− u

h

en tant quediéren e de deux fon tionsdans

H

1

0

(Ω)

,appartient égalementà

H

1

0

(Ω)

.

2.6.1 Dé omposition de Helmholtz

Leproblème évidentest quenotreinterpolé

u

h

,etàplusforteraison

e

h

,est seulement dans

H

1

_(Ω)

. De e fait, l'idée onsiste à employer une dé omposition de l'erreur, plus pré isément du gradientde l'erreur.

Lemme 2.6.1 (Dé omposition de Helmholtz de l'erreur). Le gradient de l'erreur se dé- ompose de la manière suivante

∇

h

e =

∇w +

url

ϕ,

(2.22)

ave

ϕ

∈ H

1

_(Ω)

et

w

∈ H

1

0

(Ω)

. En outre,

w

et

ϕ

vérie les inégalités suivantes

|w|

1,Ω

≤ k∇

h

e

k ,

(2.23)

|ϕ|

1,Ω

.

k∇

h

e

k .

(2.24)

Démonstration. L'idée onsisteàintroduireunproblèmeelliptiqueauxiliaire.Considérons le problème de Diri hlet suivant, dontle but est de déterminer

w

∈ H

1

0

(Ω)

solutionde



div

(

∇

h

e

− ∇w) = 0

dans

Ω,

w = 0

sur

Γ.

(2.25)

La formulationfaible du problème (2.25) est :

Z

Ω

∇w · ∇v =

Z

Ω

∇

h

e

· ∇v, ∀v ∈ H

0

1

(Ω).

(2.26)

Étant donné quele hamp de ve teurs

∇

h

e

− ∇w

est à divergen e nullesur

Ω

, i.e.,

div

(

∇

h

e

− ∇w) = 0

dans

Ω.

Par lethéorème I.3.1de [GR86℄, ilexiste

ϕ

∈ H

1

_(Ω)

telle que

url

ϕ =

∇

h

e

− ∇w.

L'inégalité(2.23), en utilisant (2.26) ave

v = w

, est alors démontrée. L'inégalité (2.24) est obtenue ommesuit : en utilisantla relation(2.22), oné rit que

Z

Ω

|

url

ϕ

|

2

=

Z

Ω

url

ϕ

·

url

ϕ

=

Z

Ω

url

ϕ

· (∇

h

e

− ∇w).

À l'aidede laformulede Green etde la ondition au bord

w = 0

sur

Γ

,on obtient

Z

Ω

|

url

ϕ

|

2

=

Z

Ω

url

ϕ

· ∇

h

e.

(2.27)

L'inégalitéde Cau hy-S hwarz nous permet de on lure que

k

url

ϕ

k ≤ k∇

h

e

k .

Puisque

|ϕ|

1,Ω

=

k

url

ϕ

k

, l'inégalité (2.24) est alors une onséquen e dire te des esti-mationspré édentes.

Remarque 2.6.2. A fortiori, on onstate que pour évaluer l'erreur

∇

h

e

, nous sommes dans l'obligation d'évaluer les termes

∇w

et url

ϕ

. L'idée sera par la suite non pas d'évaluer es quantités mais plutt d'évaluer les diéren es

∇(w − w

h

)

et url

(ϕ

− ϕ

h

)

, où

w

h

et

ϕ

h

représentent respe tivement les interpolés

P

1

- onformes de

w

et

ϕ

. C'est justement l'objet des lemmes suivants.

2.6.2 Relations d'orthogonalité

Nous allons introduire à présent quelques notations relatives aux sauts normal et tangentieldu gradientde

u

h

.On dénit les quantités

J

E,n

et

J

E,t

omme suit :

J

E,n

=

 ∇u

h

· n

E



E

si

E

∈ E

int

h

,

0

si

E

∈ E

h

\ E

int

h

,

et

J

E,t

=

 ∇u

h

· t

E



E

si

E

∈ E

int

h

,

−∇u

h

· t

E

si

E

∈ E

h

\ E

int

h

.

Lemme 2.6.3 (Orthogonalitéausens de Galerkin). L'erreur

e

satisfait larelation d'or-thogonalité suivante

X

K∈T

h

Z

K

∇

Démonstration. Lapreuveestimmédiate.L'in lusion

V

0

h

⊂ X

h

0

permetdeprendre

v = w

h

dans les relations(2.20) et(2.21), vient ensuite larelation (2.28)en soustrayant (2.20) à (2.21).

Lemme 2.6.4 (Orthogonalitéde l'erreur). L'erreur satisfait

X

K∈T

h

Z

K

∇

h

e

·

url

ϕ

h

= 0,

∀ϕ

h

∈ V

h

.

(2.29)

Démonstration. Considéronsun élémentarbitraire

ϕ

h

dans

V

h

.Enutilisantlaformulede Green( f. lesidentités (2.10) et(2.11)),on obtient en se rappelant que

u

∈ H

1

0

(Ω)

X

K∈T

h

Z

K

∇

h

e

·

url

ϕ

h

=

Z

Ω

∇u ·

url

ϕ

h

−

X

K∈T

h

Z

K

∇

h

u

h

·

url

ϕ

h

=

Z

Γ

u

url

ϕ

h

· n −

X

K∈T

h

Z

∂K

u

h

url

ϕ

h

· n

K

=

₋

X

K∈T

h

Z

∂K

u

h

url

ϕ

h

· n

K

=

−

X

E∈E

h

Z

E



u

h



E

url

ϕ

h

· n

E

=

−

X

E∈E

h

(

url

ϕ

h

· n

E

)

Z

E



u

h



E

,

omme la fon tion

(

url

ϕ

h

· n

E

)

|

E

est onstante sur

E

∈ E

h

. La propriété des éléments nis de Crouzeix-Raviart (2.2), satisfaite par

u

h

∈ X

0

h

, nous permet de on lure ette preuve.

Lemme 2.6.5. Soit

ϕ

∈ H

1

_(Ω)

. Alors l'erreur satisfait l'identité suivante

Z

Ω

∇

h

e

·

url

ϕ =

X

E∈E

h

Z

E

J

E,t

· ϕ

(2.30)

Démonstration. Une intégration par parties dans

Ω

sur haque élément

K

donne ( f. (2.10))

Z

Ω

∇

h

e

·

url

ϕ =

Z

Ω

∇u ·

url

ϕ

−

X

K∈T

h

Z

K

∇u

h

·

url

ϕ

=

Z

Γ

url

ϕ

· nu −

X

K∈T

h

Z

∂K

∇u

h

· t

K

ϕ

Comme

u

∈ H

1

0

(Ω)

et

ϕ

∈ H

1

_(Ω)

Lemme 2.6.6. L'erreur

e

satisfait

X

K∈T

h

Z

K

∇

h

e

· ∇w =

X

K∈T

h

Z

K

f w +

X

E∈E

h

Z

E

J

E,n

w,

pour tout

w

∈ H

1

0

(Ω)

.

Démonstration. Une intégration par parties sur haque élément et le fait que

∆u

h

= 0

pour tout élément de

K

∈ T

h

montre que

X

K∈T

h

Z

K

∇

h

e

∇w =

Z

Ω

∇u · ∇w −

X

K∈T

h

Z

K

∇

h

u

h

· ∇w

=

Z

Ω

f w

₋

X

K∈T

h



−

Z

K

∆u

h

w +

Z

∂K

n

_{· ∇u}

h

w



=

Z

Ω

f w

−

X

K∈T

h

X

E∈E

K

Z

E

n

· ∇u

h

w.

On on lutenutilisantladénitionde

J

E,n

etla ontinuitéde

w

àtraverslesarêtes/fa es.

Corollaire 2.6.7. Pour tout

w

∈ H

1

0

(Ω)

et

ϕ

∈ H

1

_(Ω)

on a

X

K∈T

h

Z

K

∇

h

e

· (∇w +

url

ϕ) =

X

K∈T

h

Z

K

f w +

X

E∈E

h

Z

E

(J

E,n

w + J

E,t

· ϕ).

(2.31)

Démonstration. C'est une onséquen e dire tedes Lemmes2.6.5 et 2.6.6.

2.7 Analyse a posteriori de la dis rétisation

Nousallonsàprésentdénirl'estimateurd'erreurlo alrelatifàladis rétisation(2.21) Dénition 2.7.1. L'estimateur d'erreur lo al

η

K

est déni par

η

K

= h

K

kf

h

k

K

+

X

E∈E

K

h

1/2

_E

(

_kJ

E,n

k

_E

+

kJ

E,t

k

_E

).

L'estimateur d'erreur global

η

est donnépar

η

2

=

X

K∈T

h

(η

K

)

2

.

où

f

h

est une approximation de

f

via des éléments nis

P

0

, plus pré isément on a :

(f

h

)

|K

:=

1

|K|

Z

K

f

, pour tout

K

∈ T

h

.

Pour établir l'équivalen e entre l'erreur

k∇

h

e

k

et

η

, nous allons démontrer dans un premier temps que l'erreur

k∇

h

e

k

est majorée à une onstante près par

η

et dans un se ondtempsque l'erreurlo ale sur le pat hd'une maille

K

,

k∇

h

e

k

ω

K

est minoréeàune onstanteprès par

η

K

.