Les singularités des polynômes à l'infini et les compactifications toriques

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Les singularités des polynômes à l’infini et les compactifications toriques

David Alessandrini

To cite this version:

David Alessandrini. Les singularités des polynômes à l’infini et les compactifications toriques. Math-

ématiques [math]. Université d’Angers, 2002. Français. �tel-00002671v3�

UNIVERSIT´ E D’ANGERS Ann´ ee : 2002

U.F.R. SCIENCES N ^◦ d’ordre : 523

les singularit´ es des polynˆ omes ` a l’infini et les compactifications

toriques

T ^H` ESE DE DOCTORAT

Sp´ ecialit´ e : Math´ ematiques

ECOLE DOCTORALE D’ANGERS ´

Pr´ esent´ ee et soutenue publiquement

le 11 juin 2002

` a l’universit´ e d’Angers par David ALESSANDRINI

Devant le jury ci-dessous :

B. Teissier Pr´ esident Centre de Math´ ematiques de Jussieu A. Dimca Rapporteur Universit´ e de Bordeaux I

H.A. Hamm Rapporteur Mathematisches Institut Munster C. Mc Crory Examinateur University of Georgia

J.M. Granger Examinateur Universit´ e d’Angers

Directeur de th` ese : Adam PARUSI ´ NSKI Universit´ e d’ANGERS

D´ epartement de Math´ ematiques, 2 Bd Lavoisier, 49045 Angers, France

Table des mati` eres

Remerciements 4

Evolution et pr´ esentation du probl` eme 5

Principaux r´ esultats 8

1 Pr´ eliminaires 10

1.1 Rappels sur le lemme de s´ election d’une courbe . . . . 10

1.2 Rappels sur le champ de vecteurs de Kuo-Paunescu . . . . 11

1.3 Notions sur les champs de vecteurs stratifi´ es . . . . 13

1.3.1 Les diff´ erentes conditions de contrˆ ole . . . . 13

1.3.2 Int´ egration d’un champ de vecteurs sur un compact ` a bord . . . . 14

1.4 Notions sur les vari´ et´ es toriques . . . . 16

1.4.1 Construction des vari´ et´ es toriques . . . . 16

1.4.2 Action du tore, orbites et diviseurs . . . . 17

1.5 Compactification torique des fibres d’un polynˆ ome . . . . 19

1.5.1 L’´ equation du diviseur ` a l’infini . . . . 19

1.5.2 Propri´ et´ es de l’adh´ erence du graphe d’un polynˆ ome 20 1.5.3 Situation locale et globale . . . . 22

2 Les th´ eor` emes de trivialit´ e d’un polynˆ ome : cas homog` ene par poids 24 2.1 La trivialit´ e affine d’un polynˆ ome . . . . 24

2.2 Les diff´ erentes propri´ et´ es locales ` a l’infini . . . . 29

2.2.1 Le champ de vecteurs contrˆ ol´ e . . . . 29

2.2.2 La condition non-caract´ eristique . . . . 32

2.2.3 La trivialit´ e locale en dehors du diviseur . . . . 35

3 Les cycles ´ evanescents 37 3.1 G´ en´ eralit´ es . . . . 37

3.2 Les cycles ´ evanescents et la condition non-caract´ eristique . 39 3.3 L’absence des cycles ´ evanescents et la trivialit´ e topologique 42 4 G´ en´ eralisation des r´ esultats dans le cas d’un poly` edre 46 4.1 la fonction de contrˆ ole et les fonctions compensatrices as- soci´ ees . . . . 46

4.2 La stabilit´ e du poly` edre . . . . 47

4.3 Le cas global . . . . 50

4.4 Le cas local . . . . 51

Conclusion 53

Bibliographie 54

Remerciements

Je suis sinc` erement reconnaissant envers Adam Parusi´ nski d’avoir ac- cept´ e de diriger mon travail de doctorant, de m’avoir propos´ e un sujet passionnant et surtout de m’avoir toujours donn´ e d’excellents conseils.

D’autres personnes m’ont aussi aid´ e scientifiquement. Je pense ` a T. C.

Kuo dont le soutien spontan´ e et le temps qu’il m’a accord´ e pour m’expli- quer diverses notions sur les singularit´ es m’ont ´ enorm´ ement apport´ e. De mˆ eme, O. M. Abderrahmane m’a tr` es bien expliqu´ e les points cl´ es de sa th` ese et sp´ ecialement les fonctions compensatrices dont il est le concep- teur, je les utilise dans le dernier chapitre. Je remercie aussi G. Fichou d’avoir eu la patience de relire int´ egralement les versions pr´ eliminaires et de m’avoir fait de nombreuses remarques.

Je remercie H. A. Hamm et A. Dimca d’avoir rapport´ e cette th` ese ainsi que

B. Tessier qui me fait un grand honneur en tant que pr´ esident du jury. Je remercie ´ egalement C. Mc Crory et J.M. Granger d’avoir accept´ e d’ˆ etre les examinateurs de cette th` ese.

Je dois aussi beaucoup ` a Jean Pierre Coyaud pour son aide pr´ ecieuse en informatique.

Je suis ´ egalement tr` es reconnaissant envers mes parents qui se sont constamment pr´ eoccup´ es de ma scolarit´ e et soutenus pendant toutes mes

´

etudes universitaires.

Enfin, une pens´ ee particuli` ere pour Alice qui m’a accompagn´ e durant

toute la dur´ ee de la r´ edaction.

Evolution et pr´ esentation du probl` eme

Nous allons pr´ esenter dans ce paragraphe les raisons qui ont motiv´ e l’´ etude des polynˆ omes et expliquer comment le sujet de cette th` ese s’ins- crit dans l’´ evolution du probl` eme. On fera pour cela une historique de l’´ etude topologique des polynˆ omes en rapport avec le sujet.

Soit f : C ⁿ → C un polynˆ ome. Dans [31] et [38], Malgrange et Pham

´

etudient respectivement le comportement asymptotique (quand τ → 0) d’int´ egrales de la forme suivante :

I(τ) = Z

R

e ^{iτ f (x)} ω

o` u w est une (n + 1)- forme alg´ ebrique sur C <sup>n</sup> . Pour cela, il est utile de connaˆıtre la variation de la topologie de la famille d’hypersurfaces {f <sup>−1</sup> (c), c ∈ C}, c’est-` a-dire la topologie des diff´ erentes fibres de f . On dispose pour cette ´ etude du th´ eor` eme suivant :

Th´ eor` eme 0.0.1. ([9] chap.1 sect.4, [38], ou [46]). Il existe un sous-ensemble fini B f ⊂ C tel que :

f : C ⁿ \f ⁻¹ (B f ) → C\B f

soit une fibration localement triviale.

L’ensemble B f v´ erifiant cette propri´ et´ e est appel´ e ensemble des points de bifurcation de f . Les points de cet ensemble sont aussi appel´ es valeurs atypiques. Les fibres au-dessus de B f sont atypiques, soit en raison de leurs singularit´ es dans l’espace affine C ⁿ , soit ` a cause du comportement asymptotique ` a l’infini du polynˆ ome f . Donc, mˆ eme si f ne poss` ede pas de points critiques dans C <sup>n</sup> , il se peut que f ne d´ efinisse pas une fibration localement triviale. Ceci est dˆ u au fait que pour n > 1, f n’est pas propre et donc on ne peut pas appliquer le th´ eor` eme de fibration d’Ehresmann.

Dans [15], H` a et Lˆ e ´ etudient le cas de la dimension 2 (cas des courbes) et donne un crit` ere ` a l’aide de la caract´ eristique d’Euler permettant de dire si une fibre est atypique. On peut donner d’autres d´ efinitions de la notion de ”singularit´ es ` a l’infini” et dans le cas des courbes, elles sont

´

equivalentes (voir [10]). On peut donner par exemple une d´ efinition sur le comportement asymptotique du gradient de f .

Soit t 0 une valeur r´ eguli` ere de f . Il existe plusieurs d´ efinitions qui

permettent de contrˆ oler asymptotiquement le gradient de f. Par exemple

la condition donn´ ee par Fedorjuk (voir [11]) dans la d´ efinition suivante : (voir aussi [5] et [6])

D´ efinition 0.0.2. On dit que le polynˆome f est mod´er´e (tame en anglais) `a l’infini au-dessus de t <sub>0</sub> , si ||gradf (z)|| est minor´e pour tout z dans un voisinage de l’infini (c’est-`a-dire en dehors d’un certain compact de C ⁿ ) et f (z) dans un voisinage de t 0 . On peut donner une d´ efinition plus faible exprim´ ee par Pham dans [39]

et appel´ ee condition de Malgrange par Parusi´ nski dans [34] :

D´ efinition 0.0.3. On dit que le polynˆome f v´erifie la condition de Malgrange- Paunescu `a l’infini au-dessus de t 0 , si ||z||.||gradf(z)|| est minor´e pour tout z dans un voisinage de l’infini.

Ces deux derni` eres conditions impliquent la trivialit´ e topologique de f au-dessus de t 0 . De plus, elles sont ´ equivalentes dans le cas de la dimension 2 (voir [14] ou [24]).

Afin de comprendre ces valeurs atypiques, on peut utiliser les deux m´ ethodes suivantes :

1) Soit on travaille dans l’espace affine C ⁿ et on trivialise f en construisant puis en int´ egrant un champ de vecteurs grˆ ace aux hypoth` eses 0.0.3 et 0.0.2 de mod´ eration sur ce champ.

2) Soit on travaille avec une compactification des fibres de f , afin d’ob- tenir une extension propre de f . On ´ etudie ensuite les singularit´ es qui apparaissent ` a l’infini.

Dans [34], Parusi´ nski utilise une compactification projective des fibres de f. Explicitons ce cas particulier. Soit G f le graphe de f, on peut iden- tifier f avec la deuxi` eme projection et on note t cette application. Soit G f

l’adh´ erence du graphe dans P ⁿ × C o` u P <sup>n</sup> repr´ esente la compactification projective de C <sup>n</sup> . On note alors t l’extension propre de t, c’est-` a-dire de f . En g´ en´ eral G f n’est pas lisse. On peut alors fixer une stratification de Whitney de cet espace et d´ eduire du premier lemme d’isotopie de Thom le th´ eor` eme 0.0.1 (voir Dimca [9] chap.1 sect.4 ou bien H` a-Lˆ e [15]).

Pour n > 2, Parusi´ nski a ´ etudi´ e dans [34] le cas particulier o` u les fibres poss` edent uniquement des singularit´ es isol´ ees ` a l’infini. Cette hypoth` ese permet de g´ en´ eraliser le r´ esultat de H` a et Lˆ e dans [15] en dimension quelconque. Il obtient ainsi quatre propri´ et´ es ´ equivalentes pour expliquer cette notion de ”singularit´ es ` a l’infini”, dont notamment l’´ equivalence entre la condition de Malgrange 0.0.3 et la constance de la caract´ eristique d’Euler des fibres de f , au-dessus d’un point t 0 .

Dans [35], Parusi´ nski relie la condition asymptotique de Malgrange

0.0.3 ` a la notion d’absence de cycles ´ evanescents de t, l’extension propre

de t. Ceci est rendu possible grˆ ace au th´ eor` eme des articles [4] et [25] qui

explique la correspondance entre les cycles ´ evanescents et les propri´ et´ es

des espaces conormaux relatifs. Cette correspondance a aussi ´ et´ e ´ etudi´ ee

par Siersma et Tibar dans [41] o` u la condition non-caract´ eristique est

d´ enomm´ ee : condition de t-r´ egularit´ e.

Le but de cette th` ese est d’´ etudier dans quelles mesures ces diff´ erentes notions (conditions asymptotiques sur le gradient, trivialit´ e affine, ab- sence de cycles ´ evanescents, trivialit´ e locale ` a l’infini) sont reli´ ees entre elles dans le cas d’une compactification torique quelconque de C ⁿ (non n´ ecessairement lisse). On ´ etudie d’abord le cas d’une compactification torique de C ⁿ par poids puis celui plus g´ en´ eral d’une compactification torique quelconque associ´ e ` a un poly` edre.

Nous pr´ esentons dans le prochain paragraphe les r´ esultats obtenus

sous la forme d’un diagramme.

Principaux r´ esultats

Soit X d´ efini comme dans le paragraphe 1.5, c’est-` a-dire que X repr´ esente localement la compactification des fibres de f dans une vari´ et´ e torique.

D´ efinissons ` a pr´ esent le faisceau qui sera utilis´ e dans la description sch´ ematique des r´ esultats. Soit i : X → C <sup>k</sup> l’inclusion, g : X → C (l’application dont le lieu des z´ eros donne localement l’´ equation du diviseur ` a l’infini) telle que U = X\g ⁻¹ (0) = X\Y soit lisse, j : U → X l’inclusion et le faisceau suivant F ^• = i ∗ j ! C _U . C _U repr´ esentant le faisceau constant sur U de fibre C et j ! C _U son prolongement par z´ ero.

Pour la d´ efinition de la condition non-caract´ eristique et de l’espace conormal relatif, on se reportera au paragraphe 2.2.2. Pour celle concer- nant les cycles ´ evanescents, on se reportera au paragraphe 3.1. Le sch´ ema suivant r´ esume les r´ esultats de cette th` ese :

condition de Malgrange

trivialit´e affine

para.2.1

non-caract´eristique condition champ de vecteurs

contrˆol´e para.2.2.1

para.2.2.2

trivialit´e locale `a l’infini en dehors du diviseur para.1.3.1

para.2.2.3

abscence des cycles ´evanescents pour le faisceau F ^• para.3.2

para.3.3

Donnons maintenant quelques remarques sur le sch´ ema ci-dessus.

1) Dans le cas d’une compactification torique par poids, les r´ esultats sch´ ematis´ es sont d´ evelopp´ es dans le chapitre 2 et 3. Leur g´ en´ eralisation dans le cas d’une compactification torique associ´ ee ` a un poly` edre est donn´ ee dans le chapitre 4.

2) L’ensemble des r´ esultats sont exacts si le corps de base est C. Sur le corps R, la fl` eche d’´ equivalence entre la condition non-caract´ eristique et l’absence des cycles ´ evanescents n’est pas correcte.

3) Le r´ esultat principal obtenu dans cette th` ese est celui qui donne ` a partir de l’hypoth` ese de Malgrange la condition non-caract´ eristique.

Les autres r´ esultats sont des adaptations ` a notre probl` eme de travaux

existants d´ ej` a.

4) Pour trouver une d´ emonstration de l’implication ayant pour hypoth` ese

la condition non-caract´ eristique et pour conclusion la trivialit´ e affine,

on pourra se r´ ef´ erer aux travaux suivants : A. Parusi´ nski dans [35] ou

bien H. A. Hamm dans [19].

Chapitre 1 Pr´ eliminaires

Le but de ce chapitre est d’exposer la situation ´ etudi´ ee et de pr´ eciser les diff´ erentes techniques utilis´ ees de fa¸con syst´ ematique dans toute la suite. Les objets et notions ´ evoqu´ es seront : les diff´ erentes versions du lemme des petits chemins, les champs de vecteurs et les stratifications, les vari´ et´ es toriques.

Pour simplifier les notations, on adoptera les conventions suivantes : Soit f et g deux fonctions positives sur C ⁿ . f ∼ g signifie qu’il existe deux constantes k 1 > 0 et k 2 > 0 telles que : k 1 g(z) 6 f(z) 6 k 2 g(z), pour tout z ∈ C ⁿ dans un voisinage autour d’un point ou bien dans un voisinage de l’infini (c’est ` a dire en dehors d’un certain compact de C ⁿ ). De mˆ eme, f . g signifie qu’il existe une constante k > 0 telle que f (z) 6 kg(z) pour tout z ∈ C ⁿ dans le voisinage consid´ er´ e.

1.1 Rappels sur le lemme de s´ election d’une courbe

On va donner dans ce paragraphe deux versions d’un mˆ eme lemme ap- pel´ e lemme des petits chemins ou bien lemme de s´ election d’une courbe.

La version alg´ ebrique de ce lemme a ´ et´ e d´ emontr´ ee par Milnor (voir [32]). Nous ´ enoncerons ici la version analytique (voir [20]). Le premier lemme d´ ecrit la version locale et le second la version ` a l’infini (voir [33]).

L’int´ erˆ et de ces deux lemmes est de pouvoir r´ eduire un probl` eme ` a plu- sieurs variables en un probl` eme ` a une seule variable.

Lemme 1.1.1. Soit S un ensemble analytique r´eel de R ⁿ , tel que 0 appartienne `a S, et tel que S soit d´efini par :

S = {x ∈ R ⁿ | f 1 (x) = 0, . . . , f k (x) = 0}

o` u f 1 , . . . , f k sont des fonctions analytiques r´eelles. Soit U un ouvert de R ⁿ d´efini par :

U = {x ∈ R ⁿ | g 1 (x) > 0, . . . , g l (x) > 0}

o` u g 1 , . . . , g l sont des fonctions analytiques r´eelles. De plus, supposons que le semi- alg´ebrique U ∩S contienne des points arbitrairement proches de l’origine, c’est-`a-dire 0 ∈ U ∩ S. Alors il existe une courbe (chemin) analytique c : [0, β[→ R ⁿ tel que :

c(0) = 0 et c(t) ∈ U ∩ S pour tout t ∈]0, β[.

Lemme 1.1.2. Soit S et U d´efinis comme dans le lemme pr´ec´edent mais avec des polynˆomes r´eels et non des fonctions analytiques r´eelles. Soit h 1 , . . . , h r des polynˆomes r´eels.

Supposons qu’il existe une suite {x k } ⊆ S ∩ U telle que lim

k→∞ kx k k = ∞ et pour tout j ∈ {1, . . . , r}, lim

k→∞ h j (x k ) = 0. Alors il existe une courbe analytique r´eelle c : [0, β[→ S ∩ U avec lim

t→0 kc(t)k = ∞ et lim

t→0 h j (c(t)) = 0 pour tout j ∈ {1, . . . , r}.

Donc de la forme :

c(t) = a 0 t ^α + a 1 t ^α+1 + · · · avec a 0 ∈ R ⁿ \{0} et α < 0.

En fait, pour une in´ egalit´ e donn´ ee, il sera suffisant de la v´ erifier le long de toute courbe analytique. Dans le corollaire suivant, on voit bien comment il est possible de ramener un probl` eme ` a plusieurs variables en un probl` eme ` a une seule variable en effectuant un calcul de valuation.

Corollaire 1.1.3. (corollaire du lemme 1.1.1) Soit f et g deux fonctions analy- tiques d´efinies dans un voisinage de 0 ∈ R ⁿ . Si pour chaque courbe analytique r´eelle c : [0, β[→ R ⁿ avec c(0) = 0, on a : V al t f (c(t)) > V al t g(c(t)), alors il existe une constante K > 0 telle que |g(x)| > K|f (x)| dans un voisinage de 0. C’est `a dire par convention on notera |g(x)| & |f(x)|.

On peut aussi donner une version ` a l’infini de ce corollaire.

1.2 Rappels sur le champ de vecteurs de Kuo- Paunescu

Dans ce paragraphe, on rappelle la construction du champ de vec- teurs de Kuo puis la condition de stratification qui permet de contrˆ oler ce champ de vecteurs afin de trivialiser un famille d’applications. On retrouve cette condition de stratification chez diff´ erents auteurs comme Verdier pour la condition de stratification relative (w) (voir [46]) ou bien la condition (c) de Teissier (voir [42]). Cette construction a ´ et´ e initialement effectu´ ee par Kuo pour ´ etudier, en rapport avec le nombre de Lojasiewicz, la notion de suffisance de jets du point de vue topologique. La norme du gradient d´ efinissant le nombre de Lojasiewicz poss` ede alors une struc- ture homog` ene. Afin d’am´ eliorer cette derni` ere notion Paunescu d´ efinira dans [37] une norme homog` ene par poids (ou quasi-homog` ene). Puis O.M.

Abderrahmane donnera dans sa th` ese de Doctorat la g´ en´ eralisation des deux cas pr´ ec´ edents pour une norme d´ efinie par une filtration quelconque.

Les notions pour un poly` edre quelconque seront rappel´ ees au chapitre 4. On adaptera au cas complexe, l’ensemble de ces techniques initiale- ment ´ etudi´ ees sur R. Donnons maintenant les explications qui nous seront n´ ecessaires.

On peut d´ efinir dans C ⁿ une fonction de contrˆ ole quasi-homog` ene de

la mˆ eme mani` ere que Paunescu (voir [37]). Pour des poids (w 1 , . . . , w n )

cette fonction s’´ ecrit :

ρ(z) = X ⁿ

i=1

|z _i | ^2p

, (1.1)

o` u p i = p w i

, avec p ∈ R ^∗ ₊ . ρ est ainsi une forme de degr´ e 1 de poids w = (w ₁ , . . . , w _n ). On lui associe des fonctions coordonn´ ees (on dit aussi compensatrices) :

ρ j (z) = (ρ(z)) ^w

= X ⁿ

i=1

|z i | ^2p

, ∀ j = 1, . . . , n. (1.2) Sur C ⁿ \{0}, on consid` ere la m´ etrique hermitienne par poids suivante :

h ρ i

∂

∂z i

, ρ j

∂

∂z j

i W = δ ij . (1.3)

Elle nous permet de calculer les expressions suivantes :

Soit F : C ⁿ × C → C, (z, t) 7→ F (z, t) diff´ erentiable au sens complexe, on a : grad _W F (z) =

n

X

i=1

ρ i (z) ∂F

∂z i

(z)ρ i (z) ∂

∂z i

et

|| grad _W F || ² _W =

n

X

i=1

ρ _i

∂F

∂z i

2

.

Soit V le champ de vecteurs local suivant, d´ efini par Kuo-Paunescu (voir [23, 37]) :

V(z, t) =



 

 

∂

∂t −

i=n

X

i=1

∂F

∂t ρ i ∂F

∂z

ρ i

|| grad _W F || ² _W

∂

∂z i

si z 6= 0

∂

∂t si z = 0.

(1.4)

C’est un champ de vecteurs analytique r´ eel tangent aux hypersurfaces de niveau F = c. Il est construit en projetant le vecteur unit´ e de l’axe t sur l’espace tangent aux hypersurfaces de niveau F = c, puis en normalisant le vecteur projet´ e afin d’obtenir une composante selon l’axe t ´ egale ` a 1.

Donnons ` a pr´ esent la condition de stratification et de contrˆ ole associ´ es au champ ainsi construit. On a :

∂z _i

∂V = V i =

∂F

∂t

|| grad _W F || W

× ρ i ∂F

∂z

|| grad _W F || W

× ρ i . (1.5)

La condition de stratification locale de Kuo-Paunescu est donn´ ee par l’in´ egalit´ e :

| ∂F

∂t | . || grad _W F || W . Sous cette hypoth` ese, on obtient que :

| ∂z i

∂V | . |ρ _i |,

car les deux premiers termes du produit (1.5) sont alors born´ es. Le calcul suivant donne alors la condition de contrˆ ole pour le champ de vecteurs V :

| ∂ρ

∂V | = | X

i

∂ρ

∂z i

∂z i

∂V |6 X

i

|V i || ∂ρ

∂z i

| 6 X

i

|ρ i || ∂ρ

∂z i

| . |ρ|. (1.6) En effet, il est d´ emontr´ e dans [37] que :

|ρ i

∂ρ

∂z i

| . |ρ|, pour tout i.

Les courbes int´ egrales de ce champ trivialisent la famille F . C’est un cas particulier des propositions 1.3.4 et 1.3.5, [p.14]. En effet, on suppose ici que F est ` a singularit´ es isol´ ees pour chaque valeur de t, c’est-` a-dire que l’hypersurface d’´ equation F = 0 a pour lieu singulier l’axe t.

1.3 Notions sur les champs de vecteurs stratifi´ es

Nous allons dans ce paragraphe expliquer plus en d´ etails la condition de contrˆ ole (1.6) et donner une condition de stratification plus forte. Un outil important pour prouver la trivialit´ e d’une vari´ et´ e ou d’une appli- cation est l’int´ egration d’un champ de vecteurs ad´ equat. La condition standard pour prouver l’int´ egrabilit´ e d’un champ de vecteurs est donn´ ee par la condition de Lipschitz. Ici, nous utiliserons des conditions plus g´ en´ erales qui permettront de contrˆ oler un champ de vecteurs stratifi´ e.

Nous rappelerons donc quelques notions sur l’int´ egrabilit´ e d’un champ de vecteurs stratifi´ e par rapport ` a une fonction de contrˆ ole, ainsi que la th´ eorie de Thom-Mather qui consiste ` a construire une stratification, puis

`

a int´ egrer un champ de vecteurs lisse et contrˆ ol´ e, sur chaque strate.

Soit S = {S α } une stratification de X ⊂ C ^k ensemble alg´ ebrique ou ana- lytique. Un champ de vecteurs stratifi´ e V est une union V α de champs de vecteurs lisses tangents ` a chaque strate S α de S. Chaque V α est localement int´ egrable, mais pour prouver l’int´ egrabilit´ e de V, on doit montrer l’uni- cit´ e des courbes int´ egrales. Pour cela on doit s’assurer que chaque courbe int´ egrable reste contenue dans une strate. On impose donc pour cela des conditions suppl´ ementaires que l’on appelle conditions de contrˆ ole.

1.3.1 Les diff´ erentes conditions de contrˆ ole

Soit S ∈ S une strate. Un voisinage tubulaire dans la terminologie de Thom-Mather est un tripl´ e (T, π, ρ), avec T un voisinage de S dans X, π : T → S une r´ etraction lisse, et ρ : T → R ⁺ une fonction de contrˆ ole (distance) telle que ρ(S) = 0. On dit que ce champ de vecteurs est contrˆ ol´ e si :

i) Pour chaque S α ∈ S, V /

rel` eve V /

au-dessus de π.

ii) _∂V ^∂ρ = 0 sur S α ∩ T .

On peut donner une condition de contrˆ ole plus faible pour ρ qui corres- pond ` a la condition (1.6) (voir Damon [7]) :

ii ^′ ) Pour chaque point p ∈ S, il existe un voisinage U p de p dans C ^k et une constante C p > 0 tel que pour tout x ∈ U p ∩ X :

| ∂ρ

∂V (x)| < C p ρ(x).

Pr´ ecisons le point i) avec la d´ efinition suivante :

D´ efinition 1.3.1. Soit h : V → W une application diff´erentiable et − → v , − → w deux champs de vecteurs respectivement tangents aux vari´et´es diff´erentiables V et W. On dit que − → v rel`eve − → w au-dessus de h si pour tous x ∈ M : T x h( − → v x ) = − → w x .

D´ efinition 1.3.2. Soit h : M → N surjective et S et S ^′ deux stratifications respec- tives de M et N . On dit que h est une submersion stratifi´ee, si elle v´erifie :

i) h envoie toute strate de S dans une strate de S ^′ .

ii) Soit S une strate de S telle que h(S) ⊂ S ^′ ∈ S ^′ alors h _/S : S → S ^′ est une submersion.

Donnons maintenant les deux ´ enonc´ es principaux qui nous serviront dans la suite.

Proposition 1.3.3. (K.Bekka [3]) Si h : M → N est une submersion stratifi´ee alors tout champ de vecteurs sur N peut-ˆetre relev´e en un champ continu tangent aux vari´et´es de niveau des fonctions de contrˆole. La continuit´e donne l’existence des courbes int´egrales et l’unicit´e est dˆ ue au fait que ce champ ne quitte pas les strates.

On obtient le premier th´eor`eme d’isotopie en int´egrant ce champ de vecteurs.

Proposition 1.3.4. (A.Du Plessis and T.Wall [45] Chap.2 p.35-36) Soit S une stratification de X ⊂ C ^k et V un champ de vecteurs stratifi´e sur X qui v´erifie la condition ii ^′ ) pour une fonction de contrˆole ρ relative `a la strate S. Alors pour toute autre strate S α , aucune courbe int´egrale de V appartenant `a S α ne peut tendre vers S en un temps fini.

De plus si π est une r´etraction et V v´erifie i) alors le flot local sur S ∪ S α obtenu en int´egrant V est continu.

Corollaire 1.3.5. (A.Du Plessis and T.Wall [45] Chap.2 p.35-36) Supponsons qu’en chaque point p ∈ S, o` u S est une strate de S, on peut trouver une fonction de contrˆole ρ et une r´etraction π telles que V v´erifie i) et ii <sup>′</sup> ). Alors les courbes int´egrales de V sont uniques et donnent un flot sur X, c’est `a dire que V est localement int´egrable.

1.3.2 Int´ egration d’un champ de vecteurs sur un compact ` a bord

Si on souhaite trivialiser une application v´ erifiant les hypoth` eses de la

proposition 1.3.3 ` a l’aide d’un champ de vecteurs, il faut que l’application

soit de plus propre (c’est-` a-dire que l’image r´ eciproque de tout ensemble

compact est un ensemble compact). Dans la pratique, on int´ egrera un

champ de vecteurs sur un ensemble qui est d´ ej` a compact. Il faudra alors s’assurer que les courbes int´ egrales ne quittent pas cet ensemble compact.

Ceci est l’objet de ce paragraphe.

Proposition 1.3.6. Soit N une vari´et´e diff´erentiable compacte `a bord, h : N → C une application diff´erentiable et V un champ de vecteurs continu partout non-nul sur N. S’il existe un voisinage U de t 0 ∈ C tel que h <sup>−1</sup> (t) soit transverse `a V pour tout t ∈ U et h ⁻¹ (t) soit transverse `a ∂N , bord de N , pour tout t ∈ U alors il existe ǫ tel que h ⁻¹ ( ˚ D ǫ ) → ^h D ˚ ǫ soit une fibration topologiquement triviale. D ˚ ǫ ´etant un disque ouvert de centre t ₀ et de rayon ǫ.

d´ emonstration. On proc´edera en deux ´etapes. Dans la premi`ere, on modifiera le champ de vecteurs sur ∂N pour qu’il devienne tangent `a ce bord afin que les courbes int´egrales ne quittent pas N . On utilisera alors une partition de l’unit´e pour recoller les deux champs. Dans la deuxi`eme ´etape, on se servira de la propret´e de h pour prouver l’existence de ǫ.

1 ^re ´ etape : Le probl`eme est de d´efinir la fibration au voisinage de ∂(h ⁻¹ (t 0 )). En effet, en un point de ∂N , les courbes int´egrales de V ne restent pas forc´ement dans

∂N . On modifie donc le champ V en le projetant sur l’espace tangent `a ∂N . Or, d’apr`es les hypoth`eses de transversalit´e des fibres avec le bord, on peut projeter V sur l’espace tangent `a ∂N en un champ de vecteurs non-nul. La condition de transversalit´e s’´etend par continuit´e `a un voisinage de ∂N . On recouvre alors la fibre h ⁻¹ (t 0 ) avec un recouvrement du voisinage de ∂(h ⁻¹ (t 0 )) et un recouvrement du compl´ementaire de ce voisinage.

On recolle ensuite les deux champs, V et son projet´e, `a l’aide d’une partition de l’unit´e afin d’obtenir un nouveau champ V <sup>′</sup> dont les courbes int´egrales sont toujours transverses `a h ⁻¹ (t 0 ).

2 ^e ´ etape : Pour tout point p ∈ h ⁻¹ (t 0 ) on a une courbe int´egrale Θ : ]−1, 1[→ h ⁻¹ (U ) avec Θ p (0) = p et Θ p (] − 1, 1[) transverse `a h ⁻¹ (t 0 ) en p. Soit h ⁻¹ (t 0 ) = [

i

U i un recouvrement ouvert de la fibre en t ₀ . En int´egrant le champ de vecteurs partout non-nul construit dans la premi`ere ´etape, on obtient le diff´eomorphisme suivant :

U i ×] − 1, 1[ −→ W i

(p, t) −→ Θ p (t),

o` u W i est un voisinage de p dans h ⁻¹ (U ).

Comme h ⁻¹ (t 0 ) est compact, on peut extraire de son recouvrement un sous- recouvrement fini h ⁻¹ (t 0 ) =

k

[

i=1

U i . On choisit alors ǫ tel que ˚ D ǫ ⊂ T k

i=1 h(W i ). Les

courbes int´egrales se recollent bien sur W i ∩ W j car on int`egre le mˆeme champ de

vecteurs V ^′ avec les mˆemes conditions initiales Θ p (0) = p ∈ h ⁻¹ (t 0 ).

1.4 Notions sur les vari´ et´ es toriques

On souhaite utiliser des compactifications de l’espace C ⁿ plus g´ en´ erales que les espaces projectifs classiques. On aura recours pour cela ` a des mo- difications toriques. On rappelle donc dans ce paragraphe quelques no- tions sur les vari´ et´ es toriques. On retrouvera ces notions classiques, ainsi que les d´ emonstrations des propositions 1.4.1 et 1.4.2, dans [13][chap.6]

ou bien dans [12].

1.4.1 Construction des vari´ et´ es toriques

Soit N un r´ eseau fix´ e (module libre de rang n), N ∼ = Z ⁿ ⊂ R ⁿ . Avec le Z-module M = Hom ^Z (N, Z), on a un produit Z-bilin´ eaire canonique : h , i : M × N → Z . Par extension des scalaires au corps R , on a des R-espaces vectoriels N ^R = N ⊗ ^Z R et M ^R = M ⊗ ^Z R avec un produit R- bilin´ eaire canonique : h , i : M ^R × N ^R → R. On consid´ erera par la suite le produit scalaire usuel de R ⁿ .

On appelle cˆ one rationnel poly´ edral fortement convexe un sous-ensemble σ de N ^R tel qu’il existe un nombre fini d’´ el´ ements a 1 , . . . , a n dans N avec

σ = R _>0 a 1 + · · · + R _>0 a n

= { α 1 a 1 + · · · + α s a s | ∀ i, α i ∈ R, α i > 0 } et σ ∩ (−σ) = 0 (notion de fortement convexe).

Le cˆ one dans M ^R dual de σ est d´ efini par :

σ ^∨ = { x ∈ (R ⁿ ) ^∗ | hx, yi > 0, ∀ y ∈ σ }.

On utilisera la propri´ et´ e suivante de dualit´ e :

Proposition 1.4.1. Si σ est un cˆone poly´edral convexe alors (σ ^∨ ) ^∨ = σ.

Soit S σ = M ∩ σ ^∨ = { a ∈ M | ha, yi > 0, ∀ y ∈ σ }, c’est un sous semi- groupe de M qui a la propri´ et´ e d’ˆ etre engendr´ e par un nombre fini d’´ el´ ements, c’est ` a dire :

S σ = Z > 0 a 1 + · · · + Z _>0 a l

= { α 1 a 1 + · · · + α l a l | ∀ i, α i ∈ Z, α i > 0 }.

On associe ` a S σ une C-alg` ebre de type fini, puis une vari´ et´ e alg´ ebrique affine de la mani` ere suivante :

Soit S _σ =< a ₁ , . . . , a _l > engendr´ e par a ₁ , . . . , a _l et C[z ^a

, . . . , z ^a

] l’alg` ebre de type fini engendr´ ee par u 1 = z ^a

, . . . , u l = z ^a

o` u u i sont les variables toriques et z i les coordonn´ ees affines dans (C ^∗ ) ⁿ avec z ^a

= z ₁ ^a

× · · · × z _n ^a

. On a alors la vari´ et´ e alg´ ebrique affine suivante :

T σ = Spec C[u 1 , . . . , u l ] = Spec C[z ^a

, . . . , z ^a

]. (1.7)

Dans la suite, on va ´ etudier la sous-vari´ et´ e qui r´ ealise la vari´ et´ e abstraite

T σ d´ efinie en (1.7) dans un espace affine C ^l en introduisant les coordonn´ ees

u 1 , . . . , u l . Ces coordonn´ ees seront donc une repr´ esentation de T σ . Ceci d´ epend bien sˆ ur du choix des g´ en´ erateurs du semi-groupe S σ .

Un ´ eventail dans N est une collection ∆ de cˆ ones rationnels poly´ edraux fortement convexes de N ^R satisfaisant les conditions suivantes :

i) Chaque face de tout cˆ one σ ∈ ∆ est contenue dans ∆.

ii) Pour chaque σ, σ ^′ ∈ ∆, l’intersection σ ∩ σ ^′ est ` a la fois une face de σ et de σ ^′ .

|∆| := [

σ∈∆

σ est appel´ e le support de ∆.

On va maintenant d´ ecrire la vari´ et´ e alg´ ebrique associ´ ee ` a un ´ eventail : Chaque σ ∈ |∆| donne une vari´ et´ e torique affine T σ et on peut montrer que si τ est une face de σ alors il y a un plongement naturel T _τ → T _σ comme sous-espace ouvert de Zariski. Ceci permet de donner la construction suivante :

Soit ∆ un ´ eventail dans N, T (∆) est la vari´ et´ e obtenue en recollant en- semble les vari´ et´ es affines T σ associ´ ees ` a σ ∈ |∆|, le long des sous-espaces ouverts communs T σ∩τ pour tout σ, τ ∈ |∆|.

1.4.2 Action du tore, orbites et diviseurs

Le tore T = (C ^∗ ) ⁿ est un groupe qui agit sur lui-mˆ eme par multiplica- tion. Soit S σ =< a 1 , . . . , a l > un syst` eme de g´ en´ erateurs du semi-groupe S σ

et soit un vecteur t = (t 1 , . . . , t n ) ∈ T. L’action du tore sur chaque vari´ et´ e torique affine T σ est donn´ ee par :

T × T σ −→ T σ

(t, u 1 , . . . , u l ) 7−→ (t ^a

u 1 , . . . , t ^a

u l ),

o` u t ^a

= t ^a ₁

· · · t ^a _n

. Les recollements d´ efinis pr´ ec´ edemment dans la construc- tion d’une vari´ et´ e torique sont compatibles avec l’action du tore. Ceci donne une action globale de T sur T (∆). Donc une vari´ et´ e torique est union disjointe de ces orbites sous l’action du tore. La proposition sui- vante pr´ ecise la notion d’orbite.

Proposition 1.4.2. Soit ∆ un ´eventail de R ⁿ , `a chaque cˆone σ ∈ ∆, on peut associer un point distingu´e x σ ∈ T σ ⊂ T (∆) et l’orbite O σ ⊂ T σ de x σ satisfait : 1) T σ = a

τ≺σ

O τ (union disjointe).

2) Si V τ est l’adh´erence de O τ , alors V τ = a

τ≺σ

O σ . τ ≺ σ signifiant que τ est une face de σ.

D´ ecrivons maintenant la notion de diviseur vu comme adh´ erence de l’orbite. Si τ est une face du cˆ one σ alors l’ensemble V _τ = O _τ dans une repr´ esentation de T σ peut ˆ etre d´ etermin´ e de la mani` ere suivante :

Soit S σ =< a 1 , . . . , a l > et soit I l’ensemble d’indices 1 6 i 6 l tels que :

a _i ∈ / τ ^⊥ . Alors, avec les coordonn´ ees u _i = z ^a

, V _τ ⊂ T _σ est d´ efinie dans

l’espace ambiant C ^l par u i = 0, si i ∈ I. Ce sont les ´ equations dans l’espace

ambiant C ^l du diviseur V τ .

Remarque 1.4.3. Si dim ^R τ = k et dim ^R ∆ = n alors O τ ∼ = ( C ^∗ ) ^n−k . Donc si τ est une arˆete (cˆone de dimension 1) alors V τ est une sous-vari´et´e de T (∆) de codimen- sion 1. On a ainsi une bijection entre l’ensemble des arˆetes de ∆ et l’ensemble des diviseurs ´equivariants de T (∆).

Remarque 1.4.4. Si τ ≺ σ et si τ est une arˆete alors V τ est une sous-vari´et´e de codimension 1 dans la vari´et´e torique T σ dont la dimension est n. On peut donc

´ecrire V _τ de la mani`ere suivante :

V τ = T σ ∩ {(u 1 , . . . u l ) ∈ C ^l | u 1 = 0}, de sorte que V _τ n’est ici d´ecrit que par une ´equation.

Remarque 1.4.5. Si un point p ∈ V τ alors les coordonn´ees ambiantes d´ecrivant V τ

au voisinage de p sont born´ees dans ce voisinage.

Donnons un exemple pour illustrer cette notion d’orbite et de diviseur : Exemple 1.4.6. Dans R ² , consid´erons le cˆone σ engendr´e par les vecteurs 2e ₁ − e ₂ et e 2 . Le semi-groupe S σ est donc engendr´e par {a 1 = e ^∗ ₁ , a 2 = e ^∗ ₁ +e ^∗ ₂ , a 3 = e ^∗ ₁ + 2e ^∗ ₂ }.

On obtient alors la C-alg`ebre C[z 1 , z 1 z 2 , z 1 z <sup>2</sup> <sub>2</sub> ] qui est isomorphe `a : C[u ₁ , u ₂ , u ₃ ]/(u ₁ u ₃ − u ² ₂ ),

o` u (u 1 u 3 − u ² ₂ ) est l’id´eal engendr´e par la relation u 1 u 3 = u ² ₂ . La relation additive a ₁ + a ₃ = 2a ₂ donne la relation u ₁ u ₃ = u ² ₂ entre les coordonn´ees toriques. La vari´et´e torique affine correspondant au cˆone σ est donc repr´esent´ee par le cˆone quadratique suivant :

T σ = {(u 1 , u 2 , u 3 ) ∈ C ³ | u 1 u 3 = u ² ₂ }.

Cette vari´et´e torique affine poss`ede une singularit´e isol´ee `a l’origine de C ³ . D´ecrivons `a pr´esent les diviseurs et les orbites de cette vari´et´e T σ .

Consid´erons l’arˆete τ ₁ engendr´ee par e ₂ alors i ∈ I si et seulement si ha _i , e ₂ i 6= 0 et donc I = {2, 3}. L’´equation de V τ

dans l’espace ambiant est donn´ee par u 2 = 0, u 3 = 0 ou bien par {(u 1 , u 2 , u 3 ) ∈ C ³ | u 2 = 0} ∩ T σ . Dans C ³ , on a donc que V τ

= C _u

× {0} × {0}.

On proc`ede de mani`ere identique pour la deuxi`eme arˆete τ 2 engendr´ee par 2e 1 − e 2 . i ∈ I si et seulement si ha i , 2e 1 − e 2 i 6= 0 et donc I = {1, 2}. L’´equation de V τ

dans l’espace ambiant est donn´ee par u ₁ = 0, u ₂ = 0 ou bien par

{(u 1 , u 2 , u 3 ) ∈ C ³ | u 2 = 0} ∩ T σ . Dans C ³ , on a donc que V τ

= {0} × {0} × C _u

.

Enfin, le cˆone lui-mˆeme peut ˆetre consid´er´e comme une face et donc pour cette face particuli`ere, on a I = {1, 2, 3} et alors V σ est donn´ee par u 1 = 0, u 2 = 0, u 3 = 0.

Ainsi V σ = O σ est l’origine (0, 0, 0) ∈ C ³ .

On peut maintenant donner la liste des quatre orbites de cet exemple : 1) O σ = {(0, 0, 0)}

2) O τ

= C ^∗ _u

× {0} × {0}, orbite du point distingu´e x τ

= (1, 0, 0).

3) O τ

= {0} × {0} × C ^∗ _u

, orbite du point distingu´e x τ

= (0, 0, 1).

4) O {0} = (C ^∗ ) ² , orbite du point distingu´e x {0} = (1, 1, 1).

1.5 Compactification torique des fibres d’un polynˆ ome

Soit E = {a ^j } un ensemble fini de points de l’espace Z ⁿ ₊ ,

Γ − (E) = enveloppe convexe dans R ⁿ de l’ensemble {a ^j + R ⁿ ₋ | j = 1, . . . , m}, et Γ − = Γ − (E) ∩ Z ⁿ ₊ . Soit T (∆ Γ

) la vari´ et´ e torique associ´ ee ` a Γ − . Cette vari´ et´ e est construite par dualit´ e : les arˆ etes (cˆ one de dimension 1) d´ efinissant

|∆ Γ

| sont les vecteurs orthogonaux aux faces F de Γ − de dimension n − 1.

Si on ne tient pas compte des vecteurs de la base canonique, ces vecteurs subdivisent donc le quadrant n´ egatif Z ⁿ ₋ .

On note w ˜ ^F ∈ Z ⁿ ₋ , le vecteur primitif orthogonal ` a F distinct des vec- teurs de la base canonique. Soit σ un cˆ one de dimension n appartenant ` a

|∆ Γ

|. D’apr` es la proposition 1.4.1, ` a σ ^∨ correspond un sommet du poly` e- dre Γ − avec les mˆ emes faces adjacentes que celles de σ <sup>∨</sup> . Pour une bonne compr´ ehension, nous allons d´ etailler les diff´ erentes possibilit´ es selon la position du sommet de Γ − . Hormis le cˆ one correspondant ` a l’espace af- fine engendr´ e par les vecteurs de la base canonique {e 1 , . . . , e n }, le cˆ one σ est donn´ e par l’ensemble de vecteurs suivant :

1) si on prend un cˆ one de |∆ Γ

| dont le sommet correspondant dans Γ − se situe sur un axe de coordonn´ ees, alors ce cˆ one σ est du type { w ˜ ^F

, e 1 , . . . , e ˇ i , . . . , e n }, w ˜ ^F

appartenant au cadrant n´ egatif Z ⁿ ₋ .

2) si le sommet de Γ − est sur un plan de dimension n − k et d’´ equation : z 1 = z 2 = · · · = z k = 0

alors le cˆ one σ est du type { w ˜ ^F

, . . . , w ˜ ^F

, e ₁ , . . . , e _k }, o` u w ˜ ^F

∈ Z ⁿ ₋ pour tout i = k + 1, . . . , n. Ceci est un exemple, on peut faire de mˆ eme avec toute combinaison sur l’ensemble des coordonn´ ees {z 1 , . . . , z n }.

3) sinon, si le sommet dans Γ − n’est pas sur un hyperplan de coordonn´ ees alors le cˆ one est du type { w ˜ ^F

, . . . , w ˜ ^F

}, avec w ˜ ^F

∈ Z ⁿ ₋ pour tout i. C’est une situation particuli` ere du cas 2).

Remarque 1.5.1. Dans le cas homog`ene par poids, seulement les cas 1 et 3 inter- viendront.

1.5.1 L’´ equation du diviseur ` a l’infini

Les diviseurs ` a l’infini correspondent aux arˆ etes dans σ donn´ ees par w ˜ ^F

d’apr` es la remarque 1.4.3. Par le paragraphe 1.4.2, l’´ equation du diviseur

correspondant ` a l’arˆ ete donn´ ee par w ˜ ^F

est donn´ ee par la coordonn´ ee

correspondant ` a l’unique vecteur de σ <sup>∨</sup> qui n’est pas orthogonal ` a w ˜ ^F

mais orthogonal aux autres vecteurs de σ. Ce vecteur de σ ^∨ se reporte

sur une arˆ ete correspondante de Γ − . Donnons maintenant l’´ equation du

diviseur ` a l’infini dans chaque cas :

1) si σ est de type 1) alors l’´ equation du diviseur n’est donn´ ee que par une seule variable u i , car −e i ∈ σ ^∨ et h−e i , e j i = 0 pour j = 1, . . . , i − 1, i + 1, . . . , n et h−e i , w ˜ ^F

i > 0 car w ˜ ^F

∈ Z ⁿ ₋ . Le diviseur sera donc donn´ e par :

{u ∈ C ^l | u i = 0} ∩ T σ .

2) si σ est de type 2) alors ` a chaque arˆ ete w ˜ ^F

de σ correspond un diviseur

`

a l’infini donn´ e par : {u ∈ C ^l | u _i = 0} ∩ T _σ , pour tout i = k + 1, . . . , n.

Donc l’ensemble du diviseur ` a l’infini est donn´ e par : {u ∈ C ^l | u k+1 × · · · × u n = 0} ∩ T σ .

3) si σ est de type 3) alors ` a chaque arˆ ete w ˜ ^F

de σ correspond un diviseur

`

a l’infini donn´ e par : {u ∈ C ^l | u i = 0} ∩ T σ . Donc l’ensemble du diviseur

`

a l’infini est donn´ e par :

{u ∈ C ^l | u ₁ × · · · × u _n = 0} ∩ T _σ .

1.5.2 Propri´ et´ es de l’adh´ erence du graphe d’un polynˆ ome

Soit f : C ⁿ → C un polynˆ ome not´ e f (z) = X

α

c α z ^α . On d´ efinit son sup- port par :

supp(f ) = {α ∈ N ⁿ | c α 6= 0}.

Remarque importante : le poly` edre Γ − construit au d´ ebut du paragraphe 1.5 n’a aucun rapport avec le poly` edre de Newton de f , c’est-` a-dire le poly` edre ´ eventuel qui pourrait ˆ etre construit ` a partir du support de f . Mais on suppose quand mˆ eme dans la suite que supp(f ) ⊂ Γ − .

Lemme 1.5.2. On fixe dans ce lemme un cˆone σ ∈ |∆ Γ

|.

1) si σ est de type 1) alors il existe p i ∈ N ^∗ tel que u ^p _i

f (z) soit constitu´ee de monˆomes dont la puissance appartient `a σ ^∨ . On peut donc ´ecrire

u ^p _i

f(z) = f (u).

2) si σ est de type 2) ou 3) alors il existe (p _k+1 , . . . , p _n ) ∈ (N ^∗ ) ^n−k tel que u ^p _k+1

× · · · × u ^p _n

f(z)

soit constitu´ee de monˆomes dont la puissance appartient ` a σ ^∨ . On peut donc

´ecrire :

u ^p _k+1

× · · · × u ^p _n

f (z) = f (u), o` u f : C ^l → C est dans les deux cas un polynˆome.

d´ emonstration. D’apr`es la proposition 1.4.1, `a σ ^∨ correspond un sommet du poly`e-

dre Γ − avec les mˆemes faces adjacentes que celles de σ ^∨ . Or σ ^∨ a pour sommet

l’origine du rep`ere, donc si on choisit Γ − tel que supp(f ) ⊂ Γ − , apr`es une translation,

tous les points inclus dans supp(f ) se retrouvent inclus dans σ ^∨ . Maintenant, les trois

cas pr´ec´edents se pr´esentent, illustr´es respectivement par un dessin en dimension 2

pour les cas 1), 3) et en dimension 3 pour le cas 2) :

1) par translation, on obtient supp(f ) − p i e i ⊂ σ ^∨ avec k i ∈ N ^∗ .

Γ −

σ ^∨ u 1

σ

˜ w ^F translation

unique diviseur

2) ici, sur le dessin, on a σ = { w ˜ ^F

, w ˜ ^F

, e 1 } et donc : supp(f)− p ₂ ( ˜ w ^F

) ^∗ + p ₃ ( ˜ w ^F

) ^∗

⊂ σ ^∨ ,

avec p i ∈ N ^∗ . O` u ( ˜ w ^F

) ^∗ est par notation, le vecteur de (R ⁿ ) ^∗ tel que : h( ˜ w ^F

) ^∗ , w ˜ ^F

i = 0 et h( ˜ w ^F

) ^∗ , xi > 0 pour tout x ∈ σ.

Donc la translation s’effectue dans le plan d’´equation z 1 = 0.

z 3

z 2

z 1

translation σ ^∨

3) on a supp(f) −

n

X

i=1

p i ( ˜ w ^F

) ^∗ ⊂ σ ^∨ avec p i ∈ N ^∗ , pour tout i.

σ σ ^∨

Γ −

u 2 : deuxi`eme diviseur u 1 : premier diviseur

translation

On consid` ere ` a pr´ esent un cˆ one de type 1), 2) ou 3). On d´ efinit alors la fonction F et l’ensemble X comme suit :

u ^p _k+1

× · · · × u ^p _n

[f (z) − t] = f (u) − tu ^p _k+1

× · · · × u ^p _n

= F (u, t), (1.8) X = {(u, t) ∈ C ^l+1 | F (u, t) = 0} ∩ (T σ × C). (1.9) Soit Y le lieu ` a l’infini de X. Il s’´ ecrit donc :

Y = {(u, t) ∈ C ^l+1 | u k+1 × · · · × u n = 0} ∩ X. (1.10) Lemme 1.5.3. Y est un ensemble qui ne d´epend pas de t.

d´ emonstration. T σ × C ne d´epend bien sˆ ur pas de t et d’apr`es (1.8) et (1.10) si u appartient au diviseur `a l’infini alors F (u, t) = f(u). Donc Y d´efini en (1.10) ne d´epend pas de t.

Lemme 1.5.4. X\Y est lisse (non-singulier).

d´ emonstration. Un vecteur normal `a T σ × C en un point n’appartenant pas au diviseur `a l’infini (point lisse), a une composante nulle selon t.

Or, grad _t F = −u ^p _k+1

× · · · × u ^p _n

6= 0 en dehors du diviseur `a l’infini. Donc X = {(u, t) ∈ C ^l+1 | F (u, t) = 0} ∩ (T σ × C )

est lisse sur X\Y . En effet, le vecteur normal `a T σ × C et le vecteur grad F ne peuvent ˆetre colin´eaires sur X\Y .

1.5.3 Situation locale et globale

On peut maintenant pr´ eciser la notion de compactification des fibres

d’un polynˆ ome. Le travail que l’on va entreprendre dans les chapitres

suivants aura :

1) Soit la propri´ et´ e d’ˆ etre local et dans ce cas l’´ etude se fera au voisinage d’un point du diviseur ` a l’infini, c’est ` a dire que l’on choisira pour l’´ etude un cˆ one de la vari´ et´ e torique contenant ce point et repr´ esentant la modification torique de l’espace affine C ⁿ . X est d´ efini en (1.9), C ^l est l’espace de plongement de T σ ` a l’aide des variables toriques u i , la fonction g(u) = u k+1 × · · · × u n donne l’´ equation locale du diviseur ` a l’infini et pr 2 la projection sur le deuxi` eme facteur.

Localement, en un point ` a l’infini, on a le diagramme commutatif suivant :

X

g

~~ ~~ ~~ ~~ ~~

¯ t

 // T σ × C ^{ //}

pr

zz uu uu uu uu u C ^l × C

pr

tt iii iii iii iii iii iii ii

C C

2) Soit la propri´ et´ e d’ˆ etre global, c’est-` a-dire que l’´ etude se fera sur l’en- semble de la vari´ et´ e torique T repr´ esentant la modification torique de l’espace affine C <sup>n</sup> . G f repr´ esente le graphe de f , G f son adh´ erence dans T × C et pr 2 la projection sur le deuxi` eme facteur.

On a le diagramme commutatif suivant : G f

t ¯

## H

H H H H H H H H H

 // T × C

pr

C ⁿ × C

pr

xx rr rr rr rr rr rr

oo ? _ oo ? _ G f

t

tt iii iii iii iii iii iii iii iii

C

Etant donn´ e les deux diagrammes pr´ ec´ edents, on voit que X repr´ esente bien localement l’adh´ erence du graphe de f , G _f , dans la vari´ et´ e T _σ × C.

Sur G f on a f − t = 0, soit f = t. Pr´ ecisons la signification de l’application t.

Lemme 1.5.5. t est induite par pr ₂ et sa fibre, t ⁻¹ (t ₀ ) repr´esente l’adh´erence de t ⁻¹ (t 0 ) dans X ou bien G f pour tout t 0 .

d´ emonstration. L’´equation de X est donn´ee par F = f −tg = 0 et donc l’adh´erence de t ⁻¹ (t ₀ ) v´erifie :

t ⁻¹ (t ₀ )\t ⁻¹ (t ₀ ) ⊂ g ⁻¹ (0) ⊂ f ⁻¹ (0).

Comme l’ensemble que l’on rajoute `a l’infini ne d´epend pas de t, on peut prolonger

l’´equation de X en F = f −tg = 0 afin d’avoir la commutativit´e des deux diagrammes

ci-dessus.

Chapitre 2

Les th´ eor` emes de trivialit´ e d’un polynˆ ome : cas homog` ene par poids

Dans ce chapitre, on ´ etudie la trivialit´ e affine d’un polynˆ ome, c’est ` a dire la trivialit´ e en dehors du diviseur ` a l’infini d’une compactification torique de l’espace affine C ⁿ . Ceci sera fait de deux fa¸cons diff´ erentes. Une premi` ere m´ ethode consiste ` a faire l’´ etude globalement sur tout l’espace affine C ⁿ en int´ egrant un champ de vecteurs contrˆ ol´ e ad´ equat (au sens de ii ^′ ) du paragraphe 1.3.1). Dans la deuxi` eme m´ ethode, on ´ etudiera les propri´ et´ es du mˆ eme champ de vecteurs mais cette fois-ci localement, c’est-` a-dire au voisinage d’un point appartenant au diviseur ` a l’infini.

Pour cela, on effectuera l’´ etude dans une vari´ et´ e torique contenant ce voisinage sans d´ esingulariser cette vari´ et´ e. On exprimera donc les calculs dans des coordonn´ ees toriques. On d´ emontrera que ce champ est aussi contrˆ ol´ e (au sens de ii ^′ ) du paragraphe 1.3.1) par la fonction d´ ecrivant l’´ equation du diviseur ` a l’infini.

A partir du r´ esultat local, on d´ emontre une condition de stratification plus forte : la condition non-caract´ eristique. Cette condition est l’objet central de cette ´ etude.

2.1 La trivialit´ e affine d’un polynˆ ome

On consid` ere dans ce paragraphe un polynˆ ome f : C <sup>n</sup> → C , G f : le graphe de f, T : une compactification torique de l’espace affine C <sup>n</sup> et G f : l’adh´ erence de G f dans T × C. C’est ` a dire que l’on se place dans la situation 2) du paragraphe 1.5.3.

On va utiliser pour trivialiser la famille particuli` ere F (z, t) = f (z) − t,

le mˆ eme champ de vecteurs que dans le chapitre 1.2. Mais ici la stratifi-

cation sera diff´ erente car les singularit´ es ` a l’infini de G f peuvent ˆ etre de

dimension strictement sup´ erieure ` a 1. De plus, il faudra modifier la fonc-

tion de contrˆ ole (1.1). Il suffira de l’inverser pour l’adapter au probl` eme

de trivialisation d’un polynˆ ome ` a l’infini, en effet la fonction de contrˆ ole

doit s’annuler sur les strates qui se situent ` a l’infini, c’est-` a-dire les strates

appartenant ` a l’ensemble : (T × C )\( C ⁿ × C ).

D´ efinition 2.1.1. On dit que le polynˆome f est trivial `a l’infini au-dessus de t ₀ s’il existe un compact K ⊂ C ⁿ et D ˚ ⊂ C un petit voisinage ouvert de t 0 tels que (C ⁿ \K )×C ∩t ⁻¹ ( ˚ D) −→ ^t D ˚ soit une une fibration triviale, t ´etant la fonction d´efinie au paragraphe 1.5.3.

Remarque 2.1.2. On peut donner une d´efinition ´equivalente avec la fonction f car sur le graphe de f , G _f , on a f = t.

D´ efinissons maintenant une condition de mod´ eration sur le comporte- ment asymptotique du gradient de f ` a l’infini.

D´ efinition 2.1.3. On dit que le polynˆome f v´erifie la condition de Malgrange- Paunescu `a l’infini au-dessus de t 0 , si ||grad <sub>W</sub> f(z)|| W & 1 pour tout z dans un voisinage de l’infini (c’est `a dire en dehors d’un certain compact de C ⁿ ) et f(z) dans un voisinage de t 0 .

Remarque 2.1.4. Dans le cas homog`ene, c’est-`a-dire si : w = (w 1 , . . . , w n ) = (1, . . . , 1), on retrouve la condition de Malgrange :

||z||.||gradf(z)|| & 1.

Th´ eor` eme 2.1.5. Si la condition de la d´efinition 2.1.3, ||grad <sub>W</sub> f(z)|| W & 1, est v´erifi´ee alors le polynˆome f est trivial `a l’inifini au-dessus d’un voisinage de t ₀ . d´ emonstration. La d´emonstration sera faite en deux ´etapes. Dans la premi`ere, on prouvera l’existence d’un champ de vecteurs dont les courbes int´egrales restent en dehors du diviseur `a l’infini. Dans la deuxi`eme ´etape, on r´esout le probl`eme du bord de la vari´et´e sur laquelle on int´egre.

1 ^re ´ etape : Soit V le champ de vecteurs d´efini, comme en (1.4), globalement sur tout C ⁿ \{0} pour la famille particuli`ere F (z, t) = f (z)−t. On obtient alors succesivement, en suivant le mˆeme processus que celui du chapitre 1.2 :

V(z, t) = ∂

∂t −

n

X

i=1

ρ i ∂f

∂z

ρ i

|| grad _W f || ² _W

∂

∂z _i pour kzk grand, (2.1) c’est `a dire :

V(z, t) = ∂

∂t − grad _W f

|| grad _W f || ² _W pour kzk grand, (2.2) et donc

∂z i

∂ V = V _i = ρ _{i ∂z} ^∂f

i

|| grad _W f || W

× ρ i

|| grad _W f || W

. (2.3)

Le premier terme du produit (2.3) est toujours inf´erieur `a 1 et par hypoth`ese le

deuxi`eme terme est major´e par ρ i donc |V i | = | ^∂Z _∂V

| . |ρ i | avec ρ i la fonction coor-

donn´ee d´efinie en (1.2).

Par d´erivation des fonctions compos´ees, on obtient le calcul suivant :

| ∂( ¹ _ρ )

∂V | = | X

i

∂( ¹ _ρ )

∂z i

∂z i

∂V | = 1 ρ ² | X

i

∂ρ

∂z i

∂z i

∂V | . 1 ρ ²

X

i

|V i || ∂ρ

∂z i

| . 1 ρ ²

X

i

|ρ i || ∂ρ

∂z i

|.

Pour obtenir l’in´egalit´e suivante, il est suffisant d’avoir :

|ρ i

∂ρ

∂z i

| . |ρ|, pour tout i. (2.4)

On obtient alors la condition de contrˆole recherch´ee :

| ∂( ¹ _ρ )

∂V | . 1

ρ ² |ρ| = 1

|ρ| . (2.5)

On trivialise ensuite `a l’aide de ce champ de vecteurs V la vari´et´e f (z) − t = 0.

Les courbes int´egrales de ce champ vont nous permettrent d’obtenir le th´eor`eme de trivialisation affine pour la famille particuli`ere des fibres d’un polynˆome com- plexe. En effet, d’apr`es les propositions du paragraphe 1.3.1, ces courbes int´egrales ne peuvent atteindre le diviseur `a l’infini. Pour trivialiser la famille, il suffira en g´en´eral de v´erifier l’in´egalit´e de l’´equation (2.4).

2 ^e ´ etape : On va dans cette ´etape construire un champ de vecteurs tangent au graphe de f et tangent aux sph`eres d´efinies par la m´etrique h , i W . Pour cela, on proc`ede ainsi :

Dans [34], Parusi´ nski construit, dans le cas homog`ene, un champ de vecteurs en projetant le gradient grad <sub>W</sub> f pour w = (1, . . . , 1), sur les sph`eres puis en renorma- lisant le champ projet´e afin que le champ obtenu soit tangent au graphe de f. On obtient ainsi dans le cas homog`ene par poids :

w 1 = grad _W f − hx, grad _W f i _W

kxk ² _W x, w 2 = w 1

hw 1 , grad _W fi W

. On v´erifie que l’on a bien :

∂f

∂ w 2

= 1 et donc

∂(f − t)

∂(w 2 + _∂t ^∂ ) = 0.

Ce qui prouve que le champ w 2 + _∂t ^∂ est tangent au graphe de f . Il reste `a prouver que l’on peut effectivement construire ce champ en d´emontrant que la projection du gradient est non-nulle, c’est-`a-dire que w 1 (x) 6= 0 pour des valeurs suffisamment grande de kxk et f (x) proche de t 0 .

Lemme 2.1.6. On peut projeter en un champ de vecteurs non-nul, le champ de gradient grad _W f sur S _R,W , o` u S _R,W = {z | hz, zi _W = R}.

d´ emonstration. Par la version `a l’infini du lemme des petits chemins 1.1.2, il suffit de le montrer le long de toute courbe analytique. Soit c(s) une telle courbe donn´ee par :

c(s) = s ^α (a 0 + a 1 s + · · · ), a 0 6= 0, a 0 ∈ C ⁿ .

On peut aussi ´ecrire :

c(s) =

n

X

i=1

c i (s) ∂

∂z i

, o` u

c i (s) = s ^α

(a i,0 + a i,1 s + · · · ), a i,0 6= 0.

Le gradient dans la m´etrique associ´ee au poids w s’´ecrit conform´ement au paragraphe 1.2 :

grad _W f (z) =

n

X

i=1

ρ i (z) ∂f

∂z i

(z)ρ i (z) ∂

∂z i

,

et on notera :

grad _W f(c(s)) =

n

X

i=1

s ^β

(b i,0 + b i,1 s + · · · ) ∂

∂z i

, b i,0 6= 0. (2.6) On ´ecrit aussi :

grad _W f (c(s)) = s ^β (b 0 + b 1 s + · · · ), b 0 6= 0, b 0 ∈ C ⁿ .

Supposons que ha 0 , b 0 i W 6= 0. On veut `a pr´esent regarder les diff´erentes valuations dans le but d’obtenir une contradiction. Comparons pour cela les valuations des expressions _ds ^d f(c(s)) et kgrad _W f (c(s))k ² _W .

Cherchons d’abord `a d´eterminer la valuation de kgrad <sub>W</sub> f(c(s))k <sup>2</sup> <sub>W</sub> le long de la courbe c(s). On suppose que cette courbe appartient `a la vari´et´e torique σ ₁ . Soit σ r un cˆone de la vari´et´e torique projective T (∆ w ) donn´e par les vecteurs {e 1 , · · · , e r−1 , −w, e r+1 , · · · , e n }. Soit u i les fonctions coordonn´ees associ´ees `a la vari´et´e torique T _σ

. On a donc u _i = z ^a

= z ^a ₁

× · · · × z ^a _n

o` u les a _i sont les g´en´erateurs du semi-groupe S σ

. Par d´efinition de σ ^∨ _r , on a : ha i , −wi > 0 et ha i , e k i = a ik > 0, ∀ k = 1, · · · , r − 1, r + 1, · · · , n. On suppose ici que le cˆone est donn´e par σ 1 = {−w, e 2 , · · · , e n } et donc que la variable u 1 = _z ¹

donne l’´equation du diviseur.

Lemme 2.1.7. Dans la vari´et´e torique associ´ee au cˆone σ 1 = {−w, e 2 , · · · , e n }, on a : ρ ˜ ∼ |z 1 | ^w

^···w

o` u

˜

ρ = ρ ^w

^···w

∼ |z 1 | ^w

^···w

+ · · · + |z p | ^w

^···w

^w

^···w

+ · · · + |z n | ^w

^···w

. (2.7) d´ emonstration. En factorisant par la variable correspondant au diviseur, on ob- tient :

˜

ρ = |z 1 | ^w

^···w

1 +

n

X

k=2

|z k | ^{w ˜}

|z 1 | ^{w ˜}

. (2.8)

Il reste `a v´erifier que les termes de la somme sont major´es. Ceci est d´emontr´e par

le fait que le vecteur puissance v k = (− w ˜ 1 , 0, · · · , 0, w ˜ k , · · · , 0) appartient bien `a

σ ₁ ^∨ . En effet : hv k , e i i > 0 pour tout i = 1, · · · , n et hv k , −wi = 0. On en d´eduit le

r´esultat grˆace `a la remarque 1.4.5.

On obtient donc que dans la vari´et´e torique associ´ee au cˆone σ 1 : ρ _i (z) ∼ |z ₁ |

et donc le long de la courbe c(s), on obtient :

ρ _i (c(s)) ∼ |c ₁ (s)|

= |s| ^α

|(a _i,0 + a _i,1 s · · · )|

. Or :

kgrad _W fk ² _W = hgrad _W f, grad _W f i W .

Si on utilise la d´ecomposition (2.6) de grad _W f (c(s)) suivant les coordonn´ees, on obtient :

kgrad _W f(c(s))k ² _W =

n

X

i=1

|b i,0 | ² h ∂

∂z i

, ∂

∂z i

i W s ^2β

+ · · ·

=

n

X

i=1

|b i,0 | ² 1

ρ ² _i s ^2β

+ · · · . On a, en utilisant le lemme 2.1.7 :

V al t (kgrad _W f(c(s))k ² _W ) = min

i=1,...,n 2(β i − w i

w 1

α 1 ) = 2(β i

− w i

w 1

α 1 ).

Et la condition de Malgrange-Paunescu impose une condition sur cette derni`ere valuation : β _i

− ^w _w

1

α ₁ < 0. Or, comme c(s) appartient `a σ ₁ , on obtient que α ₁ < 0 et donc que β i

< 0. Ainsi α + β < 0, car β < β i

< 0 et α < α 1 < 0.

De plus, commef(c(s)) est born´e (car on s’interesse `a l’ensemble des fibres au- dessus du voisinage d’un point), f (c(s)) est une fonction analytique de s en 0, de mˆeme que _ds ^d f (c(s)). On en d´eduit forc´ement que V al s ( _ds ^d f(c(s))) > 0. On remar- quera que par d´efinition de la m´etrique h , i W , on a :

d

ds f (c(s)) = h d

ds c(s), grad _W f i W .

= s ^α+β−1 (ha 0 , b 0 i + · · · ).

On en d´eduit que : α + β − 1 > 0, d’o` u une contradiction. Donc ha 0 , b 0 i <sub>W</sub> = 0, c’est `a dire que les deux vecteurs deviennent asymptotiquement orthogonaux pour la m´etrique h , i W .

On recolle ensuite le champ de Kuo-Paunescu et ce dernier champ projet´e de la mˆeme mani`ere que dans la d´emonstration de la proposition 1.3.6 afin d’obtenir le th´eor`eme de trivialisation.

Remarque 2.1.8. Il est possible d’obtenir le th´eor`eme de trivialisation en utilisant directement le champ de vecteurs construit dans la deuxi`eme ´etape sans utiliser le champ de Kuo-Paunescu.

Remarque 2.1.9. Contrairement au champ local, le champ construit en (2.2) ne d´epend pas de t. Mais on ne sait pas comment le prolonger sur le diviseur `a l’infini.

On ne peut donc pas esp´erer obtenir une trivialisation projective d’une compactifi-

cation des fibres d’un polynˆome `a l’aide de ce champ V.