Un corrigé du devoir surveillé n°4
QUESTION DE COURS(3 points).
Soituune fonction définie et positive sur un intervalleI. Montrer queuetpuont les mêmes variations surI.
Soitaetbdeux réels de l’intervalleI tels quea<b.
Supposons queucroissante : Alors, commeuest positive et croissante, 06u(a)6u(b).
pu(a)6pu(b) car la fonction racine est croissante sur [0;+∞[.
Ainsipu(a)6pu(b).
Finalementpuest aussi une fonction croissante.
Supposons queudécroissante : Alors, commeuest positive et décroissante,u(a)>u(b)>0.
pu(a)>pu(b) car la fonction racine est croissante sur [0;+∞[.
Ainsipu(a)>pu(b).
Finalementpuest aussi une fonction décroissante.
Ainsi,uetpuont les mêmes variations durI. EXERCICE4.1(6 points).
Le plan est muni d’un repère¡ O;~ı,~¢
.
On donne les pointsA(1; 4),B(3; 3),C(5; 2) etD(4; 1) et de droiteDd’équationx−y+6=0.
1. Démontrer que les droites (C D) etDsont parallèles.
Nous allons chercher des vecteurs directeurs de ces deux droites.
Un vecteur directeur de (C D) estC D−−→(−1;−1).
Une droite d’équation cartésienneax+by+c=0 a pour vecteur directeur, parmi d’autres, le vecteur
−
→v(−b;a) doncD:x−y+6=0 a pour vecteur directeur→−v(1; 1).
Regardons si ces deux vecteurs sont colinéaires.
On constate que−→v = −−−→C Ddonc ils sont colinéaires.
Donc les droites (C D) etDsont parallèles.
2. Déterminer une équation de la droite (AB).
Un vecteur directeur de (AB) est−→AB(2;−1).
Méthode 1 : Alors, en posant−→AB(−b;a), on sait qu’une équation cartésienne possible de la droite (AB) estax+by+c=0 soit, ici,−1x−2y+c=0.
Le pointAappartient à la droite (AB) donc ses coordonnées vérifient l’équation−1x−2y+c= 0 donc−1−8+c=0⇔c=9.
Donc (AB) :−x−2y+9=0.
Méthode 2 :
M(x;y)∈(AB) ⇔ −−→AM(x−1;y−4)=(X;Y) et−→AB(2;−1)=(X′;Y′) colinéaires
⇔ X′Y−Y′X=0⇔2(y−4)−(−1)(x−1)=0
⇔ (AB) :x+2y−9=0
3. Démontrer que (AB) etDsont sécantes en un pointEdont on déterminera les coordonnées.
L’énoncé sous-entendait implicitement qu’il fallaitd’abordmontrer que les droites sont sécantes et ensuitetrouver les coordonnées du point d’intersection. Cependant trouver les coordonnées du point, s’il existe, prouve aussi qu’elles sont sécantes (une phrase en ce sens aurait été bienvenue dans votre rédaction).Nous avons les deux vecteurs directeurs respectifs des droites (AB) etD :−→AB(2;−1)= (X;Y) et→−v(1; 1)=(X′;Y′).
Déterminons si ces vecteurs sont colinéaires :
X′Y−Y′X=1×(−1)−1×2= −36=0 donc ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires, donc les droites (AB) etDne sont pas parallèles, donc elles sont sécantes en un seul pointE.E(x;y)∈(AB)∩D⇔
½ x+2y−9=0 L1 x−y+6=0 L2 ⇔
½ x+2y−9=0 L1 3y−15=0 L1−L2 ⇔
½ x= −1 y=5 DoncE(−1; 5).
4. Déterminer une équation deD′, la parallèle à (C D) passant parB.
Comme les droites sont parallèles, tout vecteur directeur de l’une est aussi vecteur directeur de l’autre. AinsiC D−−→(−1;−1) est aussi un vecteur directeur deD′.
Méthode 1 : Alors, en posantC D−−→(−b;a), on sait qu’une équation cartésienne possible de la droite D′estax+by+c=0 soit, ici,−1x+1y+c=0.
Le pointBappartient à la droiteD′donc ses coordonnées vérifient l’équation−1x+1y+c=0 donc−3+3+c=0⇔c=0.
DoncD′:−x+y=0.
Méthode 2 :
M(x;y)∈D′ ⇔ −−→B M(x−3;y−3)=(X;Y) et−−→C D(−1;−1)=(X′;Y′) colinéaires
⇔ X′Y−Y′X=0⇔(−1)(y−3)−(−1)(x−3)=0
⇔ D′:x−y=0 EXERCICE4.2(7 points).
On donne ci-dessous le tableau des variations d’une fonctionf définie sur [−5; 10] :
x −5 −3 2 5 10
Variations def 3
−4
0
9
4 On sait par ailleurs quef(−4)=0 et que f(3)=4.
Partie A.
1. g=f +2
(a) getf ont le même ensemble de définition : [−5; 10]
(b) f etf+kayant les mêmes variations quel que soitk∈Ralors :
x −5 −3 5 10
Variations deg 5
−2
11
4
2. h= −f
(a) hetf ont le même ensemble de définition : [−5; 10]
(b) f etk f ont des variations opposées lorsquek<0 et icik= −1, alors :
x −5 −3 5 10
Variations deh
−3
4
−9
−4
3. k=p f (a) p
f n’est définie que lorsquef >0 donc l’ensemble de définition dekest : [−5;−4]∪[2; 10]
(b) f etp
f ont les mêmes variations donc :
x −5 −4 2 5 10
Variations dek p3
0 0
3
2
4. ℓ= 1f
(a) 1f n’est définie que lorsque f 6= 0 donc l’ensemble de définition de ℓ est : [−5;−4[∪]− 4; 2[∪]2; 10]
(b) f et1f ont des variations opposées donc :
x −5 −4 −3 2 9 10
Variations deℓ 1 3
−1 4
1 9
1 4
5. m= |f|
(a) f et|f|ont le même ensemble de définition : [−5; 10].
(b) Lorsque f >0 alors|f| = f donc f et|f|ont les mêmes variations tandis que lorsque f 60,
|f| = −f donc f et|f|ont des variations opposées, donc :
x −5 −4 −3 2 5 10
Variations dem 3
0
4
0
9
4
Partie B.
Donner sans justifier le tableau des variations de la fonctionn= r¯
¯
¯
f1−4
¯
¯
¯. On a :
x −5 −3 3 5 10
f 3
−4
4
9
4
On en déduit (pas de changement de sens de variation) :
x −5 −3 3 5 10
f−4 −1
−8
0
5
0
Puis (les sens de variation changent ainsi que l’ensemble de définition : les valeurs interdites apparaîssent) :
x −5 −3 3 5 10
1 f−4
−1
−1 8
1 5
Donc (changement de sens de variation quand la fonction est négative) :
x −5 −3 3 5 10
¯
¯
¯
¯ 1 f −4
¯
¯
¯
¯ 1
1 8
1 5
Enfin (aucun changement de sens et pas de changement de l’ensemble de définition car la fonction précé- dente est positive) :
x −5 −3 3 5 10
n= s¯
¯
¯
¯ 1 f−4
¯
¯
¯
¯ 1
r1 8
r1 5
EXERCICE4.3(11 points).
Soitf la fonction définie surR\{1} par :x7→f(x)=x−2x−+3x1. On appelleC sa courbe représentative.
Partie A.
Soithla fonction définie surR\{1} parx7→h(x)=−x+1−2 . Montrer quehest une fonction décroissante ]1;+∞[.
Plusieurs rédactions possibles :
Rédaction 1 : • x7−→ −x+1 est une fonction affine décroissante et s’annulant en 1, elle est donc décrois- sante et strictement n’égative sur ]1;+∞[
• uetu1 ont des variations opposées là oùu6=0 doncx7−→−x+11 est croissante sur ]1;+∞[
• uet−2uont des variations opposées doncx7−→−−x+21est décroissante sur ]1;+∞[ Ainsihest une fonction décroissante de ]1;+∞[.
Rédaction 2 : Soitaetbappartenant à ]1;+∞[ tels quea<b, alors : 1<a<b ⇔ −1> −a> −b ⇔0> −a+1> −b+1
⇔ −a1+1<−b+11 car la fonction inverse est décroissante sur ]− ∞; 0[
⇔ −−a2+1>−−b+21 ⇔h(a)>h(b) Donchest décroissante sur ]1;+∞[.
Partie B.
1. (a) Montrer que, pour toutx∈R\{1},f(x)= −x+2−−x2+1
∀x∈R\{1} :−x+2−−x+12 =−x(−x+1)−x+1+2(−x+1)−2=x−x+12−3x=f(x)
(b) En déduire les variations def sur chacun des intervalles sur lesquels elle est définie.
SurR\{1},f =g+hoùg:x7−→ −x+2 eth:x7−→−−x2+1.
Orgest une fonction affine décroissante sur ]− ∞; 1[ et sur ]1;+∞[ ainsi queh, comme on l’a vu dans la partie A.
f est donc la somme de deux fonctions décroissantes, elle est donc elle aussi décroissante sur chacun des intervalles sur lesquels elle est définie.
2. Déterminer les intersections deC avec chacun des axes du repère.
Cherchons d’abord les éventuelles intersections deC avec l’axe des ordonnées : M(x;y)∈C∩(O y)⇔
½ y=f(x) x=0 ⇔
½ y=f(0)=0 x=0 DoncC∩(O y)={(0; 0)}.
Cherchons ensuite les éventuelles intersections deC avec l’axe des abscisses : M(x;y)∈C∩(Ox)⇔
½ y=f(x) y=0 ⇔
( f(x)=x−x+12−3x=0
y=0 ⇔
½ x=0 oux=3 etx6=1 y=0
DoncC∩(Ox)={(0; 0); (3; 0)}.
3. Soitkla fonction définie surRparx7→k(x)=x−3 etDsa courbe représentative.
On appelledla fonctionf −kdéfinie pour toutx∈R\{1}.
(a) Montrer que, pour toutx∈R\{1},d(x)=2x−2−x7x+1+3.
∀x∈R\{1} :d(x)=f(x)−k(x)=x−2x−+3x1−(x−3)=x2−3x−−(xx−+3)(1 −x+1)=2x−2−x7x+1+3. (b) Étudier le signe ded(x) selon les valeurs dex.
2x2−7x+3 est un trinôme positif sauf entre ses racines : 0,5 et 3.
x7−→ −x+1 est une fonction affine décroissante s’annulant en 1.
Donc :
x −∞ 0,5 1 3 +∞
2x2−7x+3 + 0 − − 0 +
−x+1 + + 0 − −
d(x) + 0 − + 0 −
(c) En déduire les positions relatives deC et deDselon les valeurs dex.
• Sur ]− ∞; 0,5]∪]1; 3] :d(x)=f(x)−k(x)>0⇔f(x)>k(x) doncC est au-dessus deD
• Sur [0,5; 1[∪[3;+∞[ :C est en-dessous deD EXERCICE4.4(3 points).
Le plan est muni d’un repère¡ O;~ı,~¢
.
Les droitesD1etD2ont pour équations respectives 3x−2y−8=0 et 5x+4y−6=0.
La droite∆a pour équation : 2mx−(m+1)y−8=0.
Comment choisir le réelmpour que ces trois droites soient concourantes?
Cherchons d’abord s’il existe un pointM(x;y) commun àD1etD2.
D1etD2ont pour vecteurs directeurs respectifs, parmi d’autres,−→v1(2; 3)=(X;Y) et−→v2(−4; 5)=(X′;Y′). En effet une droite d’équationax+by+c=0 admet comme vecteur directeur celui de coordonnées (−b;a).
Déterminons s’ils sont colinéaires :X′Y −X Y′=(−4)×3−5×2= −226=0 donc ils ne sont pas colinéaires, donc les droites sont sécantes.
M(x;y)∈D1∩D2⇔
½ 3x−2y−8=0 L1
5x+4y−6=0 L2 ⇔
½ 3x−2y−8=0 L1
11x−22=0 L2+2L1 ⇔
½ x=2 y= −1 D1etD2se coupent donc en (2;−1).
Pour que les trois droites soient concourantes, il faut donc que ce point appartiennent aussi à∆. Il faut donc quemsoit tel que l’équation de∆soit vérifiée par le point de coordonnées (2;−1).
2m×2−(m+1)×(−1)−8=0⇔5m−7=0⇔m=75
Les trois droites seront donc concourantes si et seulement sim=75.
