AD5 – Radioactivité alpha Document 1 : Structure du noyau et radioactivité

AD5 – Radioactivité alpha

Document 1 : Structure du noyau et radioactivité

I-1) Structure du noyau

L’exploration de la structure atomique s’appuie sur des expériences de diffusion.

Schématiquement, on bombarde la matière par un faisceau de particules puis on analyse leur répartition après interaction avec la cible. En utilisant comme projectiles des particules 𝛼𝛼, Rutherford a ainsi mis en évidence la concentration de la charge positive des atomes dans une très petite région appelée noyau, dont le rayon R est de l’ordre de 10⁻¹⁴𝑚𝑚. Des expériences analogues utilisant des électrons ou des neutrons ont permis de préciser cette image pour obtenir une description du noyau aujourd’hui universellement acceptée. Il est formé de neutrons et de protons liés entre eux par des forces attractives de très courte portée appelées interactions fortes, n’agissant plus dès que la distance dépasse 1 𝑓𝑓𝑚𝑚 = 10⁻¹⁵ 𝑚𝑚. Elles s’opposent à la répulsion électrostatique entre les protons qui mènerait, si elle était seule en jeu, à l’éclatement du noyau. Au final, l’assemblage des nucléons conduit à un état d’énergie plus basse que celui dans lequel ils seraient dispersés à grande distance les uns des autres, ce qui explique leur tendance à rester groupés : ils forment un système lié.

On note N le nombre de neutrons d’un noyau, Z le nombre de ses protons (appelé numéro atomique) et A = N + Z (nombre de masse) le nombre de nucléons, ce terme désignant indistinctement les neutrons et les protons. On désigne un noyau de l’élément X par la notation ^𝐴𝐴_𝑍𝑍𝑋𝑋. Ainsi, divers isotopes de l’uranium seront notés : ²³⁸₉₂𝑈𝑈,²³⁷₉₂𝑈𝑈,𝑒𝑒𝑒𝑒 ²³⁴₉₂𝑈𝑈. Quant aux particules alpha, ce sont des noyaux d’hélium formés de deux neutrons et deux protons, d’où la notation ₂⁴𝐻𝐻𝑒𝑒. Puisque le numéro atomique Z est caractéristique d’un élément donné du tableau périodique, l’indice Z dans la notation 𝐴𝐴𝑍𝑍𝑋𝑋 est redondant avec la spécification de X et emploie parfois une écriture allégée du type ²³⁸𝑈𝑈.

I-2) Noyaux stables et instables

On constate expérimentalement que certains noyaux sont stables et d’autres instables. Les premiers n’évoluent pas alors que les seconds se transforment en d’autres noyaux en émettant du rayonnement. Ce phénomène, appelé radioactivité, correspond au passage spontané du noyau vers un état d’énergie plus basse. Parmi les 289 noyaux naturels, 264 sont stables et 25 radioactifs, tels les différents isotopes de l’uranium et du radon. Quant aux centaines de noyaux artificiels obtenus dans les laboratoires de physique nucléaire, tous sont instables. Plaçons les différents noyaux dans un plan avec Z en abscisse et N en ordonnée. On obtient ainsi le diagramme de la figure suivante. Les noyaux stables se regroupent autour d’une courbe appelée ligne de stabilité qui longe la droite d’équation Z=N puis s’en écarte vers les N croissants à mesure que Z augmente. De part et d’autre se trouvent les noyaux instables, que l’on peut regrouper en trois catégories.

- Ceux de la zone B- possèdent plus de neutrons que ceux de la ligne de stabilité. Pour s’en rapprocher, ils peuvent évoluer par radioactivité 𝛽𝛽⁻, processus qui permet la conversion d’un neutron en proton et s’accompagne de l’émission d’un électron selon : 𝑛𝑛 → 𝑝𝑝⁺+𝑒𝑒⁻ 𝑜𝑜𝑜𝑜 ^𝐴𝐴_𝑍𝑍𝑋𝑋→

𝑌𝑌+𝑒𝑒⁻

𝑍𝑍+1𝐴𝐴

- Ceux de la zone B+ possèdent davantage de protons que ceux de la ligne de stabilité. Pour s’en rapprocher, ils peuvent évoluer par radioactivité 𝛽𝛽⁺, processus qui permet la conversion d’un proton en un neutron et s’accompagne de l’émission d’un positron selon :

𝑝𝑝⁺ → 𝑛𝑛+𝑒𝑒⁺ 𝑜𝑜𝑜𝑜 _𝑍𝑍^𝐴𝐴𝑋𝑋→ _𝑍𝑍−1^𝐴𝐴𝑌𝑌+𝑒𝑒⁺

- Ceux de la zone A possèdent davantage de nucléons que ceux de la vallée de stabilité. Pour former des noyaux plus légers, ils évoluent soit par fission, phénomène relativement rare par lequel le noyau se scinde en deux noyaux fils, soit par radioactivité alpha, mécanisme qui sera l’objet de toute notre attention dans la suite. L’équation de la transition s’écrit dans ce cas :

𝑍𝑍𝑋𝑋

𝐴𝐴 → _𝑍𝑍−2^𝐴𝐴−4𝑌𝑌+ ₂⁴𝐻𝐻𝑒𝑒

I-3) Loi de décroissance radioactive

Il est impossible de prévoir à quel instant un noyau radioactif se désintégrera en un noyau plus stable. La radioactivité est un phénomène aléatoire pour lequel on ne peut raisonner que de manière probabiliste. Pour chaque transition radioactive, il existe une constante 𝜆𝜆 telle que la probabilité de désintégration pendant une durée dt s’exprime par : 𝑑𝑑𝑑𝑑=𝜆𝜆 𝑑𝑑𝑒𝑒

La constante radioactive 𝜆𝜆 représente une probabilité de désintégration par unité de temps et s’exprime en 𝑠𝑠⁻¹. Un échantillon macroscopique de matière radioactive contient un nombre N d’atomes de l’ordre du nombre d’Avogadro. Comme chacun d’eux présente une probabilité dP de se désintégrer pendant dt, le nombre de désintégration pendant cette durée vaut 𝑁𝑁𝑑𝑑𝑑𝑑= 𝑁𝑁 𝜆𝜆 𝑑𝑑𝑒𝑒. Ainsi 𝑁𝑁 𝜆𝜆 représente le nombre de désintégrations par unité de temps dans un échantillon contenant N atomes radioactifs.

Au fil du temps N diminue selon une loi exponentielle. En effet : 𝑑𝑑𝑁𝑁= −𝑁𝑁 𝜆𝜆 𝑑𝑑𝑒𝑒 ⇒ 𝑁𝑁(𝑒𝑒) =𝑁𝑁₀𝑒𝑒^{−𝜆𝜆𝜆𝜆} On définit la période radioactive 𝜏𝜏¹

2 d’un radionucléide, encore appelée temps de demi-vie, comme la durée nécessaire à la désintégration de la moitié des atomes radioactifs initialement présents.

𝜏𝜏1

2 = ln(2) Dans le cas de la radioactivité alpha, les valeurs de 𝜏𝜏𝜆𝜆 ¹

2 varient considérablement selon les cas. Pour

84𝑑𝑑𝑜𝑜

212 par exemple, elle vaut 3.10⁻⁷𝑠𝑠 alors que pour ²³²₉₀𝑇𝑇ℎ, on mesure une période de 1, 4.10¹⁰𝑎𝑎𝑛𝑛.

I-4) Energie cinétique des particules

En dehors de la période radioactive définie dans le paragraphe précédent, une autre grandeur accessible à l’expérimentateur est l’énergie cinétique E des particules alpha rayonnées. On observe que les noyaux d’hélium émis par un radioélément donné possèdent tous la même énergie, de l’ordre de 4 à 9MeV selon les cas. Ces valeurs s’interprètent aisément à l’aide d’un bilan énergétique. Rappelons que, d’après la théorie de la relativité d’Einstein, un noyau de masse M au repos possède une énergie égale à Mc². S’il est animé d’une vitesse 𝑣𝑣 ≪ 𝑐𝑐, son énergie totale s’obtient en ajoutant l’énergie cinétique ¹₂𝑚𝑚𝑣𝑣².

Considérons la réaction ^𝐴𝐴_𝑍𝑍𝑋𝑋→ _𝑍𝑍−2^𝐴𝐴−4𝑌𝑌+ ₂⁴𝐻𝐻𝑒𝑒. Le noyau père dans le membre de gauche, supposé au repos, possède une énergie égale à 𝐸𝐸₁ = 𝑀𝑀_𝑋𝑋𝑐𝑐² ; pour le noyau fils et la particule alpha de masse m dans le membre de droite, 𝐸𝐸2 = 𝑀𝑀𝑌𝑌 𝑐𝑐² + 𝑚𝑚𝑐𝑐². La radioactivité alpha correspond au passage vers un état d’énergie inférieure donc 𝐸𝐸₂ < 𝐸𝐸₁. La différence 𝑄𝑄 = 𝐸𝐸₁ − 𝐸𝐸₂représente l’énergie libérée dans la désintégration et se retrouve dans l’énergie cinétique de la particule alpha (E) et celle du noyau fils.

Cette affirmation de bon sens se justifie en exprimant la conservation de l’énergie : 𝐸𝐸₁ = 𝐸𝐸₂ +𝑄𝑄 𝑜𝑜ù 𝑄𝑄 =𝐸𝐸_{𝑐𝑐,𝑌𝑌}+𝐸𝐸

Expérimentalement, c’est de préférence l’énergie cinétique de la particule alpha que l’on mesure car le noyau fils, beaucoup plus lourd, est produit avec une faible vitesse de recul. L’atome père, supposé initialement au repos, possède une quantité de mouvement nulle. Le système étant isolé du reste de l’univers, il en est de même pour l’ensemble formé par la particule alpha et le noyau fils après désintégration :

0�⃗=𝑀𝑀𝑌𝑌𝑣𝑣����⃗𝑌𝑌+𝑚𝑚𝑉𝑉���⃗𝛼𝛼⇒ 𝑉𝑉_𝑌𝑌² =�𝑚𝑚

𝑀𝑀𝑌𝑌�²𝑉𝑉𝛼𝛼2 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑄𝑄 =1

2𝑀𝑀𝑌𝑌𝑉𝑉_𝑌𝑌²+1

2𝑚𝑚𝑉𝑉𝛼𝛼2 = 𝐸𝐸 �1 + 𝑚𝑚 𝑀𝑀𝑌𝑌�

⇒ 𝐸𝐸 = (𝑀𝑀𝑋𝑋− 𝑀𝑀𝑌𝑌− 𝑚𝑚 )𝑐𝑐²×𝐴𝐴 −4

Prenons un exemple numérique. Le thorium 228, de masse 𝐴𝐴 𝑀𝑀_𝑋𝑋 = 228, 02874 𝑜𝑜𝑎𝑎 (ua = unité atomique) se désintègre en radium de masse 𝑀𝑀_𝑌𝑌 = 224, 02021 𝑜𝑜𝑎𝑎 en émettant une particule alpha de masse 𝑚𝑚 = 4,00260 𝑜𝑜𝑎𝑎. On a ici utilisé, comme c’est courant en physique nucléaire, l’unité de masse atomique 𝑜𝑜𝑎𝑎 = 1, 660538.10⁻²⁷ 𝑘𝑘𝑘𝑘. Pour le calcul qui nous occupe, il suffit de savoir que 1𝑜𝑜𝑎𝑎×𝑐𝑐² = 931,5𝑀𝑀𝑒𝑒𝑉𝑉. L’expression ci-dessus conduit à E = 5, 42MeV, ce qui correspond bien à la valeur mesurée.

La vitesse associée vaut 𝑣𝑣= 1, 6.10⁷𝑚𝑚.𝑠𝑠⁻¹= 0, 054 𝑐𝑐, ce qui valide l’hypothèse non relativiste.

I-5) Résultats expérimentaux

Dans l’étude de la radioactivité alpha, l’approche expérimentale a précédé la modélisation théorique. Les demi-vies de différents isotopes radioactifs et l’énergie cinétique de la particule alpha émise ont été mesurées. Le tableau suivant recense différentes valeurs.

On constate que l’énergie cinétique de la particule alpha émise s’échelonne entre 4 et 10 MeV.

On observe aussi que la demi-vie 𝜏𝜏¹

2 semble d’autant plus grande que l’énergie cinétique E est plus faible. Dès 1911, Geiger et Nuttal avaient remarqué cette dépendance et établi la loi empirique :

ln𝜏𝜏1

2 = 𝐴𝐴+ 𝐵𝐵

√𝐸𝐸 𝑜𝑜ù 𝐴𝐴 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝐵𝐵 𝑠𝑠𝑜𝑜𝑛𝑛𝑒𝑒 𝑑𝑑𝑒𝑒𝑜𝑜𝑑𝑑 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑛𝑛𝑠𝑠𝑒𝑒𝑎𝑎𝑛𝑛𝑒𝑒𝑒𝑒𝑠𝑠.

La limite en énergie à 4 Mev et les durées de vie généralement très longues sont expliquées par l’effet

‘tunnel’.

Document 2 : Modèle de Gamow

II-1) Un modèle de la radioactivité alpha (La radioactivité.com)

Le très grand âge des noyaux d'uranium et de thorium qui atteignent des milliards d'années témoigne que les désintégrations alpha se produisent difficilement, bien qu'elles libèrent des millions d'électronvolts d'énergie. Ces noyaux seraient parfaitement stables sans un mécanisme laborieux qui vient à bout des forces nucléaires et déclenche une désintégration. L'effet attractif de la colle nucléaire cesse brutalement hors du noyau. Si quatre nucléons, groupés en une particule alpha, arrivent à perdre le contact avec les autres nucléons, ce groupe ne ressent plus que la répulsion due à la charge électrique du reste du noyau. Il s'en éloigne alors de plus en plus vite pour acquérir l'énergie cinétique de quelques millions d'électronvolts dont il a été question. Le tout est d'arriver à perdre ce contact.

La désintégration alpha du Polonium-212 est celle qui dégage le plus d'énergie, 8,95 MeV. Cette désintégration est pourtant interdite par la mécanique classique. Il est impossible pour une particule alpha de passer de l'intérieur du noyau en A à l'extérieur en B. Elle se retrouve prisonnière au fond d'un « puits » comme le montre la courbe (en gris) qui représente l'énergie potentielle d'interaction entre la particule et le reste du noyau. Pour aller de A en B, la particule doit franchir une zone interdite où son énergie cinétique serait négative. Les zones permises sont le puits où l'attraction nucléaire prédomine, et l'extérieur du puits où la répulsion due à la charge du noyau l'emporte.

II-2) Modèle de Gamow

On doit à un physicien américain d'origine russe, Georges Gamow, la première explication de la désintégration alpha, une désintégration qui n'est pas autorisée par les lois de la physique classique.

En effet, en supposant, comme le fit Gamow à son époque, que la particule alpha préexiste dans le noyau, celle-ci ne peut pas franchir d'un point de vue classique la barrière de potentiel car elle ne possède pas l'énergie nécessaire. Elle se retrouve dans la situation d'un alpiniste, prisonnier d'un cratère, qui n'a plus de forces pour gagner le sommet, passer sur l'autre versant, et dévaler vers la vallée. Celui-ci est considéré sphérique tel que 𝑟𝑟= 𝑟𝑟0×𝐴𝐴¹³ 𝑜𝑜ù 𝑟𝑟0 = 1,2 10⁻¹⁵𝑚𝑚. Pour expliquer l'expulsion de la particule alpha, il faut faire appel à la mécanique quantique : le mécanisme proposé

comme un corpuscule et comme une onde dans le domaine de l'infiniment petit où la mécanique quantique se substitue à la mécanique classique. La résolution de l'équation de Schrödinger donne une densité de probabilité de détection de la particule alpha non nulle à l'extérieur du puits. Sur la figure ci-dessus à droite est représentée en rouge l'allure de la courbe de densité de probabilité. Une onde de probabilité évanescente prend place dans le domaine interdit par la mécanique classique, et sert de raccord aux deux ondes de probabilité des domaines accessibles.

II-3) Approximation WKB

Dans l'approximation de la barrière épaisse, le coefficient de transmission tunnel varie exponentiellement avec la hauteur 𝑉𝑉₀ et la largeur L de la barrière :

𝑇𝑇=16𝐸𝐸(𝑉𝑉₀− 𝐸𝐸)

𝑉𝑉₀² 𝑒𝑒^{−2𝜌𝜌𝜌𝜌} 𝑜𝑜ù 1

𝜌𝜌= ℏ

�2𝑚𝑚(𝑉𝑉₀− 𝐸𝐸)

Les résultats sur le facteur de transmission tunnel T, établis dans l’AD4, doivent être adaptés puisque la barrière a un profil non rectangulaire. En admettant localement l’approximation de barrière épaisse, et l’approximation W.K.B. (Wentzel/Kramer/Brillouin), on trouve : 𝐿𝐿𝑛𝑛 𝑇𝑇= −2∫ 𝜌𝜌𝑑𝑑𝑟𝑟_𝑟𝑟^𝑟𝑟₀^𝑚𝑚

On envisage le profil suivant :

On approche le profil coulombien par une succession de barrières rectangulaires élémentaires de hauteur V(r) et d'épaisseur dr. En supposant ces barrières épaisses, on a :

𝑇𝑇(𝑟𝑟 + 𝑑𝑑𝑟𝑟) = 𝑇𝑇(𝑟𝑟)𝑒𝑒^{−2𝜌𝜌𝜌𝜌𝑟𝑟}~ 𝑇𝑇(𝑟𝑟) (1− 2𝜌𝜌 𝑑𝑑𝑟𝑟)

⇒ 𝑑𝑑𝑇𝑇

𝑇𝑇 =−2𝜌𝜌𝑑𝑑𝑟𝑟

⇒ 𝐿𝐿𝑛𝑛(𝑇𝑇) =−2� 𝜌𝜌𝑑𝑑𝑟𝑟

𝑟𝑟_𝑚𝑚

𝑟𝑟₀

Or la particule alpha soumise à une énergie potentielle résultant des effets suivants :

- Pour |r| ≤ R : la particule est essentiellement soumise à l’interaction forte qui assure la cohésion du noyau. C’est une interaction à très courte portée et qui se limite aux nucléons plus proches voisins, dont le nombre reste à peu près le même, tant que la particule alpha reste dans le noyau. Dans ce modèle, l’énergie d’interaction de la particule alpha est donc constante, indépendante de sa position. On modélise donc l’intérieur du noyau comme un puits de potentiel où la particule alpha est dans un état lié.

- Pour |r|≥R : comme l’interaction forte est à très courte portée, on la suppose inopérante à l’extérieur du noyau. La particule alpha est alors seulement soumise à la répulsion électrostatique exercée par les Z−2 protons restés dans le noyau. D’où :

𝑉𝑉(𝑟𝑟) =𝐾𝐾

𝑟𝑟 =2(𝑍𝑍 −2)𝑒𝑒² 4𝜋𝜋ε₀

⇒ 𝐿𝐿𝑛𝑛(𝑇𝑇) =−2� �2𝑚𝑚 �𝐾𝐾𝑟𝑟 − 𝐸𝐸�

ℏ 𝑑𝑑𝑟𝑟

𝑟𝑟_𝑚𝑚

𝑟𝑟₀

⇒ 𝐿𝐿𝑛𝑛(𝑇𝑇) =−2√2𝑚𝑚 ℏ � �𝐾𝐾

𝑟𝑟 − 𝐸𝐸�

12

𝑑𝑑𝑟𝑟

𝑟𝑟_𝑚𝑚

𝑟𝑟₀

=⇒ 𝐿𝐿𝑛𝑛(𝑇𝑇) =−2√2𝑚𝑚𝐸𝐸

ℏ � �𝐾𝐾

𝑟𝑟𝐸𝐸 −1�^1/2𝑑𝑑𝑟𝑟

𝑟𝑟_𝑚𝑚

𝑟𝑟₀

Posons :

𝑟𝑟𝐸𝐸

𝐾𝐾 = 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠²𝑜𝑜 ⇒ 𝑑𝑑𝑟𝑟=−𝐾𝐾

𝐸𝐸2 sin(𝑜𝑜) cos (𝑜𝑜)𝑑𝑑𝑜𝑜

⇒ 𝐿𝐿𝑛𝑛(𝑇𝑇) =4𝐾𝐾√2𝑚𝑚

ℏ√𝐸𝐸 � 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛²𝑜𝑜 𝑑𝑑𝑜𝑜

𝑢𝑢₂

𝑢𝑢₁

=4𝐾𝐾√2𝑚𝑚

ℏ√𝐸𝐸 � 1−cos(2𝑜𝑜) 2 𝑑𝑑𝑜𝑜

𝑢𝑢₂

𝑢𝑢₁

𝑂𝑂𝑟𝑟 𝐸𝐸 = 𝐾𝐾

𝑟𝑟𝑀𝑀 ⇒ 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠²𝑜𝑜 = 𝑟𝑟 𝑟𝑟𝑀𝑀⇒

⎩⎨

⎧ 𝑜𝑜₁ = 0

𝑜𝑜₂ =𝐴𝐴𝑟𝑟𝑐𝑐𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠 ��𝑟𝑟0

𝑟𝑟_𝑀𝑀�

⇒ 𝐿𝐿𝑛𝑛(𝑇𝑇) =4𝐾𝐾√2𝑚𝑚 ℏ√𝐸𝐸 �𝑜𝑜

2−sin(2𝑜𝑜)

4 �

0 𝑢𝑢₂

=2𝐾𝐾√2𝑚𝑚

ℏ√𝐸𝐸 �𝑜𝑜2−sin(2𝑜𝑜₂)

2 �

Supposons :

𝑟𝑟0

𝑟𝑟𝑀𝑀 ≪1 ⇒

⎩⎪

⎨

⎪⎧ 𝑜𝑜2~𝜋𝜋

2− �𝑟𝑟₀ 𝑟𝑟𝑀𝑀

sin(2𝑜𝑜2) ~2�𝑟𝑟₀ 𝑟𝑟𝑀𝑀

⇒ 𝐿𝐿𝑛𝑛(𝑇𝑇) =2𝐾𝐾√2𝑚𝑚 ℏ√𝐸𝐸 �𝜋𝜋

2−2�𝑟𝑟₀

𝑟𝑟_𝑀𝑀� =2𝐾𝐾√2𝑚𝑚 ℏ√𝐸𝐸 �𝜋𝜋

2−2�𝑟𝑟⁰𝐸𝐸 𝐾𝐾 �

⇒ 𝐿𝐿𝑛𝑛𝑇𝑇= 𝑎𝑎+ 𝑏𝑏

√𝐸𝐸 𝑜𝑜ù

⎩⎪

⎨

⎪⎧𝑎𝑎= −2�2𝑚𝑚𝐾𝐾𝑟𝑟0

ℏ 𝑏𝑏=𝜋𝜋𝐾𝐾√2𝑚𝑚

ℏ

II-4) Lien avec la constante radioactive

Compte tenu de son énergie cinétique, la particule alpha fait des aller-retours dans le noyau et ne cesse de « rebondir » contre la barrière de potentiel. À chaque « collision » sur la barrière de potentiel, la particule alpha a une probabilité T d’être transmise au-delà du noyau. Autrement dit, il lui faut en moyenne ¹_𝑇𝑇 collisions pour sortir du noyau.

Soit 𝜏𝜏_𝐹𝐹 l’intervalle de temps séparant deux tentatives de franchissement. Pendant une durée δt, ces tentatives sont au nombre de 𝑁𝑁_𝐹𝐹 = _𝜏𝜏^δt

𝐹𝐹 et la probabilité dP que l’une d’elles soit couronnée de succès est le complémentaire de celles que toutes échouent :

𝑑𝑑𝑑𝑑= 1−(1− 𝑇𝑇)^{𝑁𝑁𝐹𝐹}~1−1 +𝑁𝑁_𝐹𝐹𝑇𝑇~𝑁𝑁_𝐹𝐹𝑇𝑇~𝑇𝑇δt 𝜏𝜏_𝐹𝐹

𝜆𝜆 = 𝑇𝑇 𝜏𝜏_𝐹𝐹 Or la période radioactive est telle que :

𝜏𝜏1

2 =𝐿𝐿𝑛𝑛2

𝜆𝜆 = 𝐿𝐿𝑛𝑛2𝜏𝜏_𝐹𝐹

𝑇𝑇 ⇒ 𝐿𝐿𝑛𝑛 �𝜏𝜏1

2�= 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑒𝑒𝑒𝑒 − 𝐿𝐿𝑛𝑛(𝑇𝑇) =𝐴𝐴+ 𝐵𝐵

La relation exprimant s’accorde assez bien avec la loi de Geiger-Nuttal et valide les idées √𝐸𝐸 développées par Gamow, Gurney et Condon. S’il est bien sûr possible d’améliorer la modélisation théorique, il n’en reste pas moins que le mérite de ce modèle est de montrer que la radioactivité alpha résulte d’un effet purement quantique : l’effet tunnel. C’est la grande sensibilité de la probabilité de transmission par effet tunnel à la masse et à l’énergie de la particule alpha qui est responsable des variations importantes de la demi-vie des noyaux radioactifs sur plusieurs ordres de grandeur.

De même qu’il est possible qu’une particule alpha s’échappe du noyau par effet tunnel, réciproquement, on peut envisager qu’un proton, par exemple puisse, pénétrer dans un noyau par effet tunnel pour former un nouveau noyau. De fait, l’effet tunnel joue un rôle important dans les réactions nucléaires faisant intervenir des particules chargées.

Questions :

1°) Qu’est-ce qu’une particule alpha ? Écrire le bilan d’une désintégration.

C’est un noyau d’hélium tel que :

𝑍𝑍𝑋𝑋

𝐴𝐴 → _𝑍𝑍−2^𝐴𝐴−4𝑌𝑌+ ₂⁴𝐻𝐻𝑒𝑒 2°) Retrouver le lien entre période radioactive 𝜏𝜏¹

2 et constante radioactive en repartant de la définition de ces grandeurs.

La période radioactive 𝜏𝜏¹

2 est telle que : 𝑁𝑁 �𝜏𝜏¹

2�=^𝑁𝑁₂⁰ 𝑁𝑁(𝑒𝑒) =𝑁𝑁0𝑒𝑒^{−𝜆𝜆𝜆𝜆} ⇒ 1

2 =𝑒𝑒^{−𝜆𝜆𝜏𝜏12} ⇒ 𝜏𝜏1

2 =ln(2) 3°) Combien vaut numériquement le rayon d’un noyau lourd ? 𝜆𝜆

On a pour un noyau la formule empirique suivante :

𝑟𝑟= 𝑟𝑟₀×𝐴𝐴¹³ 𝑜𝑜ù 𝑟𝑟₀ = 1,2 10⁻¹⁵𝑚𝑚 ⇒ 𝑟𝑟₂₀₀= 6,5𝑓𝑓𝑚𝑚 4°) Quelle est la portée de l’interaction forte ?

Elle est faible et elle est de l’ordre du 10 fm.

5°) Justifier que : 𝐸𝐸~(𝑀𝑀𝑋𝑋− 𝑀𝑀𝑌𝑌− 𝑚𝑚 )𝑐𝑐²×^𝐴𝐴−4_𝐴𝐴 On a vu que :

𝑄𝑄 = 1

2𝑀𝑀_𝑌𝑌𝑉𝑉_𝑌𝑌²+1

2𝑚𝑚𝑉𝑉_𝛼𝛼² = 𝐸𝐸 �1 + 𝑚𝑚

𝑀𝑀_𝑌𝑌�= 𝐸𝐸₁− 𝐸𝐸₂ = (𝑀𝑀_𝑋𝑋− 𝑀𝑀_𝑌𝑌− 𝑚𝑚 )𝑐𝑐²

⇒ 𝐸𝐸 = (𝑀𝑀_𝑋𝑋− 𝑀𝑀_𝑌𝑌− 𝑚𝑚 )𝑐𝑐²

�1 + 𝑚𝑚

𝑀𝑀𝑌𝑌� =(𝑀𝑀_𝑋𝑋− 𝑀𝑀_𝑌𝑌− 𝑚𝑚 )𝑐𝑐²

�1 + 4𝐴𝐴 −4� = (𝑀𝑀𝑋𝑋− 𝑀𝑀𝑌𝑌− 𝑚𝑚 )𝑐𝑐²×𝐴𝐴 −4 𝐴𝐴

6°) À l’aide des données numériques fournies dans le tableau, représenter 𝐿𝐿𝑛𝑛 �𝜏𝜏¹

2� =𝑓𝑓 �𝐸𝐸⁻¹²�, en gardant les valeurs numériques de 𝜏𝜏¹

2 en s et celles de E en MeV. Vérifier la concordance avec la loi de Geiger-Nuttal. En déduire une estimation numérique des constantes A et B.

On vérifie : 𝐿𝐿𝑛𝑛 �𝜏𝜏1

2�=𝐴𝐴+ 𝐵𝐵

√𝐸𝐸= −123 +330

√𝐸𝐸

7°) Le neutron fut découvert en 1934 par Chadwick, bien après la publication du modèle théorique de la radioactivité α par Gamow, Gurney et Condon. On sait depuis cette découverte que le noyau est constitué de protons et de neutrons. Quelle hypothèse du modèle de Gamow, Gurney et Condon est remise en cause ?

La découverte du neutron par Chadwick a permis de compléter la détermination de la structure du noyau, dans lequel il n’existe en réalité aucune particule alpha préformée.

8°) Pourquoi dans l’approche WKB, on suppose _𝑟𝑟^𝑟𝑟0

𝑀𝑀 ≪1. Réexpliquer les approximations

𝑟𝑟₀

𝑟𝑟𝑀𝑀 ≪1 ⇒

⎩⎨

⎧ 𝑜𝑜2~^𝜋𝜋₂− �_𝑟𝑟^𝑟𝑟_𝑀𝑀⁰ sin(2𝑜𝑜₂) ~2�_𝑟𝑟^𝑟𝑟0

𝑀𝑀

qu’on est amené à faire.

L’interaction forte étant de l’ordre de quelques fm on a donc : _𝑟𝑟^𝑟𝑟0

𝑀𝑀 ≪1. Or :

⎩⎪

⎪⎨

⎪⎪

⎧ 𝐴𝐴𝑟𝑟𝑐𝑐𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠(𝑑𝑑) =𝜋𝜋

2− 𝑑𝑑+𝑜𝑜(𝑑𝑑)~𝜋𝜋 −2�𝑟𝑟0

𝑟𝑟_𝑀𝑀 sin(2𝑜𝑜₂) ~ sin�𝜋𝜋 −2�𝑟𝑟0

𝑟𝑟_𝑀𝑀�~ sin�2�𝑟𝑟0

𝑟𝑟_𝑀𝑀�~2�𝑟𝑟0

𝑟𝑟_𝑀𝑀