MINISTERE DE L4ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE UNIVERSITE FARHAT ABBES DE SETIF

1

REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE

MINISTERE DE L4ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE UNIVERSITE FARHAT ABBES DE SETIF

FACULTE DES SCIENCES EXACTES DEPARTEMENT DE MATHEMATIQUES

MEMOIRE DE MAGISTER

DOMAINE :MATHEMATIQUES APPLIQUEES

FILIERE :GEOMETRIE ET PROBABILITE NON COMMUTATIVES

Présenté le 24 Juin 2012 par Yasmina Khellaf

Nouvelles méthodes géométriques pour l’étude des géodésiques sous contraintes

Devant le Jury composé de :

M.KRACHNI Maitre de conférences { l’Université de Sétif Président

N.BENSALEM Professeur { l’Université de Sétif Rapporteur

T.BADREDINE Maitre de Conférences { l’Université de Sétif Examinateur

2

SOMMAIRE

Introduction générale……… 4 Chapitre I : Outils pour l’étude des géodésiques sans contraintes ... 6

1- Rappels fondamentaux……….. 6 - Champs de vecteurs

- Métrique riemannienne - Connexion riemannienne - Symboles de Christoffel - Transport parallèle

- Dérivée covariante et courbure - Les géodésiques

1- Exemples……… 19

Chapitre I I: Géodésiques sous contraintes Cas de la variété de Heisenberg……….20 I- Introduction

II- Rappel sur les notions fondamentales 1- Définition du groupe de Heisenberg 2- Définition du groupe commutatif 3- Ecriture de la loi du groupe

4- Détermination de la structure de l’algèbre de Lie

II- Méthode qualitative pour l’étude des géodésiques sous

contrainte……….24

3 II.1- cas du groupe d’Heisenberg

a- Définition de la loi du groupe dans R

b- Détermination des champs de vecteurs

c- Détermination de la 1- forme pour une distribution horizontale d- Détermination de la métrique invariante à gauche

e- Lemme 3.1 f- Corollaire3.2 g- Proposition 3.3 h- Corollaire 3.4 i- Théorème 3.5

II.2- Cas d’une variété d’Heisenberg………29 j- Ecriture des champs de vecteurs

k- Ecriture de la 1-forme

l- Ecriture de la métrique invariante à gauche m- Lemme 3.5

n- Lemme3.7 o- Lemme3.8 p- Théorème 3.9 q- Lemme 3.10 r- Lemme 3.11 s- Théorème3.12

Chapitre III: mise en œuvre sur quelque programmes……….………..38 PARTIE N°1 : cas sous contraintes (sous riemannien)

- Programme N°1 : Détermination de la métrique

- Programme N°2 : Vérification d’un lemme

- Programme N°3 : Détermination de la métrique

4

PARTIE N°2 :cas sans contraintes (cas riemannien)………..46

Conclusion……….. 55

- Annexe I : Approche variationnel……….66

Bibliographie………75

5

REMERCIEMENTS

La production de ce mémoire a bénéficié de la contribution scientifique de nombreuses personnes.

Mon grand respect et ma honnête considération s’adressent à mon encadreur le professeur N. BENSALEM pour m’avoir proposé un sujet fort intéressant et pour m’avoir guidée et encouragée.

Ses qualités humaines et scientifiques se sont avérées essentielles pour l’accomplissement de ce travail.

Je voudrais aussi témoigner ma reconnaissance aux membres du jury MM M. KRACHNI et T.

BADREDINE d’avoir accepté de juger ce mémoire.

Je tiens également à remercier MM les professeurs Y. ABBAOUI et B. MEROUANI pour le savoir qu’ils m’ont prodigué.

C’est pour moi un énorme privilège d’avoir fait partir de l’auditoire pour suivre les

enseignements dispensés par MM BEN CHERIF , ACHACHE et DAOUD

6

INTRODUCTION GENERALE

C’est dans les années 1900 que Ricci et Levi-Civita ont élaboré les fondements du calcul tensoriel. Les notions développées purement théoriques à l’origine ont immédiatement attiré l’attention des grands mathématiciens et physiciens de l’époque. Beaucoup d’aspect ayant rencontré des difficultés de présentation et d’interprétation au départ ont obtenu un immense progrès grâce au calcul tensoriel, ce dernier est devenu entre autre l’un des instruments essentiels de toute la physique théorique moderne et aussi la géométrie différentielle.

Le but fixé dans ce mémoire est d’utiliser ces notions et aussi de la géométrie différentielle pour déterminer les trajectoires optimales (géodésiques) pour quelques problèmes de la géométrie sous-Riemannienne.

Notre travail s’articule autour de trois points essentiels :

- 1

chapitre : Il est consacré au rappel des notions de base essentielles à la compréhension de la géométrie Riemannienne. Il donne le cadre mathématique, volontairement très détaillé, dans lequel se place ce document. Nous définissons la notion de métrique invariante à gauche (à droite), la connexion métrique, le transport parallèle et les opérations classiques qui y sont associées au calcul de la dérivée covariante. Quelques notions du calcul tensoriel sont également fournies.

- 2

chapitre : Il constitue le cœur du travail où nous développons avec beaucoup de détails l’objectif essentiel qui consiste à montrer que pour certaine métrique particulière de Riemann les solutions de l’équation d’Euler-Lagrange écrite avec contraintes sont des géodésiques. Cette métrique sera construite à partir d’une structure de groupe de Heisenberg dans R

.

Il est utile de noter que la méthode en question offre une solution qualitative et met en relief la puissance du calcul tensoriel et le rôle fondamental joué par le tenseur de Ricci.

Enfin nous tacherons de donner la vérification qu’il faut à cette approche en écrivant la dérivée covariante (connexion de Levi-Civita) aux champs de vecteurs et monter qu’ils appartiennent bien à la géodésique en question.

- 3

chapitre : Il est exclusivement consacré à la mise en œuvre de quelques

programmes, c'est-à-dire les programmes écrits avec le logiciel METEMATICA et

MATLAB visant soit la détermination de la métrique invariante à gauche ou

7

éventuellement la vérification des lemmes ayant servis comme calcul intermédiaire pour la résolution de l’équation de Lagrange.

Nous avons volontairement ajouté un annexe qui aborde le calcul

variationnel et qui devrait être un complément logique au calcul tensoriel et permettra

une meilleure compréhension de la partie finale. Nous présenterons la méthode

d’Euler-Lagrange pour le cas sans contraintes et la méthode de Pontryaguine pour le

cas avec contraintes.

8 CHAPITRE I

OUTILS POUR L’ETUDE DES GEODESIQUES SANS CONTRAINTES (CAS RIEMANNIEN)

I- Rappels fondamentaux sur la géométrie riemannienne

I.1- Champ de vecteur

Soit M une variété riemannienne de dimension n, et (U , 𝜙) une carte dans M.

(𝜙: 𝑈 → 𝜙(𝑈) ⊂ ℝ ^𝑛 un homeomorphisme d’un ouvert U de M dans un ouvert 𝜙(𝑈) ⊂ ℝ ^𝑛 ).

Définition 1.1

Une fonction 𝑓: 𝑀 → ℝ est de classe 𝐶 ^∞ (lisse) si pour toute carte (𝑈, 𝜙) dans M, la fonction 𝑔οϕ ⁻¹ : 𝜙(𝑈) → ℝ est lisse (différentiable). L’ensemble de toutes les fonctions lisses dans M est noté F(M).

f(M)= {𝑔: 𝑀 → ℝ/𝑓 ∈ 𝐶 ^∞ }

Définition 1.2

Un vecteur tangent en un point 𝑝 ∈ 𝑀 est l’application 𝑋 𝑝 : 𝐹(𝑀) → ℝ telle que

i) 𝑋 𝑝 est ℝ-linéaire : 𝑋 𝑝 (af + bg) = aX 𝑝 (𝑓) + bX 𝑝 (𝑔) , ∀𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, ∀𝑓, 𝑔 ∈ 𝐹(𝑀) ii) 𝑋 _𝑝 satisfait la règle de Leibnitz

𝑋 _𝑝 (𝑓𝑔) = 𝑋 _𝑝 (𝑓)𝑔(𝑝) + 𝑓(𝑝)𝑋 _𝑝 (𝑔) , ∀𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, ∀𝑓, 𝑔 ∈ 𝐹(𝑀)

L’ensemble de vecteurs tangents dans le point p et sur la variété M est noté par 𝑇 _𝑝 𝑀 , et on l’appelle l’espace tangent en p { M , c’est un espace vectoriel de dimension n (dim M).

Posons : TM = ⋃

𝑝∈𝑀 𝑇 𝑝 𝑀 ,TM est une variété différentiable en dimension 2n, appelé le fibré tangent.

Remarque 1:

9

Il existe une autre notion de l’espace tangent ‘‘l’espace tangent { une courbe’’ : Soit p ∈ 𝑀 ,on s’intéresse aux courbes 𝑐 _𝛼 passant par p de la forme :

𝑐 _𝛼 : ] − 𝜖, 𝜖[→M

𝑡 → 𝑐(𝑡) / c(0)=p

𝑐 ₁ et 𝑐 ₂ sont tangents en p si : - 𝑐 ₁ (0) = 𝑐 ₂ (0) = 𝑝

- Et s’il existe une carte (U, 𝜙 ) en p telle que : ^𝑑

dt (𝜑 ∘ 𝑐 1 )(0) = ^𝑑

dt (𝜑 ∘ 𝑐 2 )(0) . La relation : (𝑐 ₁ est tangent en p) ∼ (𝑐 ₂ est tangent en p) est une relation d’équivalence .

Dans ce contexte, nous définissons un vecteur tangent en p à M comme une classe d’équivalence de courbes tangentes en p.

Remarque 2 :

Une base dans l’espace tangent est donnée par les coordonnées du vecteur tangent ^∂

(∂𝑥

)

:

∂

(∂𝑥 _𝑖 ) _𝑝 (𝑓) = ∂(fοϕ ⁻¹ )

∂𝑢 ^𝑖 𝜙(𝑝)

Tel que 𝜙 = (𝑥 ¹ , . . . , 𝑥 ^𝑛 ) est un système de coordonnées autour du point p et 𝑢 ¹ , . . . , 𝑢 ^𝑛 sont les fonctions des coordonnées dans ℝ ^𝑛 .

Chaque vecteur 𝑣 ∈ 𝑇 _𝑝 𝑀 est écrit comme v = v ^{i ∂}

(∂x

)

i ; 𝑣 ^𝑖 = 𝑣(𝑥 ^𝑖 ) sont les Composantes de v dans le système de coordonnées(𝑥 ¹ , . . . , 𝑥 ^𝑛 ).

Définition 1.3

L’application de 𝐶 ^∞ 𝑋: 𝑀 → ⋃ _𝑝∈𝑀 𝑇 _𝑝 𝑀 qui associe à chaque point 𝑝 ∈ 𝑀 un vecteur 𝑋 _𝑝 dans 𝑇 _𝑝 𝑀 est dite champs de vecteurs.

- L’ensemble de tout les champs de vecteurs dans M est noté par X(M) .

- Dans le système des coordonnées locales ,un champ de vecteur est donné par 𝑋 = ∑𝑋 ^{𝑖 ∂}

∂𝑥

, tel que les composantes 𝑋 ^𝑖 ∈ 𝐹(𝑀) sont données par 𝑋 ^𝑖 = 𝑋(𝑥 ^𝑖 ), 𝑖 = 1, 𝑛

_

.

10

Dessin d’un champs de vecteurs dans 2D

Le programme sera donné par le logiciel MATHEMATICA.8 dans le troisième chapitre.

I.2- Le crochet de Lie

Une opération importante sur les champs de vecteurs est le crochet de Lie : [ , ]: 𝑋(𝑀) × 𝑋(𝑀) → 𝑋(𝑀)

Définie par : [𝑉, 𝑊] = 𝑉𝑊 − 𝑊𝑉 Dans les coordonnées locales ,

[𝑉, 𝑊] = ( ∂𝑊 ^𝑖

∂𝑥 𝑗

𝑉 ^𝑗 − ∂𝑉 ^𝑖

∂𝑥 𝑗

𝑊 ^𝑗 ) ∂

∂𝑥 𝑖 𝑛

𝑖,𝑗 =1

Les propriétés de crochet de Lie : 1) ℝ-bilinéarité :

,aV + bW, 𝑈- = 𝑎,𝑉, 𝑈- + 𝑏,𝑊, 𝑈-, ∀𝑎, 𝑏 ∈ ℝ 2) L’antisymétrie :

[𝑈, 𝑉] = −[𝑉, 𝑈]

3) L’identité de Jacobi :

𝑈, ,𝑉, 𝑊- + 𝑉, ,𝑊, 𝑈- + 𝑊, ,𝑈, 𝑉- = 0

4) [𝑓𝑉, 𝑔𝑊] = fg[𝑉, 𝑊] + 𝑓(𝑉𝑔)𝑊 − 𝑔(𝑊𝑓)𝑉 ∀𝑓, 𝑔 ∈ 𝐹(𝑀)

11

Si le crochet de Lie de deux champs de vecteurs est nul [𝑈, 𝑉] = 0 ,on dit que les deux champs de vecteurs commutent.

Exemple :

Considérons les champs de vecteurs définis dans ℝ ³ :

X = ∂ _𝑥 − 2𝑦 ∂ _𝑧 , Y = ∂ _𝑦 + 2𝑥 ∂ _𝑧 , 𝑍 = ∂ _𝑧 Alors ,X, Y- = −4𝑍 , ,𝑋, 𝑍- = ,𝑌, 𝑍- = 0

Nous remarquons que X et Y ne commutent pas ,et Z commute avec X et avec Y.

I.3- Les 1- Formes :

Soit 𝑇 _𝑝 ^∗ 𝑀 l’espace dual de 𝑇 _𝑝 𝑀 (l’espace cotangent) d’une variété M au point p. Les éléments de 𝑇 _𝑝 ^∗ 𝑀sont appelés les covecteurs. Une 1-forme w dans la variété M est une fonction qui associe de chaque point𝑝 ∈ 𝑀 un covecteur 𝑤 _𝑝 ∈ 𝑇 _𝑝 ^∗ 𝑀 .

La différentielle d’une fonction 𝑓 ∈ 𝐹(𝑀) , définie par (df) _𝑝 (𝑣) = 𝑣(𝑓) , ∀𝑣 ∈ 𝑇 _𝑝 𝑀 dans les coordonnées locales : df = ^∂𝑓

∂𝑥

dx ^𝑖

𝑖

, où dx ^𝑖 est une base dans 𝑇 _𝑝 ^∗ 𝑀 sachant qu’elle est duale à la base { ^∂

∂𝑥

} de 𝑇 _𝑝 𝑀 .

En général , une 1-forme dans les coordonnées locales peut s’écrit comme:

𝑤 = 𝑤 _𝑖 ^𝑖 dx ^𝑖 tel que 𝑤 ^𝑖 = 𝑤( ^∂

∂𝑥

) I.3- Le tenseur métrique et la métrique Riemannienne:

Il est évident en coordonnées cartésiennes rectangulaires que la distance entre deux voisinages (x+dx, y+ dy, z+dz) et (x, y, z) est donnée par :

ds

=dx

+dy

+dz

.

Par extension à un espace de n dimensions, Riemann a définit la distance ds entre deux voisinages x

et x

+dx

(i=1,2 ...n) par la forme quadratique suivante:

ds

=g ₁₁ (dx ¹ ) ² + g ₁₂ dx ¹ dx ² + ⋯ + g _1n dx ¹ dx ⁿ + g ₂₁ dx ² dx ¹ + g ₂₂ (dx ² ) ² + ⋯ + g _2n dx ² dx ⁿ +

⋯ + g _n2 dx ⁿ dx ² + g _n2 dx ⁿ dx ² + ⋯ + g _nn (dx ⁿ ) ² Qui peut s’écrire sous forme compacte :

ds ² = g _ij dx ⁱ dx ^j (i, j = 1,2, . . . n) … (1)

Où 𝐠 _𝐢𝐣 sont des fonctions des coordonnées x

, tel que le déterminant de la matrice g : 𝐠 = 𝐠 _𝐢𝐣 ≠ 𝟎

La forme différentielle quadratique (1) est appelée métrique Riemannienne et l’espace

de dimension n engendré est l’espace Riemannien que l’on notera V

.

12 I.3.1- Théorème :

Le tenseur g

est symétrique d’ordre deux.

Démonstration

Reprenons l’expression (1) de la métrique : ds ² = g _ij dx ⁱ dx ^j (a) Soient x

les coordonnées dans un système de coordonnée X, et x ^{_ i} les coordonnées dans un système de coordonnées Y. Il est évident que :

ds ² = g ij dx ⁱ dx ^j = g ^_ ij dx ^{_ i} dy ^{_ j} (b)

Partant de ce résultat trois étapes sont nécessaires pour donner une démonstration convenable au théorème.

Etape1: contravariance du vecteur dx ⁱ : Si

x ^{_ i} = x ^{_ i} (x ¹ , x ² , . . . x ⁿ )

Alors dx ^{_ i} = ^∂x

_i

∂x

dx ¹ + ^∂x

_i

∂x

dx ² +. . . + ^∂x

_i

∂x

dx ⁿ = ^∂x

_i

∂x

dx ^k

C’est la loi d’ une transformation d’un vecteur covariant , donc dx ⁱ est un vecteur covariant Etape 2 :montrer que g _ij est un tenseur covariant d’ordre deux

Puisque dx ^{_ i} = ^∂x

_i

∂x

dx ^k et dx ^{_ j} = ^∂x

_j

∂x

dx ^l D’après la relation (b):

g _ij dx ⁱ dx ^j = g ^_ _ij ^∂x

_i

∂x

dx ^{k ∂x}

_j

∂x

dx ^l g _ij dx ⁱ dx ^j = g ^_ _ij ^∂x

_i

∂x

∂x

_j

∂x

dx ^k dx ^l g _kl dx ^k dx ^l = g ^_ _ij ^∂x

_i

∂x

∂x

_j

∂x

dx ^k dx ^l Puisque g _ij dx ⁱ dx ^j = g _kl dx ^k dx ^l :

(g _kl − g ^_ _ij ^∂x

_i

∂x

∂x

_j

∂x

)dx ^k dx ^l = 0 Comme dx ^k et dx ^l sont arbitraires :

g _kl − g ^_ _ij ^∂x

_i

∂x

∂x

_j

∂x

= 0, Donc g _kl = g ^_ _ij ^∂x

_i

∂x

∂x

_j

∂x

Ou bien g ^_ _ij = g _kl ^∂x

∂x

_i

∂x

∂x

_j

13 Donc g _ij est un tenseur covariant de rang deux 𝐄𝐭𝐚𝐩𝐞𝟑: 𝐋𝐞 𝐭𝐞𝐧𝐬𝐞𝐮𝐫 𝐠 _𝐢𝐣 𝐞𝐬𝐭 𝐬𝐲𝐦é𝐭𝐫𝐢𝐪𝐮𝐞.

g _ij peut être écrit comme:

g ij = ¹

2 (g ij + g ji ) + ¹

2 (g ij − g ji ) C'est-à-dire sous la forme g _ij = A _ij + B _ij

Où : A _ij = ¹

2 g _ij + g _ji ∶ tenseur symmetrique

B _ij = ¹

2 g _ij − g _ji ∶ tenseur anti − symmetrique (c) Ecrivons encore

g _ij dx ⁱ dx ^j = A _ij + B _ij dx ⁱ dx ^j

g _ij − A _ij dx ⁱ dx ^j = B _ij dx ⁱ dx ^j (d)

Interchangeons les indices dans B _ij dx ⁱ dx ^j ,on obtient B _ij dx ⁱ dx ^j = B _ji dx ⁱ dx ^j

B _ij dx ⁱ dx ^j = −B _ij dx ⁱ dx ^j Ainsi B _ij est antisymétrique

De plus nous avons

B _ij dx ⁱ dx ^j − B _ij dx ⁱ dx ^j = 0 Donc 2B _ij dx ⁱ dx ^j = 0 B _ij dx ⁱ dx ^j = 0 Ainsi à partir de (c) nous tirons

g _ij − A _ij dx ⁱ dx ^j = 0 Ce qui implique que

g ^_ _ij = A _ij

Conclusion : 𝐠 _𝐢𝐣 est un tenseur covariant symétrique d’ordre deux, c’est le tenseur fondamental

I.4- Les symboles de Christoffel:

Les symboles de Christoffel jouent un rôle essentiel en géométrie différentielle et

particulièrement lors des équations aux géodésiques et peuvent être facilement évalués à partir des composantes du tenseur fondamental par la relation suivante

[ij, k] = 1 2 ( ∂g _ij

∂x ^k + ∂g _jk

∂x ⁱ − ∂g _ki

∂x ^j ), (i, j, k = 1,2, . . . n). . . (1) Sont appelées les symboles de Christoffel de premier espèce

Et Γ _ij ^k = g ^kl ,ij, l-,les symboles de Christoffel de second espèce.

On peut par la suite utiliser l’une des deux notations ,ij,k- ou Γ _ijk

Une particularité liée à ces coefficients est traduite par le théorème suivant :

14 I.4.1- Théorème

Les symboles de Christoffel sont symétriques par rapport { l’indice i et j Démonstration

Reprenons l’expression ci-dessus :

,𝐢𝐣, 𝐤- = 𝟏 𝟐 4 𝛛𝐠 _𝐢𝐤

𝛛𝐱 ^𝐣 + 𝛛𝐠 _𝐣𝐤

𝛛𝐱 ^𝐢 − 𝛛𝐠 _𝐢𝐣

𝛛𝐱 ^𝐤 5 Inter changeant i et j

,𝐣𝐢, 𝐤- = 𝟏 𝟐 4 𝛛𝐠 _𝐣𝐤

𝛛𝐱 ^𝐢 + 𝛛𝐠 _𝐢𝐤

𝛛𝐱 ^𝐣 − 𝛛𝐠 _𝐣𝐢

𝛛𝐱 ^𝐤 5 = ^𝟏

𝟐 . ^𝛛𝐠

𝛛𝐱

+ ^𝛛𝐠

𝛛𝐱

− ^𝛛𝐠

𝛛𝐱

/ Puisque 𝐠 _𝐢𝐣 = 𝐠 _𝐣𝐢

Alors : [ji, k] = [ij, k]

Aussi, et d’une manière similaire nous avons pour le cas de seconde espèce : 𝚪 _𝐢𝐣 ^𝐤 = 𝐠 ^𝐤𝐥 [𝐢𝐣, 𝐥]

= 𝐠 ^𝐤𝐥 [𝐣𝐢, 𝐥]

Etant donné que [ij, l] = [ji, l]

Alors : 𝚪 _𝐢𝐣 ^𝐤 = 𝚪 _𝐣𝐢 ^𝐤 .

Le théorème suivant très utile pour le passage d’un tenseur { l’autre mérite d’être cité par une

preuve.

I.4.2- Théorème

(i) [𝐢𝐣, 𝐦] = 𝐠 _𝐤𝐦 𝚪 _𝐢𝐣 ^𝐤

(ii) [𝐢𝐤, 𝐣] + [𝐣𝐤, 𝐢] = ^𝛛𝐠

𝛛𝐱

(iii) ^𝛛𝐠

𝛛𝐱

= −𝐠 ^𝐣𝐥 𝚪 _𝐥𝐤 ^𝐢 − 𝐠 ^𝐢𝐦 𝚪 _𝐦𝐤 ^𝐣 Démonstration

(i)A partir de la composante contra variante tenseur fondamenta nous avons l’expression suivante :

𝚪 _𝐢𝐣 ^𝐤 = 𝐠 ^𝐤𝐥 ,𝐢𝐣, 𝐥-

Multiplions les deux membres par 𝐠 𝐤𝐦 , on trouve 𝐠 _𝐤𝐦 𝚪 _𝐢𝐣 ^𝐤 = 𝐠 _𝐤𝐦 𝐠 ^𝐤𝐥 ,𝐢𝐣, 𝐥-

= 𝛅 _𝐦 ^𝐥 ,𝐢𝐣, 𝐥- 𝐠 _𝐤𝐦 𝐠 ^𝐤𝐥 = 𝛅 _𝐦 ^𝐥 Où 𝛅 _𝐦 ^𝐥 est le symbole de Kronecker c'est-à-dire :

𝛅 _𝐦 ^𝐥 = 1 si k=l

= 0 si k≠l

15 Nous avons en définitive :

𝐠 _𝐤𝐦 𝚪 _𝐢𝐣 ^𝐤 = [𝐢𝐣, 𝐦]

Pour (ii) nous partons de l’expression connue suivante : [𝐢𝐤, 𝐣] = ^𝟏

𝟐 ( ^𝛛𝐠

𝛛𝐱

+ ^𝛛𝐠

𝛛𝐱

− ^𝛛𝐠

𝛛𝐱

). . . (𝐚) Et

[𝐣𝐤, 𝐢] = 𝟏 𝟐 ( 𝛛𝐠 _𝐤𝐢

𝛛𝐱 ^𝐣 + 𝛛𝐠 _𝐣𝐢

𝛛𝐱 ^𝐤 − 𝛛𝐠 _𝐣𝐤

𝛛𝐱 ^𝐢 ). . . (𝐛) L'addition de (a) et (b) conduit à :

,𝐢𝐤, 𝐣- + ,𝐣𝐤, 𝐢- = 𝟏 𝟐 4 𝛛𝐠 _𝐢𝐣

𝛛𝐱 ^𝐤 + 𝛛𝐠 _𝐣𝐢

𝛛𝐱 ^𝐤 5 𝐩𝐮𝐢𝐬𝐪𝐮𝐞 𝐠 _𝐢𝐣 = 𝐠 _𝐣𝐢 [𝐢𝐤, 𝐣] + [𝐣𝐤, 𝐢] = ^𝟏

𝟐 . 𝟐 ^𝛛𝐠

𝛛𝐱

= ^𝛛𝐠

𝛛𝐱

.

Enfin pour le cas (iii)

Puisque g ^ij g _lj = δ _l ⁱ ,et par la différentiation par rapport à x ^k ,on trouve g ^ij ∂g _lj

∂x ^k + g _lj ∂g ^ij

∂x ^k = 0 Multiplions cette équation par g ^lm ,on trouve

g ^lm ∂g _lj

∂x ^k + g ^lm g _lj ∂g ^ij

∂x ^k = 0 g ^lm g _lj ∂g ^ij

∂x ^k = −g ^ij g ^lm ∂g _lj

∂x ^k δ _j ^m ∂g ^ij

∂x ^k = −g ^ij g ^lm *,lk, j- + ,jk, l-+

Puisque ^∂g

∂x

= ,lk, j- + ,jk, l- Nous avons alors :

^∂g

∂x

= −g ^lm {g ^ij [lk, j]} + g ^ij {g ^lm [jk, l]}

^∂g

∂x

= −g ^lm Γ _lk ⁱ − g ^ij Γ _jk ^m Interchangeons m et j, nous obtenons : ^∂g

∂x

= −g ^lj Γ _lk ⁱ − g ^im Γ _mk ^j

Ou bien

16

𝛛𝐠 ^𝐢𝐣

𝛛𝐱 ^𝐤 = −𝐠 ^𝐢𝐣 𝚪 _𝐥𝐤 ^𝐢 − 𝐠 ^𝐢𝐦 𝚪 _𝐦𝐤 ^𝐣 (𝐠 ^𝐥𝐣 = 𝐠 ^𝐣𝐥 ) - Tenseurs particuliers

Et physique ou en électronique (traitement de l’image) les composantes de tenseurs particuliers ont une signification par rapport { une base d’un espace vectoriel qui peut être par exemple l’espace R

ou l’espace de Minkowski.

L’intérêt dans ce paragraphe vise { aborder l’étude de certains teneurs dits de Riemann, de Ricci pour mieux cerner la détermination des géodésiques sous contraintes qui constitue à elle seule une difficulté majeure.

Ceci nous oblige à reprendre certaines opérations effectuées sur les tenseurs pour mieux cerner l’intérêt quant { leur utilisation.

I.5.1- Le tenseur de Riemann - Christoffel :

La détermination de l’expression du tenseur de Riemann-Christoffel est une opération utile qui nous permet de mieux nous familiariser avec cette notion et bien apprécier l’importance des coefficients de Christoffel.

Ecrivons la dérivée covariante d’un tenseur A

par rapport à la composante x

. Soit :

∇ j A i = ∂A _i

∂x ^j − Γ _ij ^α A α … (a) Et

∇ _jk A _i = ^∂∇

^A

∂x

− Γ _ik ^α ∇ _j A _α − Γ _jk ^α ∇ _α A _i = ^∂

∂x

. ^∂A

∂x

− Γ _ij ^α A _α / − Γ _ik ^α . ^∂A

∂x

− Γ _αj ^β A _β / − Γ _jk ^α . ^∂A

∂x

Γ _iα ^γ A _γ /

∇ _jk A _i = ^∂

^A

∂x

∂x

− ^∂Γ

α

∂x

A _α − Γ _ik ^{α ∂A}

∂x

− Γ _ik ^{α ∂A}

∂x

+ Γ _ik ^α Γ _αj ^β A _β Γ _jk ^{α ∂A}

∂x

Γ _jk ^α Γ _iα ^γ A _γ … (b)

Interchangeons les indices j et k dans l’équation (b), on trouve :

∇ _kj A _i = ∂ ² A _i

∂x ^j ∂x ^k − ∂Γ _ik ^α

∂x ^j A _α − Γ _ik ^α ∂A _α

∂x ^j − Γ _ij ^α ∂A _α

∂x ^k + Γ _ij ^α Γ _αk ^β A _β − Γ _ki ^α ∂A _i

∂x ^α + Γ _kj ^α Γ _iα ^γ A _γ … (c) Soustrayons l’équation (c) de (b) :

∇ _jk A _i − ∇ _kj A _i = Γ _ik ^α Γ _rαj ^β A _β − ^∂Γ

α

∂x

A _α − Γ _ij ^α Γ _αk ^β A _β + ^∂Γ

∂x

A _α (d)

Interchangeons les indices α et β dans le premier et le troisième terme de l’équation ci-dessus :

𝛁 _𝐣𝐤 𝐀 _𝐢 − 𝛁 _𝐤𝐣 𝐀 _𝐢 = 6 𝛛𝚪 _𝐢𝐤 ^𝛂

𝛛𝐱 ^𝐣 − 𝛛𝚪 _𝐢𝐣 ^𝛂

𝛛𝐱 ^𝐤 + 𝚪 _𝐢𝐤 ^𝛃 𝚪 _𝛃𝐣 ^𝛂 − 𝚪 _𝐢𝐣 ^𝛃 𝚪 _𝛃𝐤 ^𝛂 7 𝐀 _𝛂 Posons :

𝐑 _𝐢𝐣𝐤 ^𝛂 = 6 𝛛𝚪 _𝐢𝐤 ^𝛂

𝛛𝐱 ^𝐣 − 𝛛𝚪 _𝐢𝐣 ^𝛂

𝛛𝐱 ^𝐤 + 𝚪 _𝐢𝐤 ^𝛃 𝚪 _𝛃𝐣 ^𝛂 − 𝚪 _𝐢𝐣 ^𝛃 𝚪 _𝛃𝐤 ^𝛂 7 (𝐞)

On peut alors écrire :

17

𝛁 𝐣𝐤 𝐀 𝐢 − 𝛁 𝐤𝐣 𝐀 𝐢 = 𝐀 𝛂 𝐑 ^𝛂 _𝐢𝐣𝐤 Le tenseur 𝐑 ^𝛂 _𝐢𝐣𝐤 est de Riemann-Christoffel.

C’est également un tenseur mixte de rang 4 appelé également tenseur de la métrique g

dx

dx

.

α étant arbitraire donc en général :

𝐑 _𝐢𝐣𝐤 ^𝛂 ≠ 𝟎

Remarque 1 :

L’expression (e) ci-dessus peut se mettre sous une forme condensée qui est la différence de deux déterminants :

𝐑 ^𝛂 _𝐢𝐣𝐤 = |

𝛛

𝛛𝐱 ^𝐤

𝛛

𝛛𝐱 ^𝐥 𝚪 _𝐣𝐤 ^𝐢 𝚪 _𝐣𝐥 ^𝐢

| + | 𝚪 _𝛂𝐤 ^𝐢 𝚪 _𝛂𝐥 ^𝐢 𝚪 _𝐣𝐤 ^𝛂 𝚪 _𝐣𝐥 ^𝛂 |

Deux propriétés intéressantes de ce tenseur sont citées ci-dessus par deux théorèmes dont nous donnons les démonstrations.

Remarque 2 :

Dans un espace où les composantes tenseur métrique sont constantes, le tenseur de Riemann est nul et réciproquement :

La première proposition est immédiate car si dans un système de coordonnées 𝛛 _𝛅 𝐠 _𝛍𝛎 = 𝟎 (en toute point) , alors 𝚪 _𝛍𝛎 ^𝛒 = 𝟎 et 𝛛 _𝛅 𝚪 _𝛍𝛎 ^𝛒 = 𝟎 ; donc 𝐑 _𝛔𝛍𝛎 ^𝛒 = 𝟎.

Comme c’est une équation tensorielle, donc la nullité du tenseur de Riemann est une condition nécessaire pour pouvoir trouver un système de coordonnées où les composantes du tenseur métrique 𝐠 _𝛍𝛎 sont constantes partout.

C’est aussi une condition suffisante, bien que ce soit un peu plus difficile de la montrer.

I.5.2- Théorème1

𝐋𝐞 𝐭𝐞𝐧𝐬𝐞𝐮𝐫 𝐝𝐞 𝐜𝐨𝐮𝐫𝐛𝐮𝐫𝐞 𝐑 ^𝛂 _𝐢𝐣𝐤 𝐞𝐬𝐭 𝐚𝐧𝐭𝐢 − 𝐬𝐲𝐦𝐦é𝐭𝐫𝐢𝐪𝐮𝐞.

Démonstration

Reprenons la dernière expression :

𝐑 ^𝛂 _𝐢𝐣𝐤 = |

𝛛

𝛛𝐱 ^𝐣

𝛛

𝛛𝐱 ^𝐤 𝚪 _𝐢𝐣 ^𝛂 𝚪 _𝐢𝐤 ^𝛂

| + | 𝚪 _𝛃𝐣 ^𝛂 𝚪 _𝛃𝐤 ^𝛂 𝚪 _𝐢𝐣 ^𝛃 𝚪 _𝐢𝐤 ^𝛃 |

𝐑 _𝐢𝐣𝐤 ^𝛂 = 𝛛𝚪 _𝐢𝐤 ^𝛂

𝛛𝐱 ^𝐣 − 𝛛𝚪 _𝐢𝐣 ^𝛂

𝛛𝐱 ^𝐤 + 𝚪 _𝛃𝐣 ^𝛂 𝚪 _𝐢𝐤 ^𝛃 − 𝚪 _𝛃𝐤 ^𝛂 𝚪 _𝐢𝐣 ^𝛃 Interchangeons j et k, nous obtenons :

𝐑 _𝐢𝐤𝐣 ^𝛂 = 𝛛𝚪 _𝐢𝐣 ^𝛂

𝛛𝐱 ^𝐤 − 𝛛𝚪 _𝐢𝐤 ^𝛂

𝛛𝐱 ^𝐣 + 𝚪 _𝛃𝐤 ^𝛂 𝚪 _𝐢𝐣 ^𝛃 − 𝚪 _𝛃𝐣 ^𝛂 𝚪 _𝐢𝐤 ^𝛃

18 = − 6 𝛛𝚪 _𝐢𝐤 ^𝛂

𝛛𝐱 ^𝐣 − 𝛛𝚪 _𝐢𝐣 ^𝛂

𝛛𝐱 ^𝐤 + 𝚪 _𝛃𝐣 ^𝛂 𝚪 _𝐢𝐤 ^𝛃 − 𝚪 _𝛃𝐤 ^𝛂 𝚪 _𝐢𝐣 ^𝛃 7 𝐑 _𝐢𝐤𝐣 ^𝛂 = −𝐑 ^𝛂 _𝐢𝐣𝐤

Ce qui prouve que R _ijk ^α est antisymétrique.

I.5.3- Théorème2 :

𝐑 ^𝛂 _𝐢𝐣𝐤 + 𝐑 _𝐣𝐤𝐢 ^𝛂 + 𝐑 _𝐤𝐢𝐣 ^𝛂 = 𝟎 Démonstration

Partant de :

R _ijk ^α =

∂

∂x ^j

∂

∂x ^k Γ _ij ^α Γ _ik ^α

+ Γ _βj ^α Γ _βk ^α Γ _ij ^β Γ _ik ^β C’est { dire

R ^α _ijk = ∂Γ _ik ^α

∂x ^j − ∂Γ _ij ^α

∂x ^k + Γ _βj ^α Γ _ik ^β − Γ _βk ^α Γ _ij ^β Cette expression reste valable quand on permute deux indices, d’où :

R _jki ^α = ∂Γ _ji ^α

∂x ^k − ∂Γ _jk ^α

∂x ⁱ + Γ _βk ^α Γ _ji ^β − Γ _jk ^α Γ _βi ^β et

R _kij ^α = ∂Γ _kj ^α

∂x ⁱ − ∂Γ _ki ^α

∂x ^j + Γ _βi ^α Γ _kj ^β − Γ _ki ^β Γ _βj ^α La somme de ces trois expressions donne :

𝐑 ^𝛂 _𝐢𝐣𝐤 + 𝐑 _𝐣𝐤𝐢 ^𝛂 + 𝐑 _𝐤𝐢𝐣 ^𝛂 = 𝟎 Cette dernière relation est appelée propriété cyclique.

I.5.4- Autres propriétés du tenseur Riemann-Christoffel du premier ordre R

(i) 𝐑 _{𝐣𝐢𝐤𝐥} = −𝐑 _{𝐢𝐣𝐤𝐥} (ii) 𝐑 _{𝐣𝐢𝐥𝐤} = −𝐑 _{𝐣𝐢𝐤𝐥} (iii) 𝐑 _{𝐤𝐥𝐢𝐣} = 𝐑 _{𝐢𝐣𝐤𝐥}

(iv) 𝐑 _{𝐢𝐣𝐤𝐥} + 𝐑 _{𝐢𝐤𝐥𝐣} + 𝐑 _{𝐢𝐥𝐣𝐤} = 𝟎 I.5.5- Le tenseur de Ricci :

Il est souvent utile de considérer les contractions des tenseurs de Riemann. Même métrique pour donner le tenseur de Ricci :

𝑹 _𝛍𝛎 = 𝑹 _𝛍𝛌𝛎 ^𝝀

Notons qu’il ya plusieurs contractions possibles pour un tenseur de courbure formé { partir de

connexion quelconque(pas forcement de Christoffel).

19

Le tenseur de Ricci associé à une connexion métrique est symétrique, du fait de la symétrie du tenseur de Riemann.

I.6- Connexion riemannienne

Sur une variété quelconque , la notion de champs de vecteurs n’a a priori , aucun sens si ,par exemple les composantes 𝑋 ^𝑖 (𝑥) du champ sont constantes dans un certain système de coordonnées locales ,il n’ya aucune raison qu’elles le soient encore dans un autre système.

La notion de connexion apporte un remède partiel à cette difficulté :c’est l’outil infinitésimal permettant de comparer entre eus des vecteurs tangents en deux points différents de la variété M.

Sur une variété riemannienne M il existe une unique application (la connexion riemannienne ou la connexion de Levi-Civita) qui à deux champs de vecteurs X et Y sur M (de classe 𝐶 ^∞ ) associe un champ de vecteurs 𝐶 ^∞ sur M notée ∇ _𝑋 𝑌 ,tel que

(i ) ∇ _𝑋 𝑌 − ∇ _𝑌 𝑋 = ,𝑋, 𝑌-

(ii) 𝑋(≺ 𝑌, 𝑍 ≻) =≺ ∇ _𝑋 𝑌, 𝑍 ≻ +≺ 𝑌, ∇ _𝑋 𝑍 ≻

La preuve d’existence et d’unicité de la connexion s’obtient facilement , on observant que (i) et (ii) entrainent l’égalité

2 ≺ ∇ _𝑋 𝑌, 𝑍 ≻=≺ ,𝑋, 𝑌-, 𝑍 ≻ +≺ ,𝑍, 𝑌-, 𝑋 ≻ +𝑋(≺ 𝑌, 𝑍 ≻) + 𝑌(≺ 𝑍, 𝑋 ≻) − 𝑍(≺ 𝑋, 𝑌 ≻) (a)

Définissons les coefficients 𝛤 _jk ^𝑖 par

∇ _∂

∂ _𝑗 = 𝛤 _jk ^𝑖 ∂ _𝑖

Les 𝛤 _jk ^𝑖 sont des fonctions 𝐶 ^∞ sur 𝛺 , appelés symboles de Christoffel.

Comme ∂ _𝑖 , ∂ _𝑗 = 0 on a 𝛤 _jk ^𝑖 = 𝛤 _kj ^𝑖 d’après (i) .Plus généralement, si 𝑋 = 𝑋 ^𝑖 ∂ _𝑖 𝑒𝑡 𝑌 = 𝑌 ^𝑗 ∂ _𝑗 , on peut alors déduire de (a) les égalités

∇ _𝑋 𝑌 = 𝑋 ^𝑗 ∂ _𝑗 𝑌 ^𝑗 + 𝛤 _jk ^𝑖 𝑋 ^𝑗 𝑌 ^𝑘 ∂ _𝑖 (b) 𝛤 _jk ^𝑖 = ¹

2 𝑔 ^il (∂ _𝑗 𝑔 _kl + ∂ _𝐾 𝑔 _lj − ∂ _𝑙 𝑔 _jk ) (c) Où 𝑔 ^il désigne l’élément { la i-ème ligne et l-ème colonne de la matrice inverse de celle des 𝑔 ij .

La connexion riemannienne est donc entièrement explicitée { l’aide de la métrique.

I.7- Transport parallèle

Déplacer un vecteur en le gardant égal à lui-même tout au long du chemin s’appelle un

transport parallèle. Comme nous allons le voir, le transport parallèle est défini quand

nous avons une connexion. La manipulation intuitive des vecteurs dans un espace plat

s’appuie sur une connexion de Christoffel implicite dans cet espace.

20

Soit 𝑡 → 𝛾(𝑡) , 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑎 un arc paramétré d’une variété riemannienne M (munie de sa connexion de Levi-Civita∇ ).Un champ de vecteurs Y sur M est dit parallèle le long de 𝛾 si ∇ _𝛾

_(𝑡) 𝑌 𝛾(𝑡) = 0 (d)

Cette définition a bien que le champ de vecteurs tangents 𝛾 ^′ (𝑡) ne soit pas a priori défini qu’aux points de l’arc 𝛾 .Soit en effet x(t) =( 𝑥 ^𝑖 (t)) l’écriture de 𝛾 dans une carte 𝜑 de M c.-à-d. : 𝛾(𝑡) = 𝜑(𝑥(𝑡)) l’équation (e) s’écrit d’après (d),

^𝑑

dt .𝑌 ^𝑖 𝑥(𝑡) / + 𝛤 _jk ^𝑖 𝑥(𝑡) ^dx

dt (𝑡)𝑌 ^𝑘 𝑥(𝑡) = 0 (e) Nous pouvons considérer l’équation de transport parallèle comme une équation différentielle du premier ordre

Remarque :

Le transport parallèle conserve le produit scalaire des vecteurs, en particulier le

transport parallèle suivant une connexion compatible avec la métrique, conserve la

norme des vecteurs, l’orthogonalité entre autre.

21

II- De la métrique aux équations du géodésique

- Espace cartésien – Espace curviligne – Métrique d’un espace

L’objectif de cette partie est de présenter les définitions d’espace courbe et de métrique d’un espace afin d’appréhender ces notions.

2.1- Définition d’une surface

Soient (𝑂, 𝑦 ¹ , 𝑦 ² . . . 𝑦 ^𝑁 ) le repère cartésien et (𝑃, 𝑥 ¹ , 𝑥 ² , . . . 𝑥 ^𝑛 ) le repère curviligne.

𝑥 ^𝑘 , 𝑘 ∈ [1, 𝑛] sont les paramètres de la surface de dimension n. Cette surface est déterminée par les N équations de liaison (1)

𝑦 ¹ = 𝑦 ¹ (𝑥 ¹ , 𝑥 ² , … 𝑥 ^𝑛 ) 𝑦 ² = 𝑦 ² (𝑥 ¹ , 𝑥 ² , … 𝑥 ^𝑛 )

(1) 𝑦 ^𝑁 = 𝑦 ^𝑁 (𝑥 ¹ , 𝑥 ² , . . . 𝑥 ^𝑛 )

Il est possible d’écrire N équations de liaison (1) définissant la surface curviligne sous la forme vectorielle présentée en (2) et (3)

𝑟 ^→ = 𝑟(𝑥) ^→ (2)

𝑟 ^→ = 𝑦 ¹ 𝑦 ² . . . 𝑦 ^𝑁

, 𝑥 ^→ = 𝑥 ¹ 𝑥 ² . . . 𝑥 ^𝑛

(3)

Les 𝑟 𝑘

→ ,n vecteurs linéairement indépendants et tangents à la surface de dimension n,sont alors définis par (4)

𝑟 𝑘

→ = ^∂𝑟

→

∂𝑥

, 𝑘 ∈ [1, 𝑛] (4)

Ainsi , ∀𝑘 ∈ [1, 𝑛] , 𝑟 ^→ _𝑘 est tangent à la ligne ’’ 𝑥 ^𝑘 varie et 𝑥 ^{𝜇 ≠𝑘} constant ’’. (𝑟 ^→ ₁ , 𝑟 ^→ ₂ . . . 𝑟 ^→ _𝑛 ) est une base de la surface de dimension n .Les vecteurs 𝑒 ^→ _𝑘 sont maintenant définis par (5) et (6).

𝑒 ^→ _𝑘 = ^𝑟

→

∥𝑟

∥ = ^𝑟

→

𝑕

(5)

22

𝑕 𝑘 =∥ ^∂𝑟

→

∂𝑥

∥ (6) .𝑒 ^→ ₁ , 𝑒 ^→ ₂ … 𝑒 ^→ _𝑛 / est donc une base normée de la surface de dimension n . 2.2- Définition d’une ligne sur une surface, notion de trajet

Soit L une ligne (de dimension 1) de la surface de dimension n.

Cette ligne peut être définie par les n équations paramétriques suivantes : 𝑥 ^𝑘 = 𝑥 ^𝑘 (𝑝) , (𝑘, 𝑝) ∈ [1, 𝑛] × [𝑎, 𝑏] (7) Sous forme vectorielle, elles deviennent :

𝑟 ^→ = 𝑟(𝑥(𝑝)) ^→ (8) ^{𝑑 𝑟}

→

dp = ^∂𝑟

→

∂𝑥

dx

dp 𝑛

𝑘 =1

= 𝑥 ^{. 𝑘} 𝑟 ^→ _𝑘

𝑛

𝑘=1 (9) 𝑑𝑟 ^→ = dx ^𝑘 𝑟 ^→ _𝑘

𝑛 𝑘=1

(10)

𝑑𝑟 ^→ = 𝑕 _𝑘 dx ^𝑘 𝑒 ^→ _𝑘

𝑛

𝑘=1 (11) 2.3- Exemple d’une surface curviligne

Dans(𝑂, 𝑦 ¹ , 𝑦 ² . . . 𝑦 ^𝑁 ) , N=3 et la surface de dimension 2 (n=2) définie par (12) et (13) est considéré.

𝑦 ¹ = ¹

1000 (𝑥 ¹ − 10) ³ 𝑦 ² = ¹

100 (𝑥 ¹ + 𝑥 ² + 10) ² (12) 𝑦 ³ = 1

2 𝑥 ¹ + 𝑥 ²

𝑥 ¹ ∈ ,−10,10-

𝑥 ² ∈ [−10,10] (13) 2.4- Métrique d’un espace

La longueur s de la ligne L pour p variant entre 𝑝 ₁ et 𝑝 ₂ est donnée par l’intégrale suivante S définie par (14)

𝑆 = ∥ ^{∂ 𝑟}

→

∂𝑝 ∥ dp

𝑝

𝑝

(14)

L’intervalle entre deux points infiniment voisins sur la courbe est défini par (15)

23 ds =∥ ^∂𝑟

→

∂𝑝 ∥ dp =∥ 𝑑𝑟 ^→ ∥ (15) En écrivant (16) puis (17),la matrice g définie, c’est la métrique de l’espace curviligne.

ds ² = 𝑑𝑟 ^→ . 𝑑𝑟 ^→ = 𝑕 _𝑗 𝑒 ^→ _𝑗 dx ^𝑗 × 𝑕 _𝑘 𝑒 ^→ _𝑘 dx ^𝑘 = 𝑔 _jk dx ^𝑗 dx ^𝑘 (16) 𝑔 _jk = 𝑕 _𝑗 𝑕 _𝑘 𝑒 ^→ _𝑗 𝑒 ^→ _𝑘 (17) 2.5- Exemple de métrique sur la surface terrestre

Dans (𝑂, 𝑦 ¹ , 𝑦 ² , 𝑦 ³ ) ,N=3 et la surface de dimension 3 ,définie par (18) et (19) est considérée 𝑦 ¹ = 𝑅cosφcosθ

𝑦 ² = 𝑅cosφsinθ (18) 𝑦 ³ = 𝑅sinφ

𝜃 ∈ ,−𝜋, 𝜋- 𝜑 ∈ [− ^𝜋

2 , ^𝜋

2 ] (19)

Dans le cas où R=6380 km,c’est la surface du globe terrestre, supposée sphérique, qui est considérée.

→ 𝑟

et 𝑥 ^→ sont définis par (20)

^→ 𝑟 = : 𝑦 ¹ 𝑦 ² 𝑦 ³

; , 𝑥 ^→ = 𝑥 ¹ 𝑥 ² 𝑥 ³

=4 𝜑 𝜃 𝑅

5 (20)

𝑟 ^→ ₁ , 𝑟 ^→ ₂ , 𝑟 ^→ ₃ sont définis par :

𝑟 1

→ = ^{∂ 𝑟}

→

∂θ =

−𝑅cosφsinθ

−𝑅cosφcosθ 0

, 𝑟 2

→ = ^∂𝑟

→

∂𝜑 =

−𝑅sinφcosθ

−𝑅sinφsinθ 𝑅cosφ

, 𝑟 3

→ = ^∂𝑟

→

∂𝑅 =

cosφcosθ cosφsinθ

sinφ

(21)

𝑑𝑟 ^→ est défini par (22)

𝑑𝑟 ^→ = dθ𝑑𝑟 ₁ ^→ + dφ𝑑𝑟 ^→ ₂ + dR𝑑𝑟 ^→ ₃ (22) 𝑒 ^→ ₁ , 𝑒 ^→ ₂ , 𝑒 ^→ ₃ sont définis par (23)

𝑒 ₁ ^→ = 𝑟 ^→ ₁

∥ 𝑟 ^→ ₁ ∥ 𝑒 ₂ ^→ = ^𝑟

→

∥𝑟

∥ (23) 𝑒 ₃ ^→ = 𝑟 ^→ ₃

∥ 𝑟 ^→ ₃ ∥

24

(𝑒 ^→ ₁ , 𝑒 ^→ ₂ , 𝑒 ^→ ₃ ) est une base normée de la surface de dimension 3 (22) devient (24)

𝑑𝑟 ^→ =∥ 𝑟 ^→ ₁ ∥ dθ 𝑒 ^→ ₁ +∥ 𝑟 ^→ ₂ ∥ dφ 𝑒 ^→ ₂ +∥ 𝑟 ^→ ₃ ∥ dR𝑒 ^→ ₃ (24) 𝑒 ^→ ₁ , 𝑒 ^→ ₂ , 𝑒 ^→ ₃ sont bien orthonormés ,en effet

𝑟 ^→ ₁ . 𝑟 ^→ ₂ =

−𝑅cosφsinθ

−𝑅cosφcosθ 0

.

−𝑅sinφcosθ

−𝑅sinφsinθ 𝑅cosφ

= 0

𝑟 1

→ . 𝑟 3

→ =

−𝑅cosφsinθ

−𝑅cosφcosθ 0

.

cosφcosθ cosφsinθ

sinφ

= 0 (25)

𝑟 ^→ ₂ . 𝑟 ^→ ₃ =

−𝑅sinφcosθ

−𝑅sinφsinθ 𝑅cosφ

.

cosφcosθ cosφsinθ

sinφ

= 0

Nous avons d e l’expression (17)

𝑔 _jk = 𝑕 _𝑗 𝑕 _𝑘 𝑒 ^→ _𝑗 𝑒 ^→ _𝑘 = 𝑟 ^→ _𝑗 . 𝑟 ^→ _𝑘

𝑔 ₁₁ =

−𝑅cosφsinθ

−𝑅cosφcosθ 0

.

−𝑅cosφsinθ

−𝑅cosφcosθ 0

= 𝑅 ² cos ² 𝜑

𝑔 ₂₂ =

−𝑅sinφcosθ

−𝑅sinφsinθ 𝑅cosφ

.

−𝑅sinφcosθ

−𝑅sinφsinθ 𝑅cosφ

= 𝑅 ²

𝑔 ₃₃ =

cosφcosθ cosφsinθ

sinφ .

cosφcosθ cosφsinθ

sinφ

= 1

𝑔 ₁₂ = 𝑔 ₁₃ = 𝑔 ₂₃ = 0 (26) D’où :

𝑔 =

𝑅 ² cos ² 𝜑 0 0

0 𝑅 ² 0

0 0 1

(27)

Pour faciliter les calculs, nous allons utiliser le logiciel mathematica8 (les programmes seront donnés dans la partie 2 du 3

chapitre)

Exemple 2 :

Trouvons les métriques et les composantes 𝐠 _𝐢𝐣 et 𝐠 ^𝐢𝐣 du premier et deuxième tenseur dans un système de coordonnées cylindriques .

Solution

25

Nous allons se contenter de calculer les composantes du tenseur métrique on utilisant le logiciel Mathematica.8 on donnant les programmes détaillés dans le 3

chapitre : Nous avons trouvé :

𝐠 ^_ _𝐢𝐣 = :

𝐠 ^_ _𝟏𝟏 𝐠 ^_ _𝟏𝟐 𝐠 ^_ _𝟏𝟑 𝐠 ^_ _𝟐𝟏 𝐠 ^_ _𝟐𝟐 𝐠 ^_ _𝟐𝟑 𝐠 ^_ _𝟑𝟏 𝐠 ^_ _𝟑𝟐 𝐠 ^_ _𝟑𝟑

; =

𝟏 𝟎 𝟎

𝟎 𝐫 ^𝟐 𝟎

𝟎 𝟎 𝟏

𝐠 ^𝐢𝐣 = :

𝟏 𝟎 𝟎

𝟎 _𝐫 ^𝟏

𝟎

𝟎 𝟎 𝟏

;

Pour faciliter les calculs, nous allons utiliser le logiciel mathematica8 (les programmes seront

donnés dans la partie 2 du 3

chapitre)

26

- Equations d’Euler, et géodésiques d’une métrique associée

La longueur S de la courbe L pour p variant entre p ₁ et p ₂ est donnée par l’intégrale suivant :

𝑺 = ^𝐝𝐬

𝐝𝐩 𝐝𝐩

𝒑

𝒑

(28)

L’intervalle entre deux points infiniment voisins sur la courbe est donné par :

𝐝𝐬 ^𝟐 = 𝒈 _𝐣𝐤 𝐝𝐱 ^𝒋 𝐝𝐱 ^𝒌 (29)

g est la métrique de l’espace curviligne donnée par ( 17)

ainsi, la relation suivante est obtenue

𝐝𝐬 = 𝒈 _𝐣𝐤 𝐝𝐱 ^𝒋 𝐝𝐱 ^𝒌 = 𝒈 _𝐣𝐤 ^𝐝𝐱

𝐝𝐩 𝐝𝐱

𝐝𝐩 𝐝𝐩 (30) (5) devient (7)

𝑺 = 𝒈 _𝐣𝐤 ^𝐝𝐱

𝐝𝐩 𝐝𝐱

𝐝𝐩 𝐝𝐩

𝒑

𝒑

= 𝑔 jk 𝑥 ^{. 𝑗} 𝑥 ^{. 𝑘} dp

𝑝

𝑝

(31)

En mettant en jeu la fonction F définie par (7), la relation (9) est obtenue :

𝑭(𝒙 ^𝟏 , 𝒙 ^𝟐 , . . . 𝒙 ^𝒏 , 𝒙 ^{. 𝟏} , 𝒙 ^{. 𝟐} , . . . 𝒙 ^{. 𝒏} ) = 𝒈 𝐣𝐤 𝒙 ^{. 𝒋} 𝒙 ^{. 𝒌} (32)

𝑺 = 𝑭 𝒙 ^𝟏 , 𝒙 ^𝟐 , . . . 𝒙 ^𝒏 , 𝒙 ^{. 𝟏} , 𝒙 ^{. 𝟐} , . . . 𝒙 ^{. 𝒏} dp (33)

27

Si la fonction F fournit un minimum (relatif) pour S, alors les équations d’Euler (9) sont vérifiées

^𝛛𝑭

𝛛𝒙

− ^𝒅

𝐝𝐩 ( ^𝛛𝑭

𝛛𝒙

) = 𝟎 (34)

En dérivant l’équation (7) par rapport { 𝑥 ^𝑞 et en prenant en compte la relation (5)

^𝛛𝑭

𝛛𝒙

= ^𝟏

𝟐𝒔

𝒙 ^{. 𝒋} 𝒙 ^{. 𝒌} ( ^∂𝑔

∂𝑥

) (35)

Dans l’espace considéré, dit de Riemann, en dérivant l’équation (35) par rapport à 𝑥 ^{. 𝑞} et en prenant en compte (35),les équations suivantes sont obtenues :

𝛛𝑭

𝛛𝒙 ^{. 𝒒} = 𝟏

𝟐𝒔 ^. 𝒈 𝐣𝐤 (𝜹 _𝒒 ^𝒋 𝒙 ^{. 𝒌} + 𝜹 𝒒 𝒌 𝒙 ^{. 𝒋} ) ^𝛛𝑭

𝛛𝒙

= ^𝟏

𝟐𝒔

𝒈 _𝐣𝐤 (𝒈 _𝐪𝐤 𝒙 ^{. 𝒌} + 𝒈 _𝐣𝐪 𝒙 ^{. 𝒋} ) (36)

Comme la métrique est symétrique :

^𝛛𝑭

𝛛𝒙

= ^𝟏

𝒔

𝒈 _𝐣𝐪 𝒙 ^{. 𝒋} (37)

En considérant les équations (10) et (12),la relation suivante est obtenue en multipliant (38) par -1 :

^𝒅

𝐝𝐩 ( ^𝒈

^𝒙

𝒔

) − ^𝟏

𝟐𝒔

( ^𝛛𝒈

𝛛𝒙

)𝒙 ^𝒋 𝒙 ^𝒌 = 𝟎 (39)

𝒔 ^{. 𝒅}

𝐝𝐩 ( ^𝒈

^𝒙

. 𝒋

𝒔

) − ^𝟏

𝟐 ( ^𝛛𝒈

𝛛𝒙

)𝒙 ^{. 𝒋} 𝒙 ^{. 𝒌} = 𝟎 𝒔 ^. [ ^𝒅

𝐝𝐩 ( ^𝒈

^𝒙

. 𝒋

𝒔

)] − ^𝟏

𝟐 ( ^𝛛𝒈

𝛛𝒙

)𝒙 ^{. 𝒋} 𝒙 ^{. 𝒌} = 𝟎

28 𝒔 ^. [ ^𝒅

𝐝𝐩 (𝒈 _𝐣𝐪 ) ^𝒙

𝒔

+ 𝒈 _𝐣𝐪 ^𝒅

𝐝𝐩 ( ^𝒙

𝒔

)] − ^𝟏

𝟐 ( ^𝛛𝒈

𝛛𝒙

)𝒙 ^{. 𝒋} 𝒙 ^{. 𝒌} = 𝟎 (40) ^𝒅

𝐝𝐩 (𝒈 _𝐣𝐪 )𝒙 ^{. 𝒋} + 𝒈 _𝐣𝐪 𝒙 ^{.. 𝒋} − ^𝟏

𝟐 ( ^𝛛𝒈

𝛛𝒙

)𝒙 ^{. 𝒋} 𝒙 ^{. 𝒌} = 𝒈 _𝐣𝐪 𝒙 ^{. 𝒋 𝒔}

..

𝒔

^𝛛𝒈

𝛛𝒙

𝒙 ^{. 𝒋} 𝒙 ^{. 𝒌} + 𝒈 _𝐣𝐪 𝒙 ^{.. 𝒋} − ^𝟏

𝟐 ( ^𝛛𝒈

𝛛𝒙

)𝒙 ^{. 𝒋} 𝒙 ^{. 𝒌} = 𝒈 _𝐣𝐪 𝒙 ^{. 𝒋 𝒔}

..

𝒔

Si la métrique est symétrique la relation (41) est vérifiée et la relation (42) est obtenue.

𝒈 _𝐣𝐪 = 𝒈 _𝐪𝐣 (41)

^𝛛𝒈

𝛛𝒙

𝒙 ^{. 𝒋} 𝒙 ^{. 𝒌} = ^𝟏

𝟐 ( ^𝛛𝒈

𝛛𝒙

𝒙 ^{. 𝒋} 𝒙 ^{. 𝒌} + ^𝛛𝒈

𝛛𝒙

𝒙 ^{. 𝒋} 𝒙 ^{. 𝒌} )

^𝛛𝒈

𝛛𝒙

𝒙 ^{. 𝒋} 𝒙 ^{. 𝒌} = ^𝟏

𝟐 ( ^𝛛𝒈

𝛛𝒙

𝒙 ^{. 𝒋} 𝒙 ^{. 𝒌} + ^𝛛𝒈

𝛛𝒙

𝒙 ^{. 𝒌} 𝒙 ^{. 𝒋} ) (42)

^𝛛𝒈

𝛛𝒙

𝒙 ^{. 𝒋} 𝒙 ^{. 𝒌} = ^𝟏

𝟐 ( ^𝛛𝒈

𝛛𝒙

+ ^𝛛𝒈

𝛛𝒙

)𝒙 ^{. 𝒋} 𝒙 ^{. 𝒌}

La relation (42) devient alors (43).

^𝟏

𝟐 ( ^𝛛𝒈

𝛛𝒙

+ ^𝛛𝒈

𝛛𝒙

)𝒙 ^{. 𝒋} 𝒙 ^{. 𝒌} + 𝒈 _𝐪𝐣 𝒙 ^{.. 𝒋} − ^𝟏

𝟐 ( ^𝛛𝒈

𝛛𝒙

)𝒙 ^{. 𝒋} 𝒙 ^{. 𝒌} = 𝒈 _𝐣𝐪 𝒙 ^{. 𝒋 𝒔}

..

𝒔

(43) 𝒈 _𝐪𝐣 𝒙 ^{.. 𝒋} + ^𝟏

𝟐 ( ^𝛛𝒈

𝛛𝒙

+ ^𝛛𝒈

𝛛𝒙

− ^𝛛𝒈

𝛛𝒙

)𝒙 ^{. 𝒋} 𝒙 ^{. 𝒌} = 𝒈 _𝐣𝐪 𝒙 ^{. 𝒋 𝒔}

..

𝒔

Si le paramètre p est proportionnel à l’abscisse curviligne s (voir (44)),l’équation (42)devient (44).

𝒔 ^. = 𝝀, 𝝀 ∈ ℝ

29

𝒔 ^.. = 0 (44)

𝒈 𝐪𝐣 𝒙 ^{.. 𝒋} + ^𝟏

𝟐 ( ^𝛛𝒈

𝛛𝒙

+ ^𝛛𝒈

𝛛𝒙

− ^𝛛𝒈

𝛛𝒙

)𝒙 ^{. 𝒋} 𝒙 ^{. 𝒌} = 0 (45)

L’expression (45) peut être simplifiée en utilisant le symbole de Christoffel du second genre, défini par (46).

𝜞 _𝐣𝐤 ^𝒍 = ^𝟏

𝟐 𝒈 ^𝐥𝐪 ( ^𝛛𝒈

𝛛𝒙

+ ^𝛛𝒈

𝛛𝒙

− ^𝛛𝒈

𝛛𝒙

) (46)

la relation (46) est multipliée par 𝒈 ^𝐥𝐪 pour donner (47).

𝒈 ^𝐥𝐪 𝒈 𝐪𝐣 𝒙 ^{.. 𝒋} + ^𝟏

𝟐 𝒈 ^𝐥𝐪 ( ^𝛛𝒈

𝛛𝒙

+ ^𝛛𝒈

𝛛𝒙

− ^𝛛𝒈

𝛛𝒙

)𝒙 ^{. 𝒋} 𝒙 ^{. 𝒌} = 𝟎 (47)

Soit encore, en utilisant les symboles de Christoffel :

𝒈 ^𝐥𝐪 𝒈 _𝐪𝐣 𝒙 ^{.. 𝒋} + 𝜞 _𝐣𝐤 ^𝒍 𝒙 ^{. 𝒋} 𝒙 ^{. 𝒌} = 𝟎 (48)

Si (41) est vérifiée alors (50) est obtenue.

𝒈 ^𝐥𝐪 𝒈 _𝐪𝐣 = 𝜹 _𝒋 ^𝒍 (50)

𝒙 ^{.. 𝒋} + 𝜞 _𝐣𝐤 ^𝒍 𝒙 ^{. 𝒋} 𝒙 ^{. 𝒌} = 𝟎 (51)

Donc , si la longueur de la courbe L pour p variant entre 𝒑 _𝟏 et 𝒑 _𝟏 est minimale, et de plus , si 𝒈 est symétrique ,inversible et que le paramètre considéré est proportionnel { l’abscisse

curviligne, alors les équations d’Euler-Lagrange se confondent avec les équations des

géodésiques (24).

30

- Exemples sur des géodésiques dans les surfaces de dimension 2 dans ℝ ^𝟑 :

Exemple1 : géodésique sur la sphère : 1- Para métrisation :

𝐟: ,𝟎, 𝛑- ⨯ ,𝟎, 𝟐𝛑- → 𝐒 ^𝟐 , 𝐟(𝛉, 𝛟) → (𝐬𝐢𝐧𝛉𝐜𝐨𝐬𝛟, 𝐬𝐢𝐧𝛉𝐬𝐢𝐧𝛟, 𝐜𝐨𝐬𝛉) 2- Le tenseur métrique :

𝐠 = . 𝟏 𝟎

𝟎 𝐬𝐢𝐧 ^𝟐 𝛉 / 3- Les symboles de Christoffel :

𝜞 [1, 2,2]=-cos 𝛉 sin 𝛉 𝜞 [2, 2,1]=-cot 𝛉

4- L’équation de géodésique :

𝛉 ^.. (𝐭) = 𝐜𝐨𝐬𝛉𝐬𝐢𝐧𝛉𝛟 ^{. 𝟐} (𝐭) 𝛟 ^.. (𝐭) = ^−𝟐

𝐭𝐚𝐧𝛉 𝛟 ^. (𝐭)𝛉 ^. (𝐭).

I.9- Exemples sur des géodésiques dans les surfaces de dimension 2 dans ℝ ^𝟑 : Exemple1 : géodésique sur la sphère :

5- Para métrisation :

𝐟: ,𝟎, 𝛑- ⨯ ,𝟎, 𝟐𝛑- → 𝐒 ^𝟐 , 𝐟(𝛉, 𝛟) → (𝐬𝐢𝐧𝛉𝐜𝐨𝐬𝛟, 𝐬𝐢𝐧𝛉𝐬𝐢𝐧𝛟, 𝐜𝐨𝐬𝛉) 6- Le tenseur métrique :

𝐠 = . 𝟏 𝟎

𝟎 𝐬𝐢𝐧 ^𝟐 𝛉 / 7- Les symboles de Christoffel :

𝜞 [1, 2,2]=-cos 𝛉 sin 𝛉 𝜞 [2, 2,1]=-cot 𝛉

8- L’équation de géodésique :

𝛉 ^.. (𝐭) = 𝐜𝐨𝐬𝛉𝐬𝐢𝐧𝛉𝛟 ^{. 𝟐} (𝐭) 𝛟 ^.. (𝐭) = ^−𝟐

𝐭𝐚𝐧𝛉 𝛟 ^. (𝐭)𝛉 ^. (𝐭).