Méthode qualitative pour l’étude de géodésique avec contraintes

II.1- première application ‘ Le cas du groupe de Heisenberg ‘ : Soit la dynamique décrite par le Lagrangien suivant

𝐋 =𝟏

𝟐𝛟^. (𝐬)^𝟐− 𝛌 .𝐰𝛟^.(𝐬)/^𝟐 (𝟏. 𝟓)

Cette expression traduit la différence entre l’énergie cinétique et l’énergie potentielle : 𝛌 est une constante , et w est une 1-forme choisie tel que la solution de l’équation d’Euler-Lagrange associe à L soit une géodésique pour certaine métrique à déterminer.

La méthode proposée par Ovidiu s’articule autour des points suivants : 2.1- Lemme :

Si 𝑅_ij^(𝜆) sont les composantes d’un tenseur de Ricci par rapport { la métrique 𝑕_ij^(𝜆)dans 𝐻¹ alors 𝑅_ij^(𝜆) = 8λh_ij^(−𝜆) (1.6)

Démonstration

Calculons les composantes du tenseur de Ricci par le logiciel Mathematica 8 :

𝑅[1,1] 8𝜆(1 − 4𝑦²𝜆) 𝑅[2,1] 32𝑥𝑦𝜆² 𝑅[2,2] 8𝜆(1 − 4𝑥²𝜆) 𝑅[3,1] −16𝑦𝜆² 𝑅[3,2] 16𝑥𝜆²

𝑅[3,3] −8𝜆²

D’autre part, remplaçant 𝜆 par – 𝜆 dans l’expression de la métrique précédente 𝑕_ij^(𝜆) :

𝑕_ij^(−𝜆)= :

1 − 4λy² 4λxy 2λy

4λxy 1 − 4λx² −2λx

2λy −2λx −𝜆

;

L’application du lemme fournit les mêmes composantes du tenseur de Ricci :

41 Exemple : 𝑅₁₁ = 8λh₁₁^(−𝜆)

= 8𝜆(1 − 4λy²) = 8𝜆 − 32𝜆²𝑦² 𝑅₂₂ = 8λh₂₂^(−𝜆) = 8(1 − 4λx²) = 8𝜆 − 32𝜆²𝑥² 2.2- Corollaire :

Si 𝜑 est une courbe horizontale, alors

𝑅^(𝜆)(𝜑^., 𝜑^.) = 8𝜆|𝜑^.|², Tel que |𝜑^.|²= 𝑕^(𝜆)(𝜑^., 𝜑^.) ne dépend pas de 𝜆.

Démonstration :

Si 𝜑 est une courbe horizontale, donc 𝜑^. = 𝑥^.𝑋₁+ 𝑦^.𝑋₂, 𝑕^(𝜆)(𝜑^., 𝜑^.) = |𝜑^.|² =< 𝜑^., 𝜑^. >

=< 𝑥^.𝑋₁+ 𝑦^.𝑋₂, 𝑥^.𝑋₁+ 𝑦^.𝑋₂>

= 𝑥^{. 2}< 𝑋₁, 𝑋₁> +𝑥^.𝑦^. < 𝑋₁, 𝑋₂> +𝑦^.𝑥^. < 𝑋₂, 𝑋₁> +𝑦^{. 2} < 𝑋₂, 𝑋₂>

= 𝑥^{. 2}+ 𝑦^{. 2}. Donc on a : 𝑕^(𝜆)(𝜑^., 𝜑^.) = 𝑕^(−𝜆)(𝜑^., 𝜑^.) = 𝑥^{. 2}+ 𝑦^{. 2} On remarque que 𝑕^(𝜆)(𝜑^., 𝜑^.) ne dépend pas du 𝜆

Du lemme (3.1) on obtient :

𝑅^(𝜆)(𝜑^., 𝜑^.) = 8λh^(−𝜆)(𝜑^., 𝜑^.) = 8𝜆|𝜑^.|². 2.3- Proposition :

Pour tout champ de vecteur V on a :

𝑅^(𝜆)(𝑉, 𝑉) = 8𝜆 𝑕^(𝜆)(𝑉, 𝑉) − 2λw(𝑉)² (1.7) Démonstration :

En utilisant la métrique𝑕_ij^(−𝜆), nous pouvons écrire :

42

𝑕_ij^(−𝜆)= 𝑕_ij^(𝜆)+ 2λKij (1.8) Tel que

𝐾_ij = :

−4𝑦² 4xy 2𝑦

4xy −4𝑥² −2𝑥

2𝑦 −2𝑥 −1

; (1.9)

On a alors

𝐾(𝑉, 𝑉) = −4𝑦²𝑣₁²+ 4xyv₁𝑣₂+ 2yv₁𝑣₃+ 4xyv₂𝑣₁− 4𝑥²𝑣₂²− 2𝑥𝑣₂𝑣₃+ 2yv₃𝑣₁− 2xv₃𝑣₂

− 𝑣₃²

= −4𝑦²𝑣₁²− 4𝑥²𝑣₂²− 𝑣₃²+ 8xyv₁𝑣₂+ 4yv₁𝑣₃− 4xv₂𝑣₃

= −(4𝑦²𝑣₁²+ 4𝑥²𝑣₂²+ 𝑣₃²− 8xyv₁𝑣₂− 4yv₁𝑣₃+ 4xv₂𝑣₃) = −(𝑣₃− 2yv₁+ 2xv₂)²

= −𝑤(𝑉)². (1.10) Donc

𝑕^(−𝜆)(𝑉, 𝑉) = 𝑕^(𝜆)(𝑉, 𝑉) − 2λw(𝑉)² Du lemme (2.1), on a : 𝑅_ij^(𝜆) = 8λh_ij^(−𝜆)

Alors : 𝑅^(𝜆)(𝑉, 𝑉) = 8λh^(−𝜆)(𝑉, 𝑉)

= 8𝜆 𝑕^(𝜆)(𝑉, 𝑉) − 2λw(𝑉)² . (1.11) 2.4- Corollaire

Les deux actions ∫ 𝑅^(𝜆).𝜙^.(𝑠), 𝜙^.(𝑠)/ ⅆ𝑠 et ∫ ¹

2𝜙^.(𝑠)²− 𝜆 .𝑤𝜙^.(𝑠)/²ⅆ𝑠 ,par rapport à la métrique 𝑕^(𝜆) atteignent les extremum d’une même fonction 𝜑: ,0,1- → ℝ³.

En particulier, les extremums seront des géodésiques dans la métrique avec les coefficients 𝑅_ij^(𝜆). Il est intéressant de noter que, même si le Lagrangien (1.1) a des contraintes non-holonomiques les courbes minimales se comportent encore comme des géodésiques dans une certaine

métrique.

Démonstration :

43 Nous avons de la proposition (2.3)

𝑅^(𝜆).𝜙^.(𝑠), 𝜙^.(𝑠)/ = 8𝜆 𝑕^(𝜆).𝜙^.(𝑠), 𝜙^.(𝑠)/ − 2λw .𝜙^.(𝑠)/²

= 8𝜆 𝜙^.(𝑠)²− 2λw .𝜙^.(𝑠)/² = 16𝜆 1

2𝜙^.(𝑠)²− λw .𝜙^.(𝑠)/²

Donc : ∫ 𝑅^(𝜆).𝜙^.(𝑠), 𝜙^.(𝑠)/ ⅆ𝑠 ≃ ∫ ¹

2𝜙^.(𝑠)²− 𝜆(𝑤𝜙^.(𝑠))²ⅆ𝑠

Donc les deux actions atteignent les extrêmes d’une même fonction 𝜑: ,0,1- → ℝ³ dans la métrique considérée 𝑕^(𝜆).

Nous énonçons sans démonstration le théorème suivant mais qui sera prouvé indirectement par la suite :

2.5- Théorème

L’équation d’Euler-Lagrange pour le Lagrangien (1.5) s’écrit :

∇_𝜑^.𝜑^. = 0 (1.12) Tel que ∇_∂𝑖∂_𝑗 = 𝛤_ij^𝑘∂_𝑘 , où les coefficients 𝛤_ij^𝑘 sont données par 𝛤_ij^𝑘 =¹

2𝑔^{ks ∂𝑔is}

∂𝑥_𝑗 +^∂𝑔js

∂𝑥_𝑖 −^∂𝑔ij

∂𝑥_𝑠 . (1.13)

II.2- Deuxième application :cas d’une variété d’Heisenberg Nous allons considérer le cas général pour lequel le Lagrangien s’écrit :

𝐿 =1

2(( 𝜑^.(𝑠) )²)_𝑕(𝜆)− 𝜆 .𝑤 𝜑^.(𝑠) /²+ 𝜉 𝜙^. 𝑤 𝜙^. , a- Ecriture des champs de vecteur :

𝑋₁= ∂_𝑥 + 𝐴₁(𝑦) ∂_𝑧 , 𝑋₂= ∂_𝑦− 𝐴₂(𝑥) ∂_𝑧 (1.14) Les 𝐴_𝑖(. ) étant des fonctions lisses.

b- Ecriture de la 1-forme :

On démontre facilement que w s’écrit :

𝑤 = dz − 𝐴₁(𝑦)dx + 𝐴₂(𝑥)dy (1.15) c- Ecriture de la métrique covariante :

Les champs de vecteurs 𝑋₁, 𝑋₂,^∂𝑡

𝜆 sont orthonormaux, Cette propriété nous permet d’écrire la métrique covariante 𝑕_ij^(𝜆) :

44

On a la normalité des champs de vecteur qui se traduit par :

〈𝑋₁, 𝑋1〉 = 𝑕₁₁+ 2𝐴1(𝑦)𝑕₁₃+ 𝐴12(𝑦)𝑕₃₃ = 1

〈𝑋₂, 𝑋2〉 = 𝑕₂₂− 2𝐴2(𝑥)𝑕₂₃+ 𝐴22(𝑥)𝑕₃₃ = 1

〈𝑋₃, 𝑋₃〉 =1

𝜆𝑕₃₃ = 1 La troisième équation donne : 𝑕₃₃ = 𝜆.

L’orthogonalité des champs de vecteur s’écrit :

〈𝑋₁, 𝑋₂〉 = 𝑕₁₂− 𝐴₂(𝑥)𝑕₁₃+ 𝐴₁(𝑦)𝑕₃₂− 𝐴₁(𝑦)𝐴₂(𝑥)𝑕₃₃ = 0

〈𝑋₁, 𝑋₃〉 = 1

𝜆𝑕₁₃+𝐴₁(𝑦)

𝜆 𝑕₃₃ = 0

〈𝑋₂, 𝑋₃〉 = 1

𝜆𝑕₂₃+𝐴₂(𝑥)

𝜆 𝑕₃₃ = 0

Donc : 𝑕13 = −λA1(𝑦)

Remplaçant 𝑕₃₃ par sa valeur dans la 1ére équation :

𝑕₁₁ = 1 + 𝜆𝐴₁²(𝑦) Et 𝑕₂₃ = λA₂(𝑥) Remplaçant 𝑕₂₃ par sa valeur dans la 2^ème équation :

𝑕₂₂ = 1 + 𝜆𝐴₂²(𝑥) 𝑕₁₂ = −λA₁(𝑦)𝐴₂(𝑥)

Donc

𝑕_ij^(𝜆)= :

1 + 𝜆𝐴12(𝑦) −λA1(𝑦)𝐴₂(𝑥) −λA₁(𝑦)

−λA₁(𝑦)𝐴₂(𝑥) 1 + 𝜆𝐴₂²(𝑥) λA₂(𝑥)

−λA₁(𝑦) λA₂(𝑥) 𝜆

; (1.16)

d- Choix d’une autre 1- forme :

Pour généraliser la méthode et garder la forme quadratique de Lagrangien ,nous posons : 𝜂 = 𝐴₂^″dy − 𝐴₁^″dx (1.17)

e- Posons 𝐴1′ =^dA_dy¹ , 𝐴2′ =^dA_dx².

Le résultat qui suit est une généralisation de ce qui précède.

45

On peut en déduire facilement les composantes du tenseur de Ricci : 𝑅₁₁ = 𝑅𝑕₁₁^(−𝜆)+𝜆

46

Pour vérifier ces résultats, nous avons écrit un programme sur Mathematica 8 pour la

détermination des composantes non nulles du tenseur de Ricci .Nous avons obtenu les valeurs suivantes :

"R[1, 1]" −1

2𝜆((−1 + 𝜆𝑓[𝑦]²)𝑓^′[𝑦]²− 2(−1 + 𝜆𝑓[𝑦]²)𝑓^′[𝑦]𝑔^′[𝑥] + (1 + 𝜆𝑓[𝑦]²)𝑔^′[𝑥]²− 2𝑓[𝑦]𝑓^′′[𝑦])

"R[2, 1]" 1

2𝜆(−𝑔[𝑥]𝑓^′′[𝑦] + 𝑓[𝑦](𝜆𝑔[𝑥](𝑓^′[𝑦] − 𝑔^′[𝑥])²− 𝑔^′′[𝑥]))

"R[2, 2]" −1

2𝜆((1 + 𝜆𝑔[𝑥]²)𝑓^′[𝑦]²− 2(−1 + 𝜆𝑔[𝑥]²)𝑓^′[𝑦]𝑔^′[𝑥] + (−1 + 𝜆𝑔[𝑥]²)𝑔^′[𝑥]²− 2𝑔[𝑥]𝑔^′′[𝑥])

"R[3, 1]" 1

2𝜆(𝜆𝑓[𝑦](𝑓^′[𝑦] − 𝑔^′[𝑥])²− 𝑓^′′[𝑦])

"R[3, 2]" 1

2𝜆(−𝜆𝑔[𝑥](𝑓^′[𝑦] − 𝑔^′[𝑥])²+ 𝑔^′′[𝑥])

"R[3, 3]" −1

2𝜆²(𝑓^′,𝑦- − 𝑔^′,𝑥-)² Le scalaire de Ricci :

R = ¹

2𝜆(𝑓^′[𝑦] + 𝑔^′[𝑥])² 2.7- Lemme :

Considérons la courbe 𝜙(𝑠) = (𝑥(𝑠), 𝑦(𝑠), 𝑧(𝑠)),alors

𝑄 𝜙^., 𝜙^. = 2 𝐴₂^″𝑦^.(𝑠) − 𝐴₁^″𝑥^.(𝑠) 𝑧^.(𝑠) − 𝐴₁𝑥^.(𝑠) + 𝐴₂𝑦^.(𝑠) = 2𝜂 𝜙^. 𝑤 𝜙^. (1.21)

Démonstration :

Soit 𝜙^.(𝑠) = 𝑥^.(𝑠)𝑋₁+ 𝑦^.(𝑠)𝑋₂+ 𝑧^.(𝑠) ∂_𝑡 un champ de vecteur tangent On peut alors écrire facilement :

𝑄 𝜙^., 𝜙^. = 2𝐴₁^″𝐴₁𝑥^{. 2}+ 2𝐴₂𝐴₂^″𝑦^{. 2}− 2(𝐴₁^″𝐴₂+ 2𝐴₁𝐴₂^″)𝑥^.𝑦^. − 2𝐴₁^″𝑥^.𝑧^. + 2𝐴₂^″𝑦^.𝑧^.

= (𝐴₂𝑦^. − 𝐴₁𝑥^.)(2𝐴₂^″𝑦^. − 2𝐴₁^″𝑥^.) + 𝑧^.(2𝐴₂^″𝑦^. − 2𝐴₁^″𝑥^.)

= (2𝐴₂^″𝑦^. − 2𝐴₁^″𝑥^.)(𝐴₂𝑦^. − 𝐴₁𝑥^. + 𝑧^.)

= 2(𝐴2″𝑦^. − 𝐴1″𝑥^.)(𝐴₂𝑦^. − 𝐴1𝑥^. + 𝑧^.)

= 2𝜂 𝜙^. 𝑤 𝜙^. .

2.8- Lemme

𝑕_ij^(−𝜆)− 𝑕_ij^(𝜆) = 2λK_ij (1.22) Avec

𝐾_ij = :

−𝐴₁²(𝑦) 𝐴₁(𝑦)𝐴₂(𝑥) 𝐴₁(𝑦) 𝐴1(𝑦)𝐴₂(𝑥) −𝐴22(𝑥) −𝐴2(𝑥)

𝐴1(𝑦) −𝐴2(𝑥) −1

; De plus

𝐾(𝑉, 𝑉) = −𝑤(𝑉)². (1.23)

47 Démonstration :

La première relation est obtenue par un simple calcul

𝑕_ij^(−𝜆)− 𝑕_ij^(𝜆)= :

1 − 𝜆𝐴12(𝑦) λA1(𝑦)𝐴₂(𝑥) λA1(𝑦) λA₁(𝑦)𝐴₂(𝑥) 1 − 𝜆𝐴₂²(𝑥) −λA₂(𝑥)

λA₁(𝑦) −λA₂(𝑥) −𝜆

; − :

1 + 𝜆𝐴12(𝑦) −λA1(𝑦)𝐴₂(𝑥) −λA₁(𝑦)

−λA₁(𝑦)𝐴₂(𝑥) 1 + 𝜆𝐴₂²(𝑥) λA₂(𝑥)

−λA₁(𝑦) λA₂(𝑥) 𝜆

;

=:

−2𝜆𝐴12(𝑦) 2𝜆𝐴1(𝑦)𝐴₂(𝑥) 2𝜆𝐴1(𝑦) 2𝜆𝐴₁(𝑦)𝐴₂(𝑥) −2𝜆𝐴₂²(𝑥) −2𝜆𝐴₂(𝑥)

2𝜆𝐴₁(𝑦) −2𝜆𝐴₂(𝑥) −2𝜆

;

= 2λKij

Pour la deuxième partie On a

𝐊(𝐕, 𝐕) = −𝟐𝛌𝐀_𝟏^𝟐(𝐲)𝐯_𝟏^𝟐+ 𝟐𝛌𝐀_𝟏(𝐲)𝐀_𝟐(𝐱)𝐯_𝟏𝐯_𝟐+ 𝟐𝛌𝐀_𝟏(𝐲)𝐯_𝟏𝐯_𝟑+ 𝟐𝛌𝐀_𝟏(𝐲)𝐀_𝟐(𝐱)𝐯_𝟐𝐯_𝟏− 𝟐𝛌𝐀_𝟐(𝐱)𝐯_𝟐𝐯_𝟑− 𝟐𝛌𝐀_𝟐^𝟐(𝐱)𝐯_𝟐^𝟐+ 𝟐𝛌𝐀_𝟏(𝐲)𝐯_𝟑𝐯_𝟏− 𝐀_𝟐(𝐱)𝐯_𝟑𝐯_𝟐− 𝐯_𝟑^𝟐

= −2λA₁²(y)v₁²+ 4λA₁(y)A₂(x)v₁v₂+ 4λA₁(y)v₁v₃− 4λA₂(x)v₂v₃− 2λA₂²(x)v₂²− v₃² = − 2λA₁²(y)v₁²− 4λA₁(y)A₂(x)v₁v₂− 4λA₁(y)v₁v₃+ 4λA₂(x)v₂v₃+ 2λA₂²(x)v₂²+ v₃² = −(v₃− A₁(y)v₁+ A₂(x)v₂)²

= −w(V)².

- Notons 𝜌 = 𝐴₁^′ + 𝐴₂^′ , et soit 𝑔_ij =^𝑅ij

(𝜆 )

λρ². notons aussi 𝜉 = ^𝜂

𝜌² . 2.9- Théorème

Les deux actions

∫ 𝑔 𝜑^.(𝑠), 𝜑^.(𝑠) ⅆ𝑠 𝑒𝑡 ∫ ¹

2( 𝜑^.(𝑠) )_𝑕(𝜆)− 𝜆 .𝑤 𝜑^.(𝑠) /²+ 𝜉 𝜙^. 𝑤 𝜙^. ds, atteignent les mémes extremas de la méme fonction 𝜑: [0,1] → ℝ³.

En particulier, les extrêmes seront des géodésiques dans la métrique 𝑔_ij et obéissent à l’équation∇_𝜑^.𝜑^. = 0 où ∇ est une connexion de type Livi-Civita définie par 𝑔ij.

Démonstration :

A partir des lemmes 3.6 et 3.7 nous pouvons écrire :

48

III - La connexion de Levi-Civita dans le groupe de Heisenberg :

Nous commençons par les propriétés de la connexion de Levi-Civita dans le groupe de Heisenberg .

Pour toute métrique 𝑕^𝜆 nous avons une connexion de Levi-Civita ∇^𝜆 définie par :

∇_∂^𝜆_𝑖∂_𝑗 = 𝛤_ij^𝑘(𝜆) ∂_𝑘 (1.24) Où les symboles de Christoffel sont définis par la métrique (1.3) :

𝚪_𝟏𝟐^𝟏 = 𝟒𝛌𝐱_𝟐 , 𝚪_𝟏𝟏^𝟐 = −𝟖𝛌𝐱_𝟐 , 𝚪_𝟏𝟏^𝟑 = 𝟏𝟔𝛌𝐱_𝟏𝐱_𝟐 , 𝚪_𝟐𝟐^𝟑 = −𝟏𝟔𝛌𝐱_𝟏𝐱_𝟐

𝚪_𝟐𝟐^𝟏 = −𝟖𝛌𝐱𝟏 , 𝚪_𝟏𝟐^𝟐 = 𝟒𝛌𝐱_𝟏 , 𝚪_𝟏𝟐^𝟑 = 𝟖𝛌 (𝐱_𝟐)^𝟐− (𝐱_𝟏)^𝟐 , 𝚪_𝟐𝟑^𝟑 = −𝟒𝛌𝐱_𝟐, 𝚪_𝟐𝟑^𝟏 = −𝟐𝛌, 𝚪_𝟏𝟑^𝟐 = 𝟐𝛌, 𝚪_𝟏𝟑^𝟑 = −𝟒𝛌𝐱_𝟏

les résultats suivantes affirment que la connexion de Levi-Civita par rapport à 𝛛_𝒙𝟏,𝛛_𝒙𝟐, 𝛛_𝒕 est une combinaison linéaire de 𝑿_𝟏𝐞𝐭𝑿_𝟐, donc c’est une distribution générée par ces vecteurs.

3.1- Lemme

Les égalités entre les connexions viennent du fait que la connexion de Levi-Civita est symétrique ce qui se traduit par :

0 = [∂_𝑖, ∂_𝑗] = ∇_∂^𝜆_𝑖∂_𝑗 − ∇_∂^𝜆_𝑗∂_𝑖

49

La deuxième partie de la première égalité est obtenue à partir des symboles de Christoffel :

∇_∂

x 1

λ ∂_x2 = Γ₁₂¹ ∂_x1+ Γ₁₂² ∂_x2 + Γ₁₂³ ∂_t

= 4λx₂∂_x1+ 4λx₁∂_x2 + 8λ((x₂)²− (x₁)²) ∂_t

= 4λx₂ ∂_x1 + 2x₂∂_t + 4λx₁ ∂_x2 − 2x₁∂_t

= 4λx₂X₁+ 4λx₁X₂

∇_∂

x 1

λ ∂_t = Γ₁₃¹ ∂_x1+ Γ₁₃² ∂_x2 + Γ₁₃³ ∂_t

= 0 + 2λ ∂_x2− 4λx₁∂_t

= 2λ ∂x₂− 2x1∂t

= 2λX₂

∇_∂^λ_{x 1}∂x₁ = Γ₁₁¹ ∂x₁+ Γ₁₁² ∂x₂ + Γ₁₁³ ∂t

= 0 − 8λx₂∂_x2 + 16λx₁x₂∂_t

= −8λx₂ ∂_x2− 2x₁∂_t

= −8λx2X2

∇_∂

x 2

λ ∂_t = Γ₂₃¹ ∂_x1 + Γ₂₃² ∂_x2+ Γ₂₃³ ∂_t

= −2λ ∂_x1 + 0 − 4λx₁∂_t

= −2λX₁

∇_∂

x 2

λ ∂_x2 = Γ₂₂¹ ∂_x1 + Γ₂₂² ∂_x2 + Γ₂₂³ ∂_t

= −8λx₂∂_x1+ 0 − 16λx₁x₂∂_t

= −8λx₁X₁

Pour k=1,2,3 , 𝛤₃₃^𝑘 = 0 Donc

∇_∂^𝜆_𝑡∂_𝑡 = 0 3.2- Lemme

Pour tout 𝜆 > 0,on a

𝛁_𝐗^𝛌_𝟏𝐗_𝟏= 𝟎, 𝛁_𝐗^𝛌_𝟐𝐗_𝟐= 𝟎 (1.28)

∇_X^λ₂X₁= 2 ∂_t, ∇_X^λ₂X₂= −2 ∂_t (1.29) Démonstration

50

Nous commençons par un calcul utilisant le lemme 3.10 soit :

∇_∂

En utilisant les deux relations précédentes et le lemme 3.10,on obtient

𝛁_𝐗^𝛌_𝟏𝐗_𝟏= 𝛁_𝛛

Comme 𝛁^𝛌est symétrique, le torsion est nul

𝛁_𝐗^𝛌_𝟏𝐗_𝟐− 𝛁_𝐗^𝛌_𝟐𝐗_𝟏 = ,𝐗_𝟏, 𝐗_𝟐-

A partir des relations précédentes, on en déduit que :

−𝟐𝛛_𝐭− 𝟐𝛛_𝐭= −𝟒𝛛_𝐭= ,𝐗_𝟏, 𝐗_𝟐-.

51 Chapitre 3

MISE EN ŒUVRE DE QUELQUE PROGRAMMES

Ce chapitre se veut une mise en relief de l’efficacité du logiciel MATHEMATICA et MATLAB, qui se trouvent bien adaptés pour les deux chapitres précédant.

Ils facilitent le calcul de beaucoup de grandeurs telles que les coefficients de Christoffel permettant l’obtention des expressions analytiques des tenseurs.

Nous allons dans ce qui suit donner l’intégralité des programmes jugés intéressants et ayant également servis à vérifier certains lemmes.

I- Partie 1 :le cas sous Riemannien (avec contraintes)

Programme N^° 1 : Détermination de la métrique invariante à gauche à partir des champs de vecteurs :

𝐗_𝟏 = 𝛛_𝐱+ 𝟐𝐲𝛛_𝐳 , 𝐗_𝟐= 𝛛_𝐲− 𝟐𝐱𝛛_𝐳 , 𝐓 = 𝛛_𝐳. ****************************

𝐧 = 𝟑 𝟑

𝐟 = *𝟏, 𝟎, 𝟐𝐲+

*𝟏, 𝟎, 𝟐𝐲+

𝐠 = *𝟎, 𝟏, −𝟐𝐱+

*𝟎, 𝟏, −𝟐𝐱+

𝐥 = 2𝟎, 𝟎, ^𝟏

𝛌3 2𝟎, 𝟎, ^𝟏

𝛌3 𝐃𝐨[

𝐡,𝐢, 𝐣- = 𝐡,𝐣, 𝐢-, {𝐣, 𝟏, 𝐧}, {𝐢, 𝟏, 𝐧}

]

𝐍𝐒𝐨𝐥𝐯𝐞[{𝐓𝐚𝐛𝐥𝐞[𝐒𝐮𝐦[𝐟[[𝐢]]𝐟[[𝐣]]𝐡[𝐢, 𝐣], {𝐢, 𝟏, 𝐧}, {𝐣, 𝟏, 𝐧}] == 𝟏], 𝐓𝐚𝐛𝐥𝐞 𝐒𝐮𝐦 𝐥 ,𝐢- 𝐟 ,𝐣- 𝐡,𝐢, 𝐣-, *𝐢, 𝟏, 𝐧+, *𝐣, 𝟏, 𝐧+ == 𝟎 ,

𝐓𝐚𝐛𝐥𝐞 𝐒𝐮𝐦 𝐥 ,𝐢- 𝐠 ,𝐣- 𝐡,𝐢, 𝐣-, *𝐢, 𝟏, 𝐧+, *𝐣, 𝟏, 𝐧+ == 𝟎 , 𝐓𝐚𝐛𝐥𝐞 𝐒𝐮𝐦 𝐠 ,𝐢- 𝐟 ,𝐣- 𝐡,𝐢, 𝐣-, *𝐢, 𝟏, 𝐧+, *𝐣, 𝟏, 𝐧+ == 𝟎 , 𝐓𝐚𝐛𝐥𝐞 𝐒𝐮𝐦 𝐥 ,𝐢- 𝐥 ,𝐣- 𝐡,𝐢, 𝐣-, *𝐢, 𝟏, 𝐧+, *𝐣, 𝟏, 𝐧+ == 𝟏 , 𝐓𝐚𝐛𝐥𝐞[𝐒𝐮𝐦[𝐠[[𝐢]]𝐠[[𝐣]]𝐡[𝐢, 𝐣], {𝐢, 𝟏, 𝐧}, {𝐣, 𝟏, 𝐧}] == 𝟏]}, {𝐡[𝟏, 𝟐], 𝐡[𝟑, 𝟑], 𝐡[𝟑, 𝟐], 𝐡[𝟐, 𝟐], 𝐡[𝟏, 𝟑], 𝐡[𝟏, 𝟏]}]

{{𝐡[𝟏, 𝟐] → 𝟎. −𝟒. 𝐱𝐲𝛌, 𝐡[𝟑, 𝟑] → 𝟏. 𝛌, 𝐡[𝟐, 𝟑] → 𝟎. +𝟐. 𝐱𝛌, 𝐡[𝟐, 𝟐] → 𝟏. +𝟒. 𝐱^𝟐𝛌, 𝐡[𝟏, 𝟑] → 𝟎. −𝟐. 𝐲𝛌, 𝐡[𝟏, 𝟏] → 𝟏. +𝟒. 𝐲^𝟐𝛌}}

52

- Programme N^°2 : Vérification du lemme 2.1 de la page 13 ***********************

𝐂𝐥𝐞𝐚𝐫,𝐜𝐨𝐨𝐫𝐝, 𝐦𝐞𝐭𝐫𝐢𝐜, 𝐢𝐧𝐯𝐞𝐫𝐬𝐞𝐦𝐞𝐭𝐫𝐢𝐜, 𝐚𝐟𝐟𝐢𝐧𝐞, 𝐫𝐢𝐞𝐦𝐚𝐧𝐧, 𝐫𝐢𝐜𝐜𝐢, 𝛌, 𝐱, 𝐲, 𝐭- 𝐧 = 𝟑

3

𝐜𝐨𝐨𝐫𝐝 = {𝐱, 𝐲, 𝐭}

{𝐱, 𝐲, 𝐭}

𝐦𝐞𝐭𝐫𝐢𝐜 = {{𝟏 + 𝟒𝛌(𝐲)^𝟐, −𝟒𝛌𝐱𝐲, −𝟐𝛌𝐲}, {−𝟒𝛌𝐱𝐲, 𝟏 + 𝟒𝛌(𝐱)^𝟐, 𝟐𝛌𝐱}, {−𝟐𝛌𝐲, 𝟐𝛌𝐱, 𝛌}}

{{𝟏 + 𝟒𝐲^𝟐𝛌, −𝟒𝐱𝐲𝛌, −𝟐𝐲𝛌}, {−𝟒𝐱𝐲𝛌, 𝟏 + 𝟒𝐱^𝟐𝛌, 𝟐𝐱𝛌}, {−𝟐𝐲𝛌, 𝟐𝐱𝛌, 𝛌}}

𝐦𝐞𝐭𝐫𝐢𝐜//𝐌𝐚𝐭𝐫𝐢𝐱𝐅𝐨𝐫𝐦 :

𝟏 + 𝟒𝐲^𝟐𝛌 −𝟒𝐱𝐲𝛌 −𝟐𝐲𝛌

−𝟒𝐱𝐲𝛌 𝟏 + 𝟒𝐱^𝟐𝛌 𝟐𝐱𝛌

−𝟐𝐲𝛌 𝟐𝐱𝛌 𝛌

;

𝐢𝐧𝐯𝐞𝐫𝐬𝐞𝐦𝐞𝐭𝐫𝐢𝐜 = 𝐒𝐢𝐦𝐩𝐥𝐢𝐟𝐲[𝐈𝐧𝐯𝐞𝐫𝐬𝐞[𝐦𝐞𝐭𝐫𝐢𝐜]]

{{𝟏, 𝟎, 𝟐𝐲}, {𝟎, 𝟏, −𝟐𝐱}, {𝟐𝐲, −𝟐𝐱, 𝟒𝐱^𝟐+ 𝟒𝐲^𝟐+^𝟏

𝛌}}

𝐢𝐧𝐯𝐞𝐫𝐬𝐞𝐦𝐞𝐭𝐫𝐢𝐜//𝐌𝐚𝐭𝐫𝐢𝐱𝐅𝐨𝐫𝐦 :

𝟏 𝟎 𝟐𝐲

𝟎 𝟏 −𝟐𝐱

𝟐𝐲 −𝟐𝐱 𝟒𝐱^𝟐+ 𝟒𝐲^𝟐+^𝟏

𝛌

;

𝐚𝐟𝐟𝐢𝐧𝐞: =

𝐚𝐟𝐟𝐢𝐧𝐞 = 𝐒𝐢𝐦𝐩𝐥𝐢𝐟𝐲[𝐓𝐚𝐛𝐥𝐞[(𝟏/𝟐) ∗ 𝐒𝐮𝐦[(𝐢𝐧𝐯𝐞𝐫𝐬𝐞𝐦𝐞𝐭𝐫𝐢𝐜[[𝐢, 𝐬]]) ∗ (𝐃[𝐦𝐞𝐭𝐫𝐢𝐜[[𝐬, 𝐣]], 𝐜𝐨𝐨𝐫𝐝[[𝐤]]]

+ 𝐃[𝐦𝐞𝐭𝐫𝐢𝐜[[𝐬, 𝐤]], 𝐜𝐨𝐨𝐫𝐝[[𝐣]]]

− 𝐃[𝐦𝐞𝐭𝐫𝐢𝐜[[𝐣, 𝐤]], 𝐜𝐨𝐨𝐫𝐝[[𝐬]]]), {𝐬, 𝟏, 𝐧}], {𝐢, 𝟏, 𝐧}, {𝐣, 𝟏, 𝐧}, {𝐤, 𝟏, 𝐧}]]

𝐥𝐢𝐬𝐭𝐚𝐟𝐟𝐢𝐧𝐞: =

𝐓𝐚𝐛𝐥𝐞[𝐈𝐟[𝐔𝐧𝐬𝐚𝐦𝐞𝐐[𝐚𝐟𝐟𝐢𝐧𝐞[[𝐢, 𝐣, 𝐤]], 𝟎], {𝐓𝐨𝐒𝐭𝐫𝐢𝐧𝐠[𝚪[𝐢, 𝐣, 𝐤]], 𝐚𝐟𝐟𝐢𝐧𝐞[[𝐢, 𝐣, 𝐤]]}], {𝐢, 𝟏, 𝐧}, {𝐣, 𝟏, 𝐧}, {𝐤, 𝟏, 𝐣}]

𝐫𝐢𝐞𝐦𝐚𝐧𝐧: = 𝐫𝐢𝐞𝐦𝐚𝐧𝐧 = 𝐒𝐢𝐦𝐩𝐥𝐢𝐟𝐲[𝐓𝐚𝐛𝐥𝐞[

𝐃[𝐚𝐟𝐟𝐢𝐧𝐞[[𝐢, 𝐣, 𝐥]], 𝐜𝐨𝐨𝐫𝐝[[𝐤]]] −

𝐃[𝐚𝐟𝐟𝐢𝐧𝐞[[𝐢, 𝐣, 𝐤]], 𝐜𝐨𝐨𝐫𝐝[[𝐥]]] + 𝐒𝐮𝐦[𝐚𝐟𝐟𝐢𝐧𝐞[[𝒔, 𝒋, 𝒍]]𝐚𝐟𝐟𝐢𝐧𝐞[[𝒊, 𝒌, 𝒔]] − 𝐚𝐟𝐟𝐢𝐧𝐞[[𝐬, 𝐣, 𝐤]]𝐚𝐟𝐟𝐢𝐧𝐞[[𝐢, 𝐥, 𝐬]], {𝐬, 𝟏, 𝐧}], {𝐢, 𝟏, 𝐧}, {𝐣, 𝟏, 𝐧}, {𝐤, 𝟏, 𝐧}, {𝐥, 𝟏, 𝐧}]]

𝐥𝐢𝐬𝐭𝐫𝐢𝐞𝐦𝐚𝐧𝐧

≔ 𝐓𝐚𝐛𝐥𝐞[𝐈𝐟[𝐔𝐧𝐬𝐚𝐦𝐞𝐐[𝐫𝐢𝐞𝐦𝐚𝐧𝐧[[𝐢, 𝐣, 𝐤, 𝐥]], 𝟎], {𝐓𝐨𝐒𝐭𝐫𝐢𝐧𝐠[𝐑[𝐢, 𝐣, 𝐤, 𝐥]], 𝐫𝐢𝐞𝐦𝐚𝐧𝐧[[𝐢, 𝐣, 𝐤, 𝐥]]}], {𝐢, 𝟏, 𝐧}, {𝐣, 𝟏, 𝐧}, {𝐤, 𝟏, 𝐧}, {𝐥, 𝟏, 𝐤 − 𝟏}]

𝐓𝐚𝐛𝐥𝐞𝐅𝐨𝐫𝐦[𝐏𝐚𝐫𝐭𝐢𝐭𝐢𝐨𝐧[𝐃𝐞𝐥𝐞𝐭𝐞𝐂𝐚𝐬𝐞𝐬[𝐅𝐥𝐚𝐭𝐭𝐞𝐧[𝐥𝐢𝐬𝐭𝐫𝐢𝐞𝐦𝐚𝐧𝐧], 𝐍𝐮𝐥𝐥], 𝟐], 𝐓𝐚𝐛𝐥𝐞𝐒𝐩𝐚𝐜𝐢𝐧𝐠 → {𝟐, 𝟐}]

53

54

Programme N^° 3: Détermination de la métrique invariante à gauche à partir des champs de vecteurs suivants: 𝐗𝟏 = 𝛛𝐱+ 𝐀(𝐲)𝛛𝐳 , 𝐗𝟐 = 𝛛𝐲 − 𝐁(𝐱)𝛛𝐳 , ^𝛛𝐭

𝛌

*******************

𝐧 = 𝟑 3

𝐟 = *𝟏, 𝟎, 𝐀,𝐲-+

*𝟏, 𝟎, 𝐀,𝐲-+

𝐠 = *𝟎, 𝟏, −𝐁,𝐱-+

*𝟎, 𝟏, −𝐁,𝐱-+

𝐥 = 2𝟎, 𝟎, ^𝟏

𝛌3 2𝟎, 𝟎, ^𝟏

𝛌3 𝐃𝐨[

𝐡,𝐢, 𝐣- = 𝐡,𝐣, 𝐢-,

*𝐣, 𝟏, 𝐧+, *𝐢, 𝟏, 𝐧+

]

𝐍𝐒𝐨𝐥𝐯𝐞[{𝐓𝐚𝐛𝐥𝐞[𝐒𝐮𝐦[𝐟[[𝐢]]𝐟[[𝐣]]𝐡[𝐢, 𝐣], {𝐢, 𝟏, 𝐧}, {𝐣, 𝟏, 𝐧}] == 𝟏], 𝐓𝐚𝐛𝐥𝐞[𝐒𝐮𝐦[𝐥[[𝐢]]𝐟[[𝐣]]𝐡[𝐢, 𝐣], {𝐢, 𝟏, 𝐧}, {𝐣, 𝟏, 𝐧}] == 𝟎],

𝐓𝐚𝐛𝐥𝐞[𝐒𝐮𝐦[𝐥[[𝐢]]𝐠[[𝐣]]𝐡[𝐢, 𝐣], {𝐢, 𝟏, 𝐧}, {𝐣, 𝟏, 𝐧}] == 𝟎], 𝐓𝐚𝐛𝐥𝐞 𝐒𝐮𝐦 𝐠 ,𝐢- 𝐟 ,𝐣- 𝐡,𝐢, 𝐣-, *𝐢, 𝟏, 𝐧+, *𝐣, 𝟏, 𝐧+ == 𝟎 , 𝐓𝐚𝐛𝐥𝐞[𝐒𝐮𝐦[𝐥[[𝐢]]𝐥[[𝐣]]𝐡[𝐢, 𝐣], {𝐢, 𝟏, 𝐧}, {𝐣, 𝟏, 𝐧}] == 𝟏], 𝐓𝐚𝐛𝐥𝐞[𝐒𝐮𝐦[𝐠[[𝐢]]𝐠[[𝐣]]𝐡[𝐢, 𝐣], {𝐢, 𝟏, 𝐧}, {𝐣, 𝟏, 𝐧}] == 𝟏]}, {𝐡,𝟏, 𝟐-, 𝐡,𝟑, 𝟑-, 𝐡,𝟑, 𝟐-, 𝐡[𝟐, 𝟐], 𝐡[𝟏, 𝟑], 𝐡[𝟏, 𝟏]}]

{{𝐡[𝟏, 𝟐] → 𝟎. −𝟏. 𝛌𝐀[𝐲]𝐁[𝐱], 𝐡[𝟑, 𝟑] → 𝟏. 𝛌, 𝐡[𝟐, 𝟑] → 𝟎. +𝟏. 𝛌𝐁[𝐱], 𝐡[𝟐, 𝟐] → 𝟏. +𝟏. 𝛌𝐁,𝐱-^𝟐, 𝐡[𝟏, 𝟑] → 𝟎. −𝟏. 𝛌𝐀[𝐲], 𝐡[𝟏, 𝟏] → 𝟏. +𝟏. 𝛌𝐀,𝐲-^𝟐}}

*******************

Programme N^°4 : Vérification du Lemme 2.6 de la page 18

********************

Clear[coord, metric,inversemetric, affine, riemann, ricci, scalar,x,y,t, 𝝀,A,B]

n=3 3

coord = {x,y,t}

{𝒙, 𝒚, 𝒕}

𝐦𝐞𝐭𝐫𝐢𝐜 =

2 𝟏 + 𝛌𝐀,𝐲-^𝟐, −𝛌𝐀,𝐲-𝐁,𝐱-, −𝛌𝐀,𝐲- , −𝛌𝐀,𝐲-𝐁,𝐱-, 𝟏 + 𝛌𝐁,𝐱-^𝟐, 𝛌𝐁,𝐱- , *−𝛌𝐀,𝐲-, 𝛌𝐁,𝐱-, 𝛌+3 {{𝟏 + 𝛌𝐀[𝐲]^𝟐, −𝛌𝐀[𝐲]𝐁[𝐱], −𝛌𝐀[𝐲]}, {−𝛌𝐀[𝐲]𝐁[𝐱], 𝟏 + 𝛌𝐁[𝐱]^𝟐, 𝛌𝐁[𝐱]}, {−𝛌𝐀[𝐲], 𝛌𝐁[𝐱], 𝛌}}

55

D[affine[[i,j,l]],coord[[k]] ]-D[affine[[i,j,k]],coord[[l]] ]+

Sum[affine[[s,j,l]] affine[[i,k,s]]-affine[[s,j,k]] affine[[i,l,s]], {s,1,n}],

56 R[1, 2, 3, 1] ^𝟏

𝟒𝛌 −𝛌𝐁,𝐱-(𝐀^′,𝐲- + 𝐁^′,𝐱-)^𝟐+ 𝟐𝐁^′′,𝐱- R[1, 2, 3, 2] ^𝟏

𝟐𝛌𝐀^′′,𝐲- R[1, 3, 2, 1] ^𝟏

𝟒𝛌 −𝛌𝐁,𝐱-(𝐀^′,𝐲- + 𝐁^′,𝐱-)^𝟐+ 𝟐𝐁^′′,𝐱- R[1, 3, 3, 1] −^𝟏

𝟒𝛌^𝟐(𝐀^′,𝐲- + 𝐁^′,𝐱-)^𝟐 𝐑,𝟐, 𝟏, 𝟐, 𝟏- ^𝟏

𝟒𝛌((−𝟑 + 𝛌𝐀[𝐲]^𝟐)𝐀^′[𝐲]^𝟐+ 𝟐(−𝟑 + 𝛌𝐀[𝐲]^𝟐)𝐀^′[𝐲]𝐁^′[𝐱] + (−𝟑 + 𝛌𝐀[𝐲]^𝟐)𝐁^′[𝐱]^𝟐− 𝟐(𝟐𝐀[𝐲]𝐀^′′[𝐲] + 𝐁[𝐱]𝐁^′′[𝐱]))

R[2, 1, 3, 1] −^𝟏

𝟐𝛌𝐁^′′,𝐱-

R[2, 1, 3, 2] ^𝟏_𝟒𝛌 𝛌𝐀,𝐲-(𝐀^′,𝐲- + 𝐁^′,𝐱-)^𝟐− 𝟐𝐀^′′,𝐲- R[2, 2, 2, 1] ^𝟏_𝟒𝛌𝐁,𝐱- −𝛌𝐀,𝐲-(𝐀^′,𝐲- + 𝐁^′,𝐱-)^𝟐+ 𝟐𝐀^′′,𝐲- R[2, 2, 3, 2] −^𝟏

𝟒𝛌^𝟐𝐁,𝐱-(𝐀^′,𝐲- + 𝐁^′,𝐱-)^𝟐 R[2, 3, 2, 1] ^𝟏

𝟒𝛌 −𝛌𝐀,𝐲-(𝐀^′,𝐲- + 𝐁^′,𝐱-)^𝟐+ 𝟐𝐀^′′,𝐲- R[2, 3, 3, 2] −^𝟏

𝟒𝛌^𝟐(𝐀^′,𝐲- + 𝐁^′,𝐱-)^𝟐 R[3, 1, 2, 1] ^𝟏

𝟐 𝟐𝛌𝐁,𝐱- 𝐀^′,𝐲-^𝟐+ 𝟐𝐀^′,𝐲-𝐁^′,𝐱- + 𝐁^′,𝐱-^𝟐+ 𝐀,𝐲-𝐀^′′,𝐲- − 𝟏 + 𝛌𝐀,𝐲-^𝟐 𝐁^′′,𝐱- + 𝛌𝐁,𝐱-^𝟐𝐁^′′,𝐱-

R[3, 1, 3, 1] ^𝟏

𝟒𝛌 . 𝟏 + 𝛌𝐀,𝐲-^𝟐 𝐀^′,𝐲-^𝟐+ 𝟐 𝟏 + 𝛌𝐀,𝐲-^𝟐 𝐀^′,𝐲-𝐁^′,𝐱- + 𝟏 + 𝛌𝐀,𝐲-^𝟐 𝐁^′,𝐱-^𝟐+ 𝟐𝐁,𝐱-𝐁^′′,𝐱-/

R[3, 1, 3, 2] ^𝟏_𝟒𝛌𝐁,𝐱- −𝛌𝐀,𝐲-(𝐀^′,𝐲- + 𝐁^′,𝐱-)^𝟐+ 𝟐𝐀^′′,𝐲- 𝐑,𝟑, 𝟐, 𝟐, 𝟏- ^𝟏

𝟐𝛌𝐀,𝐲-^𝟐𝐀^′′,𝐲- −^𝟏

𝟐 𝟏 + 𝛌𝐁,𝐱-^𝟐 𝐀^′′,𝐲- + 𝛌𝐀,𝐲- 𝐀^′,𝐲-^𝟐+ 𝟐𝐀^′,𝐲-𝐁^′,𝐱- + 𝐁^′,𝐱-^𝟐+ 𝐁,𝐱-𝐁^′′,𝐱-)

R[3, 2, 3, 1] ^𝟏

𝟒𝛌𝐀,𝐲- −𝛌𝐁,𝐱-(𝐀^′,𝐲- + 𝐁^′,𝐱-)^𝟐+ 𝟐𝐁^′′,𝐱- R[3, 2, 3, 2] ^𝟏

𝟒𝛌 . 𝟏 + 𝛌𝐁,𝐱-^𝟐 𝐀^′,𝐲-^𝟐+ 𝟐 𝟏 + 𝛌𝐁,𝐱-^𝟐 𝐀^′,𝐲-𝐁^′,𝐱- + 𝟏 + 𝛌𝐁,𝐱-^𝟐 𝐁^′,𝐱-^𝟐+ 𝟐𝐀,𝐲-𝐀^′′,𝐲-/

R[3, 3, 2, 1] ^𝟏

𝟐(−𝛌𝐁,𝐱-𝐀^′′,𝐲- + 𝛌𝐀,𝐲-𝐁^′′,𝐱-)

57

- Programme N^°5 : Calcul des symboles de Christoffel de deuxième espèce : *****************

58

𝚪[𝟏, 𝟐, 𝟏] = 𝟒𝐲𝛌

Γ[1, 2, 2] = −𝟖𝐱𝛌

𝚪[𝟏, 𝟑, 𝟐] = −𝟐𝛌

𝚪[𝟐, 𝟏, 𝟏] = −𝟖𝐲𝛌

𝚪[𝟐, 𝟐, 𝟏] = 𝟒𝐱𝛌

𝚪[𝟐, 𝟑, 𝟏] = 𝟐𝛌

𝚪[𝟑, 𝟏, 𝟏] = 𝟏𝟔𝐱𝐲𝛌 𝚪[𝟑, 𝟐, 𝟏] = 𝟖(−𝐱^𝟐+ 𝐲^𝟐)𝛌 𝚪[𝟑, 𝟐, 𝟐] = −𝟏𝟔𝐱𝐲𝛌 𝚪[𝟑, 𝟑, 𝟏] = −𝟒𝐱𝛌 𝚪[𝟑, 𝟑, 𝟐] = −𝟒𝐲𝛌

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59

Dans le document MINISTERE DE L4ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE UNIVERSITE FARHAT ABBES DE SETIF (Page 40-59)