domaine cité serait très bonne initiative.
66 ANNEXE I
L'approche variationnelle
1 – Introduction :
L’équation d’Euler-Lagrange joue un rôle essentiel dans l’optimisation des fonctionnelles.
Elle vise notamment à déterminer la trajectoire optimale qui minimise (maximalise) un coût ou indice de performance.
2 - Méthode d' Euler - Lagrange
Considerons une fonctionnelle de la forme:
𝐽 𝑥(𝑡) = 𝑉,𝑥(𝑡), 𝑥.(𝑡), 𝑡- ⅆ𝑡 (1)
𝑡𝑓 𝑡0
On a
(𝑡 = 𝑡0) = 𝑥0; 𝑥 𝑡 = 𝑡𝑓 = 𝑥𝑓 (2) Ecrivons la variation induite par une dérivation δx(𝑡)
ΔJ = 𝐽 𝑥(𝑡), δx(𝑡)
δx(𝑡0) = 0 δx 𝑡𝑓 = 0 (3)
Considérons la fonction admissible
𝑥𝑎(𝑡) = 𝑥∗(𝑡) + δx(𝑡)
Un développement en serie de Taylor donne
ΔJ 𝑥∗(𝑡), δx(𝑡) = 𝐽(𝑥∗(𝑡) + δx(𝑡), 𝑥. ∗(𝑡) + 𝛿𝑥.(𝑡), 𝑡) − 𝐽(𝑥∗(𝑡), 𝑥. ∗(𝑡), 𝑡).
= ∫ 𝑉(𝑥𝑡𝑡𝑓 ∗(𝑡) + δx(𝑡), 𝑥. ∗(𝑡) + 𝛿𝑥.(𝑡), 𝑡) ⅆ𝑡
0 − ∫ 𝑉(𝑥𝑡𝑡𝑓 ∗(𝑡), 𝑥. ∗(𝑡), 𝑡) ⅆ𝑡 (4)
0
On peut écrire
ΔJ x∗(t), δx(t) = V(x∗(t) + δx(t), x. ∗(t) + δx.(t), t)
tf t0
− V(x∗(t), x. ∗(t), t) ⅆt(5)
Où
67
Utilisant (3.9), la relation (3.8) devient δJ 𝑥∗(𝑡), δx(𝑡) = ∂𝑉
Appliquant maintenant le théorème fondamentale du calcul variationel , la variation de J doit être nulle pour un optimum 𝑥∗(𝑡):
δJ(𝑥∗(𝑡), δx(𝑡)) = 0 donc la relation (3.11) devient
68
Ecriture de l' équation d' Euler - Lagrange : Appliquons le lemme (3.3) ,nous avons :
4∂𝑉(𝑥∗(𝑡), 𝑥. ∗(𝑡), 𝑡)
Trouver la longueur minimum entre deux points quelconques Considérons la longueur entre deux points A et B.
Soit ds la longueur d'un arc, et dx , dt les coordonnées rectangulaires .
69 qui est l’ équation d'une droite . Ce qui est conforme à la logique.
3.2 La seconde variation
la condition suffisante pour un minimum est 𝛿2𝐽 =0.
Cela signifie que
Nous observons facilement que .∂2𝑉
∂𝑥.2/ est positive quelque soit 𝑥. ∗(𝑡) donc il s’agit d’une distance minimale ou géodésique.
3.3 Résumé de procédure de Pontriaguine (cas avec contraintes)
Considérons le problème du temps final- libre et d'état final-libre avec un indice de performance :
J = S(x(tf), tf) + V(x(t), u(t), t)dt (26)
tf t0
Et une contrainte telle que :
70
𝑥.(𝑡) = 𝑓(𝑥(𝑡), 𝑢(𝑡)𝑡)(3.31) Avec les conditions limites
𝑥(𝑡 = 𝑡0) = 𝑥0 ; 𝑡 = 𝑡𝑓 est libre aussi le problème à résoudre vise à trouver x*(t) , u*(t) telles que l’indice J soit minimal.
Etape 1
Formation de l'Hamiltonien
𝐻(𝑥(𝑡), 𝑢(𝑡), 𝜆(𝑡), 𝑡) = 𝑉(𝑥(𝑡), 𝑢(𝑡), 𝑡) + 𝜆′(𝑡) 𝑓 𝑥(𝑡) , 𝑢(𝑡), 𝑡 ; Etape2
Minimum de H : (∂𝐻
∂𝑢)∗= 0 Et obtenir 𝑢∗(𝑡) = (𝑥∗(𝑡), 𝜆∗(𝑡), 𝑡) Etape3
Ecriture de l’expression optimale de 𝐻∗(𝑥∗(𝑡), 𝜆∗(𝑡), 𝑡) Etape4
Résolution des deux systèmes d’équation : 𝑥. ∗(𝑡) = .∂𝐻
∂𝜆/
∗ et 𝜆.∗(𝑡) = − .∂𝐻
∂𝑥/
∗
Avec les conditions initiales x0 les conditions finales 𝐻∗+∂𝑆
∂𝑡 𝑡𝑓δt𝑓+ ∂𝑆
∂𝑥 ∗− 𝜆∗(𝑡)
𝑡𝑓
′
δx𝑓= 0
Etape 5 :
Ecriture de l’expression de 𝑢∗(𝑡) en fonction de 𝑥∗(𝑡) 𝑒𝑡 𝜆∗(𝑡) Exemple 3.4
Soit le système de second ordre suivant :
𝑥.1(𝑡) = 𝑥2(𝑡)
𝑥. 2(𝑡) = 𝑢(𝑡) (27) Et
𝐽 =1
2∫ 𝑢𝑡𝑡𝑓 2(𝑡)dt (28)
0
Avec les conditions limites : 𝑥(0) = ,1 2-′; 𝑥(2) = ,1 0-′ (29) Solution :
71 On identifie
𝑉(𝑥(𝑡), 𝑢(𝑡), 𝑡) = 𝑉 𝑢(𝑡) =1 2𝑢2(𝑡)
𝑓(𝑥(𝑡), 𝑢(𝑡), 𝑡) = ,𝑓1, 𝑓2-′, (30) Où
𝑓1 = 𝑥2(𝑡), 𝑓2= 𝑢(𝑡) Etape1
𝐻 = 𝐻 𝑥1(𝑡), 𝑥2(𝑡), 𝑢(𝑡)𝜆1(𝑡), 𝜆2(𝑡)
= 𝑉 𝑢(𝑡) + 𝜆′(𝑡)𝑓 𝑥(𝑡), 𝑢(𝑡) =1
2𝑢2(𝑡) + 𝜆1(𝑡)𝑥2(𝑡) + 𝜆2(𝑡)𝑢(𝑡). (31) Etape 2
∂𝐻
∂𝑢= 0 → 𝑢∗(𝑡) + 𝜆2∗(𝑡) = 0 → 𝑢∗(𝑡) = −𝜆2∗(𝑡) (32) Etape 3
Utilisons les résultats d’étapes 2 dans l’étape 1,on trouve 𝐻∗ 𝐻∗ 𝑥1∗(𝑡), 𝑥2∗(𝑡), 𝜆1∗(𝑡), 𝜆2∗(𝑡) =1
2𝜆∗ 22 (𝑡) + 𝜆1∗(𝑡)𝑥2∗(𝑡) − 𝜆2∗ 2(𝑡) = 𝜆1∗(𝑡)𝑥2∗(𝑡) −1
2𝜆2∗ 2(𝑡) (33) Etape 4
𝑥.1∗(𝑡) = + ∂𝐻
∂𝜆1 ∗ = 𝑥2∗(𝑡) 𝑥.2∗(𝑡) = + ∂𝐻
∂𝜆2 ∗ = −𝜆2∗(𝑡) 𝜆.1∗(𝑡) = − ∂𝐻
∂𝑥1 ∗
= 0
𝜆. 2∗(𝑡) = − ∂𝐻
∂𝑥2 ∗ = −𝜆1∗(𝑡) (34) On résout les équations précédentes
𝑥1∗(𝑡) =𝐶3
6 𝑡3−𝐶4
2 𝑡2+ 𝐶2𝑡 + 𝐶1
72 𝑥2∗(𝑡) =𝐶3
2 𝑡2− 𝐶4𝑡 + 𝐶2 𝜆1∗(𝑡) = 𝐶3
𝜆2∗(𝑡) = −𝐶3𝑡 + 𝐶4. (36) 𝑢∗(𝑡) = −𝜆2∗(𝑡) = 𝐶3𝑡 − 𝐶4.
Utilisons les conditions limites :
𝐶1= 1, 𝐶2= 2, 𝐶3= 3, 𝐶4= 4 (3.42) Finalement
𝑥1∗(𝑡) = 0.5𝑡3− 2𝑡2+ 2𝑡 + 1 𝑥2∗(𝑡) = 1.5𝑡2− 4𝑡 + 2
𝜆1∗(𝑡) = 3
𝜆2∗(𝑡) = −3𝑡 + 4 (37) u* (t)=3t-4.
Exemple 3.5
Considérons le même exemple avec les conditions limites 𝑥(0) = ,12-′; 𝑥1(2) = 0;
𝑥2(2) est libre Solution
On a les mêmes résultats
𝑥1∗(𝑡) =𝐶3
6 𝑡3−𝐶4
2 𝑡2+ 𝐶2𝑡 + 𝐶1 𝑥2∗(𝑡) =𝐶3
2 𝑡2− 𝐶4𝑡 + 𝐶2 𝜆1∗(𝑡) = 𝐶3
𝜆2∗(𝑡) = −𝐶3𝑡 + 𝐶4. 𝑢∗(𝑡) = −𝜆2∗(𝑡) = 𝐶3𝑡 − 𝐶4.
Trouvons les constantes 𝐶1, 𝐶2, 𝐶3, 𝐶4
Utilisons les conditions limites 𝑡𝑓 = 2, δt𝑓 = 0,et puisque 𝑥2(2) non spécifié, δx𝑓est libre : 𝜆2 𝑡𝑓 = .∂𝑆
∂𝑥2/
∗𝑡𝑓 = 0 Où S = 0
73 Donc on a les conditions limites suivantes
𝑥1(0) = 1; 𝑥2(0) = 2; 𝑥1(2) = 0; 𝜆2(2) = 0 (40) Avec ces conditions initiales de (40) :
𝐶1= 1, 𝐶2= 2, 𝐶3=15
8 , 𝐶4=15
4 (41) Finalement
𝑥1∗(𝑡) = 5
16𝑡3−15
8 𝑡2+ 2𝑡 + 1 𝑥2∗(𝑡) =15
16𝑡2−15 4 𝑡 + 2 𝜆1∗(𝑡) =15
8 𝜆∗2(𝑡) = −15
8 𝑡 +15
4 (42) 𝑢∗(𝑡) = −𝜆2∗(𝑡) =15
8 𝑡 −15 4. Résultat d’exemple (3.4) utilisant MATHLAB7.
S=dsolve(‘Dx1=x2,Dx2=-lambda2,Dlambda1=0,Dlambda2=-lambda1,x1(0)=1,x2(0)=2,x1(2)=1,x2(2)=0’)
S.x1 S.x2 S.lambda1 S.lambda2
S=lambda1 :[1x1 sym]
lambda2 :[1x1 sym]
x1 :[1x1 sym]
x2 :[1x1 sym]
ans=1/2*t^3-2*t^2+2*t+1
ans=3/2*t^2-4*t+2
ans=3
ans=-3*t+4
74
>>j=1 ;
>>for tp=0 :.02 :2 t=sym(tp) ;
x1p(j)=double(subs(S.x1)) ; x2p(j)=double(subs(S.x2)) ; up(j)=-double(subs(S.lambda2)) ; t1(j)=tp ;
j=j+1 ; end
plot(t1,x1p,’k’,t1,x2p,’k’,t1,up,’k :’) xlabel(‘t’)
gtext(‘x_ 1(t)’) gtext(‘x_ 2(t)’) gtext(‘u (t)’)
75
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Résumé. Dans ce mémoire, on propose une nouvelle méthode géométrique pour caractériser les géodésiques sous contrainte, c'est-à-dire, les courbes minimisantes associées à une distribution non holonome. L’objectif est définir un tenseur métrique associé à la connexion de Levi Civita et compatible avec le groupe de Lie-Heisenberg. Les solutions qualitatives auxquelles nous avons abouti traduisent avec précision la puissance et l’importance théorique de l’outil en question. Un autre résultat original et intéressant de ce travail est la mise en œuvre d’un algorithme qui permet de calculer explicitement les coefficients de Christoffel.
Mots clés : Géodésiques, distribution d’Heisenberg, coefficient de Christoffel, tenseur de Ricci
Abstract: In this work, we propose a new geometric method to characterize the geodesics under constraints, i.e , the minimal curves associated to non holonomic distribution. The aim is to define a metric tensor in relation with the Levi Civita connection which is compatible with the Lie-Heisenberg group. The qualitative solutions obtained gave with accuracy the power and the importance of the theory. A second original and interesting result in this work is the writing of an algorithm that explicitly calculates the Christoffel coefficients.
Key words: Geodesics, Heisenberg distribution, Christoffel coefficient, Ricci tensor-.
صخلم : لا هذه يف ةركذم
تاينحنملا ،ينعي اذهو ،قئاوعلا تحت ةيسيدويجلا ةيسدنه صئاصخ ديدحتل ةديدج ةقيرط حرتقن اننإف ،
عيزوت ةطبترملا ةللقملا non-cimonoloh
. ةطبترملا يرتم روسنت فيرعت وه كلذ نم فدهلاو iveL-ativic
عم ةقفاوتمو
غربنزياه ةعومجم .
يتلا لولحلا اهبلع انلصحت
ةلمعتسملا ةيرظنلا ةيمهأو ةوق نع ةقدب ربعت .
لفوتسيرك تلاماعم باسحل ةيمزراوخ ذيفنت وه لمعلا اذه نم مامتهلال ةريثم ىرخأ ةجيتن .
ثحبلا تاملك :
روسنت يشتير ،لفوتسيرك لماعم غربنزياه عيزوتو ،ةيسيدويجلا