PHYSIQUE DES PHÉNOMÈNES TRICRITIQUES

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PHYSIQUE DES PHÉNOMÈNES TRICRITIQUES

M. Papoular

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PHYSIQUE DES PHÉNOMÈNES TRICRITIQUES

M. PAPOULAR

Centre de Recherches sur les Très Basses Températures, C. N. R. S. BP 166, Centre de Tri, 38042 Grenoble, France

Résumé. - 1. Définition thermodynamique : ordre d'un point critique.

2. Définition « géométrique » : champs pertinents. 3. Lois d'échelle, compétition et « crossover ».

4. Exemples : métamagnétiques, mélanges isotopiques d'hélium, mélanges classiques à plusieurs composantes.

5. Nature du point fixe, critère de Ginzburg et dimensionalité d'espace caractéristique. 6. Points fixes non gaussiens (dimensionalité et anisotropie du paramètre d'ordre). 7. Points polycritiques « pathologiques ».

8. Questions ouvertes.

9. Remarques sur les propriétés dynamiques.

Abstract. - 1. Thermodynamical definition : order of a critical point.

2. « Geometrical » definition : relevant fields. 3. Scaling laws, competition and crossover.

4. Examples : metamagnets, isotopic helium mixtures, classical multicomponents mixtures. 5. Nature of fixed point, Ginzburg criterion and borderline space dimensionality. 6. Non gaussian fixed points (dimensionality and anisotropy of order parameter). 7. « Pathological » polycritical points.

8. Open questions.

9. Remarks on dynamical properties.

1. Introduction. Plan. - Un point tricritique est un point critique d'ordre supérieur : il implique trois champs pertinents (au lieu de deux dans le cas d'un point critique ordinaire).

Cette définition est formulable soit en termes géo- métriques, soit en termes thermodynamiques :

a) dans l'espace des champs pertinents (par exemple : T, H et h pour un métamagnétique, voir Fig. l),

b) le développement à la Landau pour l'énergie libre du système en fonction du paramètre d'ordre (par exemple l'aimantation M d'un sous-réseau) :

devra être poussé au degré p = 6 , a u lieu de p = 4 pour un point critique ordinaire. Si le terme en M 4 est

positif, la transition est du 2 e ordre, s'il est négatif, elle est du le' ordre, s'il est nul à la transition, on a un régime tricritique (Fig. 2).

le point tricritique est à la jonction de trois lignes de points critiques, chacune de ces lignes terminant elle- même une surface de coexistence ;

FIG. 1. -Lignes critiques et surfaces de coexistence dans un système métamagnétique ; h est le champ extérieur conjugué B l'aimantation totale m ; H le champ alterné, conjugué de I'aimantation M d'un sous-réseau. La ligne en pointillé est la ligne de

transitions du premier ordre.

FIG. 2. - Energie libre en fonction du paramètre d'ordre :

isothermes critiques. L'isotherme en forme de méplat correspond

à la température tricritique.

16

(3)

Cl-238 M. PAPOULAR Noter que, de l'une ou l'autre de ces définitions, il

ressort que le point tricritique peut être vu comme un point triple critique où trois phases coexistantes deviennent simultanément identiques. De là, la défini- tion « libre », mais un peu ambiguë nous le verrons, d'un point tricritique comme point de jonction, dans un sous-espace sélectionné (par exemple : h, T), d'une ligne de points critiques et d'une ligne de transitions du ler ordre.

Le point tricritique le mieux connu est certainement celui des mélanges isotopiques d'hélium (Fig. 3). 11 en existe aussi dans certains métamagnétiques tels que FeCl,, certains cristaux liquides à transition smectique- nématique. Un cas particulièrement attrayant, récem- ment redécouvert, est celui des mélanges classiques à trois ou quatre composantes (ex. : H,O, CO,, CH,OH).

Ces exemples seront présentés en sections 4 et 5, en même temps que d'autres cas de points « polycritiques ». Nous verrons que toute tentative de classification devrait se fonder sur la nature et la dimensionalité n du paramètre d'ordre. Les perturbations de type anisotopie critique, couplant entre elles les composantes du paramètre d'ordre, nous fourniront un exemple particulièrement riche de situation de carac- tère tricritique (5 5).

Auparavant, nous aurons montré (5 2) comment la compétition entre types d'ordre - par exemple : superfluidité et démixtion dans les mélanges d'He - entraîne un comportement de « crossover » « mesuré )> par un nouvel exposant indépendant (correspondant au nouveau champ pertinent).

La section 3 exposera les résultats des techniques du groupe de renormalisation : topologie des trajectoires, compétition entre points fixes, critère de Ginzburg, marginalisme et dimensionalité caractéristique, déve- loppements en 8 . Nous verrons que d, = 3 pour un point tricritique (ce qui est favorable à la détermination expérimentale des singularités logarithmiques « marginales D).

Les questions de portée des interactions et de dimen- sionalité d'espace sont discutées en section 6 : nous nous intéresserons particulièrement à d = 2.

Enfin, nous présentons en section 7 quelques remarques sur un domaine encore très ouvert et presque inexploré dans le cas tricritique : les propriétés dynamiques, elles aussi liées à la nature du paramètre d'ordre.

2. Compétition et crossover. Propriétés d'homogé- néité. - Sur la figure 3, la compétition entre ordre superfluide («MD) et ordre osmotique (am») se manifeste clairement par l'induction à température relativement élevée, d'une démixtion (à point critique anguleux :

exposant associé

pu

= 1, voir plus loin) : le système trouve plus avantageux de pallier la dilution en l'accu- mulant dans une phase normale, moins riche en 4 ~ e , de façon à maintenir un ordre superfluide important dans l'autre phase. En revanche, l'effet du potentiel

chimique (champ «h») est de bloquer les fluctuations de M et de forcer une transition du l e * ordre au- dessous du point tricritique.

1

superfluide

\

1

inst a b \ e

Concentration molaire de 3He FIG. 3. - Diagramme de phase des mélanges liquides 3He-4He

(à basse pression). Les coordonnées tricritiques sont : Tt = 0,87 K, 3Xt = 67 %. Noter le caractère anguleux du sommet de la courbe

de démixtion.

Cet argument physique est tout à fait général. Il est associé à une nouvelle classe de lois d'échelle à carac- tère universel : le «scaling» tricritique.

Nous désignerons occasionnellement désormais le point tricritique sous le sigle, sec mais commode : PTC. Reprenons la figure 1. On y voit apparaître une direction privilégiée : celle des lignes critiques (et de la ligne du le-rdre) au PTC. Cette direction est contenue dans le plan (T, h), ce qui nous conduit à définir, en plus de H, deux champs d'échelle pl et p, (combinai- sons linéaires de T et h). Les trois champs d'échelle sont, par définition, nuls au PTC : voir figure 4 [l].

h

FIG. 4. - Champs d'échelle pi et f i 2 et lignes de crossover

(trait interrompu) dans le plan H = O. Respectivement dans les domaines III, II, 1 : exposants tricritiques, critiques ordinaires

(à fixé), << auxiliaires ».

(4)

supplémentaire : fi2. Par exemple pour la densité d'énergie libre (s représentant la dilatation de l'unité de longueur) :

G ( H , Pi, 112) s - ~ a s Y H H > sY1 111, sY2 112) ₍₂₎ avec la hiérarchie : y, > y,

>

y,

>

O pour les dimensions anormales, positives, puisqu'il s'agit de champs pertinents, de H, pl et pz. Comme pour un point critique ordinaire, les exposants tricritiques vt et A , =

p,

6, sont donnés par :

Mais au champ pz est associé un troisième exposant indépendant :

C'est l'exposant de « crossover ». Cet exposant mesure la courbure de la ligne critique dans le plan (pl, p2) :

courbure qui est aussi celle des « lignes » de « crossover » séparant les trois domaines d'approche au point tricritique : voir figure 4. Les exposants tricritiques ne sont observables que dans le domaine III (approche non tangentielle), tandis que le « scaling D critique ordinaire s'applique au domaine Il (à ,p2 fixé). Enfin, si l'on approche le PTC tangentielle- ment mais suivant la ligne du ler ordre (région 1), on peut définir des exposants, dits auxiliaires, qui s'expr'i- ment en fonction des exposants tricritiques par i'inter- mediaire de @,. Par exemple, pour Am = m - m,

(gap de démixtion dans le cas des mélanges d'hélium) :

alors que dans la région tricritique III, on a

Il y a là un exemple de la fonction de renormalisation des exposants tricritiques (a,, A , , ...) par l'exposant de « crossover » pour une approche tangentielle (cf. pour un point critique ordinaire :

Soulignons que les deux familles d'exposants : (a,, ...) et (a,, ...) obéissent, chacune pour son compte, aux lois d'échelle ordinaires, et notamment à la loi de Josephson :

REMARQUES. - NOUS avons tacitement supposé les trois lignes critiques et la ligne du l e r ordre tangentes au PTC. Il s'agit d'une hypothèse d'économie : il y a dans l'espace des champs, une direction privilégiée, un paramètre d'ordre Mindépendant, un scaling » tricri-

tique. On peut certes concevoir des modèles « pathologiques » moins simples (voir §§ 4 et 6).

Cette direction privilégiée est au demeurant non spéciale : il faut donc s'attendre à des lois d'échelle et exposants similaires en T o u h.

Dans le cas des mélanges 3He-4He ou des métama- gnétiques sans couplages parasites (voir § 4), on ne sort pas du plan H = O (encore qu'il soit possible, par exemple par diffusion de neutrons, d'atteindre la fonction de réponse correspondante). Un exposant tel que

A , ne sera donc accessible expérimentalement que pour

les points tricritiques dissymétriques (voir

$5

4 et 7). 3. Approche du groupe de renormalisation. Dimen- sionalité d'espace caractéristique. - Aux domaines 1, II, III de la figure 4, correspondent respectivement trois types de trajectoires dans l'espace des paramètres : voir figure 5. Partant d'un point représentatif de la région I, on décrit la trajectoire 1 qui s'en va à l'infini : la,transition est du premier ordre ; la trajectoire partant d'un point représentatif de la région II aboutit au point fixe non trivial (avec les exposants a, ...) caracté- ristique d'un point critique ordinaire. Enfin, une trajectoire liée à la région III converge vers le point fixe « tricritique » (a,, ...).

FIG. 5. - Trajectoires de renormalisation correspondant aux domaines 1, II, III de la figure 4. Seule la trajectoire III aboutit au point fixe « tricritique » : PFIII. La ligne de départ représente

la ligne des points de transition.

Reprenons le développement de Landau (éq. (l)), limité au degré p = 6. Les exposants v, =

+,

y, = 0,

y , = 1, qu'on en déduit ne dépendent pas de p puisqu'ils sont déterminés par la fonction de corrélation gaussienne et par la loi d'échelle de Fisher :

Par contre,

pt

=

6

(au lieu de

p

=

3

pour p = 4) et a, =

+

(au lieu de O). Appliquant alors la loi de Josephson (éq. (5)) qui n'est vérifiée, avec les exposants classiques du modèle de Landau-Ginzburg, que pour la dimensionalité d'espace caractéristique, d = d,, on obtient : d, = 3.

Ainsi, pour d 3 3, le point fixe stable est le point

*

(5)

Cl-240 M. PAPOULAR renormalisation en Log s d'un champ, généralement

non pertinent (.v < O), mais marginal (y = O) en d = dc 131.

FIG. 6. - D'après Toulouse et Pfeuty [2]. Exemple de coales- cence avec échange de stabilité d'un point fixe gaussien et d'un point fixe non trivial. (Cas du point critique ordinaire : dc = 4) ;

a : section pertinente de l'espace des paramètres, b : représenta- tion en relief.

Ce champ, dans le modèle de Landau, est représenté par le paramètre B,. Il est conjugué à l'opérateur d'échelle isotrope M ,

=

o3

,,.

Suivant l'algèbre des opérateurs d'échelle 121, le champ conjugué de I'opéra- teur

O,,, = H,(M) a pour dimension, à d = dc

On voit bien ici que y 3 , , = O pour d = d, = 3. Les deux autres opérateurs isotropes O,,, et O , , , sont pertinents, ainsi que l'opérateur anisotrope O,,, associé au champ H, avec pour dimensions respectives :

= y 2 = 1 ; y l , , = y i = 2 ; yo,i = y t r =

5.

D'où l'on tire, pour d 2 dc = 3, les exposants tricritiques classiques donnés par le modèle de Landau qui se trouve ainsi justifié dans ces conditions :

Ces exposants sont évidemment indépendants de d comme de n. De là, on passe aux exposants auxiliaires : a, =

-

1 : singularité évanescente de la chaleur spéci- fique à densité fixée.

pu

= 1 : sommet anguleux de la courbe de démixtion (Fig. 3).

y, = vu =

ru

= 1 : ces valeurs sont très bien vérifiées dans les mélanges isotopiques d'hélium [4, 51.

L'argument liant la dimensionalité caractéristique dc au marginalisme de l'opérateur isotrope de plus haut degré : O,,,,, (ici : p = 6 ) , se justifie comme une

des versions du critère de Ginzburg, et se généralise

aisément à un point critique d'ordre p/2 [6]. Le critère

de Ginzburg établit le seuil de validité d'un modèle de champ moyen tel que celui de Landau, et des exposants classiques associés. Le modèle de Landau contient une contradiction interne puisque le calcul de la fonction de corrélation ignore le terme en M P dans le développe-

ment de l'éq. (l), alors que c'est le terme en gradient qui est négligé dans le calcul du potentiel thermodynamique. Le critère de Ginzburg stipule que cette contradiction est sans conséquence si, au terme des opérations de renormalisation, le poids du terme en MP s'avère

négligeable par rapport à celui du terme de fluctuation. Car alors la contribution des fluctuations gaussiennes aux diverses grandeurs thermodynamiques est elle- même négligeable.

Il s'agit donc de comparer : L~ M P à L d - 2 M 2 , où

Ld représente le volume d'intégration; soit

L-'

le vecteur d'ordre maximum pris en compte. Mais, «par construction)) le spin M est lui-même recalibré de telle manière que le terme de fluctuation Ld-' M 2 r este d'ordre 1, c'est-à-dire : M

-

L - ( ~ - ~ ) / ' . Ainsi, le critère de validité de Landau est le suivant :

P 2 P

d < - ( d - 2 ) , soit: d a -

2 p

-

2 '

OU encore :

(d

-

2) (p

-

2) 2 4

.

(7) Pour d = dc = ---- l'opérateur M p

-

O*,,, est

1 p - 2 '

bien marginal puisque

Noter que l'éq. (7) redonne bien :

Revenant au point tricritique, soulignons que la dimensionalité caractéristique de 3 est a priori favorable à la détermination expérimentale des divergences logarithmiques marginales. Nous n'entrerons pas ici dans les considérations sur la plus ou moins grande accessibilité du domaine où les termes en Log émer- gent ; cette question se traite elle-même en termes de critère de Ginzburg. Notons aussi que dans les cas de marginalisme, les diverses corrections logarithmiques sont accessibles par la technique diagrammatique dite des parquets [7].

Enfin, si d < dc = 3, comme pour d = 4

-

E avec un point critique ordinaire, il existe des développe- ments [8] en E = 3

-

d pour les exposants tricritiques

devenus non classiques :

(6)

4. Classes de points tricritiques.

-

Assez heuristi- quement, nous classons les points tricritiques en points fixes associés gaussiens ou non gaussiens. La première catégorle,.@us .facile à cerner, nous.fournira. a'i.11.ustra- tion d'une seconde dichotomie, entre points tricritiques symétriques ou non. Enfin, comme pour un point critique ordinaire, les caractéristiques dynamiques

(3

7) conduiront à une nouvelle ramification - d'ailleurs non encore explorée.

4.1 POINTS FIXES GAUSSIENS.

-

4.1 .1 Points tri-

critiques symétriques. - C'est le cas des mélanges isotopiques d'hélium et des systèmes métamagnétiques. Dans ces systèmes, la transition a lieu dans le plan H = O (Fig. 1). Les deux phases qui coexistent dans ce plan, admettent entre elles une symétrie spéciale : elles se déduisent l'une de l'autre par la transformation M -+ - M : échange des deux sous-réseaux dans le cas métamagnétique, renversement du' signe de la phase dans le cas des mélanges 3He-4He. Il en résulte en particulier qu'on ne peut, par une mesure purement statique, accéder aux exposants associés au champ H ( A , par exemple).

Le système 3He-4He est bien décrit, nous l'avons vu, par un scaling classique. La situation expérimentale est moins avancée dans le cas des métamagnétiques [9] car, en raison des anisotropies présentes (dans l'espace direct comme dans celui du paramètre d'ordre), le champ extérieur h se couple aux sous-réseaux et tend à induire une composante parasite de champ alterné H.

C'est le cas par exemple dans le grenat de dysprosium et d'aluminium. Néanmoins les deux types de systèmes ressortissent très vraisemblablement à la famille des points fixes gaussiens avec exposants classiques. Leurs diagrammes de phase sont d'ailleurs descriptibles phénoménologiquement au moyen d'un même modèle d'Ising S = 1, traité par exemple dans une approximation de champ moléculaire [IO].

4.1 . 2 Points tricritiques non symétriques.

-

C'est le cas des mélanges classiques à trois (ou à quatre) composantes, dits de Kohnstamm [Il], récemment redécouverts comme exemples remarquables de points tricritiques [6, 121. Il n'y a maintenant aucune symétrie spéciale ; les trois phases susceptibles de coexister se présentent sur un pied d'égalité (Fig. 7). On dispose donc d'une grande latitude pour définir les diverses

FIG. 7. - D'après Griffiths [12]. Diagramme de phase pour un mélange ternaire, dans une section de l'espace des champs (correspondant à T < Tt). La ligne hachurée est une ligne de points triples, les deux autres lignes, des lignes de points critiques limi- tant deux surfaces de coexistence. Comparer à la figure 1 (en ne perdant pas de vue que la figure 1 représente un espace complet).

densités comme combinaisons linéaires des concentrations. Il existe cependant un choix «canonique», correspondant ici aussi à une direction privilégiée [12] dans I?espaw,des champs ou dans l'espace des densités, et conduisant à un seul paramètre d'ordre indépendant (Fig. 7). Cette propriété d'unicité se décrit bien encore suivant un modèle de Landau, mais avec deux termes impairs : BI M et B3 M3, dans le développement de l'énergie libre (voir éq. (l), mais attention : le terme en M2 ne représente plus nécessairement la tempéra- ture). Ces termes dissymétrisent le diagramme de la figure 2, rompant ainsi la symétrie M -+

-

M. Le domaine BI(= H ) # O est maintenant accessible. Quant au champ

B,,

il introduit un exposant supplé- mentaire : sa dimension propre y,. En théorie de Landau, on a : y, =

3,

les autres dimensions propres conservant leurs valeurs antérieures (512, 2, 1). Il est essentiel de noter que ce nouvel exposant introduit certes de nouveaux effets de «crossover»et de nouveaux exposants auxiliaires, mais ne modifie en rien l'ordre du point tricritique - qui doit donc conserver le même «scaling», classique pour d 2 3. Par exemple pour l'exposant tricritique «auxiliaire» de la tension d'in- terface, on retrouve [13] la valeur p = 2, prévue pour les mélanges d'hélium [14].

Toutes ces consid6rations se généralisent bien entendu aux points critiques d'ordre supérieur. Rap- pelons seulement que la règle des phases stipule qu'un point tétracritique ( p = 8) ne se rencontrera pas dans un mélange à moins de cinq composantes : un mélange quaternaire ne présentera au mieux qu'une ligne de points tricritiques.

On ne dispose pas encore de données expérimentales précises sur les exposants tricritiques dans les mélanges classiques*. Cela tient à ce que le nombre plus grand de degrés de liberté thermodynamiques (concentrations,

T, p) rend difficile la localisation même du point tricritique. Le mélange ternaire par excellence est le mélange alcool éthylique, eau, dioxyde de carbone, dont les coordonnées tricritiques sont :

X C O ~ = 83

%

X C H ~ O H = 15

%

3

X,,O = 2

% ,

p, = 92 atm

,

Tt = 47 OC.

4.2 POINTS FIXES NON GAUSSIENS.

-

4.2.1 Dimen-

siorzalités d'espace et de spin : d < 3, y -+ co. - Lors- que d < 3, le point fixe stable s'écarte du point fixe gaussien comme nous l'avons indiqué à la fin de la section 3 (éq. (8)). Mentionnons ici un calcul récent sur un modèle de spin continu traité exactement dans la limite n --+ co [15] (voir aussi réf. [16]). Un point tricritique gaussien est encore obtenu pour d 2 3, mais on n'en trouve plus du tout pour d < 3, et d'autre part les corrections logarithmiques n'apparaissent pas à 3 mais à 4 dimensions. Ces résultats sont assez sur- prenants, encore qu'il faille évidemment se garder d'interpoler entre les développements en E et en lln.

(7)

Cl-242 M. PAPOULAR ses implications physiques directes (comme dans les

pérovskites), par sa valeur de modèle (par exemple pour les antiferromagnétiques à phase spin-flop), par la richesse exemplaire de la disciission qu'il appelle (voir réf. 121, Chap. IX). Nous l'examinerons plus en détail dans la section suivante. Précisons simplement que, au-delà d'une certaine dimensionalité caractéris- tique de spin, la perturbation cubique devient pertinente et peut entraîner, si l'on dispose de son signe, une situation de type tricritique. Le point fixe correspondant est le point fixe isotrope, avec son scaling propre. 4.2.3 Points polycritiques pathologiques : modèle de Potts. - Nous réservons cette rubrique aux points polycritiques à plusieurs paramètres d'ordre indépen- dants, non réductibles. Il n'y a plus alors de direction privilégiée dans l'espace des paramètres. En d'autres termes, les lignes critiques qui terminent les surfaces de coexistence ne sont plus tangentes au point'polycri- tique. Bien entendu, il n'est plus question d'un dévelop- pement à la Landau, même si l'on y injecte des puis- sances impaires « du » paramètre d'ordre.

Un exemple de point tricritique pathologique est fourni par le modèle de Potts à 3 composantes (et d = 2). 11 s'agit d'une généralisation du modèle d'Ising ordinaire. Un dévelovvement basse température en A

exp(- 1/T), de l'énergie libre, conduit aux exposants

a,

B,

y ainsi qu'au diagramme de la figure 8 dans l'espace des champs [17]. Un modèle de Landau n'aurait au contraire donné qu'un point quadruple à la jonction de quatre lignes triples.

FIG. 8. - Exemple de point tricritique «pathologique », fourni par le modèle de Potts. Il n'y a plus de direction privilégiée dans l'espace des champs. p i , pz, ps sont les «potentiels chimiques » associés à trois types de « particules ». Le nombre

total de particules étant fixé, on peut prendre : ps = 0.

Il n'y a pas actuellement de répondant expérimental manifeste à ce type de modèle de Potts. Tl pourrait cependant s'avérer adapté à la description de la transition de fusion à deux dimensions (voir $j 6 ) .

Cette discussion, qui se prolonge dans les sections suivantes montre bieh la pertinence des propriétés générales de symétrie, de la dimensionalité d'espace d,

de la dimensionalité n et de la nature même du (ou des) paramètre d'ordre.

5. Analogies. - Les points tricritiques dans les mélanges isotopiques d'hélium, les systèmes métama- gnétiques, les mélanges classiques, se discutent en termes directement parallèles. D'autres exemples similaires sont à chercher parmi les mélanges (voir par exemple [18]), ou les solutions de cristaux liquides, ou encore dans les halogénures d'ammonium : NH4Cl, NH,Br. Dans ce cas, c'est la pression qui fournit le champ de « crossover* : la transition (ordre-désordre) est brutale à basse pression, continue à haute pression [19]. Les données expérimentales sont trop fragmen- taires encore pour décider si cette situation relève d'un modèle de type Ising compressible 1201.

Plus intéressants pour la discussion sont les cas de similitude indirecte comme - vis-à-vis d'un point critique ordinaire - la turbulence développée, la per- colation ou les polymères en solution (voir [ 2 ] ) . Dans ce dernier cas, les deux premiers coefficients du viriel :

W , et W2, gouvernent respectivement les effets stan-

dards de volume exclu et une situation de type tricritique [21] où, à W , petit, il existe une valeur seuil de W2 au-dessous de laquelle la chaîne devient lyophobe.

Nous rattachons à cette catégorie d'analogues indirects le problème de I'anisotropie cubique [2, 221. Partons de l'Hamiltonien

Pour n = 3, le terme en u - dit cubique pour cette raison - favorise l'alignement du spin suivant les axes ou les diagonales d'un cube, suivant que u est négatif ou positif : l'anisotropie brise la symétrie de rotation dans l'espace des composantes du paramètre d'ordre, et introduit donc en général un couplage effectif entre ces composantes. Deux cas particuliers apparaissent tout de suite :

- si v = O (et u > O, pour assurer la stabilité du système) l'isotropie complète est restaurée : on a par exemple un scaling de type Heisenberg pour n = 3. Le point fixe stable est le point fixe isotrope ;

- si u = O (et v

>

O), on voit sur l'éq. (9) que les n

composantes se découplent, ce qui nous ramène à un modèle d'king (n = 1) gouverné par le point fixe d 'Ising.

Le troisième point fixe élémentaire est évidemment le point fixe gaussien trivial : u* = v* = O. Pour u et v quelconques (satisfaisant aux conditions de stabilité :

u

+

v > O, u

+

u/n > O), apparaît un quatrième point fixe : le point fixe ((cubique » avec son « scaling » caractéristique commandé par la dimension anormale

(8)

et par rapport au point fixe cubique :

Noter que ces deux valeurs sont asymptotiquement opposées pour n très voisin de :

ce qui est une façon de voir la coalescence avec échange de stabilité, pour n = n,, des points fixes isotrope et cubique (Fig. 9). Le résultat est général : pour d fixé, il existe une dimensionalité de spin seuil : n = n,(d)

-

de l'ordre de 3, pour d = 3

-

telle que la perturbation cubique soit non pertinente pour n < no pertinente pour n

>

n,, et marginale à n = n,. Pour nu> a,, le point fixe cubique est stable et il est situé

Isi

f

FIG. 9. - D'après Toulouse et Pfeuty [2]. Coalescence, pour n = nc(d) des points fixes isotrope (Iso) et cubique (C).

a) n < nc(d), Iso est stable ; b) n = nc(d), coalescence avec échange de stabilité, le champ cubique est marginal ; c) n > nc(d), C est stable ( O > O), le champ cubique est pertinent. Points fixes

de référence : Gaussien et Ising.

dans le quadrant : u >

O,

v > O. Ainsi, pour n

>

n,, si u

>

O (diagonales favorisées), la trajectoire de renormalisation se dirige d'abord vers le point fixe isotrope, pour virer ensuite versle point fixe cubique ; si u

<

O (axes favorisés), la trajectoire se dirige d'abord vers le point fixe isotrope, mais au-delà s'en va à l'infini : la transition est du premier, ordre.

On voit que, si l'on peut commander le signe de v au moyen d'un champ extérieur (pression uniaxiale dans les pérovskites, par exemple), on induit - u n point tricritique pour v = O. Les exposants tricritiques seront dans ce cas ceux du point fixe isotrope, avec un exposant de (( crossover >> lié à y,. (On peut remarquer que si au départ n = n,(d), on a une situation encore plus marginale précisément, puisqu'alors y, = 0 ; d'après I'éq. (10)).

Cette sorte de discussion, ici réduite à l'essentiel, trouvera certainement de nombreuses applications dans le futur proche. Notons que le concept de dimen- sionalité seuil n, intervient directement dans l'étude des points bicritique)) et « tétracritique)) des systèmes à phase « spinflop » [22, 231. (Ces points polycritiques ont leurs caractéristiques propres qui n'entrent pas naturellement dans la «classification » de la section précédente.)

6. Portée des forces et dimensionalité d'espace. -

Nous sommes restés jusqu'ici dans l'hypothèse ordinaire d'interactions à courte portée. Les forces à longue portée, directes ou non, invariantes ou non par rotation, méritent une discussion spéciale du fait de leur place en physique de la matière condensée (forces dipolaires par exemple), et de leurs implications en termes de groupe de renorrnalisation : elles tendent générale- ment à conforter l'approximation de champ moyen et par suite à abaisser la dimensionalité caractéris- tique d,. Par exemple, pour un ferromagnétique uniaxe (point critique ordinaire), les forces dipolaires don- nent : d, = 3 [7]. Nous nous limiterons ici aux interactions à longue portée de signe constant :

(avec O < o

<

2, le régime à courte portée apparaissant pour o = 2), et au point fixe gaussien (d > d,). Pour un point critique d'ordre p/2, la théorie de Landau donne alors [2] :

(9)

Cl-244 M. PAPOULAR généralisation de l'éq. (7). Une formule telle que

celle-ci met en évidence une propriété de «dualité» [6] entre l'ordre du point critique : p/2, et la dimensiona- lité caractéristique dc. Par exemple pour des forces à courte portée (o = 2), au couple p 4 co, dc = 2 (à 2 dimensions, tout point critique est non classique), correspond le couple p = 2, dc + co (modèle gaussien

quel que soit d). Le couple p = 4, dc = 4 (point critique ordinaire) est son propre dual. p = 6, dc = 3 (point tricritique) a pour dual le couple p = 3, dc = 6. Ce dernier est évidemment formel dans la mesure où il correspondrait à un point critique d'«ordre»

8.

Il peut être intéressant néanmoins de le confronter au modèle de percolation pour lequel on a aussi d, = 6 [2]. Si ce parallèle s'avère fondé, et si l'on parvient à introduire des interactions de longue portée dans ce modèle de percolation (purement «entropique» dans sa forme ordinaire), il est amusant de noter qu'alors, suivant (14), o = 1 abaisserait la dimen- sionalité critique à dc = 3.

Terminons cette section par une autre question, relative aux points tricritiques à 2 dimensions. La transition de fusion à d = 2 - étudiée dans le cas du krypton adsorbé sur graphite exfolié 1241 - semble bien devenir continue au-delà d'une certaine tempéra- ture. Nous avons déjà indiqué que cette situation pourrait relever d'un modèle de point tricritique à deux dimensions, par exemple de type Potts. Il est évident que des mesures d'exposants seraient très utiles. On dispose également de données expérimentales nombreuses et précises relatives à 3He, ou à 4He, adsorbé sur grafoil [25]. On peut se demander si, dans le cas d'un mélange isotopique à d = 2 (certainement difficile à réaliser), on ne pourrait pas égale- ment envisager une situation de type tricritique avec l'équivalent d'une démixtion.

7. Remarques sur les propriétés dynamiques. - Les données théoriques*" et expérimentales sont encore très fragmentairesdans ce domaine. En se guidant sur les travaux récents concernant le point critique ordinaire [26], on peut dégager deux questions centrales :

a) quelles sont les valeurs classiques des exposants tricritiques dynamiques ? b) quelle est la dimensiona- lité caractéristique d: au-delà de laquelle les exposants dynamiques deviennent classiques ? Il semble que, pour un point critique ordinaire on ait : d: = 6 ou

d: = d, = 4 suivant que le paramètre d'ordre $ est conservé ou non, autrement dit : que sa relaxation, aux grandes longueurs d'onde, est gouvernée ou non par une équation de diffusion.

Dans le même esprit, il serait très utile de mesurer et de comparer l'exposant z de la fréquence caracté- ristique dans des systèmes tels que3 He-4He ou les métamagnétiques d'une part ($ non conservé), et les mélanges classiques d'autre part ($ conservé). La fréquence caractéristique, inverse d'un temps carac- téristique de corrélation, a pour expression en fonction

du vecteur d'onde q et de la longueur de corrélation

C

(qui elle-même mesure l'écart à la température critique) :

Les valeurs classiques de z, pour un point critique ordinaire, sont 4 ou 2, suivant que le paramètre d'ordre est conservé (x = 2), ou non (x = 0).

Une expérience de diffusion quasi élastique de lumière cohérente dans la phase superfluide du mélange 3He-4He près du point tricritique, a été effectuée récemment [27] : la largeur de la raie centrale varie en (Tt

-

T). L'interprétation de ce résultat dépend du comportement d'un coefficient de transport croisé décrivant la thermodiffusion, Dk, 1281. Toujours dans le mélange tricritique 3He-4He, un calcul de type couplage mode-mode, valable dans la phase normale, conduit à [29] :

D

-

( T

-

; kT

-

( T

-

Tt)-'

.

(16) Il serait certainement intéressant de définir un «crossover » dynamique, décrivant par exemple le passage du régime tricritique au régime critique du point 1.

8. Conclusion. - Cette brève revue ne représente évidemment que le survol d'un sujet : le point tricritique, qui est en évolution rapide à l'intérieur d'un vaste domaine en pleine expansion et en pleine struc- turation : les phénomènes critiques des transitions de phase.

De nombreuses questions sont donc ouvertes, au premier rang desquelles, nous venons de le voir, celle des propriétés dynamiques ; il y a aussi, entre autres, celles de la conciliation des développements en .s et en lin, des points polycritiques pathologiques, des modèles compressibles.

Il est possible cependant de dégager la caractéristique fondamentale du point tricritique (et de la généraliser aux points polycritiques d'ordre supérieur) ; la pré- sence d'un troisième champ pertinent entrant en compétition avec les deux autres, les «renormalisant» par l'intermédiaire de sa dimension anormale, entraî- nant ainsi des effets spécifiques de «crossover» géné- rateurs de nouveaux exposants et susceptibles de bloquer les fluctuations et de précipiter une transition du premier ordre.

Bien entendu, comme pour un point critique ordinaire, la dimensionalité d'espace et celle du paramètre d'ordre sont des grandeurs fortement pertinentes qui, au-dessous de la dimensionalité caractéristique d, (abaissée de 4 à 3), ne laissent subsister l'universalité des exposants critiques qu'à (n, d ) fixé. De même, les

propriétés générales de symétrie, statique et dynamique, commandent toute classification systématique.

(10)

Notes ajoutées aux épreuves :

*

voir Lang, J. C . et Widom, B., Physica 81A (1975) 190 ;

**

voir Kawasaki, K., J. Phys. A 8 (1975) 262.

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