Processus de Poisson

Texte intégral

(1)25/12/2012 www.elmerouani.jimdo.com. Compléments. a ou er. M El. ® Processus de Poisson. 1. FP ni. Processus de Poisson: Système différentiel. P (N (t + ∆t ) − N (t ) ≥ 2 ) = ο ( ∆t ),    P ( N (t + ∆t ) − N (t ) = 1) = λ ∆t + ο ( ∆t ),  P ( N (t + ∆ t ) − N (t ) = 0 ) = 1 − λ ∆ t + ο ( ∆ t ) . • En notant. an. pn (t ) = P(N (t ) = n). ou. t Te. • Pour ∆t suffisamment petit, on a:. • On a: 2. 1.

(2) 25/12/2012 www.elmerouani.jimdo.com. On a: pn (t + ∆t ) = P( N (t ) = n)P(N (t + ∆t ) − N (t ) = 0) + + P( N (t ) = n −1)P( N (t + ∆t ) − N (t ) = 1) + ο (∆t ). M El. ®. Processus de Poisson: Système différentiel. = pn (t ) (1 − λ∆t ) + pn−1 (t ) (λ∆t ) + ο (∆t ) = pn (t ) + λ∆t[ pn−1 (t ) − pn (t )] + ο (∆t ). a ou er. d’où. pn (t + ∆t ) − pn (t ) ο (∆t ) = λ [ pn −1 (t ) − pn (t )] + ∆t ∆t 3. FP ni. Processus de Poisson: Système différentiel. p 'n (t ) = lim. ∆t →0. pn (t + ∆t ) − pn (t ) ∆t. ou. t Te. or. et donc, en passant à la limite pour Δt→0, il vient:. an. p 'n (t ) = λ [ pn −1 (t ) − pn (t )]. 4. 2.

(3) 25/12/2012 www.elmerouani.jimdo.com. M El. ®. Processus de Poisson: Système différentiel Il faut cependant isoler le cas particulier n=0: p0 (t + ∆t) = P( N(t) = 0) P( N(t + ∆t) − N (t) = 0) = p0 (t) [1− λ∆t + ο(∆t )]. a ou er. qui donne. p '0 (t ) = −λp0 (t ) 5. FP ni. Processus de Poisson: Système différentiel. t Te. Les fonctions pn(t) vérifient donc le système différentiel:. an. ou. p '0 (t ) = − λ p0 (t ),    p 'n (t ) = λ [ p n −1 (t ) − p n (t ) ] pour n > 0. 6. 3.

(4) 25/12/2012 www.elmerouani.jimdo.com. M El. ®. Processus de Poisson: Résolution du système différentiel 1.On a. p'0 (t ) = −λp0 (t ) ⇔ p0 (t ) = C0 e − λ t. a ou er. or p0 (0) = 1 donc p0 (t ) = e − λ t. 7. FP ni. Processus de Poisson: Résolution du système différentiel. t Te. 2. On a. p '1 (t ) = λp0 (t ) − λp1 (t ) = λe − λ t − λp1 (t ) p'1 (t ) = −λp1 (t ) ⇔ p1 (t ) = C1e − λ t. puis on fait varier la constante C1=C1(t) ce qui donne. p '1 (t ) = e − λ t [C1′(t ) − λC1 (t )]. an. ou. On résout tout d’abord. 8. 4.

(5) 25/12/2012 www.elmerouani.jimdo.com. et en reportant dans l’équation de départ, on a. M El. ®. Processus de Poisson: Résolution du système différentiel e − λ t [C 1′ ( t ) − λ C 1 ( t ) ] = e − λ t [λ − λ C 1 ( t ) ] ⇒ C 1′ ( t ) = λ ⇒ C 1 ( t ) = λ t + c1. p1 (t ) = (λt + c1 )e − λ t. a ou er d’où. donc. p1 (0) = 0. or. p1 (t ) = λte − λ t 9. FP ni. Processus de Poisson: Résolution du système différentiel. t Te. On peut montrer (par récurrence) que :. (λt )n n!. ou. ∀n ≥ 0, pn (t ) = e. −λ t. an. La propriété est vérifiée pour n=0 et n=1. Supposons qu’elle vrai pour n et démonter qu’elle l’est aussi pour n+1.. 10. 5.

(6) 25/12/2012 www.elmerouani.jimdo.com. M El. ®. Processus de Poisson: Résolution du système différentiel pn (t ) = e. −λ t. (λt )n ⇒ p′.  −λ t (λt )n  − pn +1 (t ) n +1 (t ) = λ e n!  . n!. (d’après, l’équation différentielle (2)). on a donc pn +1 (t ) = Cn +1 (t )e − λ t ⇒ p′n +1 (t ) = e − λ t [Cn′ +1 (t ) − λCn +1 (t )]. a ou er et, en reportant. e. −λ t. [Cn′ +1 (t ) − λCn +1 (t )] = e. −λ t.   (λt )n λ − λ C ( t )   n +1  n!  11. FP ni. Processus de Poisson: Résolution du système différentiel Cn′ +1. ( λt )n (t ) = λ ⇒C n!. ( λt )n +1 (t ) = +c (n + 1)!. n +1. pn +1 (0) = 0. on obtient finalement. pn +1 (t ) = e. −λ t. (λt )n+1. an. ou. et, en utilisant. n +1. t Te. d’où. (n + 1)! c.q.f.d. 12. 6.

(7) 25/12/2012 www.elmerouani.jimdo.com. • On s’intéresse maintenant à la durée (aléatoire) séparant deux occurrences de l’événement. • On se place à une date t0 et on s’intéresse à la variable T (temps d’attente jusqu’à l’occurrence du prochain événement. • On a P(T > t ) = P(N (t0 + t ) − N (t0 ) = 0 ). a ou er. M El. ®. Temps d’attente: Loi de la durée séparant deux événements. = P ( N (t ) = 0). (hypothèse B de homogénéité dans le temps) 13. FP ni. Temps d’attente: Loi de la durée séparant deux événements P(T > t ) = p0 (t ) = e − λ t. t Te. donc. La loi de T est donc indépendante de t0, et on a:. ou. P(T ≤ t ) = 1 − e − λ t ⇔ T ~ > εxp(λ ). an. Remarque: On ne se préoccupe pas de savoir si t0 est elle-même une date d’occurrence ou pas, car cela ne change pas la loi de T grâce à l’hypothèse de homogénéité dans le temps.. 14. 7.

(8) 25/12/2012 www.elmerouani.jimdo.com. Interprétation:. a ou er. M El. ®. • On a vu que N(t) suit une loi de Poisson de paramètre λt, on a donc N (1) ~ > P (λ ) ⇔ E [N (1)] = λ ce qui signifie que le nombre moyen d’événements survenant en une unité de temps est égal à λ. • On a vu de plus que T ~ > εxp(λ )on a donc E (T ) = 1 λ ce qui signifie que la durée moyenne séparant deux événements est égale à 1/λ. 15. FP ni an. ou. t Te 8.

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