الاحصاء

Texte intégral

(1)ò¾bÓ@M@1945@ðbß@8@òÈßbu înÛa@âìÜÇë@òíŠbvnÛaë@òí†b—nÓüa@âìÜÈÛa@òîÜ×. înÛa@âìÜÇ@áÓ. ‫س‬. 3@öb—yﬁa. ‫א‬. : ‫ א ول‬:. ‫אد‬. $%. …^ÏÖ]<‚fÂ<÷çe<J. 2018−2017. ‫א‬. ‫א‬. ! "‫א‬ ‫א‬. ‫א‬.

(2) ‫اﻝﻌﻨوان‬ ‫ﺘﻘدﻴم‬. ‫اﻝﺼﻔﺤﺔ‬ ‫أ‬. ‫اﻝﻔﺼل اﻷول‪ :‬اﻝﻤﻌﺎﻴﻨﺔ‬. ‫‪1‬‬. ‫‪ 1 – 1‬ﺘﻤﻬﻴد‬. ‫‪1‬‬. ‫‪ 2 – 1‬اﻝﻤﻌﺎﻴﻨﺔ اﻝﻌﺸواﺌﻴﺔ اﻝﺒﺴﻴطﺔ‬. ‫‪1‬‬. ‫‪ 1 – 2 – 1‬ﺘﻌرﻴﻔﺎت‬. ‫‪1‬‬. ‫‪ 2 – 2 – 1‬ﻤﻔﻬوم اﻝﻤﻌﺎﻴﻨﺔ اﻝﻌﺸواﺌﻴﺔ اﻝﺒﺴﻴط‬. ‫‪3‬‬. ‫‪ 1 – 2 – 2 – 1‬اﻝﻤﻌﺎﻴﻨﺔ ﻤن ﻤﺠﺘﻤﻊ ﻤﺤدود‬. ‫‪3‬‬. ‫‪ 2 – 2 – 2 – 1‬اﻝﻤﻌﺎﻴﻨﺔ ﻤن ﻤﺠﺘﻤﻊ ﻏﻴر ﻤﺤدود‬. ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬. ‫‪ 3 – 1‬ﺘوزﻴﻊ اﻝﻤﻌﺎﻴﻨﺔ‬ ‫‪ 1 – 3 – 1‬ﺘوزﻴﻊ اﻝﻤﻌﺎﻴﻨﺔ ﻝﻠﻤﺘوﺴط‬. ‫‪10‬‬. ‫‪ 2 – 3 – 1‬ﺘوزﻴﻊ اﻝﻤﻌﺎﻴﻨﺔ ﻝﻠﻨﺴب‬. ‫‪15‬‬. ‫‪ 3 – 3 – 1‬ﺘوزﻴﻊ اﻝﻤﻌﺎﻴﻨﺔ ﻝﻠﻔروق واﻝﻤﺠﺎﻤﻴﻊ‬. ‫‪17‬‬. ‫‪ 4 – 1‬ﺘﻤﺎرﻴن ﻤﺤﻠوﻝﺔ‬. ‫‪19‬‬ ‫اﻝﻔﺼل اﻝﺜﺎﻨﻲ‪ :‬اﻝﺘﻘدﻴر‬. ‫‪30‬‬. ‫‪ 1 – 2‬ﺘﻤﻬﻴد‬. ‫‪30‬‬. ‫‪ 2 – 2‬ﻤﻔﻬوم اﻝﺘﻘدﻴر‬. ‫‪31‬‬. ‫‪ 3 – 2‬اﻝﺘﻘدﻴر اﻝﻨﻘطﻲ‬. ‫‪31‬‬. ‫‪ 1 – 2 – 2‬ﺘﻘدﻴر ﻨﻘطﻲ ﻝﻤﺘوﺴط ﻤﺠﺘﻤﻊ‬. ‫‪31‬‬. ‫‪ 2 – 2 – 2‬ﺘﻘدﻴر ﻨﻘطﻲ ﻝﺘﺒﺎﻴن ﻤﺠﺘﻤﻊ‬. ‫‪32‬‬. ‫‪ 3 – 3 – 2‬ﺘﻘدﻴر ﻨﻘطﻲ ﻝﻨﺴﺒﺔ ﻤﺠﺘﻤﻊ‬. ‫‪34‬‬. ‫‪ 4 – 2‬اﻝﺘﻘدﻴر ﺒﻤﺠﺎل ﺜﻘﺔ‬ ‫‪ 1 – 4 – 2‬اﻝﺘﻘدﻴر ﺒﻤﺠﺎل ﺜﻘﺔ ﻝﻤﺘوﺴط‬. ‫‪36‬‬ ‫‪36‬‬. ‫‪ 1 – 1 – 4 – 2‬اﻝﺘﻘدﻴر ﺒﻤﺠﺎل ﺜﻘﺔ ﻝﻤﺘوﺴط ﺒﺎﺴﺘﺨدام اﻝﺘوزﻴﻊ اﻝطﺒﻴﻌﻲ‬. ‫‪36‬‬. ‫‪ 2 – 1 – 4 – 2‬اﻝﺘﻘدﻴر ﺒﻤﺠﺎل ﺜﻘﺔ ﻝﻤﺘوﺴط ﺒﺎﺴﺘﺨدام ﺘوزﻴﻊ ﺴﺘﻴودﻨت‬. ‫‪41‬‬. ‫‪ 3 – 1 – 4 – 2‬اﻝﺘﻘدﻴر ﺒﻤﺠﺎل ﺜﻘﺔ ﻝﻤﺘوﺴط ﺒﺎﺴﺘﺨدام ﻨظرﻴﺔ ﺘﺸﻴﺒﺘﺸﻴف‬. ‫‪44‬‬. ‫‪ 2 – 4 – 2‬اﻝﺘﻘدﻴر ﺒﻤﺠﺎل ﺜﻘﺔ ﻝﻨﺴﺒﺔ‬. ‫‪46‬‬. ‫‪ 3 – 4 – 2‬اﻝﺘﻘدﻴر ﺒﻤﺠﺎل ﺜﻘﺔ ﻝﻠﻔرق أو اﻝﻤﺠﻤوع ﺒﻴن ﻤﺘوﺴطﻴن‬. ‫‪48‬‬. ‫‪I‬‬.

(3) ‫‪ 1 – 3 – 4 – 2‬ﺤﺎﻝﺔ اﻝﻤﺠﺘﻤﻊ ﻴﺘﺒﻊ اﻝﺘوزﻴﻊ اﻝطﺒﻴﻌﻲ واﻝﺘﺒﺎﻴن ﻤﻌﻠوم‬. ‫‪48‬‬. ‫‪ 1 – 2 – 4 – 2‬ﺤﺎﻝﺔ اﻝﻤﺠﺘﻤﻊ ﻴﺘﺒﻊ اﻝﺘوزﻴﻊ اﻝطﺒﻴﻌﻲ واﻝﺘﺒﺎﻴن ﻤﺠﻬول‬. ‫‪49‬‬. ‫‪ 4 – 4 – 2‬اﻝﺘﻘدﻴر ﺒﻤﺠﺎل ﺜﻘﺔ ﻝﻠﻔرق أو اﻝﻤﺠﻤوع ﺒﻴن ﻨﺴﺒﺘﻴن‬. ‫‪52‬‬. ‫‪ 5 – 4 – 2‬اﻝﺘﻘدﻴر ﺒﻤﺠﺎل ﺜﻘﺔ ﻝﺘﺒﺎﻴن ﻤﺠﺘﻤﻊ‬. ‫‪54‬‬ ‫‪55‬‬. ‫‪ 5 – 2‬ﺨواص اﻝﻤﻘدر‬ ‫‪ 1 – 5 – 2‬ﻤﻘدر ﻏﻴر ﻤﺘﺤﻴز‬. ‫‪55‬‬. ‫‪ 2 – 5 – 2‬ﻤﻘدر ذو أﻗل ﺘﺒﺎﻴن‬. ‫‪56‬‬. ‫‪ 3 – 5 – 2‬ﻤﻘدر ﻤﺘﻘﺎرب‬. ‫‪56‬‬. ‫‪ 4 – 5 – 2‬ﻤﻘدر ﻜفء‬. ‫‪57‬‬ ‫‪58‬‬. ‫‪ 5 – 2‬ﺘﻤﺎرﻴن ﻤﺤﻠوﻝﺔ‬ ‫اﻝﻔﺼل اﻝﺜﺎﻝث‪ :‬اﺨﺘﺒﺎر اﻝﻔرﻀﻴﺎت‬. ‫‪71‬‬. ‫‪ 1 – 3‬ﺘﻤﻬﻴد‬. ‫‪71‬‬. ‫‪ 2 – 3‬اﻝﻤﻔﺎﻫﻴم اﻷﺴﺎﺴﻴﺔ ﻻﺨﺘﺒﺎر اﻝﻔرﻀﻴﺎت‬. ‫‪72‬‬. ‫‪ 3 – 3‬اﺨﺘﺒﺎر اﻝﻔرﻀﻴﺎت اﻝﻤﻌﻠﻤﻴﺔ‬. ‫‪76‬‬. ‫‪ 1 - 3 – 3‬اﺨﺘﺒﺎر اﻝﻔرﻀﻴﺎت ﺤول ﻤﺘوﺴط ﻤﺠﺘﻤﻊ‬. ‫‪77‬‬. ‫‪ 1 – 1 – 3 – 3‬اﺨﺘﺒﺎر اﻝﻔرﻀﻴﺎت ﺤول ﻤﺘوﺴط ﻤﺠﺘﻤﻊ ﺒﺎﺴﺘﺨدام اﻝﺘوزﻴﻊ اﻝطﺒﻴﻌﻲ‬. ‫‪77‬‬. ‫‪ 2 – 1 – 3 – 3‬اﺨﺘﺒﺎر اﻝﻔرﻀﻴﺎت ﺤول ﻤﺘوﺴط ﻤﺠﺘﻤﻊ ﺒﺎﺴﺘﺨدام ﺘوزﻴﻊ ﺴﺘﻴودﻨت‬. ‫‪80‬‬. ‫‪ 2 – 3 – 3‬اﺨﺘﺒﺎر اﻝﻔرﻀﻴﺎت ﺤول ﻨﺴﺒﺔ ﻤﺠﺘﻤﻊ‬. ‫‪83‬‬. ‫‪ 3 - 3 – 3‬اﺨﺘﺒﺎر اﻝﻔرﻀﻴﺎت ﻝﻠﻔروق واﻝﻤﺠﺎﻤﻴﻊ‬. ‫‪85‬‬. ‫‪ 1 – 3 – 3 – 3‬اﺨﺘﺒﺎر اﻝﻔرﻀﻴﺎت ﻝﻠﻔروق أو اﻝﻤﺠﺎﻤﻴﻊ ﺒﻴن ﻤﺘوﺴطﻴن‬. ‫‪85‬‬. ‫‪ 2 – 3 – 3 – 3‬اﺨﺘﺒﺎر اﻝﻔرﻀﻴﺎت ﻝﻠﻔروق أو اﻝﻤﺠﺎﻤﻴﻊ ﺒﻴن ﻨﺴﺒﺘﻴن‬. ‫‪90‬‬. ‫‪ 4 – 3‬اﺨﺘﺒﺎر اﻝﻔرﻀﻴﺎت اﻝﻼﻤﻌﻠﻤﻴﺔ‬. ‫‪92‬‬. ‫‪ 1 – 4 – 3‬اﺨﺘﺒﺎر ﻜﺎي ﻤرﺒﻊ‬. ‫‪92‬‬. ‫‪ 1 – 1 – 4 – 3‬ﻤﻘﺎرﻨﺔ اﻝﺘﻜ اررات اﻝﻤﺸﺎﻫدة واﻝﻤﺘوﻗﻌﺔ‬. ‫‪93‬‬. ‫‪ 2 – 1 – 4 – 3‬ﺘﺤدﻴد طﺒﻴﻌﺔ ﺘوزﻴﻊ ﺒﻴﺎﻨﺎت‬. ‫‪95‬‬. ‫‪ 3 – 1 – 4 – 3‬اﺨﺘﺒﺎرات اﻻﺴﺘﻘﻼل‬. ‫‪96‬‬. ‫‪ 2 – 4 – 3‬اﺨﺘﺒﺎر ﺘﺤﻠﻴل اﻝﺘﺒﺎﻴن‬ ‫‪ 5 – 3‬ﻗوة اﻻﺨﺘﺒﺎر وﻤﻨﺤﻰ ﺘوﺼﻴف اﻝﻌﻤﻠﻴﺎت‬. ‫‪99‬‬ ‫‪103‬‬. ‫‪II‬‬.

(4) ‫‪ 1 – 5 – 3‬ﻗوة اﻻﺨﺘﺒﺎر‬. ‫‪103‬‬. ‫‪ 2 – 5 – 3‬ﻤﻨﺤﻨﻰ ﺘوﺼﻴف اﻝﻌﻤﻠﻴﺎت‬. ‫‪106‬‬ ‫‪108‬‬. ‫‪ 6 – 3‬ﺘﻤﺎرﻴن ﻤﺤﻠوﻝﺔ‬ ‫اﻝﻔﺼل اﻝراﺒﻊ‪ :‬ﻨﻤوذج اﻻﻨﺤدار اﻝﺨطﻲ اﻝﺒﺴﻴط‬. ‫‪121‬‬. ‫‪ 1 – 4‬ﺘﻤﻬﻴد‬. ‫‪121‬‬. ‫‪ 2 – 4‬ﻤﻔﻬوم ﻨﻤوذج اﻻﻨﺤدار اﻝﺨطﻲ اﻝﺒﺴﻴط‬. ‫‪122‬‬. ‫‪ 1 - 2 – 4‬ﺘﻌرﻴف ﻨﻤوذج اﻻﻨﺤدار اﻝﺨطﻲ اﻝﺒﺴﻴط‬. ‫‪122‬‬. ‫‪ 2 - 2 – 4‬اﻝﺼﻴﺎﻏﺔ اﻝرﻴﺎﻀﻴﺔ ﻝﻨﻤوذج اﻻﻨﺤدار اﻝﺨطﻲ اﻝﺒﺴﻴط‬. ‫‪123‬‬. ‫‪ 3 – 2 – 4‬دراﺴﺔ اﻝﺨطﻴﺔ ﺒﻴن اﻝﻤﺘﻐﻴرﻴن اﻝﺘﺎﺒﻊ واﻝﻤﺴﺘﻘل‬. ‫‪125‬‬ ‫‪126‬‬. ‫‪ 3 – 4‬ﺘﻘدﻴر ﻨﻤوذج اﻻﻨﺤدار اﻝﺨطﻲ اﻝﺒﺴﻴط‬ ‫‪ 1 – 3 – 4‬ﻓرﻀﻴﺎت طرﻴﻘﺔ اﻝﻤرﺒﻌﺎت اﻝﺼﻐرى )ﺸروط ‪(Gauss-Markov‬‬. ‫‪127‬‬. ‫‪ 2 – 3 – 4‬ﺘﻘدﻴر ﻤﻌﺎﻝم ﻨﻤوذج اﻻﻨﺤدار اﻝﺨطﻲ اﻝﺒﺴﻴط‬. ‫‪130‬‬. ‫‪ 4 – 4‬ﺘﺸﻜﻴل ﻤﺠﺎﻻت اﻝﺜﻘﺔ ﻝﻠﻘﻴم اﻝﻤﻘدرة‬ ‫‪ 1 – 4 – 4‬اﻻﻨﺤراف اﻝﻤﻌﻴﺎري ﻝﻠﺘﻘدﻴر ﻝﻜل ﻤن‬. ‫‪133‬‬ ‫‪, ,‬‬. ‫‪134‬‬. ‫‪ 2 – 4 – 4‬ﺘﺸﻜﻴل ﻤﺠﺎﻻت اﻝﺜﻘﺔ ﻝﻠﻤﻌﻠﻤﺔ اﻝﻤﻘدرة‬. ‫‪134‬‬. ‫‪ 3 – 4 – 4‬ﺘﺸﻜﻴل ﻤﺠﺎﻻت اﻝﺜﻘﺔ ﻝﻠﻤﻌﻠﻤﺔ اﻝﻤﻘدرة‬. ‫‪135‬‬. ‫‪ 4 – 4 – 4‬ﺘﺸﻜﻴل ﻤﺠﺎل ﺜﻘﺔ ﻝﻠﺨطﺄ اﻝﻌﺸواﺌﻲ‬. ‫‪137‬‬. ‫‪ 5 – 4‬اﻻﺨﺘﺒﺎرات اﻹﺤﺼﺎﺌﻴﺔ‬. ‫‪138‬‬. ‫‪ 1 - 5 – 4‬اﺨﺘﺒﺎر ﺴﺘﻴودﻨت )اﺨﺘﺒﺎر ﻤﻌﻨوﻴﺔ اﻝﻤﻌﻠﻤﺘﻴن ˆ‪( aˆ , b‬‬. ‫‪138‬‬. ‫‪ 2 – 5 – 4‬اﺨﺘﺒﺎرات اﻝﻔروض اﻝﺨﺎﺼﺔ ﺒﺎﻝﻤﻘدرﻴن‬. ‫‪140‬‬. ‫‪ 3 – 5 – 4‬اﺨﺘﺒﺎر ﺠودة اﻝﺘوﻓﻴق واﻻرﺘﺒﺎط‬. ‫‪142‬‬. ‫‪ 4 – 5 – 4‬اﺨﺘﺒﺎر ﻓﻴﺸر‬. ‫‪145‬‬. ‫‪ 6 – 4‬اﻝﺘوﻗﻊ ﺒﺎﺴﺘﺨدام ﻨﻤوذج اﻻﻨﺤدار اﻝﺨطﻲ اﻝﺒﺴﻴط‬. ‫‪146‬‬. ‫‪ 7 – 4‬ﺘﻤﺎرﻴن ﻤﺤﻠوﻝﺔ‬. ‫‪149‬‬. ‫ﻤﺴﺎﺌل ﻤﺤﻠوﻝﺔ‬. ‫‪160‬‬. ‫ﻤﺴﺎﺌل واﺨﺘﺒﺎرات ﻤﻘﺘرﺤﺔ‬. ‫‪177‬‬. ‫اﻝﻤﺼﺎدر‬. ‫‪187‬‬. ‫اﻝﺠداول اﻹﺤﺼﺎﺌﻴﺔ‬. ‫‪III‬‬.

(5) ‫دو‬. ‫א‬. ‫א‬. ‫ز‬. ‫‪ ،‬א!‬. ‫‪ #$%‬وא " ‪ )(' '#( .‬א * !‬. ‫א!‪'0‬א‪ ،)/‬א ‪ # 1 23 ، # 0 4% ,%‬و '‪ . # 5‬و‪5‬‬ ‫‪ 5‬د ‪ B C D‬א! ‪A% :%‬‬ ‫‪" N C O‬א‬. ‫' > ‪ <=/‬א * !‬. ‫א!‪ ,% ,-. +‬د א*‬ ‫א‬. ‫;‬. ‫‪67 89 :-‬‬. ‫א@ ‪ >4-‬א!‪' +‬א?‪=E . $#‬א‪=/ G H ،‬א א@ س א@ ‪'$‬ن ‪" I‬א‬. ‫א!‬. ‫‪ <=/ ,%‬א * !‬. ‫‪ P-L ! ."G‬א!‬. ‫‪)M=%‬א> א! ‪)U‬ج‪ ،‬و‪=M‬א א! ‪A% :%‬‬. ‫א‬. ‫; ‪)S‬ض א! م‬. ‫א@ ‪ >4-‬א!‪' +‬א?‪##‬‬ ‫א!"‪W $‬‬. ‫‪3‬ن ‪ <=/‬א@ '‪)X Y ,C D C ، C‬א> ‪! 6% 5‬‬. ‫א!`‪ 4%‬א * =‪ D‬و‪=M‬א א!‬. ‫א* ‪ #‬א@ א‬. ‫א‪ D V‬א! ‪. L‬‬. ‫! " ‪' C Z‬م א! " \ [ ‪، @ 5 1945 ] % 8 %‬‬. ‫و_ א!"‪ % [ ! % ^! W $‬א! ) ‪9 ] #% , G‬م א! 'א‪ .G5‬و! ‪! 6 )W9‬‬ ‫‪LM .2007 $* =$%‬‬. ‫‪9 ."3‬و ‪LM‬‬. ‫‪ ,%‬א! '? ‪ > #‬وא@‪,% > 0 4‬‬. ‫‪ <=/ a‬א@ '‪9 C‬دא‪ ! D‬א* ‪\ " : #$% Z % D C‬‬. ‫א@ `א ‪ ،‬א‪ 5c‬د א!‪...،G -‬‬ ‫? > ‪ <=/‬א@ '‪C‬‬. ‫( 'ل و(‪ O‬א@ ) א!'زא ] و‪ :G/‬א@ ‪ ، $‬א!‬. ‫‪9‬‬. ‫א‪ G k‬א! " ‪ .j‬و‪ 6$Ll 5‬א!‬ ‫א! !‬. ‫‪ ,%‬א ‪ ^%‬א!‬ ‫و ‪,% ,-L‬‬. ‫‪ ،‬א! ‪ , L‬א‪ !' m‬و‪=M‬א ‪ ، n % :; "%‬و‪=/‬א !‪' G-‬د‬. ‫‪ O‬א‪o‬‬. ‫א ‪9 c3 p " c ،\h‬ن ‪ 9‬م ‪ C BqH‬א> א! ‪ )-‬وא!‬ ‫‪ )%‬א! ج و‪%‬‬. ‫)‪ ،‬א‪h‬‬. ‫א!‪ > X)g‬و‪'f‬ذج א‪ ic‬א‬. ‫א!‪ B C ])0$‬א‪ D V‬א! ‪. L‬‬ ‫)‪ G = *9 :-! ،‬א!= ‪'!= ,‬א ?‪ #‬א ‪\ M‬א‬. ‫א! ج ‪=/‬א א‪ ،: V‬و‪.9 )M=! rh9‬د ‪)u‬‬. ‫‪$$ '-‬‬. ‫‪ t‬ط و‪.9‬د א!" ] ? ل‪.‬‬. ‫أ‬.

(6) ‫א‬. ‫א ول‪ :‬א‬. ‫اﻝﻔﺼل اﻷول‪ :‬اﻝﻤﻌﺎﻴﻨﺔ ‪Sampling‬‬ ‫‪ 1 – 1‬ﺘﻤﻬﻴد‬ ‫ﻴﻬﺘم ﻋﻠم اﻹﺤﺼﺎء ﺒﺠﻤﻊ وﺘﺤﻠﻴل وﻋﻤل اﺴﺘدﻻﻻت ﺤول اﻝظﺎﻫرة اﻝﻤدروﺴﺔ‪ .‬إن ﻫذا اﻝﺘﻌرﻴف‬ ‫ﻴﺤﻤل ﻓﻲ دﻻﻝﺘﻪ اﻝﻜﺜﻴر ﻤن اﻝﺠواﻨب‪ .‬ﻓﻌﻤﻠﻴﺔ ﺠﻤﻊ ﺒﻴﺎﻨﺎت ﻋن ظﺎﻫرة ﻤﺎ ﻻ ﺘﻌد ﻤﺴﺄﻝﺔ ﺒﺴﻴطﺔ‪ .‬ﺒل ﺘﺴﺘﻠزم‬ ‫اﻝﻜﺜﻴر ﻤن اﻝﻔرﻀﻴﺎت واﻹﺠراءات ﻝﺘﻨﻔﻴذﻫﺎ‪ .‬أوﻝﻰ ﻫذﻩ اﻹﺠراءات ﻫﻲ ﺘﺤدﻴد اﻝﻌﻴﻨﺔ اﻝﻤراد دراﺴﺘﻬﺎ‪ ،‬ﻤن‬ ‫ﺤﻴث ﺤﺠﻤﻬﺎ وﺘرﻜﻴﺒﺘﻬﺎ‪ .‬أﻤﺎ ﺘﺤﻠﻴل اﻝﺒﻴﺎﻨﺎت ﻓﻴﻌﺘﺒر أﻜﺜر ﻤن ﻤﺠرد ﻤﻌرﻓﺔ ﻤﻌﺎﻨﻲ اﻝﻤﺼطﻠﺤﺎت اﻹﺤﺼﺎﺌﻴﺔ‪.‬‬ ‫وﻴﺘﻀﻤن ﻤزﻴﺠﺎ ﻤن ﺴﻼﻤﺔ اﻝﺘﻔﻜﻴر واﻝﺤدس واﻝﺨﺒرة اﻝﺘﻘﻨﻴﺔ واﻝﻔﻀول‪ .‬ﺨﺼوﺼﺎ أن ﺘﺤﻠﻴل اﻝﺒﻴﺎﻨﺎت ﻻ‬ ‫ﻴﻌﺘﺒر ﻋﻤﻠﻴﺔ رﺘﻴﺒﺔ‪ ،‬ﻓﻠﻜل ﺒﻴﺎﻨﺎت ﻨﺴﺘﺨدﻤﻬﺎ ﺘﻌﺘﺒر وﺤﻴدة ﺒطرﻴﻘﺔ ﻤﺎ‪ .‬أﻤﺎ اﻻﺴﺘدﻻل ﺤول اﻝظﺎﻫرة اﻝﻤدروﺴﺔ‬ ‫ﻓﻴﻌﺘﺒر ﺠوﻫر اﻝﻌﻤﻠﻴﺎت اﻹﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﻝﻤﺎ ﻴوﻓرﻩ ﻝﻨﺎ ﻤن ﻤﻌﻠوﻤﺎت ﻨﻌﺘﻤد ﻋﻠﻴﻬﺎ ﻓﻲ ﻤﺨﺘﻠف اﻷﻨﺸطﺔ اﻹﻨﺴﺎﻨﻴﺔ‪.‬‬. ‫‪1‬‬.

(7) ‫‪3‬‬ ‫‪ 2 – 1‬اﻝﻤﻌﺎﻴﻨﺔ اﻝﻌﺸواﺌﻴﺔ اﻝﺒﺴﻴطﺔ‬ ‫ﻏﺎﻝﺒﺎ ﻤﺎ ﻨﻬﺘم ﻓﻲ اﻝﺤﻴﺎة اﻝﻌﻤﻠﻴﺔ ﺒﺎﺴﺘﺨﻼص ﻨﺘﺎﺌﺞ ﺘﺨص ﻤﺠﻤوﻋﺔ ﻜﺒﻴرة ﻤن اﻝﻤﻔردات اﻝﺘﻲ ﺘﺴـﻤﻰ‬ ‫ﻤﺠﺘﻤﻌــﺎ )‪ .(Population‬ﻓﺒــدﻻ ﻤــن د ارﺴــﺔ ﻜﺎﻤــل اﻝﻤﺠﻤوﻋــﺔ‪ ،‬وﻫــذا ﻤــﺎ ﻴﻜــون ﻤﺴــﺘﺤﻴﻼ ﻓــﻲ أﻏﻠــب اﻷﺤﻴــﺎن‬ ‫ﺒﺴﺒب ﻋﺎﻤﻠﻲ اﻝوﻗت واﻝﺘﻜﻠﻔﺔ‪ ،‬ﻴﻤﻜن أن ﺘﺘﺸﻜل ﻝدﻴﻨﺎ ﻓﻜرة ﻋﻨﻪ ﺒدراﺴﺔ ﺠزء ﺼﻐﻴر ﻤن ﻫـذا اﻝﻤﺠﺘﻤـﻊ ﻨﺴـﻤﻴﻪ‬ ‫اﻝﻌﻴﻨﺔ )‪.(Sample‬‬ ‫‪ 1 – 2 – 1‬ﺘﻌرﻴﻔﺎت‬ ‫اﻝﻤﺠﺘﻤﻊ‪:‬‬ ‫ﻴﻌــرف اﻝﻤﺠﺘﻤــﻊ ﺒﺄﻨــﻪ‪" :‬ﻤﺠﻤوﻋــﺔ ﻋﻨﺎﺼــر ﺘﺸــﺘرك ﻓــﻲ ﺨﺎﺼــﻴﺔ أو أﻜﺜــر ﻗــد ﻴﻜــون ﻤﺤــدود أو ﻏﻴــر‬ ‫ﻤﺤدود"‪.‬‬ ‫ﻤﺜــﺎل رﻗــم )‪ :(1-1‬ﻨرﻏــب ﻓــﻲ اﺴــﺘﺨﻼص ﻨﺘــﺎﺌﺞ ﺤـول أطـوال ‪ 10000‬طﺎﻝــب ﻤــن ﺨــﻼل ﻓﺤــص ‪100‬‬ ‫طﺎﻝب ﻓﻘط‪ ،‬ﻓـﻲ ﻫـذﻩ اﻝﺤﺎﻝـﺔ ﻴﺘﻜـون اﻝﻤﺠﺘﻤـﻊ ﻤـن ‪ 10000‬طﺎﻝـب‪ ،‬ﺒﻴﻨﻤـﺎ ﺘﺘﻜـون اﻝﻌﻴﻨـﺔ ﻤـن ‪ 100‬طﺎﻝـب‬ ‫ﻤﺴﺤوب ﻤن ﻫذا اﻝﻤﺠﺘﻤﻊ‪.‬‬ ‫ﻤﺜــﺎل رﻗــم )‪ :(2-1‬ﻨرﻏــب ﻓــﻲ اﺴــﺘﺨﻼص ﻨﺘــﺎﺌﺞ ﺘﺨــص ﺘﺠــﺎﻨس ﻗطﻌــﺔ ﻨﻘدﻴــﺔ ﻤﻌﻴﻨــﺔ ﻤــن ﺨــﻼل رﻤﻴﻬــﺎ‬ ‫ﺒﺸﻜل ﻤﺘﻜرر‪ ،‬ﻴﺘﺸﻜل اﻝﻤﺠﺘﻤﻊ ﻤن ﻜل ﻨﺘﺎﺌﺞ رﻤـﻲ اﻝﻘطﻌـﺔ اﻝﻨﻘدﻴـﺔ اﻝﻤﻤﻜﻨـﺔ‪ ،‬أﻤـﺎ اﻝﻌﻴﻨـﺔ ﻓـﻴﻤﻜن اﻝﺤﺼـول‬ ‫ﻋﻠﻴﻬﺎ ﺒﻔﺤص أول ‪ 50‬رﻤﻴﺔ ﻤﺜﻼ‪.‬‬ ‫ﻨﻼﺤظ أن اﻝﻤﺠﺘﻤﻊ ﻓﻲ اﻝﻤﺜﺎل ‪ 1‬ﻤﺤدود أﻤﺎ ﻓﻲ اﻝﻤﺜﺎل ‪ 2‬ﻓﻬو ﻏﻴر ﻤﺤدود‪.‬‬ ‫اﻝﻌﻴﻨﺔ‪:‬‬ ‫ﺘﻌرف اﻝﻌﻴﻨﺔ ﺒﺄﻨﻬﺎ‪" :‬ﺠزء ﻤﺴﺤوب ﻤن ﻤﺠﺘﻤﻊ"‪.‬‬ ‫اﻝﻤﻌﻠﻤﺔ )‪:(Paramètre‬‬ ‫ﻫﻲ ﺨﺎﺼﻴﺔ وﺼﻔﻴﺔ ﻝﻤﺠﺘﻤﻊ ﻤﺎ‪ .‬ﻤﺜل اﻝوﺴط اﻝﺤﺴﺎﺒﻲ ‪ ، µ‬اﻻﻨﺤراف اﻝﻤﻌﻴﺎري ‪ ، δ‬اﻝﻨﺴﺒﺔ ‪.P‬‬ ‫وﻴﻌﺘﺒ ــر اﻝﻤﺠﺘﻤ ــﻊ ﻤﻌ ــروف ﻋﻨ ــدﻤﺎ ﻨﻌﻠ ــم ﺘوزﻴﻌ ــﻪ اﻻﺤﺘﻤ ــﺎﻝﻲ )داﻝ ــﺔ اﻻﺤﺘﻤ ــﺎل‪ ،‬داﻝ ــﺔ اﻝﺘوزﻴ ــﻊ أو داﻝ ــﺔ‬ ‫اﻝﻜﺜﺎﻓﺔ(‪ ،‬ﻝﻠﻤﺘﻐﻴر اﻝﻌﺸواﺌﻲ اﻝﻤراﻓق ﻝﻪ ‪.X‬‬. ‫‪2‬‬.

(8) ‫א‬. ‫א ول‪ :‬א‬ ‫ﻓﻲ اﻝﻤﺜـﺎل ‪ 1‬إذا ﻜـﺎن ‪ X‬ﻤﺘﻐﻴـر ﻋﺸـواﺌﻲ ﻗﻴﻤـﻪ ﻫـﻲ أطـوال اﻝطـﻼب اﻝ ـ ‪ ،10000‬ﺒﺎﻝﺘـﺎﻝﻲ ﻓـﺈن ﻝ ـ ‪X‬‬. ‫اﻝﺘوزﻴﻊ اﻻﺤﺘﻤﺎﻝﻲ وﻝﻴﻜن )‪.F(x‬‬ ‫اﻹﺤﺼﺎﺌﻴﺔ )‪:(Statistic‬‬ ‫ﻫﻲ ﺨﺎﺼﻴﺔ وﺼﻔﻴﺔ ﻝﻠﻌﻴﻨﺔ‪ ،‬ﻤﺜل اﻝوﺴط اﻝﺤﺴﺎﺒﻲ ‪ ، x‬اﻻﻨﺤراف اﻝﻤﻌﻴﺎري ‪ ،s‬اﻝﻨﺴﺒﺔ ‪. p‬‬ ‫ﺤﻴــث أن ﺘﺸــﻜﻴل اﻝﻌﻴﻨــﺔ ﻝــﻴس اﻝﻬــدف ﺒﺤــد ذاﺘــﻪ‪ ،‬ﺒــل اﻝﻬــدف ﻫــو اﻝوﺼــول إﻝــﻰ اﺴــﺘدﻻﻻت ﺤــول‬ ‫ﻤﻌﻠﻤﺎت اﻝﻤﺠﺘﻤﻊ اﻝـذي ﺴـﺤﺒت ﻤﻨـﻪ اﻝﻌﻴﻨـﺔ‪ .‬وﺒﺎﻝﺘـﺎﻝﻲ ﻓﺈﻨﻨـﺎ ﻨـدﻋو أي ﻤﻘـدار وﺼـﻔﻲ ﻨﺤﺼـل ﻋﻠﻴـﺔ ﻤـن ﻋﻴﻨـﺔ‬ ‫ﻝﺘﻘدﻴر ﻤﻌﺎﻝم اﻝﻤﺠﺘﻤﻊ ﺒﺎﻹﺤﺼﺎﺌﻴﺔ‪.‬‬ ‫• ﻓﻲ اﻝﺤﺎﻝﺔ اﻝﻌﺎﻤﺔ ﺴﻴﻜون ﻫﻨﺎك ﻤﻘﺎﺒل ﻜل ﻤﻌﻠﻤﺔ ﻓﻲ اﻝﻤﺠﺘﻤﻊ إﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﺘﺤﺴب ﻤن اﻝﻌﻴﻨﺔ‪ ،‬وﺴوف‬ ‫ﻨﺴﺘﺨدم )‪ (µ , δ , P‬ﻝﻨرﻤز إﻝﻰ اﻝوﺴط اﻝﺤﺴـﺎﺒﻲ‪ ،‬اﻻﻨﺤـراف اﻝﻤﻌﻴـﺎري و اﻝﻨﺴـﺒﺔ ﻜﻤﻌﻠﻤـﺎت اﻝﻤﺠﺘﻤـﻊ‪،‬‬ ‫ﺒﺎﻝﻤﻘﺎﺒـ ــل ﺴـ ــوف ﻨﺴـ ــﺘﺨدم )‪ ( x , s, p‬ﻝﻨرﻤـ ــز إﻝـ ــﻰ اﻝوﺴـ ــط اﻝﺤﺴـ ــﺎﺒﻲ‪ ،‬اﻻﻨﺤ ـ ـراف اﻝﻤﻌﻴـ ــﺎري واﻝﻨﺴـ ــﺒﺔ‬ ‫ﻜﺈﺤﺼﺎﺌﻴﺎت اﻝﻌﻴﻨﺔ‪.‬‬ ‫‪ 2 – 2 – 1‬ﻤﻔﻬوم اﻝﻤﻌﺎﻴﻨﺔ اﻝﻌﺸواﺌﻴﺔ اﻝﺒﺴﻴطﺔ )‪:(Simple random sampling‬‬ ‫ﻴﻤﻜن اﺴﺘﺨدام اﻝﻌدﻴد ﻤن اﻝطرق ﻻﺨﺘﻴﺎر ﻋﻴﻨﺔ ﻤن ﻤﺠﺘﻤﻊ‪ ،‬وﺘﻌﺘﺒر اﻝﻤﻌﺎﻴﻨﺔ اﻝﻌﺸواﺌﻴﺔ اﻝﺒﺴﻴطﺔ ﻤن‬ ‫أﺒﺴـط وأﻫــم ﻫـذﻩ اﻝطــرق‪ .‬وﻴﺨﺘﻠــف ﺘﻌرﻴـف اﻝﻤﻌﺎﻴﻨــﺔ اﻝﻌﺸـواﺌﻴﺔ اﻝﺒﺴـﻴطﺔ وﻜﻴﻔﻴــﺔ اﺴــﺘﺨداﻤﻬﺎ ﻝﺴـﺤب ﻋﻴﻨــﺔ ﻤــن‬ ‫ﻤﺠﺘﻤﻊ ﻓﻴﻤﺎ إذا ﻜﺎن اﻝﻤﺠﺘﻤﻊ ﻤﺤدود أو ﻏﻴر ﻤﺤدود‪.‬‬ ‫‪ 1 – 2 – 2 – 1‬اﻝﻤﻌﺎﻴﻨﺔ ﻤن ﻤﺠﺘﻤﻊ ﻤﺤدود )‪(Sampling from a Finite Population‬‬ ‫ﺘﻌد ﻤن أﺒﺴط أﻨواع طرق اﺨﺘﻴﺎر اﻝﻌﻴﻨﺔ‪ ،‬وﺴـوف ﻨﺴـﺘﺨدم ﻤﺼـطﻠﺢ اﻝﻤﻌﺎﻴﻨـﺔ ﻝﻠدﻻﻝـﺔ ﻋﻠﻴـﻪ‪ ،‬وﺘﻌـرف‬ ‫اﻝﻤﻌﺎﻴﻨــﺔ ﻤــن ﻤﺠﺘﻤــﻊ ﻤﺤــدود ﺒﺄﻨﻬــﺎ‪" :‬اﺴــﺘﺨراج ‪ n‬ﻋﻨﺼــر ﻤــن اﻝﻤﺠﺘﻤــﻊ ‪ N‬ﺒﺤﻴــث أن ﻜــل اﻝﺴــﺤوﺒﺎت ﻴﻜــون‬ ‫ﻝدﻴﻬﺎ ﻨﻔس اﻻﺤﺘﻤﺎل‪ ،‬أي أن ﻜل ﻋﻨﺼر ﻴﺠب أن ﻴﺴﺤب ﺒطرﻴﻘﺔ ﻤﺴﺘﻘﻠﺔ ﻋن اﻝﻌﻨﺎﺼر اﻷﺨرى"‪.‬‬. ‫‪1‬‬. ‫ﺘوﺠد ﻋدة طرق ﻻﺨﺘﻴﺎر اﻝﻌﻴﻨﺔ اﻝﻌﺸواﺌﻴﺔ اﻝﺒﺴﻴطﺔ ﻤن ﻤﺠﺘﻤﻊ ﻤﺤدود ﻤﻨﻬﺎ‪:‬‬. ‫‪1‬‬. ‫‪- David R. Anderson, Dennis J. Sweeney, Thomas A. Williams (2005). Statistiques pour‬‬ ‫‪l’économie et la gestion, De Boeck. France, p 315.‬‬. ‫‪3‬‬.

(9) ‫‪3‬‬ ‫أوﻻ‪ :‬اﻝطرﻴﻘﺔ اﻝﻴدوﻴﺔ‬ ‫ﻴــﺘم ﺘﺴــﺠﻴل وﺤــدات اﻝﻤﺠﺘﻤــﻊ ﻓــﻲ أوراق‪ ،‬وﻤــن ﺜــم ﻴــﺘم ﺨﻠــط ﻫــذﻩ اﻷوراق ﺠﻴــدا‪ ،‬وﺒﻌــدﻫﺎ ﻴــﺘم ﺴــﺤب‬ ‫ﻋدد ﻤﻔردات اﻝﻌﻴﻨﺔ ﺒﺼﻔﺔ ﻋﺸواﺌﻴﺔ‪.‬‬ ‫ﻨﻼﺤظ أن ﻫذﻩ اﻝطرﻴﻘﺔ ﻋﻤﻠﻴﺔ ﻓﻘط ﻓﻲ ﺤﺎﻝﺔ اﻝﻤﺠﺘﻤﻌﺎت اﻝﺼﻐﻴر اﻝﺤﺠم‪ ،‬أﻤﺎ إذا ﻜﺎﻨت اﻝﻤﺠﺘﻤﻌﺎت‬ ‫ﻜﺒﻴرة اﻝﺤﺠم‪ ،‬ﻓﻬﻲ ﺘﺼﺒﺢ ﻤﻜﻠﻔﺔ وﺘﺴﺘﻠزم اﻝﻜﺜﻴر ﻤن اﻝوﻗت‪.‬‬ ‫ﺜﺎﻨﻴﺎ‪ :‬اﺴﺘﺨدام ﺠداول اﻷﻋداد اﻝﻌﺸواﺌﻴﺔ‬ ‫ﺘﻘــوم ﻫــذﻩ اﻝطرﻴﻘــﺔ ﻋﻠــﻰ إﻋطــﺎء ﺘرﺘﻴــب ﻤﺤــدد ﻝﻤﻔــردات اﻝﻤﺠﺘﻤــﻊ ﻤــن ‪ 1‬إﻝــﻰ ﻏﺎﻴــﺔ ‪ ،N‬ﺒﺤﻴــث ﻜــل‬ ‫ﻤﻔردة ﻴﻜون ﺘرﺘﻴﺒﻬﺎ ﻤﻜون ﻤن ﻋدد أﻋداد اﻝﻤﺠﺘﻤﻊ‪ .‬ﺒﻌد ذﻝك‪ ،‬ﻨﺄﺨذ أﺤد ﺼـﻔﺤﺎت اﻝﺠـداول اﻝﻌﺸـواﺌﻴﺔ‪ ،‬اﻝﺘـﻲ‬ ‫ﻴظﻬــر اﻝﺠــدول رﻗــم )‪ (1-1‬إﺤــداﻫﺎ‪ .‬ﻨﺨﺘــﺎر ﻋﻤــود∗ ﻴﻜــون ﻤﺴــﺎوﻴﺎ ﻝﻌــدد أﻋــداد ﺤﺠــم اﻝﻤﺠﺘﻤــﻊ‪ ،‬واﻝﺘــﻲ ﺘﻤﺜــل‬ ‫ﺘرﺘﻴب ﻋﻨﺎﺼر اﻝﻌﻴﻨﺔ اﻝﻤﺄﺨوذة‪ ،‬ﻤﻊ إﻝﻐﺎء اﻝﻌدد اﻝﻌﺸواﺌﻲ اﻝذي ﻴﻜون ﺨﺎرج اﻝﻌﻴﻨﺔ‪.‬‬ ‫ﻤﺜﺎل رﻗم )‪ :(3-1‬إذا ﻜﺎن ﻝدﻴك ﻤﺠﺘﻤﻊ ﻴﺘﻜون ﻤـن ‪ 400‬طﺎﻝـب ﻓـﻲ ﻗﺴـم ﺴـﻨﺔ ﺜﺎﻨﻴـﺔ ﺠـﺎﻤﻌﻲ ﺘﺨﺼـص‬ ‫ﻤﺎﻝﻴﺔ‪ ،‬وﻨرﻏب ﻓﻲ أن ﻨﺄﺨذ ﻋﻴﻨﺔ ﻋﺸواﺌﻴﺔ ﺒﺴﻴطﺔ ﺤﺠﻤﻬﺎ ‪ 10‬ﻤن ﻫذا اﻝﻤﺠﺘﻤﻊ‪.‬‬ ‫اﻝﺤل‪:‬‬ ‫ﻨﻘـ ــوم ﺒﺘرﺘﻴـ ــب أﻓـ ــرد اﻝﻤﺠﺘﻤـ ــﻊ ﺒﺎﻝﺼـ ــورة اﻝﺘﺎﻝﻴـ ــﺔ‪ .400 ،399،... ،003 ،002 ،001 :‬ﺒﻌـ ــدﻫﺎ‬ ‫ﻨﺨﺘﺎر ﻋﻨﺎﺼر ﻫذﻩ اﻝﻌﻴﻨﺔ ﺒﺎﺴﺘﺨدام ﺠدول اﻷﻋداد‪ ،‬ﺤﻴث ﻨﺄﺨذ اﻝﻌﻤود اﻷول واﻝﺜﺎﻨﻲ واﻝﺜﺎﻝث‪ ،‬واﻝﺘﻲ ﻫﻲ‪:‬‬ ‫‪.165 ،021 ،353 ،116 ،280 ،162 ،380 ،211 ،005 ،139‬‬ ‫ﺜﺎﻝﺜﺎ‪ :‬اﺴﺘﺨدام اﻝﺒرﻤﺠﻴﺎت‬ ‫ﺘوﺠــد اﻝﻌدﻴــد ﻤــن اﻝﺒرﻤﺠﻴــﺎت اﻝﺘــﻲ ﺘﺴــﻤﺢ ﻝﻨــﺎ آﻨﻴــﺎ ﺒﺎﻝﺤﺼــول ﻋﻠــﻰ اﻷﻋــداد اﻝﻌﺸ ـواﺌﻴﺔ‪ ،‬ﺤﻴــث ﻴﻜﻔــﻲ‬ ‫إدﺨـﺎل ﺒﻌـض اﻝﻤﻌﻠوﻤـﺎت ﻝﻬـﺎ‪ ،‬واﻝﻨﻘـر ﻝﻠﺤﺼـول ﻋﻠـﻰ اﻝﻌﻴﻨـﺔ اﻝﻌﺸـواﺌﻴﺔ اﻝﻤرﻏوﺒـﺔ‪ .‬ﻤـن ﻫـذﻩ اﻝﺒرﻤﺠﻴـﺎت ﻨﺠــد‪:‬‬ ‫‪...،Minitab ،SPSS ،Excel‬‬. ‫∗ ‪ !"#‬ا‬. ‫ر أي‬. ‫ول ا‬. ‫اد ا‬. ‫ا ‪،‬‬. ‫ا‬. ‫ق‪ !"# ( ' .‬أ ' ا & ‪$ %‬‬. ‫را‬. ‫ا ‪،‬‬. ‫اد ا‬. ‫‪4‬‬.

(10) ‫ א‬:‫א ول‬. ‫א‬. ‫ ﺠدول اﻷﻋداد اﻝﻌﺸواﺌﻴﺔ‬:(1-1) ‫ﺠدول رﻗم‬. :‫اﻝﻤﺼدر‬ The Rand Corporation (1955). A Million Random Digits with 100,000 Normal Deviates, The Free Press, USA.. 5.

(11) ‫‪3‬‬ ‫‪ 2 – 2 – 2 – 1‬اﻝﻤﻌﺎﻴﻨﺔ ﻤن ﻤﺠﺘﻤﻊ ﻏﻴر ﻤﺤدود )‪(Sampling from a infinite Population‬‬ ‫ﻴﻤﻜن أن ﺘﺠرى ﻋﻤﻠﻴـﺔ ﺴـﺤب ﻋﻴﻨـﺔ ﻤـن ﻤﺠﺘﻤﻌـﺎت ﺘﻜـون ﻏﻴـر ﻤﺤـدودة‪ ،‬أي ﻻ ﻴﻤﻜـن ﺤﺴـﺎب ﻋـدد‬ ‫ﻤﻔرداﺘﻬﺎ‪ .‬وﺘﻌرف اﻝﻤﻌﺎﻴﻨﺔ ﻤن ﻤﺠﺘﻤﻊ ﻏﻴر ﻤﺤدود ﺒﺄﻨﻬﺎ‪" :‬اﻝﻤﻌﺎﻴﻨﺔ اﻝﺘﻲ ﻴﺘﺤﻘـق ﻓﻴﻬـﺎ اﻝﺸـرطﺎن اﻝﺘﺎﻝﻴـﺎن‪) :‬أ(‬ ‫ﻜل ﻋﻨﺼر ﻤﺴﺤوب ﻴﻜون ﻤن ﻨﻔس اﻝﻤﺠﺘﻤﻊ‪) .‬ب( ﻜل ﻋﻨﺼر ﻤﺴﺤوب ﻴﻜون ﺒﺼورة ﻤﺴﺘﻘﻠﺔ‪".‬‬. ‫‪1‬‬. ‫ﻤﺜــﺎل رﻗــم )‪ :(4-1‬ﻨرﻏــب ﻓــﻲ ﺘﻘــدﻴر اﻝوﻗــت اﻝﻤﺘوﺴــط اﻝﻤﺴــﺘﻐرق ﺒــﻴن إﻋــداد طﻠﺒﻴــﺔ ﻋﺸــﺎء وﺘﻘــدﻴﻤﻬﺎ ﻓــﻲ‬ ‫ﻤطﻌم ﺒﻴن اﻝﺴﺎﻋﺔ ‪ 07.00‬و‪ 10.00‬ﻤﺴﺎء‪.‬‬ ‫ﻨﻼﺤ ــظ أﻨ ــﻪ ﻻ ﻴﻤﻜﻨﻨ ــﺎ ﺘﺤدﻴ ــد ﻋ ــدد ﻋﻨﺎﺼ ــر اﻝﻤﺠﺘﻤ ــﻊ ‪ ،N‬ﺒﺤﻴ ــث أﻨ ــﻪ ﻻ ﻨﻌ ــرف ﻜ ــم ﻤ ــن اﻝزﺒ ــﺎﺌن‬ ‫ﺴــﻴﺘﻘدﻤون ﺒطﻠﺒﻴــﺎت ﻝﻠﻌﺸــﺎء ﺨــﻼل اﻝوﻗــت اﻝﻤﺤــدد‪ .‬ﻝﻬــذا ﻓــﺈن اﻝﻤﺠﺘﻤــﻊ ﻓــﻲ ﻫــذﻩ اﻝﺤﺎﻝــﺔ ﻴﻌﺘﺒــر ﻏﻴــر ﻤﺤــدود‪.‬‬ ‫ﻏﻴر أﻨﻨﺎ ﻨرﻏب ﻓﻲ ﺘﺸﻜﻴل ﻋﻴﻨﺔ ﻋﺸواﺌﻴﺔ ﺒﺴﻴطﺔ ﺤﺠﻤﻬﺎ ‪ n‬ﻝﻠﻘﻴﺎم ﺒﺘﻘدﻴر ﻤﺎ ﻫو ﻤطﻠوب‪.‬‬ ‫ﻝﻠﻘﻴـﺎم ﺒــذﻝك‪ ،‬ﻴﺠــب أن ﻨﺘﺤﻘــق ﻤـن أن اﻝﺸــرطﺎن اﻝﺴــﺎﺒﻘﺎن ﻤﺤﻘﻘــﺎن‪ .‬ﺒﺎﻝﻨﺴـﺒﺔ ﻝﻠﺸــرط )أ( ﻓﻬــو ﻤﺤﻘــق‪،‬‬ ‫ﻤن ﺨﻼل ﻜل اﻝزﺒﺎﺌن اﻝذﻴن ﻴﺄﺘون ﺨﻼل اﻝوﻗت اﻝﻤﺤدد وﻫو ﺒـﻴن اﻝﺴـﺎﻋﺔ ‪ 07.00‬و‪ 10.00‬ﻤﺴـﺎء‪ .‬اﻝﺸـرط‬ ‫)ب( ﻴﻌﺘﺒــر ﻤﺤﻘــق إذا وﻓﻘــط إذا ﻜــﺎن ﺤﻀــور اﻝزﺒــﺎﺌن إﻝــﻰ اﻝﻤطﻌــم ﻴﻜــون ﺒﺼــورة ﻤﺴــﺘﻘﻠﺔ‪ ،‬أي أن ﺤﻀــور‬ ‫زﺒون ﻤﺎ إﻝﻰ اﻝﻤطﻌم ﻻ ﻴؤﺜر وﻻ ﻴﺘﺄﺜر ﺒﺤﻀور أي زﺒون أﺨر إﻝﻰ اﻝﻤطﻌم‪.‬‬ ‫ﺒﻌـد اﻝﺘﺤﻘـق ﻤـن اﻝﺸــرطﺎن‪ ،‬ﺘﺒﻘـﻰ طرﻴﻘـﺔ اﺨﺘﻴــﺎر اﻝﻌﻴﻨـﺔ اﻝﻌﺸـواﺌﻴﺔ‪ .‬ﺤﻴــث ﻨﻼﺤـظ أن اﻝطـرق اﻝﺴــﺎﺒﻘﺔ‬ ‫ﻻﺨﺘﻴﺎر اﻝﻌﻴﻨﺔ اﻝﻌﺸواﺌﻴﺔ ﻤـن ﻤﺠﺘﻤـﻊ ﻤﺤـدود ﻻ ﻴﻤﻜـن ﺘطﺒﻴﻘﻬـﺎ‪ ،‬ﻷﻨـﻪ ﻻ ﻴﻤﻜـن ﺘﺤدﻴـد ﺤﺠـم اﻝﻤﺠﺘﻤـﻊ‪ .‬ﻝﻬـذا‪،‬‬ ‫ﻴﺠــب إﺘﺒــﺎع طــرق ﺘﻜﻔــل ﺒﻘــﺎء ﺘﺤﻘــق اﻝﺸــرطﺎن‪ .‬إﺤــدى اﻝطــرق اﻝﻤﺘﺒﻌــﺔ ﻓــﻲ ﻫــذﻩ اﻝﺤﺎﻝــﺔ‪ ،‬ﻫــﻲ إﻋطــﺎء ﺨﺼــم‬ ‫ﻤﻌﻴن ﻝﻠزﺒـﺎﺌن اﻝﻤﻌﺘـﺎدﻴن ﻝﻬـذا اﻝﻤطﻌـم‪ .‬ﺒﻌـد أن ﻴـﺘم اﺨﺘﻴـﺎر اﻝﻴـوم اﻝﻤﺤـدد ﻝﺴـﺤب اﻝﻌﻴﻨـﺔ‪ ،‬ﻫـﻲ أﺨـذ ﻜـل زﺒـون‬ ‫ﻴﻘـدم طﻠﺒﻴـﺔ ﻋﺸـﺎء ﺒﻌـد اﻝزﺒـون اﻝـذي ﻴﻘـدم طﻠﺒﻴـﺔ ﻋﺸـﺎء ﻤرﻓﻘـﺔ ﺒﺎﻝﺨﺼـم اﻝﻤﻤﻨـوح ﺴـﺎﺒق‪ .‬ﻫـذا ﻴﻜﻔـل أن ﻴﻜـون‬ ‫اﺨﺘﻴﺎر اﻝﻌﻴﻨﺔ ﺒﺸﻜل ﻤﺴﺘﻘل‪ .‬ﺤﻴث ﻴﻌﺘﺒر ﺤﻀور ﻫذا اﻝزﺒون ﻴﻜون ﺒﺼﻔﺔ ﻤﺴﺘﻘﻠﺔ ﻋن اﻵﺨرﻴن‪.‬‬ ‫‪ 3 – 1‬ﺘوزﻴﻊ اﻝﻤﻌﺎﻴﻨﺔ )‪(Sampling distribitions‬‬ ‫ﻴﻌﺘﺒر ﺘوزﻴﻊ اﻝﻤﻌﺎﻴﻨﺔ ﻤن ﺒﻴن اﻝﻤﻔﺎﻫﻴم اﻝﺸﺎﺌﻜﺔ‪ .‬ﻝﻬـذا‪ ،‬ارﺘﺄﻴﻨـﺎ أن ﻨﻘـدم ﺸـرح ﺘﻔﺼـﻴﻠﻲ ﻝﻬـذا اﻝﻤﻔﻬـوم‬ ‫وذﻝك ﺒﺎﺴﺘﺨدام اﻝﻤﺜﺎل رﻗم ‪.5‬‬. ‫‪- Ibid, p 318.‬‬. ‫‪6‬‬. ‫‪1‬‬.

(12) ‫א ول‪ :‬א‬. ‫א‬. ‫ﻤﺜــﺎل رﻗــم )‪ :(5-1‬ﻴﻤﻠــك ﻤــدﻴر اﻝﻤـوارد اﻝﺒﺸـرﻴﺔ ﻝﺸــرﻜﺔ ﻤﺠﻤوﻋــﺔ ﻤــن اﻝﻤﻌطﻴــﺎت ﻴرﻏــب ﻓــﻲ اﺴــﺘﺨداﻤﻬﺎ‬ ‫ﻝﺘطوﻴر ﻗﺎﻋدة ﺒﻴﺎﻨﺎت اﻝﺸرﻜﺔ‪ .‬ﺴوف ﻨﻬﺘم ﺒﻔﺌﺔ اﻝﻤﺴؤوﻝﻴن اﻝﻤﻘدرﻴن ﺒـ ‪ ،2500‬ﻤن ﺤﻴـث أﺠـرﻫم اﻝﺴـﻨوي‬ ‫وﻤﺸﺎرﻜﺘﻬم ﻓﻲ ﺘرﺒص ﺘﻜوﻴﻨﻲ‪ ،‬وﻝﻨﻌﺘﺒرﻫم ﻤﺠﺘﻤﻌﺎ‪.‬‬ ‫ﻤن ﺨﻼل اﺴﺘﺨدام اﻝﺒﻴﺎﻨﺎت اﻝﻤﺘﺎﺤﺔ ﻴﻤﻜن ﺤﺴﺎب ﻜل ﻤن‪:‬‬ ‫ ﻤﺘوﺴط اﻷﺠر اﻝﺴﻨوي ‪ ، µ = 518000‬واﻻﻨﺤراف اﻝﻤﻌﻴﺎري ‪. δ = 4000‬‬‫ ﻴوﺠـ ـ ــد ‪ 1500‬ﻤﺴـ ـ ــؤول ﺘﻠﻘ ـ ـ ـوا ﺘﻜوﻴﻨـ ـ ــﺎ‪ ،‬ﺒﺎﻝﺘـ ـ ــﺎﻝﻲ ﻨﺴـ ـ ــﺒﺔ اﻝﻤﺴـ ـ ــؤوﻝﻴن اﻝـ ـ ــذﻴن ﺘﻠﻘ ـ ـ ـوا اﻝﺘﻜـ ـ ــوﻴن ﻫـ ـ ــﻲ‪:‬‬‫‪1500‬‬ ‫‪= 0.60‬‬ ‫‪2500‬‬. ‫=‪P‬‬. ‫ﻝﻨﻔرض اﻵن أن اﻝﺒﻴﺎﻨﺎت اﻝﻀرورﻴﺔ ﻝﺤﺴﺎب اﻝﻤﻌﻠﻤﺎت اﻝﺴـﺎﺒﻘﺔ ﻏﻴـر ﻤﺘـوﻓرة‪ .‬اﻝﺴـؤال اﻝﻤطـروح ﻫﻨـﺎ‪:‬‬ ‫ﻜﻴف ﻴﻤﻜن ﻝﻤدﻴر اﻝﻤوارد اﻝﺒﺸرﻴﺔ أن ﻴﺤﺼل ﻋﻠﻰ ﺒﻴﺎﻨﺎت ﺤول ﻤﻌﻠﻤﺎت اﻝﻤﺠﺘﻤﻊ اﻝﺘﻲ ﺘﻬﻤﻪ؟‬ ‫• اﻝطرﻴﻘﺔ اﻝﺘﻲ ﺘﺴﺘﺨدم ﻓﻲ ﻫذﻩ اﻝﺤﺎﻝﺔ ﻫﻲ اﻝﻤﻌﺎﻴﻨﺔ‪.‬‬ ‫ﻝﻨﺄﺨـذ ﻤـﺜﻼ ﻋﻴﻨــﺔ ﺘﺘﻜـون ﻤــن ‪ 30‬ﻤﺴـؤول )ﺠــدول رﻗـم ‪ ،(2-1‬ﻨﺠــد ﻫﻨـﺎ أن اﻝوﻗــت واﻝﺘﻜﻠﻔـﺔ اﻝﻼزﻤــﺔ‬ ‫ﻹﻴﺠﺎد ﺒﻴﺎﻨﺎت ‪ 30‬ﻤﺴؤول أﻗل ﺒﻜﺜﻴر ﻤن اﻝﻼزم ﻹﻴﺠﺎد ﺒﻴﺎﻨﺎت اﻝﻤﺠﺘﻤﻊ ﻜﻜل‪.‬‬ ‫ﺠــدول رﻗــم )‪ :(2-1‬اﻷﺠــر اﻝﺴــﻨوي ﺒﺎﻝــدوﻻر واﻝﻤﺸــﺎرﻜﺔ ﻓــﻲ ﺘــرﺒص ﻝﻌﻴﻨــﺔ ﻋﺸ ـواﺌﻴﺔ ﺒﺴــﻴطﺔ ﻤــن ‪30‬‬ ‫ﻤﺴؤول ﺒﺎﻝﺸرﻜﺔ‪.‬‬ ‫اﻷﺠر اﻝﺴﻨوي‬. ‫اﻝﺘرﺒص اﻝﺘﻜوﻴﻨﻲ‬. ‫اﻷﺠر اﻝﺴﻨوي‬. ‫اﻝﺘرﺒص اﻝﺘﻜوﻴﻨﻲ‬. ‫‪51766.00‬‬. ‫ﻨﻌم‬. ‫‪x1‬‬. ‫‪49094.30‬‬. ‫ﻨﻌم‬. ‫‪x16‬‬. ‫ﻻ‬. ‫‪x2‬‬. ‫‪53263.90‬‬. ‫ﻨﻌم‬. ‫‪x17‬‬. ‫‪52541.30‬‬. ‫‪x3‬‬. ‫‪49643.50‬‬. ‫ﻨﻌم‬. ‫‪x18‬‬. ‫‪44980.00‬‬. ‫ﻨﻌم‬. ‫‪x4‬‬. ‫‪49894.90‬‬. ‫ﻨﻌم‬. ‫‪x19‬‬. ‫‪51932.60‬‬. ‫ﻨﻌم‬. ‫‪x5‬‬. ‫‪47621.60‬‬. ‫ﻻ‬. ‫‪x20‬‬. ‫‪52973.00‬‬. ‫ﻨﻌم‬. ‫‪x6‬‬. ‫‪55924.00‬‬. ‫ﻨﻌم‬. ‫‪x21‬‬. ‫‪45120.90‬‬. ‫ﻨﻌم‬. ‫‪x7‬‬. ‫‪49092.30‬‬. ‫ﻨﻌم‬. ‫‪x22‬‬. ‫‪51753.00‬‬. ‫ﻨﻌم‬. ‫‪x8‬‬. ‫‪51404.40‬‬. ‫ﻨﻌم‬. ‫‪x23‬‬. ‫‪54391.80‬‬. ‫ﻻ‬. ‫‪x9‬‬. ‫‪50957.70‬‬. ‫ﻨﻌم‬. ‫‪x24‬‬. ‫‪50164.20‬‬. ‫ﻻ‬. ‫‪x10‬‬. ‫‪55109.70‬‬. ‫ﻨﻌم‬. ‫‪x25‬‬. ‫‪52973.60‬‬. ‫ﻻ‬. ‫‪x11‬‬. ‫‪45922.60‬‬. ‫ﻨﻌم‬. ‫‪x26‬‬. ‫‪50241.30‬‬. ‫ﻻ‬. ‫‪7‬‬.

(13) ‫‪3‬‬ ‫‪x12‬‬. ‫‪57268.40‬‬. ‫ﻻ‬. ‫‪x27‬‬. ‫‪52793.90‬‬. ‫ﻻ‬. ‫‪x13‬‬. ‫‪55688.80‬‬. ‫ﻨﻌم‬. ‫‪x28‬‬. ‫‪50979.40‬‬. ‫ﻨﻌم‬. ‫‪x14‬‬. ‫‪51564.70‬‬. ‫ﻻ‬. ‫‪x29‬‬. ‫‪55860.90‬‬. ‫ﻨﻌم‬. ‫‪x15‬‬. ‫‪56188.20‬‬. ‫ﻻ‬. ‫‪x30‬‬. ‫‪57309.10‬‬. ‫ﻻ‬. ‫اﻝﻤﺼدر‪:‬‬ ‫‪David R. Anderson, Dennis J. Sweeney, Thomas A. Williams (2005). Statistiques pour‬‬ ‫‪l’économie et la gestion, De Boeck. France, p 322.‬‬. ‫ﻴﻤﻜن إﻴﺠﺎد اﻝوﺴط اﻝﺤﺴﺎﺒﻲ واﻻﻨﺤراف اﻝﻤﻌﻴﺎري ﻝﻸﺠر اﻝﺴﻨوي‪ ،‬وﻜذا ﻨﺴﺒﺔ اﻝﻌﻤـﺎل اﻝﻠـذﻴن ﺸـﺎرﻜوا‬ ‫ﻓﻲ اﻝﺘرﺒص ﻤن ﺒﻴﺎﻨﺎت اﻝﺠدول رﻗم )‪ (1-1‬ﻜﺎﻷﺘﻲ‪:‬‬ ‫‪1554420‬‬ ‫‪= 51814‬‬ ‫‪30‬‬ ‫‪325009260‬‬ ‫‪= 3347.72‬‬ ‫‪29‬‬. ‫=‬. ‫)‪− x‬‬. ‫‪2‬‬. ‫=‬. ‫‪i‬‬. ‫‪i‬‬. ‫‪∑x‬‬ ‫‪n‬‬. ‫‪∑ (x‬‬. ‫‪n −1‬‬ ‫‪19‬‬ ‫‪= 0.63‬‬ ‫‪30‬‬. ‫= ‪X‬‬ ‫=‪S‬‬ ‫=‪p‬‬. ‫ﻝ ــﻴﻜن ‪ X‬ﻤﺘﻐﻴ ــر ﻋﺸـ ـواﺌﻲ ﻴﻤﺜ ــل ﻤﺘوﺴ ــط اﻷﺠ ــر اﻝﺴ ــﻨوي ﻝﻠﻌﻴﻨ ــﺔ‪ .‬وﻜﻜ ــل ﻤﺘﻐﻴ ــر ﻋﺸـ ـواﺌﻲ ﻝ ـ ـ ‪ X‬أﻤ ــل‬ ‫رﻴﺎﻀﻲ‪ ،‬ﺘﺒﺎﻴن و ﺘوزﻴﻊ اﺤﺘﻤﺎﻝﻲ‪.‬‬ ‫• اﻝﺘوزﻴﻊ اﻻﺤﺘﻤﺎﻝﻲ ﻝـ ‪ X‬ﻴﺴﻤﻰ "ﺘوزﻴﻊ اﻝﻤﻌﺎﻴﻨﺔ"‪.‬‬ ‫ﻓﻲ اﻝﺤﺎﻝﺔ اﻝﻌﺎﻤﺔ ﻜل ﻋﻴﻨﺔ ﻤن ‪ 30‬ﻤﺴؤول ﺘﻌطﻲ ﻝﻨﺎ ﻨﺘﺎﺌﺞ ﺘﻜون ﻤﺴﺎوﻴﺔ أو ﻤﺨﺘﻠﻔـﺔ ﻋـن اﻝﻌﻴﻨـﺎت‬ ‫اﻷﺨرى‪ ،‬وﻴوﻀﺢ اﻝﺠدول رﻗم )‪ ،(3-1‬ﺒﻌض اﻝﻨﺘﺎﺌﺞ ﻝـ )‪ 500 ( x , s, p‬ﻋﻴﻨﺔ ﻤﺨﺘﻠﻔﺔ‪.‬‬ ‫ﺠدول رﻗم )‪ :(3-1‬ﻗﻴﻤﺔ )‪ ( x , s, p‬ﻝـ ‪ 500‬ﻋﻴﻨﺔ ﻋﺸواﺌﻴﺔ ﺒﺴﻴطﺔ ﺘﺘﻜون ﻜل ﻤﻨﻬﺎ ﻤن ‪ 30‬ﻋﻨﺼر‪.‬‬ ‫رﻗم اﻝﻌﻴﻨﺔ‬. ‫ﻤﺘوﺴط اﻝﻌﻴﻨﺔ‬. ‫اﻻﻨﺤراف اﻝﻤﻌﻴﺎري ﻝﻠﻌﻴﻨﺔ‬. ‫ﻨﺴﺒﺔ اﻝﻌﻴﻨﺔ‬. ‫‪1‬‬. ‫‪51814.00‬‬. ‫‪3347.00‬‬. ‫‪0.63‬‬. ‫‪2‬‬. ‫‪52669.70‬‬. ‫‪4239.07‬‬. ‫‪0.70‬‬. ‫‪3‬‬. ‫‪51780.30‬‬. ‫‪4433.43‬‬. ‫‪0.67‬‬. ‫‪4‬‬. ‫‪51587.90‬‬. ‫‪3985.32‬‬. ‫‪0.53‬‬. ‫‪500‬‬. ‫‪51752.00‬‬. ‫‪3857.82‬‬. ‫‪0.50‬‬. ‫‪8‬‬.

(14) ‫א‬. ‫א ول‪ :‬א‬ ‫وﻴوﻀﺢ اﻝﺠدول رﻗم )‪ (4-1‬اﻝﺘﻜرار اﻝﻤطﻠق واﻝﻨﺴﺒﻲ اﻝﻤﺘﻌﻠق ﺒﻤﺘوﺴط اﻷﺠر اﻝﺴﻨوي ‪ X‬ﻝـﻠـ ‪500‬‬. ‫ﻋﻴﻨﺔ اﻝﺴﺎﺒﻘﺔ‪ .‬ﺒﻴﻨﻤﺎ ﻴوﻀﺢ اﻝﺸﻜل رﻗم )‪ (1-1‬اﻝﻤدرج اﻝﺘﻜراري ﻝﻠﺘﻜ اررات اﻝﻨﺴﺒﻴﺔ ﻝﻘﻴم ‪. X‬‬ ‫ﺠدول رﻗم )‪ :(4-1‬اﻝﺘوزﻴﻊ اﻝﺘﻜراري ﻝﻤﺘوﺴط اﻷﺠر اﻝﺴﻨوي ﻝـ ‪ 500‬ﻋﻴﻨﺔ ﻋﺸـواﺌﻴﺔ ﺒﺴـﻴطﺔ ﻴﺘﻜـون ﻜـل‬ ‫ﻤﻨﻬﺎ ﻤن ‪ 30‬ﻋﻨﺼر‬. ‫اﻝﺘﻜرار اﻝﻨﺴﺒﻲ‬. ‫اﻝﺘﻜرار‬. ‫ﻤﺘوﺴط اﻷﺠر اﻝﺴﻨوي‬. ‫‪0.004‬‬. ‫‪2‬‬. ‫‪0.032‬‬. ‫‪16‬‬. ‫‪0.104‬‬. ‫‪52‬‬. ‫‪0.202‬‬. ‫‪101‬‬. ‫‪0.266‬‬. ‫‪133‬‬. ‫‪0.220‬‬. ‫‪110‬‬. ‫‪0.108‬‬. ‫‪54‬‬. ‫‪0.052‬‬. ‫‪26‬‬. ‫‪0.012‬‬. ‫‪6‬‬. ‫[‪[49500.00 − 50000.00‬‬ ‫[‪[50000.00 − 50500.00‬‬ ‫[‪[50500.00 − 51000.00‬‬ ‫[‪[51000.00 − 51500.00‬‬ ‫[‪[51500.00 − 52000.00‬‬ ‫[‪[52000.00 − 52500.00‬‬ ‫[‪[52500.00 − 53000.00‬‬ ‫[‪[53000.00 − 53500.00‬‬ ‫[‪[53500.00 − 54000.00‬‬. ‫‪1.000‬‬. ‫‪500‬‬. ‫اﻝﻤﺠﻤوع‬. ‫ﺸﻜل رﻗم )‪ :(1-1‬ﻤدرج ﺘﻜراري ﻝﻠﺘﻜ اررات اﻝﻨﺴـﺒﻴﺔ ﻝﻘـﻴم ﻤﺘوﺴـط اﻷﺠـر اﻝﺴـﻨوي ﻝــ ‪ 500‬ﻋﻴﻨـﺔ ﻋﺸـواﺌﻴﺔ‬ ‫ﺒﺴﻴطﺔ ﻴﺘﻜون ﻜل ﻤﻨﻬﺎ ﻤن ‪ 30‬ﻋﻨﺼر‬ ‫ا رار ا‬ ‫‪0.30‬‬ ‫‪0.25‬‬ ‫‪0.20‬‬ ‫‪0.15‬‬ ‫‪0.10‬‬ ‫‪0.05‬‬ ‫و طا‬. ‫ر ا وي‬ ‫‪53000‬‬. ‫‪52000‬‬. ‫‪51000‬‬. ‫‪49500‬‬. ‫‪9‬‬.

(15) ‫‪3‬‬ ‫ﻴوﻀــﺢ اﻝﺸــﻜل رﻗــم )‪ (1-1‬ﺸــﻜل ﺘوزﻴــﻊ اﻝﻤﻌﺎﻴﻨــﺔ ﻝ ـ ‪ ، X‬وﻨﻼﺤــظ أﻨــﻪ ﺠرﺴــﻲ‪ ،‬وﻜﻠﻤــﺎ اﻗﺘرﺒــت ﻗﻴﻤــﺔ ‪X‬‬. ‫ﻤن ﻗﻴﻤﺔ ‪ 51800 = µ‬ﻜﻠﻤﺎ زاد ﺘرﻜﻴز ﻗﻴﻤﻬﺎ‪ ،‬وﻝﺘﺤدﻴد طﺒﻴﻌﺔ ﻫـذا اﻝﺘوزﻴـﻊ ﻨﺘﺒـﻊ طـرق ﺴـوف ﻨﺘﻌـرض ﻝﻬـﺎ‬ ‫ﻓﻲ اﻝﻔﺼل اﻝﺜﺎﻝث‪.‬‬ ‫• ﻓﻲ اﻝﺤﻴﺎة اﻝﺘطﺒﻴﻘﻴﺔ ﻻ ﻨﺴﺤب ﺴوى ﻋﻴﻨﺔ واﺤدة ﻤن اﻝﻤﺠﺘﻤﻊ‪.‬‬ ‫‪ 1 – 3 – 1‬ﺘوزﻴﻊ اﻝﻤﻌﺎﻴﻨﺔ ﻝﻠﻤﺘوﺴط‬. ‫‪Sampling distribution of‬‬. ‫إذا ﻜﺎﻨــت ﻝــدﻴﻨﺎ ﻤﺠﻤوﻋــﺔ ﻤــن اﻝﻌﻴﻨــﺎت ﻤــﺄﺨوذة ﻤــن ﻤﺠﺘﻤــﻊ‪ ،‬ﻓــﺈن ﻤﻌظــم اﻷوﺴــﺎط اﻝﺤﺴــﺎﺒﻴﺔ ﻝﻬــذﻩ‬ ‫اﻝﻌﻴﻨﺎت ﺘﺨﺘﻠف ﻋن ﺒﻌﻀﻬﺎ اﻝﺒﻌض‪.‬‬ ‫• ﺘوزﻴﻊ اﻝﻤﻌﺎﻴﻨﺔ ﻝﻠﻤﺘوﺴط ﻫو اﻝﺘوزﻴﻊ اﻻﺤﺘﻤﺎﻝﻲ ﻝﻜل اﻝﻘﻴم اﻝﻤﻤﻜﻨﺔ ﻝﻤﺘوﺴط اﻝﻌﻴﻨﺔ ‪. X‬‬ ‫ﻴﺘﻤﻴز ﺘوزﻴﻊ اﻝﻤﻌﺎﻴﻨﺔ ﻝﻠﻤﺘوﺴط ﺒﺎﻝﺨﺼﺎﺌص اﻝﺘﺎﻝﻴﺔ‪:‬‬ ‫أ – اﻷﻤل اﻝرﻴﺎﻀﻲ‬. ‫‪Expected Value of‬‬. ‫ﻴطﻠ ــق ﻋﻠﻴ ــﻪ أﻴﻀ ــﺎ ﻤﺼ ــطﻠﺢ ﻤﺘوﺴ ــط اﻝﻤﺘوﺴ ــطﺎت‪ ،‬ﻨرﻤ ــز ﻝ ــﻪ ﺒ ــﺎﻝرﻤز ‪ µ X‬وﻴﻜ ــون ﻤﺴ ــﺎوﻴﺎ ﻝوﺴ ــط‬ ‫اﻝﻤﺠﺘﻤﻊ ‪E ( X ) = µ X = µ‬‬. ‫‪Standard Deviation of‬‬. ‫ب – اﻻﻨﺤراف اﻝﻤﻌﻴﺎري‬. ‫ﻨرﻤز ﻝﻪ ﺒﺎﻝرﻤز ‪ σ X‬وﻴﺤﺴب ﻓﻲ ﺤﺎﻝﺘﻴن‪:‬‬ ‫اﻝﻤﺠﺘﻤﻊ ﻤﻨﺘﻪ واﻝﺴﺤب ﺒدون إﻋﺎدة‬ ‫‪N −n‬‬ ‫‪N −1‬‬. ‫×‬. ‫‪σ‬‬ ‫‪n‬‬. ‫اﻝﻤﺠﺘﻤﻊ ﻏﻴر ﻤﻨﺘﻪ أو اﻝﺴﺤب ﻤﻊ اﻹﻋﺎدة‬. ‫= ‪σX‬‬. ‫‪N −n‬‬ ‫ﺒﻤﻘﺎرﻨــﺔ اﻝﻌﻼﻗﺘــﻴن اﻝﺴــﺎﺒﻘﺘﻴن ﻨﻼﺤــظ أن اﻝﻤﻘــدار‬ ‫‪N −1‬‬. ‫‪σ‬‬ ‫‪n‬‬. ‫= ‪σX‬‬. ‫ﻀــروري ﻝﺤﺴــﺎب اﻻﻨﺤ ـراف اﻝﻤﻌﻴــﺎري‬. ‫ﻝوﺴط اﻝﻌﻴﻨﺔ ﻋﻨدﻤﺎ ﻴﻜون اﻝﻤﺠﺘﻤﻊ ﻤﻨﺘﻪ واﻝﺴﺤب ﺒدون إﻋﺎدة‪ ،‬وﻴطﻠق ﻋﻠﻴﻪ ﻤﻌﺎﻤل اﻝﺘﺼﺤﻴﺢ‪.‬‬ ‫ﻓﻲ أﻏﻠب اﻝﺤﺎﻻت ﻓـﺈن اﻝﻤﺠﺘﻤـﻊ ﻴﻜـون ﻤﺤـدود وﻜﺒﻴـر‪ ،‬ﺒﺎﻝﺘـﺎﻝﻲ ﺘﻜـون ﻗﻴﻤـﺔ ﻤﻌﺎﻤـل اﻝﺘﺼـﺤﻴﺢ ﻗرﻴﺒـﺔ‬ ‫ﻤن ‪ .1‬ﻓﻲ ﻫذا اﻝﺤﺎﻻت ﻋﻨدﻤﺎ ﻴﻜون اﻝﻤﺠﺘﻤﻊ ﻤﺤدود واﻝﺴﺤب ﺒدون إﻋﺎدة وﻴﻜـون ‪ n ≤ 0.05N‬ﻓـﻼ داﻋـﻲ‬ ‫ﻻﺴﺘﺨدام ﻤﻌﺎﻤل اﻝﺘﺼﺤﻴﺢ‪.‬‬. ‫‪10‬‬.

(16) ‫א ول‪ :‬א‬. ‫א‬. ‫ﺒﺎﻝﻌودة إﻝﻰ اﻹﺸﻜﺎﻝﻴﺔ اﻝﺴﺎﺒﻘﺔ‪ ،‬ﻨﺠد أن‪:‬‬ ‫‪µ X = µ = 51800‬‬ ‫‪4000‬‬ ‫‪= 730.30‬‬ ‫‪30‬‬. ‫ج – ﺸﻜل ﺘوزﻴﻊ اﻝﻤﻌﺎﻴﻨﺔ ﻝﻠﻤﺘوﺴط‬. ‫=‬. ‫‪σ‬‬ ‫‪n‬‬. ‫= ‪30 ≤ 0.05 × 2500 ⇒ σ X‬‬. ‫‪Form of the Sampling Distribution of‬‬. ‫ﻝﺘﺤدﻴد ﺸﻜل ﺘوزﻴﻊ اﻝﻤﻌﺎﻴﻨﺔ ﻝﻠﻤﺘوﺴط ﻨﺠد ﻨﻔﺴﻨﺎ ﻓﻲ ﺤﺎﻝﺘﻴن‪ ،‬اﻷوﻝﻰ ﻫـﻲ أن اﻝﻤﺠﺘﻤـﻊ اﻝـذي ﺴـﺤﺒت‬ ‫ﻤﻨﻪ اﻝﻌﻴﻨـﺔ ﻏﻴـر ﻤﻌـروف ﺘوزﻴﻌـﻪ‪ ،‬واﻝﺜﺎﻨﻴـﺔ أن اﻝﻤﺠﺘﻤـﻊ ﻤﻌـروف وﻴﺘﺒـﻊ اﻝﺘوزﻴـﻊ اﻝطﺒﻴﻌـﻲ‪ .‬ﻓـﻲ اﻝﺤﺎﻝـﺔ اﻷوﻝـﻰ‬ ‫ﻓﺈﻨﻨــﺎ ﺒﺤﺎﺠــﺔ إﻝــﻰ اﺴــﺘﺨدام واﺤــدة ﻤــن أﻫــم اﻝﻨظرﻴــﺎت اﻹﺤﺼــﺎﺌﻴﺔ اﻝﺘــﻲ ﻴﻤﻜــن ﺘطﺒﻘﻴﻬــﺎ ﻓــﻲ ﺘوزﻴــﻊ اﻝﻤﻌﺎﻴﻨــﺔ‬ ‫ﻝﻠﻤﺘوﺴط وﻫﻲ‪:‬‬ ‫• ﻨظرﻴــﺔ اﻝﻨﻬﺎﻴــﺔ اﻝﻤرﻜزﻴــﺔ‪ :‬ﻋﻨــد ﺴــﺤب ﻋﻴﻨــﺔ ﻋﺸ ـواﺌﻴﺔ ﺒﺴــﻴطﺔ ذات ﺤﺠــم ‪ ،n‬ﻓــﺈن ﺘوزﻴــﻊ اﻝﻤﻌﺎﻴﻨــﺔ‬ ‫ﻝﻠﻤﺘوﺴط ‪ X‬ﻴﻤﻜن أن ﻴﻘﺎرب إﻝﻰ اﻝﺘوزﻴﻊ اﻝطﺒﻴﻌﻲ ﻋﻨدﻤﺎ ﻴﻜون ﺤﺠم اﻝﻌﻴﻨﺔ ﻜﺒﻴر‪.‬‬ ‫ﻝﺘوﻀﻴﺢ ﻫذﻩ اﻝﻨظرﻴﺔ ﺴوف ﻨﺘطرق إﻝﻰ اﻝﻤﻔﺎﻫﻴم اﻝﺘﺎﻝﻴﺔ‪:‬‬ ‫اﻝﻤﺘﻐﻴر اﻝﻌﺸواﺌﻲ‪ :‬ﻫو ﻤﺘﻐﻴر ﺘرﺘﺒط ﻗﻴﻤﻪ ﺒﺎﺤﺘﻤﺎل ﺘﺤﻘق ﺘﻠك اﻝﻘﻴم‪.‬‬ ‫اﻝﻤﺘﻐﻴـــر اﻝﻌﺸـــواﺌﻲ اﻝﻤﺘﺼـــل‪ :‬ﻫــو اﻝﻤﺘﻐﻴــر اﻝــذي ﻴﻤﻜــن أن ﻴﺄﺨــذ ﻋــدد ﻻ ﻨﻬﺎﺌﻴــﺎ ﻤــن اﻝﻘــﻴم داﺨــل أي ﻓﺘ ـرة‬ ‫ﻤﻌﻠوﻤﺔ‪ .‬اﺤﺘﻤﺎل أن ﻴﻘﻊ ‪ X‬داﺨل أي ﻓﺘرة ﻴﻤﺜﻠﻪ ﻤﺴﺎﺤﺔ اﻝﺘوزﻴﻊ اﻻﺤﺘﻤﺎﻝﻲ )داﻝـﺔ اﻝﻜﺜﺎﻓـﺔ( داﺨـل ﻫـذﻩ اﻝﻔﺘـرة‪.‬‬ ‫واﻝﻤﺴﺎﺤﺔ اﻝﻜﻠﻴﺔ ﺘﺤت اﻝﻤﻨﺤﻨﻰ )اﻻﺤﺘﻤﺎل( ﺘﺴﺎوي ‪.1‬‬ ‫اﻝﺘوزﻴﻊ اﻝطﺒﻴﻌﻲ‪ :‬ﻫو ﺘوزﻴﻊ اﺤﺘﻤﺎﻝﻲ ﻤﺘﺼل‪ ،‬ﺠرﺴﻲ اﻝﺸﻜل وﻤﺘﻤﺎﺜل ﺤول اﻝوﺴط اﻝﺤﺴﺎﺒﻲ‪ .‬ﻴﻤﺘد إﻝﻰ ﻤﺎﻻ‬ ‫ﻨﻬﺎﻴــﺔ ﻓــﻲ اﻻﺘﺠــﺎﻫﻴن‪ ،‬وﻝﻜــن ﻤﻌظــم اﻝﻤﺴــﺎﺤﺔ )اﻻﺤﺘﻤــﺎل( ﻴﺘرﻜــز ﺤــول اﻝوﺴــط اﻝﺤﺴــﺎﺒﻲ‪ .‬ﺘﻜــون داﻝــﺔ ﻜﺜﺎﻓﺘــﻪ‬ ‫ﺒﺎﻝﺸﻜل‪:‬‬ ‫‪2‬‬. ‫‪−1  x − µ ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2  δ ‬‬. ‫‪e‬‬. ‫‪1‬‬ ‫‪2D‬‬. ‫‪σ‬‬. ‫= )‪. f ( x‬‬. ‫اﻝﺘوزﻴﻊ اﻝطﺒﻴﻌﻲ اﻝﻘﻴﺎﺴﻲ‪ :‬ﻫو ﺘوزﻴﻊ طﺒﻴﻌﻲ وﺴطﻪ اﻝﺤﺴﺎﺒﻲ ‪ ،0‬واﻨﺤ ارﻓـﻪ اﻝﻤﻌﻴـﺎري ‪ .1‬ﺘﻜـون داﻝـﺔ ﻜﺜﺎﻓﺘـﻪ‬ ‫ﺒﺎﻝﺸﻜل‪:‬‬. ‫‪11‬‬.

(17) ‫‪3‬‬ ‫‪)2‬‬. ‫‪−1‬‬ ‫‪(µ‬‬ ‫‪2‬‬. ‫‪1‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪2D‬‬. ‫= )‪، f ( x‬‬. ‫ﻴﻤﻜن ﺘﺤوﻴل أي ﺘوزﻴﻊ طﺒﻴﻌﻲ إﻝﻰ طﺒﻴﻌﻲ ﻗﻴﺎﺴﻲ ﺒﺎﺴﺘﺨدام اﻝﻌﻼﻗﺔ اﻝﺸﻬﻴرة‪:‬‬ ‫‪x−µ‬‬. ‫‪σ‬‬. ‫= ‪.Z‬‬. ‫ﺸﻜل رﻗم )‪ :(2-1‬اﻝﺘوزﻴﻊ اﻝطﺒﻴﻌﻲ‬. ‫‪68.26%‬‬. ‫‪95.54%‬‬ ‫‪99.74%‬‬. ‫‪Z‬‬. ‫‪3‬‬. ‫‪2‬‬. ‫‪1‬‬. ‫اﻝﺨﺼﺎﺌص ‪+1‬‬ ‫‪+3‬ﻤن ‪+2‬‬ ‫وﻫﻲ‪:‬‬ ‫ﻝﻬذا‪ X‬اﻝﺘوزﻴﻊ اﻝﻌدﻴد‬. ‫‪0‬‬. ‫‪-1‬‬. ‫‪−1‬‬. ‫‪-2‬‬. ‫‪−2‬‬. ‫‪-3‬‬. ‫‪−3‬‬. ‫ إن اﻝﻤﺴﺎﺤﺔ اﻝﻜﻠﻴﺔ اﻝﻤﺤﺼورة ﺒﻴن ﻤﻨﺤﻨﻰ اﻝﺘوزﻴﻊ اﻝطﺒﻴﻌﻲ وﺒﻴن ﻤﺤور اﻝﺴﻴﻨﺎت ﺘﻜون ﻤﺴﺎوﻴﺔ ﻝﻠواﺤد‪.‬‬‫ ﻴﻌﺘﺒر ﻫذا اﻝﺘوزﻴﻊ ﻤﺘﻤﺎﺜل ﺤول وﺴطﻪ اﻝﺤﺴﺎﺒﻲ‪ .‬ﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ‪ ،‬ﻓﺈن ﻤﺴﺎﺤﺔ اﻝﺠزء اﻷﻴﺴر ﻤن اﻝﺘوزﻴﻊ ﺘﻜون‬‫ﻤﺴﺎوﻴﺔ ﻝﻤﺴﺎﺤﺔ اﻝﺠزء اﻷﻴﻤن وﺘﺴﺎوي ﻜل ﻤﻨﻬﺎ ‪ .0.5‬وﻝﺤﺴﺎب اﻝﻤﺴﺎﺤﺔ اﻝﻤوﺠودة ﻓﻲ اﻝﺠﻬﺔ اﻝﺴﺎﻝﺒﺔ ﻓﺈﻨﻪ‬ ‫ﻴﻜﻔﻲ أن ﻨﻘوم ﺒﺘﺤوﻴﻠﻬﺎ إﻝﻰ اﻝﺠﻬﺔ اﻝﻤوﺠﺒﺔ ﻋن طرﻴق اﻝﺘﻨﺎظر‪.‬‬ ‫ ﻴﻤﺘد ﻫذا اﻝﺘوزﻴﻊ إﻝﻰ ﻤﺎﻻ ﻨﻬﺎﺌﻴﺔ ﻓﻲ اﻝﺠﻬﺘﻴن‪.‬‬‫ ﻴﻜون اﻝﺘوزﻴﻊ اﻝطﺒﻴﻌﻲ ﺠرﺴﻲ اﻝﺸﻜل‪ ،‬ﻫذا ﻤﺎ ﻴﻌﻨﻲ أن ﻤﻌظم اﻝﻤﺴﺎﺤﺔ ﺘﻜون ﻓﻲ ﺠوار اﻝﻤﺘوﺴط‬‫اﻝﺤﺴﺎﺒﻲ‪ ،‬وﺒﺎﻝﻌودة ﻝﻠﺸﻜل رﻗم )‪ ،(2-1‬ﻨﻼﺤظ أن ‪ %68.26‬ﻤن ﻤﻔردات اﻝﻤﺠﺘﻤﻊ )اﻝﻤﺴﺎﺤﺔ( ﺘﻜون ﻗﻴﻤﻬﺎ‬ ‫ﻤﺤﺼورة ﻀﻤن اﻝﻤﺠﺎل‬ ‫‪±2‬‬. ‫‪ ، ± 1‬ﻓﻲ ﺤﻴن أن ‪ %95.54‬ﺘﻜون ﻗﻴﻤﻬﺎ ﻤﺤﺼورة ﻀﻤن اﻝﻤﺠﺎل‬. ‫‪ ،‬ﻓﻲ ﺤﻴن أن ‪ %99.74‬ﺘﻜون ﻤﺤﺼورة ﻗﻴﻤﻬﺎ ﻀﻤن اﻝﻤﺠﺎل‬. ‫‪. ±3‬‬. ‫‪12‬‬.

(18) ‫א ول‪ :‬א‬. ‫א‬. ‫ ﻝﺤﺴﺎب أي اﺤﺘﻤﺎل ﻤطﻠوب‪ ،‬وﻝﻴﻜن داﺨل اﻝﻤﺠﺎل ]‪ [a-b‬ﻤﺜﻼ‪ ،‬ﻓﻌﻠﻴﻨﺎ ﺤﺴﺎب ﺤﺠم اﻝﻤﺴﺎﺤﺔ اﻝﻤﺤﺼورة‬‫ﺒﻴن اﻹﺤداﺜﻴﺎت ‪ X=a‬و‪ X=b‬اﻝﺘﻲ ﺘﻜﺘب ﺒﺎﻝﺼﻴﻐﺔ )‪ P(a<X<b‬ﺒﺤﻴث ‪.a<b‬‬ ‫ﺒ ــﺎﻝﻌودة إﻝ ــﻰ ﻨظرﻴ ــﺔ اﻝﻨﻬﺎﻴ ــﺔ اﻝﻤرﻜزﻴ ــﺔ و اﻝﺘ ــﻲ ﺘ ــﻨص ﻋﻠ ــﻰ أﻨ ــﻪ إذا ﻜ ــﺎن ‪ xn....،x2 ،x1‬ﻤﺘﻐﻴـ ـرات‬ ‫ﻋﺸواﺌﻴﺔ ﻤﺴﺘﻘﻠﺔ وﻤﺘﻤﺎﺜﻠﺔ ﻓﻲ اﻝﺘوزﻴﻊ وﻝﻬﺎ وﺴط ‪ µ‬و ﺘﺒﺎﻴن ‪ δ2‬ﻓﺈن‪:‬‬ ‫‪−1‬‬. ‫‪b‬‬. ‫‪µ2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= )‪≤ b‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪du‬‬ ‫‪2D ∫a‬‬. ‫‪x−µ‬‬. ‫‪σx‬‬. ‫≤ ‪p( a‬‬ ‫‪، nlim‬‬ ‫∞→‬. ‫ﺒﺘطﺒﻴق ﻫذﻩ اﻝﻨظرﻴﺔ ﻓﻲ اﻝﻤﻌﺎﻴﻨﺔ ﻨﺠد‪:‬‬ ‫‪2‬‬. ‫أ – إذا ﻜﺎن ‪ X‬ﻴﺘﺒﻊ ﻗﺎﻨون طﺒﻴﻌﻲ ﺒوﺴط ‪ µ‬وﺘﺒﺎﻴن ‪ X a N ( µ , σ 2 ) σ‬ﻓﺈن )‬. ‫)‪a N (0,1‬‬. ‫‪x − µx‬‬. ‫‪σx‬‬. ‫‪σ2‬‬ ‫‪n‬‬. ‫‪ X a N ( µ x ,‬ﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ‪:‬‬. ‫= ‪.Z‬‬. ‫ب – إذا ﻜ ـ ـ ـ ـ ــﺎن ‪ X‬ﻴﺘﺒ ـ ـ ـ ـ ــﻊ ﺘوزﻴ ـ ـ ـ ـ ــﻊ ﻏﻴ ـ ـ ـ ـ ــر ﻤﻌ ـ ـ ـ ـ ــروف ﺒوﺴ ـ ـ ـ ـ ــط ‪ µ‬وﺘﺒ ـ ـ ـ ـ ــﺎﻴن ‪ X a N ( µ , σ 2 ) σ2‬ﻓ ـ ـ ـ ـ ــﺈن‬ ‫)‬. ‫‪σ2‬‬ ‫‪n‬‬. ‫‪ X a N ( µ x ,‬ﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ‪:‬‬. ‫)‪a N (0,1‬‬. ‫‪x − µx‬‬. ‫‪σx‬‬. ‫= ‪.Z‬‬. ‫ﻤﻤﺎ ﺴﺒق ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ أﻨﻪ‪:‬‬ ‫• إذا ﻜﺎﻨت ﻤﻔردات اﻝﻤﺠﺘﻤﻊ ﺘﺘﺒﻊ اﻝﺘوزﻴﻊ اﻝطﺒﻴﻌﻲ‪ ،‬ﻓﺈن ﺘوزﻴﻊ اﻝﻤﻌﺎﻴﻨﺔ ﻝﻠﻤﺘوﺴط ﻴﻜون ﻤوزع طﺒﻴﻌﻴﺎ‪.‬‬ ‫• أﻤﺎ إذا ﻜﺎﻨت ﻤﻔردات اﻝﻤﺠﺘﻤﻊ ﻏﻴر ﻤﻌروﻓﺔ‪ ،‬ﻓﺈن ﺘوزﻴﻊ اﻝﻤﻌﺎﻴﻨﺔ ﻝﻠﻤﺘوﺴط ﻴﻜون ﻤﻘﺎرب ﻝﻠﺘوزﻴﻊ‬ ‫اﻝطﺒﻴﻌﻲ ﻋﻨدﻤﺎ ‪.n≥30‬‬ ‫ﻤﺜﺎل رﻗم )‪ :(6-1‬ﺒﺎﻝﻌودة إﻝﻰ اﻝﻤﺜﺎل رﻗم ‪ ،5‬أوﺠد ﺸﻜل ﺘوزﻴﻊ اﻝﻤﻌﺎﻴﻨﺔ ﻝﻠﻤﺘوﺴط ﻤﻊ اﻝﺘﻤﺜﻴل اﻝﺒﻴﺎﻨﻲ‪.‬‬ ‫ﺸﻜل ﺘوزﻴﻊ اﻝﻤﻌﺎﻴﻨﺔ ﻝﻤﺘوﺴط اﻷﺠر اﻝﺴﻨوي ﻝﻤﺴؤوﻝﻲ اﻝﺸرﻜﺔ ﻴﻜون ﺒﺎﻝﺼورة اﻝﺘﺎﻝﻴﺔ‪:‬‬ ‫ﻝﻘد ﺘم إﺜﺒﺎت أن‬. ‫‪13‬‬.

(19) ‫‪3‬‬ ‫‪µ X = µ = 51800‬‬ ‫‪4000‬‬ ‫‪= 730.30‬‬ ‫‪30‬‬. ‫=‬. ‫‪σ‬‬ ‫‪n‬‬. ‫= ‪σX‬‬. ‫اﺴﺘﻨﺎدا إﻝﻰ اﻝﻤدرج اﻝﺘﻜراري اﻝﻤﻤﺜل ﻓﻲ اﻝﺸﻜل رﻗم )‪ ،(1-1‬ﻴﻤﻜن إدراج اﻝﻤﻨﺤﻨﻰ اﻝﺘﻜراري اﻝذي‬ ‫ﻴﻤﺜل ﺸﻜل ﺘوزﻴﻊ اﻝﻤﻌﺎﻴﻨﺔ ﻝﻠﻤﺘوﺴط‪ ،‬اﻝذي ﻨﻤﺜﻠﻪ ﻓﻲ اﻝﺸﻜل رﻗم )‪.(3-1‬‬ ‫ﺸﻜل رﻗم )‪ :(3-1‬ﺸﻜل ﺘوزﻴﻊ اﻝﻤﻌﺎﻴﻨﺔ ﻝﻤﺘوﺴط اﻷﺠر اﻝﺴﻨوي ﻝﻤﺴؤوﻝﻲ اﻝﺸرﻜﺔ‬. ‫‪4000‬‬ ‫‪= 730.30‬‬ ‫‪30‬‬. ‫‪( ) = 51800 52530.3‬‬. ‫=‬. ‫‪σ‬‬ ‫‪n‬‬. ‫= ‪σX‬‬. ‫‪51069.7‬‬. ‫ﻤﺜﺎل رﻗم )‪ :(7-1‬ﻴﺒﻠﻎ ﻤﺘوﺴط وزن ‪ 500‬ﻜرﻴﺔ ‪5.02‬غ واﻨﺤراﻓﻬﺎ اﻝﻤﻌﻴﺎري ‪0.3‬غ‪ .‬أوﺠد اﺤﺘﻤﺎل أن‬ ‫ﻴﻜون ﻤﺘوﺴط وزن ﻋﻴﻨﺔ ﻋﺸواﺌﻴﺔ ﻤن ‪ 100‬ﻜرﻴﺔ ﺘم اﺨﺘﻴﺎرﻫﺎ ﻤن ﻫذﻩ اﻝﻤﺠﻤوﻋﺔ‪:‬‬ ‫أ– ﺒﻴن ‪،5.00 – 4.96‬‬ ‫ب– أﻜﺒر ﻤن ‪. 5.10‬‬ ‫اﻝﺤل‪:‬‬ ‫ﻝدﻴﻨﺎ ﻤﺘوﺴط اﻝﻌﻴﻨﺔ‬. ‫‪μ ̅ = μ = 5.02‬‬. ‫ﺒﻤـ ــﺎ أن اﻝﻤﺠﺘﻤـ ــﻊ ﻤﺤـ ــدود و)‪⇒ 100 ≥ 0.05(500‬‬. ‫ﻝﻠﺘﻘدﻴر ﻴﺴﺎوي‪:‬‬. ‫‪≥ 0.05‬‬. ‫ﻓـ ــﺈن اﻻﻨﺤ ـ ـراف اﻝﻤﻌﻴـ ــﺎري‬. ‫‪14‬‬.

(20) ‫א ول‪ :‬א‬. ‫א‬. ‫‪500 − 100‬‬ ‫‪= 0.027‬‬ ‫‪500 − 1‬‬. ‫‪N −n‬‬ ‫‪0 .3‬‬ ‫=‬ ‫‪N −1‬‬ ‫‪100‬‬. ‫‪σ‬‬ ‫‪n‬‬. ‫= ‪σx‬‬. ‫‪4.96 − 5.02‬‬ ‫‪5.00 − 5.02‬‬ ‫⟨ ‪⟨Z‬‬ ‫)‪) ⇒ p (−2.22⟨ Z ⟨−0.74‬‬ ‫‪0.027‬‬ ‫‪0.027‬‬ ‫‪= Z (2.22) − Z (0.74) = 0.9868 − 0.7704 = 0.2164‬‬ ‫( ‪p (4.96⟨ x ⟨5.00) ⇒ p‬‬. ‫أ‪-‬‬. ‫‪5.1 − 5.02‬‬ ‫ب ‪) ⇒ p( Z ⟩ 2.96) = 1 − Z (2.96) = 1 − 0.9985 = 0.0015 -‬‬ ‫‪0.027‬‬. ‫⟩ ‪p( x ⟩5.1) ⇒ p( Z‬‬. ‫‪ 2 – 3 – 1‬ﺘوزﻴﻊ اﻝﻤﻌﺎﻴﻨﺔ ﻝﻠﻨﺴب‬ ‫ﻓﻲ اﻝﻌدﻴد ﻤن اﻝﻤﺠﺎﻻت اﻻﻗﺘﺼﺎدﻴﺔ ﺘﺴﺘﺨدم ﻨﺴب اﻝﻌﻴﻨﺎت ‪ p‬ﻝﻌﻤل اﺴﺘدﻻﻻت ﺤول ﻨﺴﺒﺔ‬ ‫اﻝﻤﺠﺘﻤﻊ ‪ ،p‬ﻫذﻩ اﻝﻌﻤﻠﻴﺔ ﻤوﻀﺤﺔ ﻓﻲ اﻝﺸﻜل رﻗم )‪:(4-1‬‬ ‫ﺸﻜل رﻗم )‪ :(4-1‬ﻋﻤﻠﻴﺔ إﺤﺼﺎﺌﻴﺔ ﺘوﻀﺢ اﺴﺘﺨدام ﻨﺴﺒﺔ ﻋﻴﻨﺔ ﻤن أﺠل ﻋﻤل اﺴﺘدﻻل ﺤول ﻨﺴﺒﺔ‬ ‫اﻝﻤﺠﺘﻤﻊ‬. ‫ر‬. ‫و ‪n‬‬ ‫نا‬. ‫و تا‬. ‫وا‬. ‫ن‬. ‫ط‬ ‫‪p‬ا‬. ‫ذو‬ ‫?=‪P‬‬. ‫‪p‬‬. ‫‪#‬دم !د ر‬. ‫‪p‬‬. ‫اﻝﻤﺼدر‪:‬‬ ‫‪David R. Anderson, Dennis J. Sweeney, Thomas A. Williams (2005). Statistiques pour‬‬ ‫‪l’économie et la gestion, De Boeck. France, p 343.‬‬. ‫ﻝﻨﻔرض أﻨﻪ ﻝدﻴﻨﺎ ﻤﺠﺘﻤﻊ ﻏﻴر ﻤﻨﺘﻪ وﻴﺘﺒﻊ ﺘوزﻴﻊ ﺜﻨﺎﺌﻲ اﻝﺤد و أن ‪ p‬و ‪ q‬ﻫﻤﺎ اﺤﺘﻤﺎل أن ﻴظﻬر‬ ‫ﻋﻨﺼر ﻤﺎ أو ﻻ ﻴظﻬر‪ ،‬وﻝﻨﻌﺘﺒر ﻜل اﻝﻌﻴﻨﺎت اﻝﻤﻤﻜﻨﺔ اﻝﺘﻲ ﺤﺠﻤﻬﺎ ‪ n‬وﺴﺤﺒت ﻤن ذﻝك اﻝﻤﺠﺘﻤﻊ‪ ،‬وﻨﺤدد‬ ‫ﻝﻜل ﻋﻴﻨﺔ اﻹﺤﺼﺎﺌﻴﺔ اﻝﺘﻲ ﻫﻲ ﻨﺴﺒﺔ اﻝﻨﺠﺎح ‪. p‬‬. ‫‪15‬‬.

(21) ‫‪3‬‬ ‫• ﺘوزﻴﻊ اﻝﻤﻌﺎﻴﻨﺔ ﻝﻠﻨﺴب ﻫو اﻝﺘوزﻴﻊ اﻻﺤﺘﻤﺎﻝﻲ ﻝﻜل اﻝﻘﻴم اﻝﻤﻤﻜﻨﺔ ﻝﻨﺴﺒﺔ اﻝﻌﻴﻨﺔ ‪. p‬‬ ‫ﻴﺤﻤل ﺘوزﻴﻊ اﻝﻤﻌﺎﻴﻨﺔ ﻝﻠﻨﺴب اﻝﺨﺼﺎﺌص اﻝﺘﺎﻝﻴﺔ‪:‬‬ ‫أ ‪ -‬اﻷﻤل اﻝرﻴﺎﻀﻲ‪:‬‬ ‫ﻫو ﻋﺒﺎرة ﻋن ﻤﺘوﺴط ﻜل اﻝﻘﻴم اﻝﻤﻤﻜﻨﺔ ﻝـ ‪ ، p‬وﻨرﻤز ﻝﻪ ﺒﺎﻝرﻤز ‪ ، µ p‬وﻴﻜون ﻤﺴﺎوﻴﺎ ﻝﻨﺴﺒﺔ‬ ‫اﻝﻤﺠﺘﻤﻊ ‪E ( p ) = µ p = p‬‬. ‫ب – اﻻﻨﺤراف اﻝﻤﻌﻴﺎري‪:‬‬ ‫ﻨرﻤز ﻝﻪ ﺒﺎﻝرﻤز ‪ σ p‬وﻋﻠﻰ ﻏرار ﺘوزﻴﻊ اﻝﻤﻌﻴﻨﺔ ﻝﻠﻤﺘوﺴط ﻨﺠد ﺤﺎﻝﺘﻴن ﻝﺤﺴﺎﺒﻪ‪:‬‬ ‫اﻝﻤﺠﺘﻤﻊ ﻤﻨﺘﻪ واﻝﺴﺤب ﺒدون إﻋﺎدة‬ ‫‪pq‬‬ ‫‪N −n‬‬ ‫×‬ ‫‪n‬‬ ‫‪N −1‬‬. ‫اﻝﻤﺠﺘﻤﻊ ﻏﻴر ﻤﻨﺘﻪ أو اﻝﺴﺤب ﻤﻊ اﻹﻋﺎدة‬ ‫‪pq‬‬ ‫‪n‬‬. ‫= ‪σp‬‬. ‫= ‪σp‬‬. ‫ﻓﻲ أﻏﻠب اﻝﺤﺎﻻت ﻓﺈن اﻝﻤﺠﺘﻤﻊ ﻴﻜون ﻤﺤدود وﻜﺒﻴر‪ ،‬ﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ ﺘﻜون ﻗﻴﻤﺔ ﻤﻌﺎﻤل اﻝﺘﺼﺤﻴﺢ ﻗرﻴﺒﺔ‬ ‫ﻤن ‪ .1‬ﻓﻲ ﻫذا اﻝﺤﺎﻻت ﻋﻨدﻤﺎ ﻴﻜون اﻝﻤﺠﺘﻤﻊ ﻤﺤدود واﻝﺴﺤب ﺒدون إﻋﺎدة وﻴﻜون ‪ n ≤ 0.05N‬ﻓﻼ داﻋﻲ‬ ‫ﻻﺴﺘﺨدام ﻤﻌﺎﻤل اﻝﺘﺼﺤﻴﺢ‪.‬‬ ‫ﺒﺎﻝﻌودة إﻝﻰ اﻹﺸﻜﺎﻝﻴﺔ اﻝﺴﺎﺒﻘﺔ ﻨﻌﻠم ﺒﺄن ﻨﺴﺒﺔ اﻝﻌﻤﺎل اﻝذﻴن ﺘﻠﻘوا ﺘرﺒﺼﺎ ﺘﻜوﻴﻨﻴﺎ ﻫو ‪ p=0.60‬وﻤﻊ‬ ‫‪ n ≤ 0.05N‬ﻓﺈﻨﻨﺎ ﻨﻠﻐﻲ ﻤﻌﺎﻤل اﻝﺘﺼﺤﻴﺢ ﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ‪:‬‬ ‫‪µ p = p = 0 .6‬‬ ‫‪0 .6 × 0 .4‬‬ ‫‪= 0.0894‬‬ ‫‪30‬‬. ‫‪pq‬‬ ‫=‬ ‫‪n‬‬. ‫= ‪σp‬‬. ‫ج – ﺸﻜل ﺘوزﻴﻊ اﻝﻤﻌﺎﻴﻨﺔ ﻝﻠﻨﺴب‪:‬‬ ‫اﻵن‪ ،‬وﺒﻌد أن ﻋرﻓﻨﺎ اﻝوﺴط واﻻﻨﺤراف اﻝﻤﻌﻴﺎري ﻝـ ‪ ، p‬ﻝﻨﻔرض ﺸﻜل ﺘوزﻴﻊ ﻤﻌﺎﻴﻨﺔ ﻝـﻠﻨﺴب‪ .‬ﺒﺎﺴﺘﺨدام‬ ‫ﻨظرﻴﺔ اﻝﻨﻬﺎﻴﺔ اﻝﻤرﻜزﻴﺔ ﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ اﻝﻨﺘﻴﺠﺔ اﻝﺘﺎﻝﻴﺔ‪:‬‬ ‫• ﺘوزﻴﻊ اﻝﻤﻌﺎﻴﻨﺔ ﻝﻠﻨﺴب ﻴﻤﻜن أن ﻴﻘﺎرب إﻝﻰ اﻝﺘوزﻴﻊ اﻝطﺒﻴﻌﻲ‪ ،‬إذا ﻜﺎن ﺤﺠم اﻝﻌﻴﻨﺔ ﻜﺒﻴر )‪. (n ≥ 30‬‬. ‫‪16‬‬.

(22) ‫א ول‪ :‬א‬. ‫א‬. ‫ﻤﺜﺎل رﻗم )‪ :(8-1‬ﻗدر ﻤدﻴر ﺸرﻜﺔ أن ‪ %30‬ﻤن اﻝطﻠﺒﻴﺎت اﻝﻤﻘدﻤﺔ ﻝﻠﺸرﻜﺔ ﻫﻲ ﻤن ﻋﻤﻼء ﺠدد‪.‬‬ ‫ﻨﺴﺤب ﻋﻴﻨﺔ ﺤﺠﻤﻬﺎ ‪ 100‬ﻤن اﻝطﻠﺒﻴﺎت ﻝﻤﻌرﻓﺔ ﻨﺴﺒﺔ طﻠﺒﻴﺎت اﻝزﺒﺎﺌن اﻝﺠدد‪ .‬ﻨﺘﺎﺌﺞ ﻫذﻩ اﻝﻌﻴﻨﺔ‬ ‫ﺴﻨﺴﺘﺨدﻤﻬﺎ ﻝﻤﻌرﻓﺔ ﻗدرة اﻝﻤدﻴر ﻋﻠﻰ اﻝﺘﻨﺒؤ‪.‬‬ ‫أ‪ -‬ﻨﻔرض أن اﻝﻤدﻴر ﻤﺼﻴب وﻨﺴﺒﺔ اﻝﻤﺠﺘﻤﻊ ﻫﻲ ‪ ،0.3‬ﻤﺎ ﻫو ﺘوزﻴﻊ اﻝﻤﻌﺎﻴﻨﺔ ﻝﻨﺴﺒﺔ اﻝﻌﻴﻨﺔ ﻓﻲ ﻫذﻩ‬ ‫اﻝدراﺴﺔ؟‬ ‫ب‪ -‬ﻤﺎ ﻫو اﺤﺘﻤﺎل أن ﻴﻜون ﺘوزﻴﻊ اﻝﻤﻌﺎﻴﻨﺔ ﻝﻠﻨﺴﺒﺔ ﻤﺤﺼو ار ﺒﻴن ‪ 0.2‬و‪0.4‬؟‬. ‫ج‪ -‬ﻤﺎ ﻫو اﺤﺘﻤﺎل أن ﻴﻨﺤرف ﺘوزﻴﻊ اﻝﻤﻌﺎﻴﻨﺔ ﻝﻠﻨﺴﺒﺔ ﻋن ﻨﺴﺒﺔ اﻝﻤﺠﺘﻤﻊ ﺒـ ‪±0.05‬؟‬. ‫اﻝﺤل‪:‬‬. ‫أ‪ -‬ﺘﺤدﻴد ﺘوزﻴﻊ اﻝﻤﻌﺎﻴﻨﺔ ﻝﻨﺴﺒﺔ اﻝﻌﻴﻨﺔ‪:‬‬ ‫‪µ p = p = 0 .3‬‬ ‫‪0 .3 × 0 .6‬‬ ‫‪= 0.0458‬‬ ‫‪100‬‬. ‫‪pq‬‬ ‫=‬ ‫‪n‬‬. ‫= ‪σp‬‬. ‫ب‪ -‬ﺤﺴﺎب اﺤﺘﻤﺎل أن ﻴﻜون ﺘوزﻴﻊ اﻝﻤﻌﺎﻴﻨﺔ ﻝﻠﻨﺴﺒﺔ ﻤﺤﺼو ار ﺒﻴن ‪ 0.2‬و‪:0.4‬‬ ‫‪%‬‬. ‫)‪< 0.40‬‬. ‫‪− "#‬‬ ‫‪#‬‬. ‫‪1‬‬ ‫‪− "#‬‬ ‫‪2‬‬ ‫'‬ ‫‪#‬‬. ‫‪+‬‬. ‫< ‪(0.20‬‬. ‫<‪<$‬‬. ‫‪− "#‬‬ ‫‪#‬‬. ‫!‬. ‫‪1‬‬ ‫‪− "#‬‬ ‫‪2‬‬ ‫<‪<$‬‬ ‫‪#‬‬. ‫‪−‬‬. ‫=‬. ‫&‬. ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪− 0.30‬‬ ‫‪0.40 +‬‬ ‫‪− 0.30‬‬ ‫)‪2(100‬‬ ‫)‪2(100‬‬ ‫<‪<$‬‬ ‫)‬ ‫‪0.0458‬‬ ‫‪0.0458‬‬. ‫‪= (−2.29 < $ < 2.29) = 0.978‬‬. ‫=‬. ‫‪0.20 −‬‬. ‫(‬. ‫=‬. ‫ب‪ -‬ﺤﺴﺎب اﺤﺘﻤﺎل أن ﻴﻨﺤرف ﺘوزﻴﻊ اﻝﻤﻌﺎﻴﻨﺔ ﻝﻠﻨﺴﺒﺔ ﻋن ﻨﺴﺒﺔ اﻝﻤﺠﺘﻤﻊ ﺒـ ‪:±0.05‬‬ ‫)‪< 0.35‬‬. ‫< ‪(0.35‬‬. ‫‪17‬‬.

(23) ‫‪3‬‬ ‫‪%‬‬. ‫‪− "#‬‬ ‫‪#‬‬. ‫‪1‬‬ ‫‪− "#‬‬ ‫‪2‬‬ ‫'‬ ‫‪#‬‬. ‫<‪<$‬‬. ‫‪− "#‬‬. ‫!‬. ‫‪#‬‬. ‫‪1‬‬ ‫‪− "#‬‬ ‫‪2‬‬ ‫<‪<$‬‬. ‫‪+‬‬. ‫‪#‬‬. ‫‪−‬‬. ‫=‬. ‫&‬. ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪− 0.30‬‬ ‫‪− 0.30‬‬ ‫‪0.35 +‬‬ ‫)‪2(100‬‬ ‫)‪2(100‬‬ ‫<‪<$‬‬ ‫)‬ ‫‪0.0458‬‬ ‫‪0.0458‬‬. ‫=‬. ‫‪0.25 −‬‬. ‫‪= (−1.20 < $ < 1.20) = 0.7698‬‬. ‫=‬. ‫(‬. ‫‪ 3 – 3 – 1‬ﺘوزﻴﻊ اﻝﻤﻌﺎﻴﻨﺔ ﻝﻠﻔروق واﻝﻤﺠﺎﻤﻴﻊ‬. ‫ﻝﻨﻔﺘرض أﻨﻪ ﻝدﻴﻨﺎ ﻤﺠﺘﻤﻌﻴن‪ ،‬ﻨﺴﺤب ﻤن اﻝﻤﺠﺘﻤﻊ اﻷول ‪ N1‬ﻋﻴﻨﺔ ﺤﺠﻤﻬﺎ ‪ ،n1‬وﻨﺴﺤب ﻤن‬ ‫اﻝﻤﺠﺘﻤﻊ اﻝﺜﺎﻨﻲ ‪ N2‬ﻋﻴﻨﺔ ﺤﺠﻤﻬﺎ ‪ n2‬ﻤﺴﺘﻘﻠﺔ‪.‬‬ ‫ﻴﻌرف ﺘوزﻴﻊ اﻝﻤﻌﺎﻴﻨﺔ ﻝﻠﻔرق ﺒﻴن اﻝﻤﺘوﺴطﻴن ﻜﺎﻝﺘﺎﻝﻲ‪:‬‬. ‫‪µ x − x = µ x − µ x = µ1 − µ2‬‬ ‫‪1‬‬. ‫‪2‬‬. ‫‪1‬‬. ‫‪2‬‬. ‫وﻴﻜون اﻨﺤراﻓﻪ اﻝﻤﻌﻴﺎري‪:‬‬ ‫اﻝﻤﺠﺘﻤﻊ ﻤﻨﺘﻪ واﻝﺴﺤب ﺒدون إﻋﺎدة‬ ‫)‬. ‫‪σ 22 N 2 − n2‬‬ ‫‪N2 −1‬‬. ‫(‬. ‫‪n2‬‬. ‫‪)+‬‬. ‫‪σ 12 N 1 − n1‬‬ ‫‪N1 − 1‬‬. ‫(‬. ‫‪n1‬‬. ‫اﻝﻤﺠﺘﻤﻊ ﻏﻴر ﻤﻨﺘﻪ أو اﻝﺴﺤب ﻤﻊ اﻹﻋﺎدة‬ ‫= ‪σ X −X‬‬ ‫‪2‬‬. ‫‪1‬‬. ‫‪σ 22‬‬ ‫‪n2‬‬. ‫‪+‬‬. ‫‪σ 12‬‬ ‫‪n1‬‬. ‫= ‪σ X −X = σ X + σ X‬‬ ‫‪2‬‬. ‫‪1‬‬. ‫‪2‬‬. ‫‪1‬‬. ‫ﻤﻼﺤظﺎت‪:‬‬ ‫‪ – 1‬ﻴﻜون اﻝﻤﺘﻐﻴر اﻝﻤﻌﻴﺎري‬. ‫) ‪( X 1 − X 2 ) − (µ X 1 − µ X 2‬‬ ‫‪2‬‬. ‫‪σ X −X‬‬. ‫= ‪ Z‬ﻤوزع ﺒﺸﻜل ﻗرﻴب ﺠدا ﻤن اﻝﺘوزﻴﻊ‬. ‫‪1‬‬. ‫اﻝطﺒﻴﻌﻲ إذا ﻜﺎن ‪n1 , n 2 ≥ 30‬‬. ‫‪ – 2‬ﻓﻲ ﺤﺎﻝﺔ ﻜون اﻝﻤﺠﺘﻤﻌﺎن ﻴﺘﺒﻌﺎن ﺘوزﻴﻊ ﺜﻨﺎﺌﻲ اﻝﺤد واﻝﻤﺠﺘﻤﻊ ﻏﻴر ﻤﻨﺘﻪ ﻴﻜون ﻝدﻴﻨﺎ‪:‬‬. ‫‪18‬‬.

(24) ‫א ول‪ :‬א‬. ‫א‬. ‫‪µ p − p = p1 − p2‬‬ ‫‪2‬‬. ‫‪2‬‬. ‫‪1‬‬. ‫‪σ p − p = σ p2 + σ p2‬‬ ‫‪2‬‬. ‫‪1‬‬. ‫‪1‬‬. ‫‪ – 3‬إذا ﻜﻨﺎ ﻨﻬﺘم ﺒﺘوزﻴﻊ اﻝﻤﻌﺎﻴﻨﺔ ﻝﻤﺠﻤوع وﺴطﻴن واﻝﻤﺠﺘﻤﻊ ﻏﻴر ﻤﻨﺘﻪ ﻴﻜون ﻝدﻴﻨﺎ‪:‬‬. ‫‪µ x + x = µ x + µ x = µ1 + µ 2‬‬ ‫‪2‬‬. ‫‪σ 22‬‬ ‫‪n2‬‬. ‫‪+‬‬. ‫‪σ 12‬‬ ‫‪n1‬‬. ‫‪1‬‬. ‫‪1‬‬. ‫‪2‬‬. ‫= ‪σ X +X = σ X + σ X‬‬ ‫‪2‬‬. ‫‪2‬‬. ‫‪1‬‬. ‫‪1‬‬. ‫ﻤﺜﺎل رﻗم )‪:(9-1‬‬ ‫ﺘﻨﺘﺞ ﺸرﻜﺔ ‪ A‬ﻤﺼﺎﺒﻴﺢ ﻤﺘوﺴط ﻤدة ﺤﻴﺎﺘﻬﺎ ‪ 1400‬ﺴﺎ ﺒﺎﻨﺤراف ﻤﻌﻴﺎري ‪ 200‬ﺴﺎ‪ .‬وﺘﻨﺘﺞ ﺸرﻜﺔ ‪B‬‬ ‫ﻤﺼﺎﺒﻴﺢ ﻤﺘوﺴط ﻤدة ﺤﻴﺎﺘﻬﺎ ‪ 1200‬ﺴﺎ ﺒﺎﻨﺤراف ﻤﻌﻴﺎري ‪ 100‬ﺴﺎ‪.‬‬ ‫ﻗﻤﻨﺎ ﺒﺎﺨﺘﻴﺎر ﻋﻴﻨﺔ ﻤن ‪ 125‬وﺤدة ﻤن ﻜﻠﺘﺎ اﻝﺸرﻜﺘﻴن ﻤﻊ اﻹﻋﺎدة‪ .‬أوﺠد اﺤﺘﻤﺎل أن اﻝﺸرﻜﺔ ‪ A‬ﺘﻨﺘﺞ‬ ‫ﻤﺼﺎﺒﻴﺢ ﻜﻬرﺒﺎﺌﻴﺔ ﻤﺘوﺴط ﻤدة ﺤﻴﺎﺘﻬﺎ ﻋﻠﻰ اﻷﻗل أﻜﺒر ﺒـ ‪ 160‬ﺴﺎ ﻤن ﻋﻤر ﻤﺼﺎﺒﻴﺢ اﻝﺸرﻜﺔ ‪B‬؟‬ ‫اﻝﺤل‪:‬‬. ‫‪µ x − x = µ1 − µ 2 = 1400 − 1200 = 200‬‬ ‫‪2‬‬. ‫‪200 2 100 2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪= 20‬‬ ‫‪125‬‬ ‫‪125‬‬. ‫)‬. ‫=‬. ‫) ‪( X 1 − X 2 ) − ( µ1 − µ2‬‬ ‫‪2‬‬. ‫‪σ X −X‬‬. ‫‪σ 22‬‬ ‫‪n2‬‬. ‫‪+‬‬. ‫‪σ 12‬‬ ‫‪n1‬‬. ‫‪1‬‬. ‫= ‪σ X −X‬‬ ‫‪2‬‬. ‫‪1‬‬. ‫⟩ ‪p(( x 1 − x2 )⟩160) = p( Z‬‬. ‫‪1‬‬. ‫‪160 − 200‬‬ ‫‪) = p( Z ⟩ − 2) = 0.9772‬‬ ‫‪20‬‬. ‫⟩ ‪= p( Z‬‬. ‫‪19‬‬.

(25) ‫‪3‬‬ ‫‪ 4 – 1‬ﺘﻤﺎرﻴن ﻤﺤﻠوﻝﺔ‬ ‫ﺘﻤرﻴن رﻗم ‪:1-1‬‬ ‫ﻨﻔرض أن ‪ X‬ﻤﺘﻐﻴر ﻋﺸواﺌﻲ ﻴﻤﺜل ظﻬور اﻝﺼورة ﻋﻨد رﻤﻲ ﻗطﻌﺔ ﻨﻘود ﻤﺘزﻨﺔ ‪ 10‬ﻤرات‪ ،‬أوﺠد‪:‬‬ ‫‪ –1‬ﻗﺎﻨون اﺤﺘﻤﺎل ‪X‬؟‬ ‫‪ – 2‬اﺤﺘﻤﺎل اﻝﺤﺼول ﻋﻠﻰ ﺼورة ﺒﻴن ‪ 3‬و‪ 6‬ﺒﺎﺴﺘﺨدام‪:‬‬ ‫أ‪ -‬ﺘوزﻴﻊ ﺜﻨﺎﺌﻲ اﻝﺤد‪،‬‬ ‫ب‪ -‬اﻝﺘوزﻴﻊ اﻝطﺒﻴﻌﻲ ﻜﺘﻘرﻴب ﻝﺘوزﻴﻊ ﺜﻨﺎﺌﻲ اﻝﺤد ﻤﻊ اﻝﺘﻤﺜﻴل اﻝﺒﻴﺎﻨﻲ‪.‬‬ ‫اﻝﺤل‪:‬‬ ‫‪ -1‬ﺘﺤدﻴد ﻗﺎﻨون اﺤﺘﻤﺎل ‪X‬‬ ‫ﻝدﻴﻨﺎ ‪ X‬ﻤﺘﻐﻴر ﻋﺸواﺌﻲ ﻜﻤﻲ ﻤﻨﻔﺼل ﻴﻤﺜل ظﻬور اﻝﺼورة ﻋﻨد رﻤﻲ ﻗطﻌﺔ ﻨﻘود ﻤﺘزﻨﺔ ‪ 10‬ﻤرات‪،‬‬ ‫ﺒﺎﻝﺘﺎﻝﻲ ﻫذا اﻝﻤﺘﻐﻴر ﻴﺘﺒﻊ ﻗﺎﻨون ﺜﻨﺎﺌﻲ اﻝﺤد ﺒﺎﻝﻤﻌﻠﻤﺎت اﻝﺘﺎﻝﻴﺔ‪:‬‬ ‫‪n=10, p = 1/2, q =1/2‬‬ ‫‪2‬‬. ‫‪1 031‬‬. ‫‪(- = .) = /01‬‬. ‫ﻴﺘﻤﺜل ﻓراغ اﻝﺤوادث ﻝﻠﻤﺘﻐﻴر اﻝﻌﺸواﺌﻲ ‪ X‬ﻓﻲ اﻝﻤﺠﻤوﻋﺔ اﻝﺘﺎﻝﻴﺔ‪:‬‬. ‫‪4 = 50,1,2,3,4,5,6,7,8,9,107‬‬. ‫اﻻﺤﺘﻤﺎﻻت اﻝﻤﻨﺎظرة ﻝﻜل ﻗﻴم اﻝﻤﺘﻐﻴر اﻝﻌﺸواﺌﻲ ﻴﺘم ﺤﺴﺎﺒﻬﺎ ﺒﺎﺴﺘﺨدام اﻝﻌﻼﻗﺔ‪:‬‬. ‫‪1 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪(- = 0) = /89‬‬ ‫= ‪( )9 ( )8939 = 0.000976‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫‪1024‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪(- = 1) = /89‬‬ ‫= ‪( )8 ( )8938 = 0.00976‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫‪1024‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪45‬‬ ‫‪:‬‬ ‫‪(- = 2) = /89‬‬ ‫= ‪( ): ( )893: = 0.04392‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫‪1024‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪120‬‬ ‫;‬ ‫‪(- = 3) = /89‬‬ ‫= ‪( ); ( )893; = 0.1171‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫‪1024‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪210‬‬ ‫<‬ ‫‪(- = 4) = /89‬‬ ‫= ‪( )< ( )893< = 0.2050‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫‪1024‬‬. ‫‪20‬‬.

(26) ‫א ول‪ :‬א‬. ‫א‬. ‫=‪1 = 1 893‬‬ ‫‪252‬‬ ‫= )‪= 5‬‬ ‫= ‪= 0.2460‬‬ ‫? > ? >‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1024‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪210‬‬ ‫@‬ ‫‪= 6) = /89‬‬ ‫= ‪( )@ ( )893@ = 0.2050‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫‪1024‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪120‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪= 7) = /89‬‬ ‫= ‪( )A ( )893A = 0.1171‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫‪1024‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪45‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪= 8) = /89‬‬ ‫= ‪( )B ( )893B = 0.04392‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫‪1024‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪= 9) = /89‬‬ ‫= ‪( )C ( )893C = 0.00976‬‬ ‫‪2 2‬‬ ‫‪1024‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪89‬‬ ‫‪= 10) = /89‬‬ ‫= ‪( )89 ( )89389 = 0.000976‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1024‬‬ ‫ﻴﻤﻜن ﻜﺘﺎﺒﺔ ﻗﺎﻨون اﺤﺘﻤﺎل ‪ X‬ﻓﻲ ﺼورة ﺠدوﻝﻴﺔ ﻜﺎﻝﺘﺎﻝﻲ‪:‬‬ ‫=‬ ‫‪/89‬‬. ‫‪10‬‬. ‫‪9‬‬. ‫‪8‬‬. ‫‪10‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪45‬‬ ‫‪1024 1024 1024‬‬. ‫‪7‬‬. ‫‪120‬‬ ‫‪1024‬‬. ‫‪6‬‬. ‫‪210‬‬ ‫‪1024‬‬. ‫‪5‬‬. ‫‪252‬‬ ‫‪1024‬‬. ‫‪4‬‬. ‫‪210‬‬ ‫‪1024‬‬. ‫‪ -2‬ﺤﺴﺎب اﺤﺘﻤﺎل اﻝﺤﺼول ﻋﻠﻰ ﺼورة ﺒﻴن ‪ 3‬و‪ 6‬ﺒﺎﺴﺘﺨدام‪:‬‬. ‫‪3‬‬. ‫‪120‬‬ ‫‪1024‬‬. ‫‪2‬‬. ‫‪45‬‬ ‫‪1024‬‬. ‫‪1‬‬. ‫‪10‬‬ ‫‪1024‬‬. ‫أ‪ -‬ﺘوزﻴﻊ ذي اﻝﺤدﻴن‬. ‫‪= 0.7734‬‬. ‫‪792‬‬. ‫‪1024‬‬. ‫=‬. ‫‪210‬‬. ‫‪1024‬‬. ‫‪+‬‬. ‫‪252‬‬. ‫‪1024‬‬. ‫‪+‬‬. ‫‪210‬‬. ‫‪1024‬‬. ‫‪+‬‬. ‫‪120‬‬. ‫‪1024‬‬. ‫=‬. ‫‪(-‬‬. ‫(‬‫‪(-‬‬. ‫‪(-‬‬. ‫‪(-‬‬. ‫‪0‬‬. ‫‪1‬‬ ‫‪1024‬‬. ‫)‪≤ 6) = ( = 3) + ( = 4) + ( = 5) + ( = 6‬‬. ‫‪(-‬‬. ‫‪X‬‬ ‫)‪P(X‬‬. ‫≤ ‪(3‬‬. ‫‪21‬‬.

(27) ‫‪3‬‬ ‫ب‪ -‬اﻝﺘوزﻴﻊ اﻝطﺒﻴﻌﻲ ﻜﺘﻘرﻴب ﻝﺘوزﻴﻊ ﺜﻨﺎﺌﻲ‬ ‫)‪P(X‬‬ ‫‪0.250‬‬. ‫‪0.200‬‬. ‫‪0.150‬‬. ‫‪0.100‬‬. ‫‪0.050‬‬. ‫‪9 10‬‬. ‫‪X‬‬. ‫‪8‬‬. ‫‪7‬‬. ‫‪6‬‬. ‫‪5‬‬. ‫‪4‬‬. ‫‪3‬‬. ‫‪2‬‬. ‫‪1‬‬. ‫‪0‬‬. ‫إن ﺘوزﻴﻊ اﻻﺤﺘﻤﺎل ﻝﻠﻤﺘﻐﻴر اﻝﻌﺸواﺌﻲ ‪ X‬اﻝذي ﻴﻤﺜل ﻋدد ﻤرات ظﻬور اﻝﺼورة ﻋﻨد رﻤﻲ ﻗطﻌﺔ‬ ‫ﻨﻘود ﻤﺘزﻨﺔ ‪ 10‬ﻤرات ﻤﻤﺜل ﺒﺎﻝﺸﻜل اﻝﺴﺎﺒق‪ .‬واﻝﻤﻼﺤظ ﻋﻠﻰ ﻫذا اﻝﺸﻜل أﻨﻨﺎ ﻋﺎﻤﻠﻨﺎ اﻝﺒﻴﺎﻨﺎت وﻜﺄﻨﻬﺎ ﻤﺘﺼﻠﺔ‬ ‫)ﺤﻴث أن اﻝرﺴم ﻴﺠب أن ﻴﻜون ﺒﺄﻋﻤدة ﻷن اﻝﻤﺘﻐﻴر اﻝﻌﺸواﺌﻲ ﻤﻨﻔﺼل(‪ .‬إن اﻻﺤﺘﻤﺎل اﻝﻤطﻠوب ﻤﻤﺜل‬ ‫ﺒﺎﻝﻤﺴﺘطﻴﻼت اﻝﻤظﻠﻠﺔ‪ ،‬واﻝﺘﻲ ﻴﻤﻜن أن ﻴﺘم ﺘﻘرﻴﺒﻬﺎ ﺒواﺴطﺔ اﻝﻤﻨﺤﻨﻰ اﻝﺘﻜراري )اﻝﺘوزﻴﻊ اﻝطﺒﻴﻌﻲ( اﻝﻤﻤﺜل ﻓﻲ‬ ‫ﻨﻔس اﻝﺸﻜل‪.‬‬ ‫ﻨﻼﺤظ ﻤن ﺨﻼل اﻝﺸﻜل اﻝﺴﺎﺒق أن اﻝﻤﻨﺤﻨﻰ اﻝطﺒﻴﻌﻲ ﻫو ﺘوزﻴﻊ ﻤﺘﺼل‪ ،‬ﻝﻬذا ﻓﺈﻨﻨﺎ ﻴﺠب أن ﻨﻘوم‬ ‫ﺒﺘﺤوﻴل اﻝﻤطﻠوب ﻤن اﻝﺘوزﻴﻊ اﻝﺜﻨﺎﺌﻲ إﻝﻰ اﻝﺘوزﻴﻊ اﻝطﺒﻴﻌﻲ‪ .‬وﻫذا ﻋن طرﻴق إﻀﺎﻓﺔ أو طرح اﻝﻤﻘدار ‪0.5‬‬ ‫ﺤﺴب ﻤﺎ ﻫو ﻤطﻠوب ﻓﻲ اﻝﺴؤال‪ .‬واﻝﻬدف ﻤن ﻫذﻩ اﻝﺨطوة‪ ،‬ﻫو ﻀم اﻝﻤﺴﺎﺤﺔ اﻝﻨﺎﻗﺼﺔ ﻤن اﻝﻤدرج‬ ‫اﻝﺘﻜراري إﻝﻰ اﻻﺤﺘﻤﺎل اﻝﻤطﻠوب ﺤﺴﺎﺒﻪ ﻋﻠﻰ اﻝﻨﺤو اﻝﺘﺎﻝﻲ‪:‬‬. ‫ﺜﻨﺎﺌﻲ اﻝﺤد )‪≤ 6) ↝ F( , , 2‬‬ ‫طﺒﻴﻌﻲ )‬. ‫‪:‬‬. ‫‪(",‬‬. ‫↝ )‪≤ 6.5‬‬. ‫ﻨﻘوم ﺒﺤﺴﺎب ﻤﻌﻠﻤﺎت اﻝﺘوزﻴﻊ اﻝطﺒﻴﻌﻲ ﺒﺎﺴﺘﺨدام اﻝﻌﻼﻗﺎت اﻝﺘﺎﻝﻴﺔ‪:‬‬. ‫≤ ‪(3‬‬. ‫< ‪(2.5‬‬. ‫‪22‬‬.

(28) ‫א ول‪ :‬א‬. ‫א‬. ‫‪1‬‬ ‫‪= 10 > ? = 5‬‬ ‫‪2‬‬. ‫‪2 = 10 G H G H = 1.58‬‬ ‫‪:‬‬ ‫‪:‬‬ ‫‪8‬‬. ‫اﻻﺤﺘﻤﺎل اﻝﻤطﻠوب ﻴﻌطﻰ ﺒﺎﻝﻌﻼﻗﺔ‪:‬‬. ‫‪8‬‬. ‫‪2.5 − 5‬‬ ‫‪6.5 − 5‬‬ ‫<‪<$‬‬ ‫)‪? = (−1.58 < $ < 0.95‬‬ ‫‪1.58‬‬ ‫‪1.58‬‬ ‫‪= I$9.C= − $9 J + I$8.=B − $9 J = I0.8289 − 0.5J + I0.9429 − 0.5J‬‬ ‫‪= 0.7718‬‬ ‫>‬. ‫= )‪< 6.5‬‬. ‫="‬. ‫=‬. ‫< ‪(2.5‬‬. ‫ﻨﻼﺤظ أن اﻻﺤﺘﻤﺎل اﻝﻤﺤﺴوب ﺒﺎﺴﺘﺨدام اﻝﺘوزﻴﻊ اﻝطﺒﻴﻌﻲ ﻜﺘﻘرﻴب ﻝﺘوزﻴﻊ ﺜﻨﺎﺌﻲ اﻝﺤد أﻋطﻰ ﻨﺘﺎﺌﺞ‬. ‫ﻗرﻴﺒﺔ ﻝﻠﻘﻴﻤﺔ اﻝﻤﺤﺴوﺒﺔ ﻋن طرﻴق اﺴﺘﺨدام ﺘوزﻴﻊ ﺜﻨﺎﺌﻲ اﻝﺤد‪.‬‬ ‫ﺘﻤرﻴن رﻗم ‪:2-1‬‬ ‫ﻴﺘﻜــون ﻤﺠﺘﻤــﻊ ﻤــن ﺨﻤﺴــﺔ أرﻗــﺎم ‪ .7 ، 6 ، 4 ، 2 ، 1‬اﻋﺘﺒــر ﻜــل اﻝﻌﻴﻨــﺎت اﻝﻤﻤﻜﻨــﺔ اﻝﺘــﻲ ﻴﻜــون‬ ‫ﺤﺠﻤﻬﺎ اﺜﻨﻴن و اﻝﺘﻲ ﻴﻤﻜن ﺴﺤﺒﻬﺎ ﻤﻊ اﻹرﺠﺎع ﻤن ﻫذا اﻝﻤﺠﺘﻤﻊ‪ .‬أوﺠد‪:‬‬ ‫‪ – 1‬ﻤﺘوﺴط اﻝﻤﺠﺘﻤﻊ ‪ µ‬؟‬ ‫‪ – 2‬اﻻﻨﺤراف اﻝﻤﻌﻴﺎري ﻝﻠﻤﺠﺘﻤﻊ ‪ σ‬؟‬ ‫‪ - 3‬ﻤﺘوﺴط ﺘوزﻴﻊ اﻝﻤﻌﺎﻴﻨﺔ ﻝﻸوﺴﺎط ‪ µ X‬؟‬ ‫‪ - 4‬اﻻﻨﺤراف اﻝﻤﻌﻴﺎري ﻝﺘوزﻴﻊ اﻝﻤﻌﻴﻨﺔ ﻝﻸوﺴﺎط ‪ σ X‬؟‬ ‫‪ - 5‬ﺤل اﻝﻤﺴﺄﻝﺔ اﻝﺴﺎﺒﻘﺔ ﻓﻲ ﺤﺎﻝﺔ اﻝﻤﻌﺎﻴﻨﺔ دون إرﺠﺎع؟‬ ‫اﻝﺤل‪:‬‬ ‫‪ – 1‬ﺤﺴﺎب ﻤﺘوﺴط اﻝﻤﺠﺘﻤﻊ ‪µ‬‬. ‫‪1+2+4+6+7‬‬ ‫‪=4‬‬ ‫‪5‬‬. ‫="‬. ‫‪23‬‬.