Action du groupe de Galois sur les périodes de certaines courbes de Mumford

J

OURNAL DE

T

HÉORIE DES

N

OMBRES DE

B

ORDEAUX

C

HRISTOPHE

B

ROUILLARD

Action du groupe de Galois sur les périodes de

certaines courbes de Mumford

Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, tome

6, n

o

_{2 (1994),}

p. 363-390

<http://www.numdam.org/item?id=JTNB_1994__6_2_363_0>

© Université Bordeaux 1, 1994, tous droits réservés.

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Action du

_groupe

de Galois

sur

les

périodes

de certaines courbes de Mumford

par CHRISTOPHE BROUILLARD

RÉSUMÉ - Nous étudions l’action du groupe de Galois sur les périodes des courbes de Mumford _qui sont des revêtements cycliques de

_P1K.

Lorsque le

degré de ce revêtement est _premier à la _{caractéristique} résiduelle du corps

de base, nous décomposons le réseau des périodes en une somme directe de modules _monogènes, le nombre de ces modules _monogènes étant déduit de

la _géométrie de la courbe _{(théorème 4).} Ceci nous _permet de donner une

condition nécessaire et suffisante pour que le module des périodes soit libre

(théorème 5).

ABSTRACT - We study the Galois-action on periods of Mumford curves

which are _{cyclic coverings} of

P1K.

When the _degree of this _covering is _prime

to the characteristic of the residue field we write the _periods lattice as a direct sum of modules _generated by one _element; the number of such

modules is deduced from the geometry of the curve _{(theorem 4).} We _give

a condition _(necessary and sufficient) for the _{periods-module} to be free

(theorem 5).

1. Introduction

Soit K un _corps

_{algébriquement}

clos,

muni d’une valeur absolue

ul-tramétrique ;

on _suppose ce _corps

complet

_pour sa valeur absolue. Soit

C une courbe de Mumford définie sur le _corps K

(voir

[Mum]);

on _suppose

que la courbe de Mumford C est un revêtement

cyclique

de

Pl.

L’objet

de ce travail est d’étudier l’action du _groupe de

Galois 9

du revêtement C de

Pl

sur les

_périodes

de la

_courbe,

et de

_préciser

la structure du

9-module

des

_périodes.

Une courbe de Mumford C sur K

est,

du

_point

de vue

_{analytique rigide,}

un

quotient

SZ/r,

où Q est un _sous-espace

analytique

de

Pk

"sans bord

et borné dans aucune

direction" ,

et r un _groupe de

Schottky,

libre

_{à g}

générateurs, g

étant le _genre de la courbe. Une théorie des fonctions

_thêta,

due à

_Myers

_[My],

Manin et Drinfeld

_[M-D],

Gerritzen

_{[Ge 4],}

_permet

de construire

_{analytiquement la jacobienne}

de C: celle-ci se décrit comme étant

le _groupe des facteurs

_{d’automorphie}

des fonctions

_thêta,

modulo le réseau

engendré

par les facteurs

d’automorphie

des fonctions thêta

qui

sont sans

zéros ni

_pôles;

elles est donc de la forme où R est un réseau de

( K * ) 9 ,

le réseau des

_périodes

de

_C,

de _{rang 9} le _genre de C.

Dans un

_premier

_temps,

nous donnons une caractérisation des courbes

de Mumford

_qui

sont des revêtements

_cycliques

de

_Pl

_(proposition

_3.1);

nous ne faisons aucune

_hypothèse

sur le

degré

du revêtement. Cette

ca-ractérisation

_porte

sur le _groupe de

Schottky

r de la

courbe,

et

_permet

de montrer _que les

_périodes

forment un

9-module

projectif

(proposition

3.5).

De

_là,

nous sommes conduit à étudier les _rangs locaux de ce

module;

nous avons une formule

(lemme 3.8)

qui,

_par des calculs

élémentaires,

nous

permet

de savoir si le rang du module

projectif

est défini.

Nous supposons que le

degré

du revêtement C de

1~x

est

_premier

à la

caractéristique

résiduelle du _corps K. Une caractérisation

_{géométrique}

des revêtements

_cycliques

de

_Pal

_qui

sont des courbes de Mumford

_(proposition

4.4)

permet

de

_décomposer

le!g-module

projectif

en somme directe de

9-modules

_monogènes,

ceux-ci sont en nombre

r;2

où r

_désigne

le nombre de

points

de ramification de C sur

Pl .

Cette

décomposition

n’est _pas

_unique

en

_général;

en

revanche,

elle

_majore

les _rangs locaux

par ’ 22»

Cette

_majoration

et le lemme 3.8 établissent que le

9-module

des

pério-des est libre de _rang et seulement si la courbe est totalement ramifiée

sur

Pu-

(théorème 5);

de

_plus,

le _rang du module

_projectif

est défini si et

seulement si le module des

_périodes

tensorisé

_{par Q}

est un

(Ç

_Q9z

Q)-module

libre

_{(théorème 5).}

De tels résultats rendaient tentant de continuer cette étude sur un

systè-me de

_2g

_périodes,

comme c’est le cas sur C ou encore sur notre

_{corps K}

selon le

_point

de vue de Fontaine et

_Messing

_[F-M].

Cela nous a conduit à

examiner l’action du _groupe de Galois sur

HDR(CIK), 1

le

_premier

_groupe

de la

_cohomologie

de De Rham de C sur K.

À

l’aide de résultats récents

de L. Gerritzen

_{([Ge 2], [Ge 3])}

_qui

décrivent

_HhR(CIK),

on détermine

lorsque

le

_degré

du revêtement C de

_Pl

est

_premier

à la

_{caractéristique}

résiduelle du _corps et

_lorsque

le

_{corps K}

est de

_{caractéristique}

_zéro,

un

réseau de

_qui

se

_décompose

en une somme directe

de!g-modules

monogènes

en nombre r -

2,

ce réseau étant de

plus 9-libre,

de _rang r -

_2,

si et seulement si la ramification de C sur K est totale

_(théorème

_6).

On

peut

citer autour de ce

_type

de

problème

le travail de Weil

[W]

_qui

cherche à

_exprimer

les

_périodes

de certains revêtements de

_Pl

en termes

des coefficients de

_{l’équation}

affine

_associée,

et celui de Teitelbaum

_qui

fait la même étude _pour les courbes de Mumford de genre 2

uniquement.

Je remercie le referee pour l’ensemble des

commentaires,

des

remar-ques, et des

suggestions

qu’il

a bien voulu me faire et

_qui

m’ont été d’un

grand

bénéfice.

2.

_Rappels

et notations

Pour les

_{généralités}

sur les courbes de

Mumford,

on renvoie à

[Mum];

notre

_point

de vue est celui de

_(G-vdP~.

Pour les

_{généralités}

de

_géométrie

rigide,

on renvoie à

[B-G-R], [F-vdP]

et

_[G-vdP].

Soit K un _corps

_{algébriquement}

_clos,

muni d’une valeur absolue

ul-tramétrique ;

on note

_lx

E

_{1} ,}

K°° =

_K;

_Ixl

_1}.

Le

_{quotient K}

= est un _corps

_appelé

_corps résiduel de

_K;

l’entier

car(K)

s’appelle la

caractéristique

résiduelle de K.

Courbes de

_{Mumford :}

soit r un _sous-groupe de

_Schottky

de

_{PGL(2, K)}

de _{rang g}

_(par

définition r est un _groupe libre discontinu de _rang

g);

soit

Or

=

Gr

où

Gr

désigne

des

points

limites de

F;

le

_quotient

a une structure

_{d’espace analytique isomorphe}

_(au

sens de la

géométrie

analytique

rigide),

à

_{l’analytifiée}

d’une courbe

_projective

C sur le _corps

K,

régulière,

de _{genre g}

_(le

rang de

r).

Nous

_prendrons

comme définition d’une courbe de Mumford l’une des

trois définitions

_{équivalentes}

données _par la

_{proposition-définition}

2.1.

PROPOSITION-DÉFINITION 2.1. Les assertions suivantes sont

_{équivalentes :}

(i)

La courbe C s’écrit

_{analytiquement}

comme un

_quotient

du

_type

_{Or Ir}

où r est un _groupe de

Schottky.

(ii)

La courbe C est localement

_{analytiquement isomorphe}

à

_Pk.

(iii)

La courbe C

_possède

une réduction

_analytiques

dont les

_composantes

irréductibles sont des se

_coupant

en des

_points

doubles ordinaires.

Preuve : ces

équivalences

sont établies dans

_[G-vdP]

_chap.

IV et

_V,

et dans

[F-vdP]

chap.

IV.

Nous savons

_{qu’alors l’application}

7r :

S2r

2013~ C _est le

revête-ment universel

_(au

sens

_analytique

rigide)

de la courbe

_C,

de _groupe r et on

a les

isomorphismes:

N(r)/r

où

N(r)

désigne

le normalisateur de r dans

_{PGL(2, K) (cf.}

_{[Ge 1~,}

_[G-vdP]

_VII)

est un _groupe fini dont on connait

_{précisément}

l’ordre

(cf. [He])).

Dans la

suite,

sans _que cela nuise à la

généralité

de notre

_problème,

on _supposera

que oo E

_S2r.

Périodes de la courbe : étant donnée une courbe de Mumford C sur

_K,

on

définit les

_périodes

_(au

sens de

Myers,

Manin et

Drinfeld,

Gerritzen et van

der

_Put)

de la

_façon

suivante : pour

a, b

dans on définit la fonction

thêta _par le

_{produit :}

il existe un

_{homomorphisme}

ier z--yb

de _{groupes ca,b de} r dans K*

_appelé

facteur

_{d’automorphie}

de la fonction thêta tel _que l’on ait

_{0(a, b; z)}

=

9(a, b; 7z)

forme

_automorphe

sur

Or

est un

produit

fini de telles fonctions thêta et on

définit de manière

_analogue,

à l’aide du

_produit,

les facteurs

_{d’automorphie}

des formes

_automorphes

sur

Or.

Pour a E

_r,

on _pose

uo:(z)

=

8(a,

_aa;

z);

la fonction

_{ua (z),}

_qui

ne

_dépend

_pas du choix de a E

_Or,

et sans zéros ni

pôles.

DÉFINITION

2.2. Les

_périodes

de la courbe C sont les

_facteurs

d’automor-phie

associés aux

ua (z)

_lorsque

cx

_{parcourt r;}

on note 7Z l’ensemble des

périodes.

Fixons

_{{~1,~2? " ’}

une base de

_r,

et soit C l’ensemble des facteurs

d’automorphie

des formes

_automorphes

sur

Çlr; l’application

est un

isomorphisme

de _groupes

qui

transforme l’ensemble des

périodes

R en un réseau W de

(K*)9

et

_{la jacobienne}

_{(analytifiée)}

de la courbe définie

sur K _par le

_quotient

J(C)(K)

=

C/R - (K*)91W

_est

isomorphe

_au groupe

Pic° (C) (voir

par

exemple

[M-D], [Ge 4]

ou

[G-vdP]

chap.

VI).

L’application

où ca

désigne

le facteur

d’automorphie

de ua, se factorise en une

bijection

(qui

est un

_isomorphisme

de

groupes) :

et on _pourra donc

regarder

les

périodes

R de la courbe comme les éléments

du _groupe

Action du goupe des

automorphismes

de la courbe :

soit !g

le groupe des

au-tomorphismes

de la courbe

_C;

le

_{groupe G -}

_N(r)/r

_agit

de

_façon

naturelle

sur l’ensemble des fonctions

méromorphes

sur

S2r;

soit 0’ un relèvement

dans

_N(r)

d’un

_générateur

de

_Q;

l’action naturelle de a E

_PGL(2,

_K)

sur

les fonctions

_méromorphes

sur

Slr

est la suivante :

Cette action se

prolonge

en une action sur les

périodes

de la courbe.

D’autre

_part

le normalisateur de F

_agit

_par

_conjugaison

sur le

quo-tient

_{r/ [r, ri,}

et donc sur les

périodes

de la

courbe,

en associant au

fac-teur

_{d’automorphie}

de la fonction _ua le facteur

_{d’automorphie}

de la

fonc-tion Nous montrons _que ces deux actions sont

_compatibles

avec

l’isomorphisme

de

_{(2.3) :}

_r/[IBr]

2013~ R.

PROPOSITION 2.4. Soit ca le

facteur d’automorphie

de la

forme

automor-phe

ua(z),

et soit

_{câ le}

_{facteur d’automorphie}

de la

_forme

_automorphe

= Pour

tout,

E r on a

l’égalité

=

câ (~y) .

Preuve d e l a

_{proposition 2.4.}

Un calcul

_simple

montre

_qu’il

existe une

constante A non nulle telle

_qu’on

ait les

_{égalités :}

ce

_qui

_prouve la

_proposition.

Rernarque

~.5. L’action du _groupe des

_{automorphismes}

de la courbe sur

les

_périodes

R se ramène donc à l’action _par

_conjugaison

de sur la

quotient

par

l’isomorphisme

~ R.

NOTATION-DÉFINITION

2.6. On notera dans la suite

fab

pour

E

_N(F),

nous noterons (j sa classe dans le

morphisme

rab

2013

rab

induit

par la

_conjugaison

sur

r,

le

morphisme

Q-linéaire

_rab

2013

r ab

induit _par

.

On

appelle

_trace

de ?

et on

note

_{l’application}

_rdb

-~

_rab

définie

_par =

1-~- cr

_{+ ... +}

un;

on

définit

de

_{façon analogue}

_rab

--

_rab

_par

Tr()

-A n

1 + Û

+ ...

1+0-+’"+.

3. Le module

_{pro jectif}

des

_périodes

On donne la caractérisation suivante des revêtements

_cycliques

de

_Pk

qui

sont des courbes de

_Mumford;

elle

_généralise

celle donnée _par van Steen

qui

ne caractérise _que les revêtements d’ordre

_premier

à l’aide de la formule

du

_produit

_{(iv) (cf.}

_{wS~ ) .}

_Rappelons

la définition d’un revêtement

_cyclique

de Pk :

Définition

et

_rappels.

Un revêtement

_cyclique

de

_Pk

de

_{degré n}

est la donnée d’une courbe

_projective

_C,

non

_singulière,

_connexe, définie sur le

corps

K,

et dont le corps des fonctions rationnelles

K(C)

est une extension

cyclique

d’un _corps de fonctions rationnelles à une variable.

Lorsque

la

caractéristique

de K ne divise _{pas n,} le _corps est de la forme :

où les entiers _~,~1,’" ar sont

_premiers

entre eux dans leur ensemble.

Quitte

à effectuer un

_changement

de variables en _{x, y}

_qui

laisse les _corps

K(x, y)

et

_K(x)

_invariants,

on

_peut

_{supposer que} les relations suivantes

sont satisfaites :

(B ./,..., ,,o é - 1 - - -

La deuxième relation

_signifie

_que le

_{morphisme f :}

C ~

Pk

déduit de

l’inclusion

_K(x)

c

_{K(x, y)}

n’est _pas "ramifié à l’infini".

On

_appelle

groupe de Galois du revêtement

f :

C ~ _et on note

le _groupe

_Gal(K(x,

_{y)1 K(x)).}

PROPOSITION 3.1. Soit C une courbe de

Mumford

de _groupe de

Schottky

r

et soit n &#x3E; 2. Les assertions suivantes sont

_{équivalentes.}

(i)

C est un revêtements

_cyclique

d’ordre n de

rk.

(ii)

Il existe u E

_N(r)

dont

_l’image

«ô7 dans

_N(r)/r

est d’ordre n et dont

la trace

_agit

trivialement sur

rdb.

(iii)

Il existe CT E

_N(r)

dont

_{l’image (j}

dans

_N(r)/r

est d’ordre n et

dont la trace

_agit

trivialement sur

_rab

_Q9Z

Q-(iv)

Il existe a E

_N(r)

dont

_l’image

Q dans

_N(F)lr

est d’ordre n et

_qui

vérifie

la

_formule

du

_{produit :}

Preuve. Il est clair _que les assertions

_{(ii), (iii), (iv)}

sont

_{équivalentes.}

Pour

montrer

_{l’équivalence}

entre

_(i)

et

_(ii)

nous avons besoin du lemme :

LEMME 3.2. Soit Q E

_N(F)

_{d’image (j}

dans

_N(r)/r

_{d’ordre n,}

_{puis ro}

=

Ir, u

&#x3E;, et soit

_{Od le polynôme cyclotomique}

d’ordre

_d;

alors:

1 - on a

l’égalité

Gr

=

Gro;

2 - le

_quotient

_S2r/ro

est une courbe

_algébrique

dont le _{genre go est} donné

3 - on a la

décomposition

en somme directe : r

Preuve du lemme 3.2.

1 - r est d’indice fini dans

_ro,

_{ceci prouve}

_{l’égalité}

_f-r

=

jCro’

Montrons _que les

_Q-espaces

vectoriels

_fO,ab

_Q9z

_Q

et

Ker(u -

₁₎

sont

iso-morphes.

Les inclusions

_{[F, r]}

C

_{[]Fo, ro]}

C F donnent la suite exacte :

On a de

plus

les suites exactes :

On obtient en tensorisant

par Q l’isomorphisme

(

Un calcul

_simple

_permet

_{d’interpréter}

1

ce

_qui

montre que l’on a 1

3 - C’est le lemme des noyaux que l’on

peut

appliquer

puisque Q [X]

est

principal.

Le lemme est

_prouvé.

Prouvons maintenant la

_proposition:

(ii)

-

_(i).

Soit

_ro

= &#x3E;, le lemme nous dit

Or

=

Oro;

_comme le

quotient

S2ro /ro

est une courbe

_algébrique

(notée

_{Cro ),}

on

_peut

définir le

morphisme analytique

et

_algébrique

on a alors

Cr /

&#x3E;~

_Cro

ct _p est un

morphisme

de

degré n

(puisque 0,

détermine un

automorphisme

de la courbe d’ordre

n) .

Pour montrer _{que p}

est un revêtement

_cyclique

d’ordre n de il suffit de voir que go est

_nul;

mais ceci est trivial

_puisque

un relèvement de 1

la somme directe

ce

_qui

_prouve la

proposition.

Remarque

3.3. La

_proposition

3.1 nous dit _que si la courbe C est un

revête-ment

_cyclique

d’ordre n de

_Pl

alors il existe _~,

_qui

est nécessairement un

générateur

de

_Gal(C/rk-),

_qui

vérifie

_(ii);

en fait la _preuve de la

_proposition

montre _que tout

_générateur

de

_{Gal(C /P k )}

vérifie

_(ii);

une autre

_façon

de le voir est de _{constater que} si k est un entier

_premier

à _n, alors le

polynôme

Tr(X)

divise

_Tr(Xk)

et donc si l’action de est triviale sur

]rab,

il en

est de même de l’action de

COROLLAIRE 3.4. Avec les notations de la

_{proposition 3.1,}

si la courbe de

_Munford

C est un revêtement

_cyclique

d’ordre n de

Pk,

alors on a la

décomposition

en somme directe:

Preuve du corollaire. C’est une

_conséquence

du lemme 3.2.

Tout est en

_place

_pour énoncer la

_proposition

3.5 :

PROPOSITION 3.5. Le Z des

_périodes

est un module

projectif.

Preuve. Comme

Fab

est de

_type

_fini,

il suffit de _{prouver que pour}

_{tout p}

dans le défini _par

_rab,p

est sans torsion.

z

1-

_Remarquons

tout d’abord _que les idéaux

_premiers

de sont

de la forme

_{(q5d (~»}

ou

(p,

où d est un diviseur de n différent de

_1,

et _p est un nombre

premier qui

ne divise _pas d.

On a donc = _U

V(4)d(a));

_cette réunion _est

_disjointe.

2- Montrons _{que pour} tout idéal

_{premier p}

dans le

mo-dule des

_périodes

localisé en _p, = _{est sans} torsion.

Soit p =

(p,

avec _p

_premier

ne divisant _pas d.

On a

_désigne

une racine

_primitive

d-ième

de l’unité. L’anneau est donc

_principal,

donc

_intègre.

Soit alors x E

_rab

tel _que x = x ~ 1 soit de torsion dans

_{r ab,p.}

Il existe a E = tel

que ax =

0;

une clôture

_intégrale

de dans

Q(ed);

comme l’anneau

Zp[gd]

est

intégralement

clos,

on a la relation :

N(a)x

= 0

(où

N

désigne

la norme

de l’extension

_Q(~d)

sur

Q)

et

N(a)

E

_Zp

est non nul. Il existe donc m un

entier non nul tel _que mx = 0. Soit s _E tel _{que smx} =

0;

_on

a alors msx = 0 _{et comme} le module

rab

est sans

_Z-torsion,

on a sx = 0.

Donc Y = 0 et

Fab,p

est sans

_torsion,

ce

_qui

_prouve

qu’il

est

_{libre ;}

ce

_qui

conclut la preuve de

proposition

3.5.

Soit p = (~d(Q));

on a

l’isomorphisme :

r ab,p :=

où

_Kd

_désigne

le _corps

(Q)/(d()).

’

z

Le module est donc un

_Kd-espace

vectoriel,

donc un

Kd-module

libre. En

_particulier

la valeur du rang local sur la

_composante

connexe

V(~d(~))

de vaut

_dimKd

Ceci démontre le

corollaire 3.6 suivant :

COROLLAIRE-DÉFINITION

3.6. Soit

on a:

On note

_{N(d) la}

valeur du _rang local des

_périodes

sur la

_composante

Remarque

3.7. Le _rang

_projectif

n’est _pas

_toujours

défini

_(i.e.

_lorsque

les

rangs locaux ne sont _pas

_égaux

entre

_eux).

Nous allons donner un

_exemple

dans

_lequel

le rang des

périodes

n’est pas défini. Nous utiliserons dans cet

exemple

le lemme 3.8 :

LEMME 3.8. Soit C une courbe de

Murraford

_qui

est un revêtements

_cyclique

d’ordre n de

_Pl;

on _{suppose que} n est

_premiers

à la

caractéristique

de

K;

écrivons le corps des

fonctions

rationnelles de la courbe sous la

forme

K(x,

y)

avec x

_{et y}

vérifiant

une relations

_{type :}

.’

Preuve du lemme.

_{Si g}

est le _genre de la courbe de Mumford

C,

on a :

ce

_qui,

avec la formule

d’Hurwitz,

_prouve le lemme.

Exemple

3.9 : Considérons la courbe de Mumford définie _par un modèle

affine

_singulier

de la forme :

avec _{p, q} des nombres

_premiers

_distincts;

on sait

_qu’il

est

_possible

de choisir convenablement les éléments

a, b, ... , h

pour

qu’un

tel modèle soit celui

d’une courbe de Mumford

_(cf.

la

_proposition

_4.4).

Le lemme 3.8 nous

donne la formule:

Supposons l’égalité

N(p)

=

N(q)

=

N(pq);

on a alors

_{(3 -}

N(p)) (Pq -1) _

(p - 1)

ce

_qui

est

_impossible.

Donc le rang du module

projectif

rab

n’est pas défini et celui-ci n’est _pas libre sur

Z[u]ITr(ô).

4. La somme directe de modules

_monogènes

Nous venons de _{voir que} les

_périodes

de la courbe forment un module

projectif

sur l’anneau

Z[] /Tr()

(proposition 3.5).

Le but de ce

pas-sage est de

_décomposer

ce module en une somme directe de

Z[]

/Tr()-modules

_monogènes

le nombre de ces modules

monogènes

étant

égal

à

T 2 2

où r

désigne

le nombre de

_points

de ramification de C sur

!Pk.

Cette

décomposition

n’est _pas

_unique

en

général;

en

revanche,

elle

_majore

les

rangs locaux

par ’ 2 2

Cette

majoration

et le lemme 3.8 établissent _que le module des

_périodes

est libre de si et seulement si la courbe est

totalement ramifiée sur

Pl

(théorème

5).

4.

_Hypothèses

et notations

Nous

_énonçons

les

_hypothèses

et notations utilisées dans la suite.

Soit n un entier

_premier

à la

_{caractéristique}

résiduelle du corps

K;

on

(4.0.H) :

La courbe C est un revêtement

n-cyclique

de

soit 9

le groupe

de ce revêtement. Soit

K(x, y)

est le corps des fonctions rationnelles de la

courbe où x et _y vérifient la relation :

Soit

_f

le

_morphisme

C -

_Pl

déduit de l’inclusion

_K(x)

c

_{K(x, y).}

Si C est une courbe de Mumford de _groupe de

Schottky

r

qui

vérifie

(4.0.H),

on

_désigne

_par Q un revêtement dans le _groupe

N(r)

d’un

générateur

de 9

via la

_{surjection :}

_N(r)

-

N(r)/r

~

Aut(C),

([Ge 1]).

THÉORÈME 4. Soit C une courbe de

Mumford

de _groupe de

Schottky

r

vérifiant l’hypothèse

(l~.O.H).

-

-1 - Nous avons la somme directe suivante :

H est un ensemble

_fini

_d’indices,

et les _"th,

_{pour h}

E

H,

des éléments de

rab-2 -

_{Card(H) -}

_r;2

où r

_désigne

le nombre de

_points

de

ramification

de C

sur Pk.

Pour prouver le théorème 4 nous avons besoin de caractériser

"géométri-quement"

les revêtements

_cycliques

de

_P%

_qui

sont des courbes de Mum-ford. Les lemmes 4.2 et 4.3 suivants

_permettent

d’établir cette nouvelle caractérisation des revêtements

_n-cycliques

de

_Pk

_qui

sont des courbes de

Mumford;

on

_peut

utiliser les méthodes de

[M];

la rédaction donnée ici est

différente et nous a été

_suggérée

_par

Q.

Liu.

Soit C un revêtement

n-cyclique

de

Pk

comme dans

(4.O.H) .

On ne _suppose

pas que C est une courbe de Mumford. En

_reprenant

les notations de

(4.0.H)

on a le lemme suivant :

LEMME 4.2. n existe une réduction

_analytique

pré-stable

r :

Pk

~ Z telle

que Z est

formé

de

Pk

se

_coupant

en des

points

doubles

ordinaires,

r

_sépare

les

_points

de

_ramification

de

_C,

= _0, telle

que de

plus

pour toute

_composante

irréductible L de

_Z,

card

_{L

n

_(Zsing

U

_{r(A))} ~}

3.

DÉFINITION 4.2.1.

1 - Soit T le

_graphe

d’intersection de

_Z,

alors T est un arbre

([G-vdP]

Chap.l

§2).

Si L est une

_composante

irréductible de

Z,

on note

i(L)

le

sommet de T

_{correspondant;}

et de la mêrrae

_façon

si P est l’intersection des deux

_composantes

irréductibles de

_Z,

alors on note

_i(P)

l’arête de T

correspondante.

2 - Soit L°° la

composante

irréductible de Z contenant

_r(oo).

On oriente T de la

_façon

suivante : l’arête d’extrémités s’ et s est orientée

_positivement

de s’ vers _s, on note s’ - _s, si

l’unique

chemin allant de s’ à

i(L°°)

_passe

par s.

3 - Soit L et L’ des

_composantes

irréductibles de

_Z,

on dit _que L’ est avant

L si L = L’ ou bien si le chemin alliant de

i(L’)

à

I(LOO)

_{passe par}

i(L);

sous ces

_hypothèses,

on dit _{aussi que} L

(resp.

i(L))

est

_après

L’

_(resp.

i(L’)).

.

!~ -

Soit L une

_composante

irréductible de

Z,

on _pose

rn(L) _ ~ m(.~)

la sommation se

faisant

sur l’ensemble des .~ E A _pour

_lesquels

il existe

une

_composante

irréductibLe L’ de

_Z,

L’ avant L et telle _que

_r(À)

E L’

(remarquons

que si pour A E

A,

L’

_existe;

alors L’ est

_unique).

L’entier

rrz(L)

s’interprète

aussi comme la somme des

m(a)

étendue à l’ensemble des

À e A pour

lesquels

r (A)

appartient

à la

composante

connexe de

T B

fi (L)

qui

ne contient pas

r(oo).

5 -

_Enfin

si

_{L ~}

L°° est une

_composante

irréductible de Z soit L°

_l’unique

composantes

irréductible de Z telle _que L° intersecte L et _que l’arête

i(L)

-

i(L-)

soit orientée

_{positivement.}

LEMME 4.3. La reduction r du lemme

_4.2

induit via

f

une réduction

pré-stable R :

C )

C. On a le

_{diagramme commutatif}

suivant :

où

_f

est déduit de

_f

_{par passage} aux réductions. De

plus

on a:

est

_{analytiquement isomorphe}

à une réunion

_disjointe

de couronnes

ou-vertes, et _{que pour toute}

_composante

irréductible L de

_Z,

f 1 (L)

est lisse. 4.3.1 - Soit L et L’ deux

_composantes

irréductibles de Z d’intersection non

vide;

on

_peut

_{supposer que} L’ est avant L et on note p le

point

d’intersection

de L avec L’ . L’ensemble est une couronne ouverte de la forme

suivante

Comme

premier

à la

caractéristique

résiduelle de

_K,

il

existe

une

série

_convergente

e (t, plt)

E K°°

_{t, p/t}

&#x3E;, telle que

f -1 (r-1 (p))

s’écrive :

(4.3.1.1)

f -1 (r-1 (p))

est

_{analytiquement isomorphe}

à la réunion

_disjointe

de

_pgcd(n,

_m(L’))

couronnes ouvertes.

4.3.2 - Soit maintenant A’ E

_A;

_{posons q} =

f(ÀO);

l’ensemble _{est un}

l’application

r

_sépare

les

_points

de

A,

on _{a, pour} tout À de A distinct de

ÀO,

lÀ - B’ 1 ~~ 17r 1

et donc

_f-1(r-1(q))

s’écrit :

En

_posant

)

- _on obtient :

pour

puisque

n est

_premier

à la

_{caractéristique}

1 1

résiduelle de

_K,

il existe une série

_convergente

z,B de K u _&#x3E;,

qui

soit

racine n-ième de

_{( 1-}

_{u ) "’L ‘ ,}

c’est à dire

1 - ’10

en

_posant

on obtient :

(4.3.2.1)

est donc

_{analytiquement}

_isomorphe

à la réunion de

pgcd(n,

m(A°))

disques

ouverts ;

les

_points

de

= f 1

_(r(;BO))

sont

_réguliers.

4.3.3 - Soit

_{L ~}

_L°°,

est une

_composante

irréductible de

Z,

soit U =

L B

(Zsing U r(A)).

Soit L°

_l’unique

_composante

irréductible de Z telle _que L° intersecte L et _que l’arête

_i(L)

-&#x3E;

i(L°)

soit orientée

_positivement

(L°

existe dès _que

_{L ~}

_L°°).

Notons

_{L ,}

_L2,

... , L-’ les autres

composantes

de Z

qui

intersectent L.

Soit

xi = L fl Li

_pour

_{i = 0, ... ,}

s.

L’ensemble est la couronne ouverte =

{x

_E

Pl

1

10.1

1111};

il existe

_{al, ... ,}

as et

_{tl, ... ,}

t-’ tels _que l’on ait

r-l(xi) =

fx

E

lail

~ -

til

_{pour i}

=

_{1, ... ,}

s,

qui

vérifient de

plus

les

_{égalités :}

1 a

_

1 tO - ti~

_

1 ti

-

tj

pour

i, j

distincts dans l’ensemble

_{{1, ... , s}}

lai

&#x3E;

lail

_{pour i = l, ... ,}

s.

Il est clair _que la famille

_{A1, ... ,}

AS forme une

_partition

de A.

L’ouvert U s’écrit donc :

Puisque

l’intersection

_r(A)

n U est vide on a

/ ~(r ~(!7))

_qui

s’écrit :

..-..

Remarquons

que si e et e’ sont deux éléments distincts du

_type

ei

ou

e

alors

_le

-

e/l

=

1;

autrement dit e et e’ dont "distincts en réduction" .

Deux cas se

présentent :

soit ~ E

Ai

et le

_quotient

_{( ~-t )’~’2~~‘~}

est de la forme 1 + z avec

Izl

_1;

soit a E A’ et le

_quotient

_{(9 )"~(~)}

est de la forme 1

_{+ z’}

avec

lz’I

1.

Posons alors v =

(x -

_en

_regroupant

les _termes dans le

_{produit ;}

f -1 (r-1 (U))

est l’ensemble des

_couples

_{(v, y)}

vérifiant les condtions sui-vantes :

(4.3.3.1)

f-1(r-1(U))

est donc

_{analytiquement isomorphe}

à un

_produit

de

couronnes, en nombre

pgcd(

(cette

dernière

_égalité

découle de la définition

_4.2.1).

Par suite =

f 1(U)

_{est un}

produit

d’ouvert de Zariski de

Le cas L = L°° est

analogue

_{au cas}

précédent.

Ceci termine la preuve

du lemme 4.3.

Les lemmes 4.2 et 4.3 établissent la

_proposition

4.4

_qui

caractérise les revêtements

_n-cycliques

de

_Pk

_qui

sont des courbes de Mumford

_(sous

PROPOSITION 4.4. Soit C un revêtements

n-cyclique

de

Pk

vérifiant

(4.0.H)

dont on

reprend

les

notations;

avec les notation de

_4.3.3,

on

définit

les

nombres

_rrL(Li),

=

1...s),m(À)(pourrCX)

E

L), m(L)

comme en

4.2.1

et

_4.3.3;

on a alors

l’équivalence

entre les assertions suivantes.

(i)

C est une courbe de

Mumford.

(ii)

Pour toute

_corraposante

irréductible L de

_Z,

l’entier n divise tous les

entiers,

sauf

deux

_exactement,

de la liste suivante :

,r;, ....

Preuve de la

_{proposition l~.,~.}

La courbe C est de Mumford si et seulement

si toute

_composante

irréductible de

C

est de _genre

_nul;

la

_proposition

4.4 est

_prouvée

si nous

_appliquons

le lemme 4.5 suivant à la condition

c(L)

de

4.3.3 :

LEMME 4.5. Soit C une courbe

_projective,

non

singulière, définie

sur le

corps

K,

et de corps de

fonctions

rationnelles

K(x, z)

avec x et z

vérifiant :

le

_morphisme

déduit l’inclusion

_K(x)

C

_{K(x, z).}

Alors la courbe C est de

genre nul si et seulement si m divise tous les entiers

_{m(À)(ÀEA) et}

_E

_m(a)

À~A

sauf

deux exactement.

Preuve du lemme

_4.5.

Si C est de _genre

_nul,

alors un

_{automorphisme}

du

revêtement C est un

_{automorphisme}

de

l~K

d’ordre _{m ;} c’est donc une

homographie

non-triviale Ix d’ordre fini. Comme K est

_{algébriquement}

clos,

c’est

_{que h}

est

_{représentée}

_par une matrice

diagonalisable

avec deux

valeurs _propres distinctes. Une base de K x K de vecteurs _propres associés définit deux

_points

de

_P2013

_qui

sont des

_points

fixes

_{par F}

de

_C;

ce sont les deux seuls

_points

de ramification de F.

La

_réciproque

découle de la forme d’Hurwitz.

Le lemme 4.5 est

_prouvé,

et avec lui la

_proposition

4.4.

Preuve

_(abrégée)

du théorèmes

_4.

Soit C une courbe de Mumford de _groupe

de

_Schottky

_{r, qui}

vérifie les

_hypothèses

et notations de

_(4.O.H);

on

_désigne

par fI un relèvement dans le _groupe

N(r)

d’un

_générateur

_{de Ç}

via la

surjection :

N(r)

-

N(r)/r

~

Aut(C) ([Ge 1]).

On construit Z et

C

des réductions

_analytiques

de

_Pl

et de la courbe comme

lemme 4.3 :

La _preuve est en deux

_temps.

- Nous construisons _un

graphe

fini et _connexe G _sur

lequel

agit

l’automor-phisme

a= et dont le _groupe fondamental est

_isomorphe

à

_F;

nous

étudions l’action sur les sommets et les arêtes du

_graphe

G

_qui

in-duit une action sur le _groupe

fondamental ;

cette action est la même

-via

_{l’isomorphisme}

_F,

_que l’action _par

_conjugaison

de a sur F.

L’étude de l’action de a sur

F,

donc sur le

quotient hab

(et

sur

R,

les

périodes

de la

_courbe),

se ramène donc à l’étude de l’action de a sur

et sur les lacets du

_{graphe G,}

c’est-à-dire à une étude combinatoire du

graphe

G. Cette étude

_permet

d’écrire les

_périodes

comme somme directe

des modules

_monogènes.

-

Ensuite,

_nous montrons

que le nombre de tels modules

monogènes

s’exprime

en termes de nombre de

_points

de ramification de C sur

Pl.

- Pour le vocabulaire et les

propriétés principales

des

_graphes,

nous

ren-voyons à la

monographie

de J.-P. Serre

([S]);

pour les

généralités

sur le

groupe fondamental d’un

graphe,

on

_peut

consulter le livre de

Claude Godbillon

_([Go]).

Remarque.

Dans la suite nous

_parlerons

des lacets et de _groupe fonda-mental

_{(ou d’homologie)}

sans

_préciser

le

point-base;

la raison en est

_qu’une

relation du

_{type :}

_(*)

_{a( ¡)}

=

-y,

_avec

q,

¡’

E 7r1

(P, G)

ne

dépend

du

point-base P

_qu’à

_conjugaison

_près

dans

_{7r¡ (P, G )}

_(cf.

_[Go]

_chap.

V

_{2 .5 ) ,}

et donc la relation obtenue à

_partir

de

_(*)

_{par passage} au

_quotient

dans le

_quotient

rab

ne

_dépend

_pas du

_point-base

P choisi.

NOTATIONS 4.6. En

_reprenant

les

_définition

de

_.~.,~.1,

on note

_I(L)

le

sommet du

_graphe

d’intersection G

_{correspondant.}

Si P est l’intersection de deux

_composantes

irréductibles de

_C,

on note

_I(P)

l’arête de G

cor-respondante.

Soit

_{f * :}

G 2013~ T

_{l’application}

induite _par

_{f :}

C 2013~

Z,

donc

par

f :

C

f *

est en

_particulier

définie

par: f * (I (L) )

=

i ( f (L) ) .

LEMME 4.7.

_{L’automorphisme (j}

_opère

sur C donc sur

G,

et _{par suite} sur

7ri (G) .

Le

_graphe

G est

_fini

et connexe.

L’application f * :

G - T

fait

du

graphe

G un revêtement

_{ramifié cycliques}

de l’arbre

_T,

de _groupe 0’ &#x3E;, le

groupe du revêtement C

- P £ ;

C/

0’ &#x3E;= Z. Le _groupe

_fondamental

du

graphe

G est

_isomorphe

au _groupe de

Schottky

r de

C,

cet

_isomorphisme

Preuve.

_Presque

tout résulte des

définitions,

sauf

_{l’isomorphisme}

de 1, avec

7r1(G)

qui

se trouve dans

_[G-vdP],

_{Chap. III, 2.12.3.}

_{page 121.}

Conséquence.

Il nous sufht donc d’étudier l’action _par

_conjugaison

de a sur le _{groupe ?rI}

(G)

_{pour prouver} le théorème 4.

Précisons ce _que nous entendons _par boucle : une boucle est une arête dont les sommets sont

_égaux;

on a alors le lemme :

LEMME 4.8. Il

_n’y

a aucune boucle dans le

graphe

G.

Preuve du lemme. Les

_composantes

irréductibles de C sont non

_{singulières.}

DÉFINITION

4.9. Soit L une

_composante

irréductible de Z distincte de L°°.

Soit

L’

_l’unique

_composante

irréductible de Z telle _que l’arête de

_T,

_i(L)

-i(LO)

soit orientée

_{positivement.}

On

_définit

les nombres suivants : .’

, . , ,- , , , ,

Notons P°°

_{= i(L°°)}

et soit P un sommet de T

_différent

de

_P°°;

on

_définit

les entiers :

_A(P)

=

A(L),

S(P)

=

S(L),

g(P)

=

g(L),

où L est la

composante

irréductible de Z telle _que

_i(L)

= P.

Remarque

l~.9.1.

A(L)

[resp. S(L)]

représente

le nombre d’arêtes

_[resp.

de

sommets]

dans G au dessus de l’arête de

Ti(L) ~

i(L°)

[resp.

du sommet

i(L)].

Remarque

l~.10.

Le fait que la réduction C de la courbe de Mumford soit

formée de

_Pk-

se

_coupant

en des

_points

doubles ordinaires

_implique

une

liaison entre les nombres

_(cf.

déf. 4.2.1 et

_{4.9), m(L),}

_{S(L), A(L)}

et

_g(L)

lorsque

L ~

L°°. Cette liaison est décrite _par le lemme 4.3 et la

_proposition

4.4 _que nous utiliserons constamment dans la _preuve du lemme

_4.11;

le lemme 4.3 donne des

_équations

de la réduction

_C,

et la

_proposition

4.4 traduit sur ces

_équations

le fait _que les

_composantes

irréductibles de

C

soient des

_l~K.

LEMME 4.11. Soit L une

_composantes

irréductible de Z. Les nombres

(cf.

définition

4.2.1

et

_{4.9), m(L), S(L), A(L)}

et

_{g(L) (lorsque L :0 L°°),}

sont donnes _par le tableau

_suivant,

dans

_lequel

L’

_désigne

une

_composante

irréductible de Z

_{(lorsqu’elle existe)}

telle _que l’arête de

_T,

_i(L’)

-

i(L)

Preuve du lemme

_4.11.

4.11.1- Si

_{L nr (A) =}

_r(À2)},

alors la droite

_projective

f 1(L)

admet

un modèle affine

singulier d’équation :

alors n divise

_chaque

m(L’)

et la somme :

donc aussi

_M(1B1)

+

_m(~2);

en

_particulier

(r~, m(~1)) _

(n, m(~2)).

Le nombre de droites

_projectives

de C "au-dessus de L" est

_{S(L) =}

(n,m(ÀI));

si

_{L 0}

_L°°,

soit LO définie en

4.2,

en utilisant le lemme 4.3

et le passage 4.3.3.1 on obtient _que fl

L°))

est réunion

_disjointe

de

_(n,

_m(L))

= n couronnes

_ouvertes,

c’est à dire

A(L)

= n.

4.11.2 - Si L n

_{r(A) =}

alors la droite

_projective

admet un

modèle affine

_{singulier d’équation :}

deux

_{possibilités}

se

_{présentent :}

a)

s’il existe une

_composante

irréductible L’ de

_Z,

i(L’)

-

i(L)

telle _que

n ne divise _pas

m(L’)

alors _pour toute autre

_composante

irréductible L"

telle _que

_i(L")

-

i(L)

on a n divise

rra(L")

et n divise la somme

m(L) =

+

_E

_m(L’)

donc n divise +

_m(L’);

en

_particulier

L’/i(L’)-.i(L)

(n, (L’)).

Après

simplification

on est ramené au modèle

affine

_{d’équation}

z’~ = Le nombre de

composantes

irréductibles de

7-1 (L)

vaut

_{S(L) _ (n, m(Al»}

et si

_{L #}

L°° on obtient

toujours

avec le lemme 4.3 et les notations de 4.3.3.1 que

est réunion

_disjointe

de

_(n,

_rrc(L))

= n couronnes _ouvertes, c’est à dire

A(L)

= _n.

b)

sinon pour toute

_composante

irréductible L’ de Z telle _que

_i(L’)

~

i(L), n

divise

_{l’équation}

du modèle affine s’écrit: z’~ =

le nombre

_m(L)

a même _{congruence que} modulo n et on obtient de

façon analogue

à ce

_{qui précède}

_S(L)

=

A (L) = (n,m(~1)). ,

1

4.11.3 - Si

_Lflr(A)

= 0 la droite

_projective

7-1 (L)

admet _un modèle affine

singulier d’équation :

et trois

_{possibilités}

se

présentent :

a)

pour toute

_composante

irréductible L’ de

_Z,

_i(L’)

-- &#x3E;

i(L),

on a n

divise

_m(L’)

et donc n divise la somme

m(L) =

E

rre(L’);

on a

l’égalité :

S(L)

=

n; et

lorsque L

L°°,

A(L)

= _n.

b)

il existe une

unique

_composante

irréductible L’ de

Z,

i(L’)

-

i(L),

telle _{que n} ne divise _pas

m(L’);

alors la droite

_projective

admet un

modèle affine

_{singulier d’équation}

zn =

(v -

e2 )m(L");

_on obtient

S(L) =

(n, m(L’))

et

_{A (L) =}

_{(r~, m(L’))}

si

_{L #}

LOO.

c)

il existe une

_unique

_paire

de

_composantes

irréductibles

L’,

L" de

_Z,

f 1 (L)

admet un modèle affine

singulier d’équation

zn =

(v -

e2)"’rL (v

-et n divise donc la somme

m(L’)

+

_m(L")

et la somme

_{m(L) =}

E

m(L’);

on obtient

S(L) =

(n,

m(L’))

et

_A(L)

= _n si

L ,~

LI.

Remarque 4.11.4.

Si L

_{n r(A) =}

on a vu _que n divise

+

_m(À2)

et _que

_g(L)

= n -

(n,

m(À1));

alors

g(L)

_représente

la

contribution au _genre de la courbe C des

_points

{Ai, a2~

comme le montre

la formule d’Hurwitz.

Remarque

l~.11.5.

Quitte

à

_rajouter

un recouvrement

_analytique

_qui

définit la réduction

_Z,

on

_peut

_supposer

_(et

on

supposera)

_que

S(L°°)

= _n.

Remarque

4.12.

Nous allons étudier

_{l’homologie}

du

_graphe

G au-dessus d’une arête a de T. Dans un

_premier

_temps

nous allons nous ramener au cas d’un

_graphe

G’ _pour

_lequel

le nombre

g(P)

_(avec

_{P 0}

_P°°)

est

_toujours

non

nul;

auquel

cas le nombre

A(P)

vaudra constamment n. Ce

_changement

de

_graphe

revient à

_supprimer

_{l’homologie}

triviale dans le

_graphe

G.

NOTATION 4.13. Soit T le

_graphe

d’intersection de Z

_{(cf. 4.2),}

_{f *}

et G

comme en

_,~.6;

soit

_{P ~}

P°° un sommet de

_T;

a

_l’unique

arête

_positive

de

_T,

de somrraet initial

_P,

_Q

étant l’autre sommet de _a; soit ao un antécédent

pour

f *

(dans

le

graphe

G)

de l’arête a, de sommets

_{Po, Qo}

_(avec

P =

On note

_(resp.

l’orbite de

_Po

_(resp.

_Qo,

_ao)

sous

l’action de _u; soit r = card = card

O(Qo) et

N = card

O(ao) (

N divise

_n).

On pose

Pi

=

o,(Pi-1),

i =

1... r, Qi

=

a(Qi-1),

i =

1... s,

et

enfin

ai =

Q(ai_1),

i = 1... N. Les entiers card

O(Po)

et card

O(Qo)

divisent

card et on a avec La

déf.

_4-9:

(4.14)

g(P)

= N - _r.

Soit

_!1(P)

le

_sous-graphe

de G formé des sommets U

_O(Qo)

et

des arêtes

_O(ao)

et soit

_À(P)

le sous-arbre de T formé de l’arête a et des

sommets P,

Q.

Rerraarque

4.15.

Le

_sous-graphe

_A(P)

de G est stable sous l’action de _{0’, et}

constitue un revêtement

_cyclique

du sous-arbre

_À(P)

de T.

LEMME 4.16. Si

_g(P)

= 0 _ou P =

P°°, le graphe

A(P)

est réunion

dis-jointe

et

_finie

de sous-arbres de G.

Preuve du lemme.

_g(P)

= 0

_implique

_r = N

(cf. 4.14),

_{et s divise}

r;

en

_particulier

_A(P)

est réunion

_disjointe

des sous-arbres de

_G,

_{Ai(P) (i}

=

0, ... ,

s -

1)

formés des arêtes

_{lorsque k}

=

u ks+i (ao)

ayant

pour sommets

PLs+i

et

Qi lorsque

k

parcourt

0,

... ,

¡ -1.

Le cas

Q =

P°° est

_identique

au cas

précédent :

on obtient s = N _{et r}

divise s

_(remarque

_4.9.1);

_{ceci prouve} le lemme.

Considérons le

_graphe

_quotient

G’ =

G/A(P)

( ~5~,

chap.

1,

§2);

G’ _est muni

d’une action

_canonique

de cr et on définit

l’application

7*

_par le

diagramme

commutatif suivant:

LEMME 4.17. Si

_g(P)

= 0 _ou P =

P°°,

l’application

est une

équivalence homotopique.

Preuve. On renvoie à

_1,

_§2,

_prop. 13.

En

_appliquant

le lemme 4.17 à l’aide d’une récurrence

_finie,

_qui

_correspond

à tous les sommets P de G vérifiant

_g(P)

= 0 _ou P =

P°°,

on a montré le

lemme 4.18 suivant :

LEMME 4.18. Il existe un

graphe fini

G

sur

lequel

_agit

_{a, et} un arbre

T

_qui

vérifient :

(i)G/~&#x3E;^_JT.

(ü)

F ~

_1r1(G)

et cet

_isomorphisme

est

_compatible

avec l’action de a.

(iii)

Pour toute orbite C7 de sommets de

_Û,

on a : card 0 n.

(iv)

Pour toute orbite 0’ d’arêtes de

_G,

on a : card 0’ = n.

(v)

Le nombre d’orbites de sommets de

Û,

i. e. le nombre de sommets

de

_T,

est

_égal

au nombre de

_composantes

irréductibles L de Z telles _que

g(L) =1=

0.

Notons s le nombre d’orbites de sommets de

G

et le nombre de sommets

de

_T;

une étude combinatoire du

_graphe

G

_permet

de définir une base de

1r1(G)

de la forme U

_{1-fh,KIK E J(h) ~}

telle

_qu’en

notant d’une barre

hEH

l’image

dans le

_quotient

_{1r1(G)/[1rI(G),1rI(G)]}

d’un élément de on

ait :

et card H = s - 1.

Ceci montre le

_point

1 du théorème 4.

Pour montrer le

_{point 2,}

il sufht de _prouver la

_proposition

_4.19,

ce

_qui

finira la _preuve du théorème 4.

PROPOSITION 4.19.

1 - Il existe une

_partition

de l’ensemble A sous la

forme :

.’

De

_plus

_{pour toute}

_composantes

irréductible L de Z

_qui

_vérifie

_{g(L) ~}

_{0, n}

divise la somme

+ m(À2(L)).

2 - card

_(H)

_{= ~}

_{card(A) -}

1.

Preuve de la

_{proposition .~.19.}

Il faut montrer les trois

_points

suivants : A -

À

toute

_composante

irréductible L de Z vérifiant

_{g(L) ~}

0 on

_peut

associer une

paire

d’éléments de A

~~1(L), ~2(L)~

qui

vérifie : n divise

B - Pour un élément À de A il existe une

_composante

irréductible L de Z

telle _que

_{g(L) ~}

0 et

_qui

vérifie À =

_~1(L)

ou

~2(L).

C - Si l’intersection

_{~~1(L),.~2(L)}}

n

_{{.~1(L’),~2(L’)~}

est non

_vide,

alors

L=L’.

La démonstration utilise le lemme 4.11 :

On montre le

_point

A : Trois cas se

_présentent:

1 - Si Ln

_{r(À) =}

_r(~2)}

alors

_{g(L) ~}

0 comme le montre le tableau du lemme 4.11

_ligne

_1,

et n divise la somme

+m(À2)

alors on associe

la

_paire

_~2~

à la

_composante

L.

2 - Si L fl

_r(A)

= _{0 comme}

g(L) ~

0 le lemme 4.11

ligne

6 nous dit

_qu’il

existe un

unique

couple

de

_composantes

irréductibles

L’,

L" tel _que

i(L’)

-i(L)

et

_i(L")

--&#x3E;

i(L)

_et vérifiant :

nim(L’), nlm(L"),

₊

m(L");

on a alors card

(L’

f1

_r(A))

2 et card

_(L"

n

_r(A))

2.

Par

récurrence,

il existe deux entiers K

_{et t,}

et deux suites de

_composantes

irréductibles de Z :

_{Lo,K,... ,}

Lo,l

et

_{Lt°°, ... ,}

Ll,o

telles _{que :}

égalités :

m(L’)

= mod

(n)

_et

m(L")

=

m(À2)

mod

(n)

et

dans le tableau du lemme 4.11 nous _pouvons lire

g(LO,K)

=

g(Lt,O) =

0 et

nous asssocions à L la

paire

A21-On

_peut

situer

_{"géographiquement"}

_i(L)

comme l’intersection des

che-mins reliant

_i(L’)

à

_(L°°)

et

_i(L")

à

_i(L°°)

dans l’arbre T.

3 - Si L n

_{r(A) =}

comme 0 on a nécessairement _{que n}

divise

_m(L)

comme on

_peut

le voir dans le tableau du lemme

_4.11;

une

récurrence

_permet

de construire une suite finie de

_composantes

irréductibles

de Z :

_{LK, LK_1, Lx-2, ... , Li qui}

vérifie

_{i(LK) --&#x3E;}

_{i(LK_1) -~}

... --+

i(Ll)

= ₀

pour p =

1, ... ,

0 et enfin

mod

_(n)

pour p =

1, ... ,

K.

Nécessairement

_card(LK

fl

_r(A))

= 1 _et on _pose

_LK

f1

_{r(A) = {r(a2)} ;}

on a alors n

_qui

divise le nombre

rra(L)

=

m(ÀI) +m(À2)

(cf.

tableau

4.11);

donc à L on associe la

_paire

A21-Avec les notations 4.2

_LK

est avant L.

De

_plus,

ce cas

_peut

être vu comme un cas

particulier dégénéré

du cas 2

- il suffit de

poser L = L’ et

LK

= L". On a donc montré le

_point

A.

Remarque 4.19.A.

Dans tous les cas et

_r(À2(L))

sont

_placés

sur

des

_composantes

irréductibles de Z situées avant L

_(cf.

déf.

_4.2).

Montrons le

_point

B :

Soit

Ai

E A et soit L la

_composante

irréductible de Z

_qui

contient

_r(À1).

Si

_{g(L) ~}

0 c’est que

À1

est de la forme

_Ai(L)

ou

À2(L),

sinon

g(L)

= 0. En

appliquant

la troisième

_ligne

du tableau 4.11 on a nécessairement

soit K le

_plus

_petit

entier réalisant :

Un tel entier K existe car la courbe n’est _pas ramifiée à l’infini et n divise

rra(L°°)

qui

est

_égal

à la

_{somme £ m(’x).}

Deux cas se

_présentent

alors :