On dit queGest le groupe de Galois de l’extension

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M1 – Théorie de Galois – Université Lyon I – 2011-2012 1 Remarque sur les extensions galoisiennes

Soit K/k une extension finie de corps. On dit que K/k est galoisienne s’il existe Gun sous-groupe de Aut(K), le groupe des automorphismes de K tel quek=K^G={x∈K : ^∀φ∈G, φ(x) =x}.

Dans ce cas, on sait queG= Autk(K), le groupe desk−automorphismes de K et[K:k] =|G|et que toutk−plongementφ:K→ΩdeK dans un corps algébriquement closΩlaisse stableKetφ∈G. On dit queGest le groupe de Galois de l’extension.

Réciproquement, on a :

Proposition : Soitk un corps contenu dans un corps algébriquement clos Ω. On suppose quekest fini ou de caractéristique nulle. Soit(fi)i une famille de polynômes à coefficients dans k. On note K le corps de décomposition des f_i sur k (dans Ω). C’est le sous-corps deΩ engendré par k et les racines des f_i. Si K/kest finie (par exemple si l’ensemble desf_i est fini), alorsK est une extension galoisienne dek de groupe de Galois le groupeG= Aut_k(K).

démo :CommeK/k est finie, le groupe G= Aut_k(K)est fini (de cardinal au plus [K : k]. Il suffit donc de montrer que K^G =k. Il y a une inclusion évidente. Pour l’autre inclusion : soit x∈K^G, montrons quex∈k. Six6∈k, alors le polynôme minimalP dexsurkest de degré≥2. OrP est irréductible surk donc scindé à racines simples dansΩ(cf.le lemme ci-dessous). DoncP admet au moins une racinex⁰6=xdansΩ. Il existe unk−morphisme de corps : φ:k[x]→Ωtel que φ(x) =x⁰. Le morphisme φs’étend en un k−morphisme φe:K→ΩcarΩest algébriquement clos. On aφ(K) =e K. En effet, il suffit de

montrer queφelaisse stable l’ensemble des racines des fi ce qui est immédiat : fi(z) = 0⇒φ(fe i(z)) =fi(φ(z)) = 0e .

Puisque K est un k−espace vectoriel de dimension finie, φe est un k−automorphisme de K i.e. φe ∈ G; d’où la contradiction car x ∈ K^G et φ(x) =e x⁰6=x.

Lemme : SoitP un polynôme irréductible sur un corpsk fini ou de carac- téristique nulle. Alors, pour toute extension Ω algébriquement close de k, le polynômeP est scindé à racines simples dansΩ.

démo : il suffit de vérifier que P et son polynôme dérivé P⁰ sont premiers entre eux (si P(X) = (X −t1)^m¹...(X −tr)^m^r pour certains ti ∈ Ω deux à deux distincts et certains entiers m_i ≥ 1, alors le pgcd de P et P⁰ est le polynôme :(X−t₁)^m¹⁻¹...(X−t_n)^mⁿ⁻¹). Si tel n’était pas le cas, comme P est irréductible, on auraitPdiviseP⁰donc, pour des raisons de degrés,P⁰ = 0.

Cela n’est possible que sik est de caractéristiquepet siP(X) =Q(X^p)pour un certain :

Q=a0+...+adX^d∈k[X] .

Mais alors, k est un corps fini Fq avec q une puissance de p. On a alors x=x^q pour tout x∈k. En particulier, a_i =b^p_i pour tout i et pour certains b_i∈k. Commekest de caractéristique p, on a :

P(X) =a0+...+ad(X^p)^d

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2

=b^p₀+...+b^p_dX^pd

= (b₀+...+b_dX^d)^p ce qui contredit l’irréductibilité deP(X).

Remarque :Dans la proposition, on peut remplacer l’hypothèse k fini ou de caractéristique nulle par l’hypothèse :« l’extensionK/k est séparable »i.e.

tous les éléments deK sont des racines d’un polynôme à racines simples dans Ω.

Dans la proposition on utilise en fait que tous les k−plongements de K dansΩlaisse stableK. On dit qu’une extension qui vérifie cette propriété est normale. Tout corps de décomposition est une extension normale et récipro- quement, toute extension normale est le corps de décomposition de l’ensemble de ses polynômes non constants.