Sous-suites polynomiales de certaines suites automatiques

J

OURNAL DE

T

HÉORIE DES

N

OMBRES DE

B

ORDEAUX

J

EAN

-P

AUL

A

LLOUCHE

O

LIVIER

S

ALON

Sous-suites polynomiales de certaines suites automatiques

Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, tome

5, n

o

_{1 (1993),}

p. 111-121

<http://www.numdam.org/item?id=JTNB_1993__5_1_111_0>

© Université Bordeaux 1, 1993, tous droits réservés.

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Sous-suites

_polynomiales

de

certaines

suites

_automatiques

par JEAN-PAUL ALLOUCHE ET OLIVIER SALON

1. Introduction

Une sous-suite d’une suite

_automatique

obtenue _par extraction

"régu-lière" est-elle aussi

_{automatique ?}

Les suites _que nous considérons dans cet article sont à valeurs dans un

groupe

abélien,

noté additivement.

Rappelons

une

propriété

caractéristique

des suites

_automatiques

que nous

prendrons

comme

définition,

(voir

aussi

[2], [6], [7], [8], [12]

et

_{[13]) :}

DÉFINITION. Soit B un entier &#x3E; 2. Une suite u =

(u(n))n

_est dite

B-automatique

si son

_B-noyau

NB(u)

défini comme l’ensemble de sous-suites

est fini.

Remarquons

que cette définition

implique qu’une

suite

automatique

ne

prend qu’un

nombre fini de valeurs. Par ailleurs on voit facilement

_qu’une

suite ultimement

_périodique

est

_{B-automatique}

_quel

_que soit l’entier B

supérieur

ou

_égal

à 2.

Il n’est _pas difficile de montrer

_{(voir ci-dessous)}

_que si la suite

_(u(n))n

est

_{B-automatique,}

il en est de même _pour les sous-suites -~-

_b))n,

quels

que soient les entiers naturels a et b. De

_{façon plus générale,}

_que

peut-on

dire de la suite u o .R =

(u( R( n)))n

où R est un

polynôme,

disons

dans

_{N[X] ?}

Le cas où u est la suite

_(en

notant la somme, réduite modulo

B,

des chiffres de n en base

B),

a été étudié dans

[1] :

si R est un

_polynômes

de Q[X]

de

_{degré supérieurs}

ou

égal

à 2 et tel

que C

_N,

alors la suite _sB o R n’est _pas

_{B-automatique.}

Manuscrit _reçu le 10 octobre 1991.

Les résultats contenus dans cet article ont été _exposés au _{colloque "Thémate",} (CIRM, Luminy, Mai _1991).

En fait

_{l’hypothèse supplémentaire}

de la

_primalité

de B est faite dans

_~1~,

mais l’examen de la _{preuve montre que cette} condition est

_inutile,

si on ne

formule _pas le résultat en termes de transcendance de série

_formelle,

_(voir

le théorème de

_Christol,

_Kamae,

Mendès France et

_Rauzy,

_[6]).

Notons au

passage que,

pour B = 2,

la suite s$ n’est autre que la célèbre suite de

Prouhet-Thue-Morse.

Naturellement la non-automaticité des

_{suites u o R,}

_{(où R}

est un

polynô-me comme

ci-dessus),

ne

_peut

être vraie _pour toute suite

_automatique

u. Il

n’est _pas difficile en effet de construire une suite u

_qui

soit

_{B-automatique}

et telle _que

_b’n,

_u(2n)

=

0,

(sans

_{que u soit} ultimement

périodique) ;

_pour

le choix

_R(X)

=

X(X

₊

1),

la suite u o R _est alors

automatique.

De

même les suites de

_pliage

de

_papier

à instructions de

_pliage

ultimement

périodiques

sont aussi des

_exemples

de suites

_{automatiques -}

non

ultime-ment

_{périodiques -}

telles _que les suites u o R sont encore

automatiques,

(voir

[11]) .

Dans ce

_{qui suit,}

nous nous _proposons de

reprendre

la _preuve donnée

dans

_~1~,

où

_l’argument

essentiel est la

_forte

B-additivité de la suite SB :

en la

_{généralisant}

à une classe de suites dites

_{quasi fortement}

B-additives

dont la définition sera donnée au

_paragraphe

_3,

et

_qui

contient les

réduc-tions,

modulo un

_entier,

des suites de

décompte

des occurrences de certains

blocs dans l’écriture des entiers en base

B,

ainsi _que les

réductions,

modulo un

_entier,

de certaines suites

digitales

(au

sens de Cateland

[5]).

2. Le cas des suites

(u(an

+

_b))n

Nous allons commencer _par le cas facile d’un

_polynôme

de

_degré

1.

PROPOSITION. Soit R E

_Q[X],

tel que

R(N)

C 1‘~ et d°R = 1. Si la suite u

est

_{B-automatique,}

alors la suite u o R est aussi

_{B-automatique.}

Démonstration. Redonnons une _preuve de ce résultat bien _connu,

_(voir

entre autres

_[1]).

_Puisque

R est dans

_~(X~,

il existe des entiers _a,

_b,

_q,

_(avec

a

0),

tels _que

_{R(X) _}

_°’.

De

_plus

_R(0)

= N _et

R(1) _ + q E ‘1,

q q q q

d’où a E Z. Mais

_{R(n) N}

_an,

et

_R(n)

_{E N‘,}

ainsi est-il

_positif

et

q q

appartient

donc à N*. Finalement

_{R(X ) =}

aX +

Q, où

(a, 0)

E N* x N. Posons v = u o R. Soit _{7 E} N et r e

_{f 0, ~ ~ ~ ,}

_{~ - 1}.}

On a

v(B~’n + r~ _

vient :

D’où,

dn E

_N,

_{v(B-yn + r)}

=

u(Bl’(an+q)+s),

ce

_qui

_{prouve que} les suites

du

_B-noyau

de v sont des extractions des suites du

_B-noyau

de u.

Examinons maintenant ces extractions. On a :

Ainsi les extractions

_(toutes

déterminées _par a et

_q)

sont-elles en nombre

fini,

de sorte _que la finitude du

_B-noyau

de u entraîne celle du

_B-noyau

de

v.

3. Les suites

_quasi

fortement B-additives. Un

_premier

théorème R

_désigne

désormais un

polynôme

de Q[X]

_envoyant

N dans N et de

degré

supérieur

ou

_égal

à 2.

Si

_{s B (n)}

_désigne

la somme des chiffres de l’écriture de l’entier n en base

B,

réduite modulo

_B,

le

_premier

auteur a montré dans

_{( ~1J ~}

_{que s$} o B n’est

pas une suite

_{B-automatique,}

en utilisant la forte B-additivité de _{sB :}

Nous allons affaiblir cette

_hypothèse

relative à une suite u _pour maintenir

la

_conclusion,

en nous

_inspirant

de la méthode utilisée dans

[1].

DÉFINITION.

Une

_{suite u,}

à valeurs dans un _groupe abélien noté

additive-ment,

est dite

_quasi

fortement B-additive si elle vérifie la condition :

Remarquons

que si une suite u est fortement

B-additive,

elle est

_quasi

fortement

_B-additive,

_(il

suffit de

_prendre

_qo(r)

&#x3E; _pour

_{r ~}

_0).

THÉORÈME.

Soit R un

polynôme

dans

Q[X],

de

degré

supérieur

ou

_égal

à

_2,

et tel que C

_I~,

et soit u une suite

_quasi

fortement B-additive.

Alors,

si la suite u o R est

_{B-automatique,}

la suite u est

_périodique.

Démonstration. La démonstration va être faite en trois

étapes.

Nous

allons d’abord établir une

propriété

des suites

_{automatiques,}

(un

_peu

appliquerons

cette

_propriété

_pour montrer _que l’automaticité de la suite

u o

,S’,

où n est

_quasi

fortement B-additive et où ,S’ est un

polynôme

de

N[X]

de

_{degré supérieur}

ou

_égal

à

_2,

_implique

l’existence de certaines

rela-tions entre les coefficients du

_polynôme

,~. La dernière

_étape

est la preuve

proprement

dite du théorème.

(a)

,S’oient v une suite

B-autornatique,

et d un entier &#x3E; 2. Notons

v(Bx+(d-2)n (B n

+

₁₎

+

_1).

Alors il existe T dans

_N*,

et no dans N tels _que

.fn(n)

=

fn(n

₊

T).

En

_effet,

l’ensemble de sous-suites cx E

_N*}

est

_fini,

(comme

sous-ensemble du

_B-noyau

de

_v),

donc :

En

_remplaçant

m _par

Bm,

2~?7~ ’ ’ ’,

on obtient :

Prenons a =

(d - 1)n, m

= Bn ₊ 1 et choisissons _no de _sorte

_{que n &#x3E;}

no a &#x3E; _{ao ;} il vient :

c’est-à-dire exactement : Vn &#x3E; _no, = ₊

T).

(b)

Soit S un

polynôme

dans

N[X],

de

_degré

d &#x3E;

_2,

écrivons

_{S(X) =}

d

,

.

~

aiXi.

Soit u une suite

_quasi

_fortement

B-additive.

_Alors,

si u o S est

i=O

B-automatique,

on a :

Appliquons l’étape

(a)

à v = u o

S,

supposée B-automatique,

_(d

est le

Posant alors 1

Dans cette double _somme, deux

_exposants

de B

_{correspondant}

à des

_couples

~ j, k)

et

_{( j’, k’)}

distincts

_peuvent-ils

être

_{égaux ?}

Supposons

donc

_{(d - 1) j}

-~- k

=

(d - 1) j’

₊

k’,

avec j

j’

(par exemple).

Alors

_{( d -}

_{1 ) ~ j’ - j )}

= 1~ -

_k’,

d’où k’

_k,

ce

qui

conduit à

Le cas l~ - k’ = d est

impossible,

puisqu’il amène j - j’ ;

dès lors k - k’

est un

multiple

non nul de d - 1 inférieur ou

_égal

à d -

_1,

c’est-à-dire

k’ = d - 1 et

donc j’ - j =

1,

ce

_qui

donne comme

_unique

possibilité

( j,1~) _

(d -

1,

d -

₁₎

et

_{( j’,}

=

(d, 0).

On écrit alors

la somme

2:’

étant étendue à tous les

couples

(j, k),

0

j

d et 0 k

j ,

distincts de

_{(d - 1, d - 1)}

et de

_(d,

_0).

Or,

comme u est

_quasi

fortement

_B-additive,

on a facilement _pour des

entiers naturels ci

et -ii :

si 0 =

Il y2 ... et di

_{~ {1, ’ " ,&#x26; - 1},}

_sup

11k

alors :

1

1-(où

les

_7o(ci)

sont donnés _par la définition de la

_quasi

forte B-additivité de la suite

_u~.

Ici,

dans la dernière écriture de

_fn(n),

les

_exposants

sont

_distincts,

_(pour

n E

_N*),

donc diffèrent deux à deux d’au moins _n,

_{(puisque n}

est en

Utilisons la même

_technique

pour

fn(n

+ T) :

Considérons de nouveau deux

couples

distincts

(j, k)

avec 0

j,

j’ d,

o k j ,

0 k’

_j’,

et examinons la différence des

_exposants

de B

_{correspondants,}

en valeur absolue :

Si le coefficient de n est non

nul,

D &#x3E; n - Td &#x3E; 1 + _{sup pour}

et si le coefficient de n est

_nul,

_{alors j}

est distinct de

_j’,

et D =

T ;

mais au début de

l’étape

(a),

on

_peut

_remplacer

T _par

n’importe lequel

de ses

_multiples

entiers strictement

positifs,

de sorte _que dans tous les cas :

Il

_n’y

a cette fois-ci _pas de

_regroupement

puisque

D n’est

jamais

nul,

et la

quasi

forte B-additivité de la suite u fournit

_alors,

_{(pour n &#x3E; n1 ) :}

Mais,

puisque n &#x3E;

no F

fn(n)

=

fn (n + T),

la

comparaison

des écritures

amène

_alors,

_{(pour n}

assez

grand) :

Soit encore,

puisque

(c)

Soit maintenant R e

_Q[X],

de

_{degré d}

_supérieur

ou

égal

à 2 et tel

que

R(N)

C N. Il existe _q dans N* et

_{(ao,... ad)}

dans tels _que

de _{sorte que, pour t} assez

_grand,

lfR(k)(qt)

E

_N,

et ainsi S E

Supposons

que la suite u o R est

_{B-automatique ;}

_d’après

la

_proposition

rappelée

au

paragraphe

2,

la suite

((u

o

S~(n~~n =

((u

o

R)(qt

₊

qdn))n

est

B-automatique

et l’on

_peut

_appliquer

la relation obtenue à la fin de

_l’étape

ie _{sorte que} les coefficients des termes

.

de ,S’ sont

_{respectivement}

La relation de la fin du

_(b)

_devient,

_(pour

tout t assez

grand) :

ou _{encore, pour tout t} assez

grand,

et où l’on a

remarqué

_que

Or les valeurs +

_v),

lorsque t

parcourt

les entiers

_supérieurs

ou

_égaux

Compte

tenu de la relation

_(*),

on en déduit :

d’où

En choisissant k =

B-in,

où n _E N +

v),

on

obtient,

grâce

à

la

_quasi

forte B-additivité de u :

c’est-à-dire,

en

_posant

A =

aT,

(remarquons

_que A n’est _pas

nul,

sinon A

donc _ad serait

_nul,

et R ne serait _pas de

degré

d) :

Maintenant,

soit i un entier

compris

entre 0 et

A-1,

et soit k = _sup

yo(

Ona:

Si l’on choisit 1 = 1 ₊

[Bh],

alors 0 Al -

Bki

A,

et on

obtient,

grâce

,4

-à la

_quasi

forte B-additivité de u et au choix de k :

ce

_qui

_{prouve que}

u(An

+

_i)

ne

dépend

_pas de _n, ou encore _{que u est}

périodique

de

_période

A.

4.

_Applications

Soit ,~i =

{0, " -,

B -

1},

,~* l’ensemble des mots formés sur

l’alphabet

,~L. Considérons un mot M E 4* non

_vide,

ne

_{cornrnençant}

ni ne

_finissant

par

0,

soit k un entier

supérieur

ou

égal

à 2 et

_désignons

_par

_uM(n)

le

nombre,

réduit modulo

_k,

d’occurrences du mot M dans l’écriture de n en

COROLLAIRE 1.

Sauf dans les cas B =

3,

M = 1 et k =

2,

_{uM est} une suite

B-auto-matique

telle _que,

_quel

que soit le

polynôme

R de

Q[X]

envoyant

N dans N

et de

_degré

_supérieur

ou

égal

à

_2,

la suite _UM o R n’est _pas

B-autom.atique.

d

Si B =

3,

M = 1 et k =

2,

_posons

R(X)

== l

E

où les rxi sont dans

~,

alors la suite UM o R est

périodique

de

période

2q,

(donc

B’-automatique

quel

q u e soit l’entier B’ &#x3E;

2 ~ .

Démonstration. Montrons _que um est une suite

quasi

fortement

B-additive. Pour cela fixons un entier r

possédant h

chiffres dans son écriture en base

_B,

(la

plus

courte

_{possible) ;}

_{soit p}

le nombre de chiffres du mot

M,

(on

note p =

l ong ( M ) ) .

Dès

_lors,

_{pourvu p, pour}

_apparaître

dans l’écriture en base B

de + r, le mot M doit

apparaître

soit dans l’écriture de n, soit dans

l’écriture de r. Ainsi Vr e

_N,

_3qo(r)

=

long(M)

₊

l ong(r),

_y &#x3E; ==&#x3E;

+

_r)

= ₊

Rappelons

maintenant _que, pour une suite u

B-automatique

à valeurs dans

00 , .

un sous-ensemble fini de

Z,

le réel

E

kn

est soit rationnel soit

transcen-n=o

dant,

et est rationnel si et seulement si la suite u est ultimement

_périodique

(théorème

de Loxton et Van der

_Poorten,

voir

_[9]).

C’est

_pourquoi

Morton

et Mourant

_([10]),

s’intéressant à la transcendance de certains

_réels,

ont

étudié les suites uM ci-dessus

définies,

cherchant à savoir

quand

elles sont

ultimement

_{périodiques.}

Notons _que ces suites sont

_{B-automatiques,}

_(cf.

[10],

remarquons que si on ne réduit _pas modulo 1~ le nombre d’occurrences

de

_M,

les suites obtenues sont

_{B-régulières,}

_[4]).

Morton et Mourant

dé-montrent le résultat suivant :

0 si

long(M)

&#x3E;

_1,

alors la suite _{u M} n’est _pas ultimement

_périodique,

e si

long(M)

=

1,

alors la suite _UM n’est ultimement

périodique

_que dans

l’unique

cas B

= 3,

M = 1 et k =

2,

et l’on _a dans _{ce cas}

n(n) - n

mod 2.

Il ne reste

_{plus qu’à appliquer}

notre théorème _pour conclure dans les cas

où l’on n’a pas à la fois B =

_3,

M = 1 et k = 2. Dans le _cas

exceptionnel,

d

comme

u(n) - n(mod2),

si l’on _pose

_R(X)

_{= q}

_L

on a : a=0

Donc

La suite UM o R est alors

_périodique,

de

_période

_2q,

_(donc

_{B’-automatique}

quel

que soit l’entier B’

supérieur

ou

égal

à

2).

On

_peut

_appliquer

aussi notre théorème à certaines suites

_digitales

au sens de Cateland

([5]),

réduites modulo k : une suite

digitale

est une

combi-naison linéaire de nombres d’occurrences de différents mots dans l’écriture de n en base B.

COROLLAIRE 2.

_Supposons

_que soit une famille finie de mots sur

I’al-phabet

{0, ’ ’ ’ ,

B -

_1}

_qui

vérifie la

_propriété

Soit k un entier tel _que

(k, B - 1)

= 1 _et soit

U M

la suite

digitale

réduite

modulo k définies _par où les cp sont des entiers

non nuls module 1~.

Alors,

_{pour tout}

polynôme

R de

Q[X]

_envoyant IvT dans

N et de

_{degré supérieur}

ou

égal

à

_2,

la suite n’est _pas

B-automatlque.

Démonstration. La suite est

_quasi

fortement B-additive comme

combinaison linéaire de suites

_quasi

fortement

_B-additives,

et elle n’est _pas ultimement

_{périodique d’après}

_[10].

Un dernier

_exemple

_{d’application}

concerne les suites de

Rudin-Shapiro

généralisées

au sens de

[3].

COROLLAIRE 3. Soient a et a’ deux éléments de

f 11

B -

1},

et r un

entier

_supérieur

ou

égal

à 2.

Désignons

_par

u(n)

le

nombre,

réduit

modu-lo k,

d’occurrences de tous les mots de

_longueur

_r,

_commençant

_par a et

finissant _par

_a’,

dans la

_{représentation}

de l’entier n en base B. Alors si

(k, B -

1)

=

1,

_pour tout

polynôme

R de

Q[X]

envoyant

N dans N et de

degré

supérieur

ou

égal

à

_2,

la suite u n’est _pas

B-automatique.

Démonstration. La suite u est une suite

_digitale

réduite modulo k à

laquelle

le corollaire 2

_s’applique

_puisque

est la somme des

_nombres,

(réduits

modulo

_k),

d’occurrences des mots

_{ai1 · ·}

_{· ira’,}

_lorsque

_{(il,... ,}

_ir)

parcourt

{0, ’ ’ ’ ,

B -

_{1} r .}

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Exposé 4, 4-01-4-27. Jean-Paul Allouche, C. N. R. _S., Math. 351 cours de la Libération F-33405 Talence Cedex Olivier S alon 13 rue du Midi F-94110 Arcueil