Université Paris Dauphine Département MIDO
Master 1 – Méthodes de Monte Carlo
2018–2019
Examen Final – Janvier 2019
DURÉE2H00 – DOCUMENTS ETCALCULATRICENONAUTORISÉS
Important. Suivant les réglements en vigueur :
1. Les enseignants présents lors de l’épreuve ne peuvent communiquer que sur les fautes d’énoncé potentielles.
Toute autre question durant la composition ne sera pas acceptée.
2. Les étudiants sont tenus de se lever au moment de l’annonce de fin de la composition. En cas de refus, le respon- sable de l’UE sera fondé à ne pas prendre en compte la copie incriminée.
3. L’identification des copies et intercalaires doit avoir été faite au moment de la remise de chaque copie par les enseignants et surveillants. Il ne sera pas accordé de délai pour cette raison en fin d’épreuve.
Sauf mentions contraires, toutes les variables aléatoires sont supposées de carré intégrable.
Exercice 1(Vrai ou Faux – 4 pts). On souhaite calculer m=
Z
Rh(x)f(x)dx.
Dire si les assertions suivantes sont vraies ou fausses en justifiant. Seules les réponses justifiées seront validées. Il n’y a pas de points négatifs.
1. (1pt)SoientY1, . . . ,Yndes variables alétoires corrélées ayant toutes pour loi marginaleg telle que le support def soit inclus dans le support deg. Alors l’estimateur d’échantillonnage préférentiel pour la loi d’importanceg
1 n
n
X
k=1
h(Yk)f(Yk)
g(Yk) , est un estimateur sans biais dem.
2. (1pt)Soit (Xn)n≥1une suite de variables aléatoiresi.i.d.de densitéf. On suppose quef est invariante par une transformationA,i.e.,X1etA(X1) ont même loi. Alors l’estimateur
1 n
n
X
k=1
h(Xk)+h◦A(Xk+n) 2
est de variance plus faible que l’estimateur de Monte Carlo classiqueP2n
k=1h(Xk)± (2n).
3. (1pt)SiY1 est une variable aléatoire de densitég et que l’on simuleYi conditionnellement àYi−1 suivant la densitéν(· |Yi−1),i>1, alors
1 n
"
h(Y1)f(Y1) g(Y1) +
n
X
k=2
h(Yk)f(Yk) ν(Yk|Yk−1)
#
n−→→+∞m.
4. (1pt)On suppose quef est la densité de la loi normaleN(0 , 1) et on noteΦla fonction de répartition associée. En partitionnantRenLstrates de la formeD`=£
Φ−1(`−1/L) ,Φ−1(`/L)£
,`=1, . . . ,L, et en 1
Examen Méthodes de Monte Carlo
prenant la loi normaleN(0 , 1) comme variable de stratification, l’estimateur stratifié avec allocation proportionnel s’écrit
1 nL
L
X
`=1
n/L
X
i=1
h◦Φ−1
µ`−1+Ui
L
¶
où Ui∼U([0 , 1]).
Exercice 2(5 pts). On considèreX,Y des variables aléatoires réelles de loi jointe fX,Y(x,y) dont la loi marginalefX est inconnue. L’objectif est d’obtenir via les méthodes de Monte Carlo, une estimation defX(x) pour toutx∈R.
1. (1 pt)Soient (X1,Y1), . . . , (Xn,Yn) une suite de variables indépendantes suivant la loi jointesfX,Y(x,y) etw(·) une densité ayant le même support quefX. Montrer que
1 n
n
X
k=1
fX,Y(x,Yk)w(Xk) fX,Y(Xk,Yk) n−→
→+∞fX(x).
2. (1 pt)Si l’on suppose que les variables aléatoiresX etY sont indépendantes, pour quel choix dew obtient-on l’estimateur de variance minimale ?
Application. On considère pour loi jointe fX,Y(x,y), la densité proportionnelle à hX,Y(x,y)=sin2(y) exp
µ
−p
y−x+(y−2)2 2
¶
1{x∈[0,2]}1{y∈[0,3]}.
3. (1 pt)Pour simuler suivant fX,Y(x,y) par la méthode du rejet, parmi les densités des lois intrumen- tales suivantes, laquelle choisiriez-vous ? Justifier.
(a) gX,Y(x,y) densité deE(1/2)⊗N(2 , 1). (b) gX,Y(x,y) densité deU([0 , 2])⊗U([0 , 3]).
4. (2 pts)On suppose que l’on dispose d’une fonctionf.joint(x,y)qui permet d’évaluer la densitéfX,Y(x,y) en tout point (x,y).Sans chercher à optimiser, écrire le codeRqui permet de simuler suivantfX,Y(x,y) et d’estimer la marginalefX(x) pour tout pointx∈[0 , 2] et pour une fonctionw(x) quelconque.
Exercice 3(11pts). On souhaite calculer I=
Z
Rdh(x)f(x)dx,
en simulantX1, . . . ,Xndes variables aléatoiresi.i.d.de densité f par la méthode du rejet. Pour ce faire, on a dû simulerY1, . . . ,Yn+T, avecYn+T =Xn, un nombre aléatoire de variables aléatoires de densitég satisfaisant :
(i) pour toutx∈Rd,f(x)≤M g(x), avecM=sup(f/g) ; (ii) {x∈supp(f) : f(x)=M g(x)} est de mesure nulle.
Partie 1 – Méthode de Monte Carlo classique.
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Examen Méthodes de Monte Carlo
1. (0.5 pt)Rappeler la définition de l’estimateur de Monte Carlo classique, notéIbn, deI.
2. (1.5 pts)En moyenne, combien de tirages suivantgfaut-il effectuer pour obtenir une précision²au niveau de confiance 1−α,i.e.P£
|Ibn−I| ≤²¤
n−→→+∞1−α. Partie 2 – Soyons écolo et utilisons tout.
On se propose d’utiliser les variablesY1, . . . ,Yn+T−1simulées suivantg dans l’algorithme du rejet pour estimerI. On admet que la densité marginale deYiconditionnellement àT =t,i∈{1, . . . ,n+t−1}, est donnée par
m(y)= n−1
n+t−1f(y)+ t n+t−1
M g(y)−f(y) M−1 .
3. (1 pt)Montrer que pour toute fonctionφet toute constante réelleβ, on peut écrire I=βE£
φ(Y1)¤ +E
·h(Y1)f(Y1)
m(Y1) −βφ(Y1)
¸ .
On suppose dans la suite queE£ φ(Y1)¤
est connue.
4. (a) (0.5 pt)Déduire l’expression d’un estimateur Monte Carlo, notéIbn(β), deI. (b) (0.5 pt)Donner la variance de l’estimateurIbn(β).
(c) (1.5 pts)Justifier queIbn(β) est sans biais, converge presque sûrement versI et donner un in- tervalle de confiance IC(α) au niveauαpourI,i.e.P[I∈IC(α)]n−→
→+∞α.
5. (1 pt)Montrer qu’on obtient l’estimateur de variance minimal en choisissant comme valeur deβ, β?=Cov£
h(Y1)f(Y1)±
m(Y1),φ(Y1)¤ Var£
φ(Y1)¤ .
6. (2 pts)Comparer la variance de l’estimateurIbn(β?) obtenu en choisissantβ=β?et la variance de l’estimateurIbnobtenu par la méthode de Monte Carlo classique pour
(a) une même taille d’échantillon (i.e., on utilise le même nombre de réalisations suivant f etg), (b) un coût de simulation équivalent (i.e., on utilise le même nombre de simulations suivantg).
7. (2.5 pts)On se place dans le cadre de variables aléatoires réelles (d=1) et on suppose que l’on sait cal- culer explicitementR
xh(x)f(x)dx. Existe-t-il un choix deφpermettant d’utiliser l’estimateurIbn(β?) dans les situations suivantes ? Si oui, préciserφ, expliquer comment estimerβ?et donner l’expres- sion de l’estimateur deI.
(a) Il existey0telle queP£
Y1>y0¤
est connue.
(b) Les moments d’ordre 1 et 2 deY1, notés respectivementm1etm2, sont connus.
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