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Ecole Nationale Polytechnique Année universitaire : 2018/2019 2ème année Cycle Préparatoire Durée : 2 heures
Examen Final Informatique 3
Janvier 2019 Remarques : - Toutes les réponses doivent être soignées et justifiées.
Partie 01 ( pt)
Un réseau de télécommunication est un ensemble d'équipements informatiques et de matériels reliés entre eux par des canaux de transmission, permettant le partage de ressources et l'échange de données. Une société spécialisée dans le domaine, désire mettre en œuvre un projet d’installation et de gestion de réseaux de télécommunication.
I. Initialement, la société dispose de huit relais, libellés A à H dont les différentes distances, en kilomètres, sont données par la matrice ci contre.
1. Proposer une modélisation pour ce réseau.
II. Dans un réseau de télécommunication, chaque relais émet et reçoit des signaux, chacun sur une fréquence particulière. Pour éviter les interférences sur le réseau, il ne faut pas allouer la même
fréquence à deux émetteurs trop proches l’un de l’autre. La société désire que deux relais à moins de 35 km fonctionnent avec des fréquences différentes. De plus, le coût de gestion du parc de relais est une fonction croissante du nombre de fréquences utilisées, ainsi à cause de contraintes financières, il est intéressant de minimiser le nombre de fréquences allouées.
1. Donner une description à cette problématique.
2. Proposer une solution.
3. Quel est le nombre de fréquences allouées au réseau.
III. L’entreprise désire améliorer ses services, à cet effet, elle compte interconnecter les relais par fibre optique dans la région des relais notés A, B, C, D, E, F, G, H . Seule la station A est reliée au réseau national de fibre optique. Le coût des tronçons du réseau de fibre optique varie en fonction de la distance inter relai. L'entreprise a mené une étude afin de déterminer son plan de déploiement.
1. Donner une description à cette problématique.
2. Déterminer le tracé de la fibre optique le moins cher à déployer.
3. Déterminer, en dinars, le coût de ce tracé, sachant que le coût d’un kilomètre en fibre optique est de 2000 DA.
IV. Le routage est un processus qui permet de sélectionner des chemins dans un réseau pour transmettre des données depuis un expéditeur jusqu'à un autre. L’entreprise désire entreprendre une stratégie d’acheminement des paquets de données du réseau modélisé ci dessous, du relais A au relais H en un temps minimal, Où le coût des arcs représente le temps en milliseconde (ms).
A B C D E F G H A 10 5 20 30
B 10 20 30
C 5 5
D 20 5 25 40
E 30 20 25 25 45
F 30 25 50
G 40 45 40
H 50 40
2/2 1. Donner une description à cette
problématique.
2. Comment résoudre ce problème ? 3. Quel est la durée de ce routage ?
V. La transmission des données est faite à partir du relais E au relais S par un réseau avec les nœuds A, B, C, D, On veut trouver le routage qui maximise le débit. Les capacités de connexions entre les nœuds sont en Méga bit/s. On suppose qu’un relais est capable de recevoir plusieurs parties d’un même message par des voisins différents et de le redécouper pour l’envoyer sur plusieurs voisins à la fois.
1. A quel problème d’optimisation correspond ce routage ? 2. Proposer un routage permettant d’atteindre un débit égal à
7 Mbit/s.
3. Est-il possible d’améliorer ce débit ? Justifiez votre réponse.
4. Quel est le débit maximal, quel routage assure ce débit ?
Partie 02 ( points)
Une entreprise produit des écrans LCD de 15 et de 17 pouces sur une seule ligne d’assemblage imposant les contraintes suivantes :
La capacité de production est limitée à 21000 heures par semaine et l’assemblage d’un écran de 15 pouces nécessite une heure alors qu’un écran de 17 pouces nécessite 50% de temps de fabrication de plus qu’un écran de 15 pouces.
De plus, pour des raisons de marketing, la production hebdomadaire d’écrans de 15 pouces est limitée à 15 000 pièces et la production d’écrans de 17 pouces ne doit pas dépasser les 40% de la production totale.
Les écrans sont vendus, respectivement 250$ et 450$ pièce. Cette entreprise désire maximiser son chiffre d’affaire hebdomadaire.
1. Modéliser le problème sous forme d’un programme linéaire en en précisant les variables de décision.
2. Résoudre ce problème par la méthode du simplexe.
3. Donner le programme dual et déduire sa solution à partir du tableau optimal du problème primal.
Bon courage
A B C D S
E 2 6 1
A 3 7
B 3 5
C 2 6
D 3 4
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Ecole Nationale Polytechnique Année universitaire : 2018/2019 2ème année Cycle Préparatoire Matière : Informatique 3
Corrigé Type de l’Examen Final Informatique 3
Date : 13/01/2019 Durée : 2 heures
Partie 01 (14 pt) I. (2 pt)
Les sommets représentent les relais, (0,25 pt) Les arêtes représentent les différentes
liaisons entre deux relais (0,25 pt) Le poids de chaque arête correspond à la distance associée, en kilomètre. (0,5 pt)
(1 pt) II. (3 pt)
1. Il ne faut pas allouer la même fréquence à deux émetteurs à moins de 35 km => Deux relais d’au moins de 35 km doivent recevoir deux fréquences différentes (0,5 pt)
=> problème de coloration de graphe. (0,5 pt) 2 . Choisir les relais dont la distance est <= 35 km Les Sommets=> relais
Les arêtes => les liaisons inférieur à 35
Minimiser le nombre de fréquences allouées (0,5 pt) (0,5 pt) revient à minimiser le nombre de couleurs= Nombre chromatique
3. Chercher l’ordre de la clique maximal
c1={A ,F, D} est la plus grande clique, elle est d’ordre 3.
Ou bien appliquer l’algorithme de coloration de wellsh-powell
(0,5 pt)
Sommet A E B D C F
Degré 4 4 3 3 2 2
La couleur R V B B V R
Le nombre de fréquences allouées au réseau= Nombre chromatique = 3 (0,5 pt) III. 1. Relier tous les sommets (graphe connexe)
tout en réduisant ou minimisant le coût d’installation (graphe acyclique) (0,5 pt) revient à la recherche d’un Arbre couvrant minimal. (0,5 pt) 2. Appliquer l’algorithme de Kruskal ou de Prim Donner toutes les étapes exécution pas à pas. (1 pt) 3. Le cout du tracé est de 290 000 DA (1 pt)
5+5+10+20+25+40+40= 145 => 145*2000 =290 000 DA
2/3 IV. ( 3 pt)
1 . Acheminer des paquets de données sur le réseau, du relais A au relais H en un temps minimal (0,5 pt) est une problématique du chemin le plus court (0,5 pt)
2 . Pour le résoudre appliquer l’algorithme de Dijkstra ou celui de Bellman Ford. (1 pt)
3. Durée de ce routage 7 mss ABFH (on a H FBA) (1 pt) V. (3 pt)
1 . Ce problème de routage consiste à faire circuler un flot d’information de façon à maximiser le débit , de plus un relais est capable de recevoir plusieurs parties d’un même message par des voisins différents et de le redécouper pour l’envoyer sur plusieurs voisins à la fois (0,5 pt)
=> Problème de flot maximal. (0,5 pt)
2. Proposer un routage permettant d’atteindre un débit = 7 Mbit/s Ceci revient à à proposer un flot réalisable = 7. (0,5 pt)
(+) (+) Exemple :
E-A-D-S : 2
E-B-S: 5 (+) (+) (+)
E-B-D-A-B-S : 0 (0,5 pt)
E-C-B-D-S : 0
E-C-D-S : 0 (+)
3. Pour savoir s’il est possible d’améliorer ce débit, il suffit de rechercher une chaine améliorante en procédant au marquage des sommets (Algorithme de Ford-Fulkerson).
Le marquage est sur le graphe précédent. (0,25 pt)
D’après le marquage, il existe une chaine améliorante de S à P. (0,25 pt) ECDS / EBDABS/ EBDS
Donc, le flot n’est pas maximal. => Oui, il est possible d’améliorer le débit de 7 Mbits/s. (0,5 pt) Partie 02 (6 pt)
1. La modélisation (2 pt)
Soient x1 : La quantité d’écrans de 15 pouces à produire chaque semaine.
x2 : Le quantité d’écrans de 17 pouces à produire chaque semaine.
A B C D E F G H Sommet fixé Lmin
0 0 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ A 0
1 A3 A2 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ C 2
2 A3 6C ∞ ∞ ∞ ∞ B 3
3 5B 3B 5B ∞ ∞ E 3
4 5B 5B ∞ ∞ D 5
5 5B 9D ∞ F 5
6 6F 7F G 6
7 7F H 7
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Les contraintes seront :
x1+3/2 x2 21000 que l’on peut transformer en : 2x1+3 x2 42000 ( 0,5 pt) x2 (40/100)(x1+x2) que l’on peut transformer en : -4x1+6 x2 0 ( 0,5 pt)
x1 15000 ( 0,5 pt) x1 0, x2 0
La fonction objectif : Max Z=250x1+450x2 ( 0,5 pt) 2/ La méthode du simplexe (2,5 pt)
Mise sous forme canonique Mise sous forme standard (0,5 pt) PL : Max Z=250x1+450x2
Sc 2x1+3 x2 42000 x1 1500 -4x1+6 x2 0
x1 , x2 >= 0
Max Z = 250 x1 + 450 x2 + 0 e1 + 0 e2 s.c
2 x1 + 3 x2 + 1 e1 = 42000 x1 +e2 1500
-4 x1 + 6 x2 + 1 e3 = 0 x1, x2, e1, e2, e3 ≥ 0 Tableau 1 (0,5 pt)
Tableau 2 (0,5 pt)
Base x1 x2 e1 e2 e3 C K
e1 4 0 1 0 -0,5 42000 10500
e2 1 0 0 1 0 15000 15000
x2 -0,66 1 0 0 0,166 0 0
(-Z) 550 0 0 0 75 0
Tableau 3(0,5 pt)
La solution optimale est Z = 5775000 X1 = 10500 X2 = 7000
Pour avoir un profit maximal de 5775000 il faut 10500 unité d’écran 15’ et 7000 écran 17’ (0,5 pt)
3/ Le programme dual (1,5 pt)
Maximiser: z = 250 x1 + 450 x2 Minimiser :w = 42000 y1+ 15000 y2 (0,5 pt) S. c 2 X1 + 3 X2 ≤ 42000
X1 ≤ 15000 -4 X1 + 6 X2 ≤ 0
s.c 2 y1+y2 -4 y3 >= 250 (0,25 pt) 3 y1 + 6 y3 >= 450 (0,25 pt)
X1, X2 ≥ 0 y1, y2 ≥ 0
W = Z = 5775000 y1 = 137.5 Y2 = 0 (0,5 pt)
Base x1 x2 e1 e2 e3 C K
e1 2 3 1 0 0 42000 14000
e2 1 0 0 1 0 15000 15000
e3 -4 6 0 0 1 0 0
(-Z) 250 450 0 0 0 0
Base x1 x2 e1 e2 e3 C
x1 1 0 0.25 0 -0.125 10500
e2 0 0 -0.25 1 0.125 4500
x2 0 1 0.166 0 0.0833 7000
(-Z)
0 0 -137.5 0 -6.25
-5775000
