Devoir Surveillé N5 Durée 4 heures

Math Sup PCSI - Le vendredi 2 février 2007

Devoir Surveillé N5 Durée 4 heures

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Premier problème

Partie I Soitf :t∈R7→ _1+t^et2. Nous noteronsCf la courbe représentative def. 1. Justier quef est de classeC^∞ surR.

Quelle est la limite def(t)lorsquettend vers−∞? Qu'en déduisez-vous au sujet deCf? 2. Quelle est la limite def(t)lorsquettend vers+∞?

3. Expliciterf⁰(t)et dresser le tableau des variations def.

4. Vérier quef⁰⁰(t) = ^(t−1)_(1+t^g(t)2)^3et, oùg(t)est une expression à déterminer.

5. Montrer que l'équationg(t) = 0admet une unique solution réelle, notéeα. Prouver que−¹₅ < α <0. 6. Tracer l'allure deCf.

On fera en particulier apparaître ses points d'inexion (justier votre réponse).

Partie II Au vu des expressions def(t),f⁰(t)etf⁰⁰(t), nous nous proposons d'établir que l'assertionA(n) suivante est vraie pour tout n∈N:

Il existe un polynômePn tel quef⁽ⁿ⁾(t) = Pn(t)e^t

(1 +t²)ⁿ⁺¹ pour toutt∈R Vous allez raisonner par récurrence surn.

7. Il est clair que A(n) est vraie pour n ∈ {0,1,2}; vous dresserez simplement un tableau donnant l'expression dePn pour ces valeurs den.

8. Fixonsn∈N, et supposons l'assertionA(n)acquise. Etablissez l'assertionA(n+ 1); vous déterminerez l'expression deP_n+1 en fonction deP_n et P_n⁰.

Il en résulte donc que l'assertionA(n)est vraie pour toutn∈N.

9. Préciser le degré et le coecient dominant deP_n. 10. Déterminer une expression simple decn=Pn(i). 11. Soit nun entier naturel supérieur ou égal à2.

(a) Vérier que∀t∈R,(1 +t²)f⁰(t) = (t−1)²f(t).

(b) Montrer que :[(t−1)²f(t)]⁽ⁿ⁾= (t−1)²f⁽ⁿ⁾(t) + 2n(t−1)f⁽ⁿ⁻¹⁾(t) +n(n−1)f⁽ⁿ⁻²⁾(t).

(c) Calculer de même :[(1 +t²)f⁰(t)]⁽ⁿ⁾.

(d) En déduire une relation de la formePn+1(t) =e1Pn(t) +e2Pn−1(t) +e3Pn−2(t) oùe1, e2, e3 sont trois expressions, dépendantes denett, à déterminer.

Partie III Notons F :x∈R7→

Z _x

0

f(t)dt.

12. Quel est le sens de variation deF?

13. Montrer queF(x)possède une limite nie`lorsquextend vers−∞. Prouvez l'encadrement−16`60. Nous nous proposons d'étudier le comportement deF(x)lorsquextend vers+∞.

Notons J(x) = Z _x

1

t e^t

(1 +t²)²dt , K(x) = Z _x

1

e^t

t³dt et L(x) = Z _x

1

e^t t⁴dt.

14. Prouver l'existence d'une constanteAtelle que F(x) =f(x) +A+ 2J(x)pour tout réelx.

15. Pourx>1, placez les uns par rapport aux autres les réels0,J(x)et K(x).

16. A l'aide d'une intégration par parties, montrer queK(x)−3L(x)est négligeable devant ^e_x^x2 lorsquex tend vers+∞.

17. En découpant l'intervalle[1, x]sous la forme[1, x^3/4]∪[x^3/4, x], montrer queL(x)est négligeable devant

e^x

x² lorsquextend vers+∞.

18. En déduire un équivalent simple de F(x)lorsque xtend vers+∞. 19. Tracer l'allure de la courbe représentative de F.

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Deuxième problème

Le plan est muni d'un repère orthonormé(O;~i,~j), et on désigne par(Γ)l'hyperbole d'équationy=_x¹. Le but du problème est de construire les triangles équilatéraux dont les trois sommets appartiennent à(Γ). Partie I

On considèreM1(x1,_x¹

1),M2(x2,_x¹

2),M3(x3,_x¹

3)trois points quelconques de(Γ), deux à deux distincts.

1. SoitG(α, β)le centre de gravité du triangle(M1M2M3), déni par la relation−−−→

GM1+−−−→

GM2+−−−→

GM3=~0. Déterminer les expressions deαetβ en fonction dex1, x2, x3.

2. SoitH(λ, µ)l'orthocentre du triangle (M1M2M3), point de concours des hauteurs.

(a) Déterminer, en fonction de x1, x2, x3, une équation cartésienne de la hauteur issue de M1 du triangle(M1M2M3), puis de la hauteur issue deM2.

(b) En déduire queλ=−_x ¹

1x2x3, et queH ∈(Γ). Partie II

Soientr un réel non nul etP le polynôme déni parP(X) =X³−3rX²−_r³2X+¹_r. 3. On suppose dans cette question quer >0.

(a) Déterminer les signes deP(0)et de P(r).

Calculer lim

x→+∞P(x)et lim

x→−∞P(x).

En déduire qu'il existe un réelu > r tel queP(u)>0, et un réel v <0 tel queP(v)<0.

(b) Conclure que les racines deP sont trois nombres réels distincts non nuls.

4. On suppose dans cette question quer <0. En vous inspirant de la démarche précédente, montrer que les racines deP sont toujours trois nombres réels distincts non nuls.

5. On notea, b, cles trois racines réelles distinctes non nulles du polynômeP. Calculer, en fonction der, les trois quantités a+b+c, a×b×c et _a¹+¹_b +¹_c. 6. On dénit les pointsA(a,_a¹),B(b,¹_b)etC(c,¹_c)de(Γ).

(a) En utilisant les résultats de la partie I, prouver que les coordonnées du centre de gravité G du triangle(ABC)sont(r,¹_r).

Déterminer de même, en fonction der, les coordonnées de l'orthocentre H, du triangle(ABC). (b) Conclure que le triangle(ABC)est équilatéral.

Partie III

On conserve les notations de la partie II.

7. On suppose dans cette question quer= 1. Calculer alors les racinesa, b, cdu polynômeP. Représenter sur un même dessin l'hyperbole(Γ), le triangle(ABC)et le pointG.

(On rappelle que√

3≈1.73à10⁻² près.) 8. Mêmes questions pourr=−1.

On suppose désormais querest diérent de 1et−1.

Notons(C)le cercle circonscrit au triangle(ABC)etRson rayon.

9. Calculer, en fonction der, les deux quantités a²+b²+c² et _a¹2 +_b¹2 +_c¹2.

10. Le triangle (ABC)étant équilatéral, Gest aussi le centre de (C), et doncR=GA=GB=GC. En écrivant queR²= ¹₃(GA²+GB²+GC²), montrer queR²= 4r²+_r⁴2.

En déduire une équation cartésienne de(C)dépendant uniquement de r. 11. On pose Q(X) =X⁴−2rX³−3(r²+_r¹2)X²−²_rX+ 1.

Vérier queQadmet−r pour racine, et déterminer le polynômeZ tel que Q(X) = (X+r)Z(X). ComparerP et Z, et en déduire les racines du polynômeQ.

Justier que toutes ces racines sont distinctes.

12. Montrer que le cercle(C)passe par un pointD de l'hyperbole(Γ)distinct deA,B,C. Quelle relation géométrique relie les pointsGet D?

13. Tracer sur une même gure l'hyperbole(Γ)et le pointG, puis expliquer comment on peut contruire le triangle équilatéral(ABC)à l'aide uniquement d'une règle et d'un compas.

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